小學(xué)奧數(shù)中的數(shù)論問題

3/3小學(xué)奧數(shù)中的數(shù)論問題小學(xué)奧數(shù)中的數(shù)論問題

在奧數(shù)競賽中有一類題目叫做數(shù)論題，這一部分的題目具有抽象，思維難度大，綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)多的特點(diǎn)，基本上出現(xiàn)數(shù)論題目的時(shí)候大部分同學(xué)做得都不好。

一、小學(xué)數(shù)論究包括的主要內(nèi)容

我們小學(xué)所學(xué)習(xí)到的數(shù)論內(nèi)容主要包含以下幾類：

整除問題：（1）整除的性質(zhì)；（2）數(shù)的整除特征（小升初?？純?nèi)容）

余數(shù)問題：（1）帶余除式的運(yùn)用被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).（余數(shù)總比除數(shù)?。?/p>

（2）同余的性質(zhì)和運(yùn)用

奇偶問題：（1）奇偶與加減運(yùn)算；（2）奇偶與乘除運(yùn)算質(zhì)數(shù)合數(shù)：重點(diǎn)是質(zhì)因數(shù)的分解（也稱唯一分解定理）約數(shù)倍數(shù)：（1）最大公約最小公倍數(shù)兩大定理

一、兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。

二、兩個(gè)數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

（2）約數(shù)個(gè)數(shù)決定法則（小升初?？純?nèi)容）

整數(shù)及分?jǐn)?shù)的分解與分拆：這一部分在難度較高競賽中常出現(xiàn)，屬于較難的題型。二、數(shù)論部分在考試題型中的地

位

在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，數(shù)論被當(dāng)之無愧的譽(yù)為“數(shù)學(xué)皇后”。翻開任何一本數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書，數(shù)論的題型都占據(jù)了顯著的位置。在小學(xué)各類數(shù)學(xué)競賽和小升初考試中，系統(tǒng)研究發(fā)現(xiàn)，直接運(yùn)用數(shù)論知識(shí)解題的題目分值大概占據(jù)整張?jiān)嚲砜偡值?0%左右，而在競賽的決賽試題和小升初一類中學(xué)的分班測試題中，這一分值比例還將更高。

出題老師喜歡將數(shù)論題作為區(qū)分尖子生和普通學(xué)生的依據(jù)，這一部分學(xué)習(xí)的好壞將直接決定你是否可以在選拔考試中拿到滿意的分?jǐn)?shù)。三、孩子在學(xué)習(xí)數(shù)論部分常常會(huì)遇到的問題

數(shù)學(xué)課本上的數(shù)論簡單，競賽和小升初考試的數(shù)論不簡單。

有些孩子錯(cuò)誤地認(rèn)為數(shù)論的題目很簡單，因?yàn)樗麄兞?xí)慣了數(shù)學(xué)課本上的簡單數(shù)論題，比如：例1：求36有多少個(gè)約數(shù)

這道題就經(jīng)常在孩子們平時(shí)的作業(yè)里和單元測試?yán)锍霈F(xiàn)?？墒切∩蹩碱}里則是：例2：求3600有多少個(gè)約數(shù)

很多孩子就懵了，因?yàn)椤捌綍r(shí)考試?yán)餂]有出過這么大的數(shù)！”（孩子語）于是乎也硬著頭皮用課堂上求約數(shù)的方法去求，白白浪費(fèi)了大把的時(shí)間，即使最后求出結(jié)果也并不劃算。

這道題其實(shí)用約數(shù)個(gè)數(shù)決定法則非常好求，而且省時(shí)省力！可是我們的出題老師卻振振有詞道：“這道題不超綱，也符合教委的精神，因?yàn)槟憔褪怯闷胀〝?shù)學(xué)的方法也能做出來，無非多花一些時(shí)間而已！”殊不知考試的時(shí)間何其寶貴，這道題的解法其實(shí)已經(jīng)將孩子的數(shù)學(xué)水平分出了高下！

數(shù)論的定理背起來簡單，但真正理解和掌握卻很難。

數(shù)論的定理在很多好的奧數(shù)輔導(dǎo)書中都有概括，于是有些孩子拿起來蒙頭就開始背，終于花了不少時(shí)間硬啃下來，卻不食其中“滋味”，遇上數(shù)論的題目只能一條一條定理的硬套，結(jié)果很多題目還是不會(huì)做。這里的原因在于缺乏老師正確的引導(dǎo)，很多定理細(xì)心領(lǐng)會(huì)比死記更重要！孩子自身的領(lǐng)悟能力有限，站在老師的肩膀上才能看得更遠(yuǎn)！

單個(gè)數(shù)論的知識(shí)點(diǎn)掌握起來較簡單，但綜合運(yùn)用卻很難。數(shù)論的題有的時(shí)候會(huì)和其它知識(shí)點(diǎn)綜合起來考察，比如和分?jǐn)?shù)，和計(jì)數(shù)綜合等等。這樣的題學(xué)生往往感覺無從下手，也有一定難度，因此得分率很低。比如，例3：一個(gè)學(xué)校參加某項(xiàng)興趣活動(dòng)的學(xué)生不到100人，其中男同學(xué)人數(shù)超過總數(shù)的4/7，女同學(xué)的人數(shù)超過總數(shù)的2/5。問男女生各多少人（某中學(xué)入學(xué)測試壓軸題）

這道題兼顧分?jǐn)?shù)主要從數(shù)論中的整除特性考查學(xué)生。例4：有一個(gè)四位數(shù)分別除以它的各位數(shù)字得到四個(gè)整數(shù)

商,這四個(gè)商的和還是這個(gè)四位數(shù),求滿足要求的四位數(shù)共有多少個(gè)

這道題同樣從數(shù)論入手考察學(xué)生多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目較難。四、該如何學(xué)習(xí)數(shù)論知識(shí)

數(shù)論的知識(shí)點(diǎn)較多，在考試中占的比重較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，熟記定理是必要的，除了熟記以外，更應(yīng)該知其然，知其所以然。如果時(shí)間允許，可以動(dòng)手將所有定理和公式一一推導(dǎo)一遍。比如：為什么能被4（或25）整除的數(shù)只需要看末尾兩位是否能被4（或25）整除原來一個(gè)數(shù)可以分成兩部分的和，最后2位和前面若干位的100倍，前一部分能被100整除（當(dāng)然也肯定能被4或25整除），所以只需看后兩位即可。理解了這個(gè)也就不難理解：為什么能被8（或125）整除的數(shù)只需要看末三位是否能被其整除即可（想一想）

這樣做的益處是一方面讓孩子更深刻的理解了定理和公式來源，舉一反三，而不是死記硬背；另一方面當(dāng)作習(xí)題來熟練解題套路，實(shí)踐證明對(duì)于孩子的思維發(fā)散是很有幫助的。

要想深刻掌握數(shù)論題的解題要領(lǐng)，還需要多做些數(shù)論的綜合題。有些解題的常用套路是可以歸納總結(jié)的，比如整數(shù)表示法，枚舉法，反證法，構(gòu)造法等等在這里不一一敘述，需要由老師幫助引領(lǐng)完成。五、哪些參考書數(shù)論部

分編寫的較好

對(duì)于數(shù)論常用知識(shí)點(diǎn)不了解的學(xué)生可參看：

《華校課本五年級(jí)》上冊(cè)1～5講，下冊(cè)第4講；《華校課本六年級(jí)》上冊(cè)第8講，下冊(cè)第7講。（講解知識(shí)點(diǎn)較為詳細(xì)）六、小學(xué)奧數(shù)的幾大重點(diǎn)

包括：行程問題，數(shù)論問題和幾何問題。幾道小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)論題

1．在43的右邊補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)五位數(shù)，使它能被3，4，5整除，求這樣的最小五位數(shù).

2．兩個(gè)整數(shù)A，B的最大公約數(shù)是C，最小公倍數(shù)是D.已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187.求A＋B是多少

3．某個(gè)自然數(shù)是3和4的倍數(shù)，包括1和它本身在內(nèi)共有10個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)是幾

（1）1與0的特性：1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對(duì)于任何整數(shù)a，總有1|a.0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)，則a|0.

（2）若一個(gè)整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個(gè)數(shù)能被2整除。

（3）若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。

(4)若一個(gè)整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4

整除。

（5）若一個(gè)整數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。（6）若一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。（7）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，

就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；

又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。（8）若一個(gè)整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。

（9）若一個(gè)整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。

（10）若一個(gè)整數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。（11）若一個(gè)整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！

過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1！

（12）若一個(gè)整數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。

（13）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（14）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（15）若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、