江蘇省2020屆高三數(shù)學(xué)百校大聯(lián)考蘇教版

==4==4江蘇省2020年高三百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)I參考公式：樣本數(shù)據(jù)x,x,L,x的方差s2=-工(x一x)2，其中x=-工x.12nninii=1i=1一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合A=｛-1,0｝，則滿足AUB二｛-1,0,1｝的集合B的個(gè)數(shù)是▲【答案】4【解析】本題考查集合的概念與運(yùn)算.由題意，1丘B(yǎng)，集合B的個(gè)數(shù)即｛-1,0｝的子集個(gè)數(shù),共4個(gè)．丄O?2.已知-——-=b-i(a,bgR)，其中i為虛數(shù)單位，則a+b=▲.i【答案】3丄o?【解析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.因?yàn)椤?=2-ai=b-i(a,bgR)，所以，a=1,b=i所以a+b=3.從1,2,3,4中隨機(jī)取出兩個(gè)不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為▲.2【答案】32【解析】本題考查古典概型.基本事件總數(shù)為6,符合要求的事件數(shù)為4,故所求概率為3.rrrrrrr4.已知單位向量i,j滿足(2j-i)丄i，則i,j的夾角為▲【答案】rrrrrr解析】本題考查平面向量的垂直和數(shù)量積的計(jì)算.因?yàn)?2j-i)丄i，所以(2j-i)gi=01rr1rr兀即cos9=-，則i,j的夾角為—.即2i-j-i2=0，所以，21iIIjlcos9-1=0設(shè)五個(gè)數(shù)值31，37,33，a，35的平均數(shù)是34，則這組數(shù)據(jù)的方差是—▲【答案】4【解析】由=34，可得a=34，所以方差-「(31—34)2+(37-34)2+(33-34)2+(34-34)2+(35-34)25y<x6.已知實(shí)數(shù)x,y滿足＜x+y<16.已知實(shí)數(shù)x,y滿足＜y>-110103【答案】2【解析】本題考查線性規(guī)劃?可行或?yàn)槿切螀^(qū)域’最優(yōu)解為（2,2）?（第6題）7（第6題）7.執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出S的值為_▲答案】42020,lud,mup，則下列命題中正確的是▲【解析】本題考查流程圖和循環(huán)結(jié)構(gòu).S=2+4+6+L+20,lud,mup，則下列命題中正確的是▲已知直線1、m與平面d、寫正確命題對應(yīng)的序號）．②若1丄m，則d丄0②若1丄m，則d丄0④若d丄0，則m丄d③若1丄0，則d丄0【答案】③【解析】本題考查線面及面面位置關(guān)系的判斷.由面面垂直的判定定理可得答案為③.TOC\o"1-5"\h\z已知cos（0+—）=—，0e（0,扌），則sin（20——）=▲.【答案】窖沁比）=沁比）=警0+-e(-，竺)444兀兀兀兀4sin20=sin[2(0+——)—]=—cos2(0+——)=1—2cos2(0+——)=—42445cos20=cos[2(0+—)——]=sin2(0+—)=2sin(0+0+—)=—342445sin(20——)=4.1—(—3)心4+用35252

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，且與直線x—y-3=0相切，則圓C的半徑為▲.解析：可設(shè)圓心為(2,b)，半徑r=\；bT1，貝J—1-bl=jb匸，解得b=1.故r=\/2.11.已知橢圓方程為y—=1(a>b>0),A、B分別是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是a2b2橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AM,BN的斜率分別為k,k，若|k-k=1，則橢圓1212412的離心率為▲11.【答案】￡2【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).設(shè)M(x,y)，00b【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).設(shè)M(x,y)，00b2(1-漿)b21a^=一=，可得3a2=4c2，a2一x2a240則S=2更—(4a2+b2)的最大值是一\k-k|=12．12．則N(x,-y),00y

e—x+a0y0—a一x0y20——a2一x20從而e=a=號若a>0,b>0，且2a+b=1,2—1【答案—【解析】由""+b三2a+b$、j2a-b得\'2ab^—，4a2+b2三丄，所以2222S=2麗―(4a2+b2)=?J2a?b―「(2a)2+b21W匣―1，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=1時(shí)取到等?」222號.13.已知數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)a=1，公差d豐0，若a,a,a,L,a,L成等比數(shù)n1k1k2k3kn列，且k=1，k=2，k=5，則數(shù)列｛k｝的通項(xiàng)公式k=▲.123nn答案】3答案】3n-1+1T~?a，(1+d)?a，(1+d)2=1?(1+4d)，得d=2，5的公比為3，所以a=3n—1.根據(jù)knTOC\o"1-5"\h\z21即a=2n-1，所以a=2k—1.又等比數(shù)列a,a,ankn125n3n—1+12k—1=3n-1可得k=—-.nn214.若函數(shù)f(x)=ln(x+1)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是▲214.【答案】[0,4)解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想.函數(shù)圖象(圖函數(shù)圖象(圖1)函數(shù)圖象(圖函數(shù)圖象(圖1)解法'可^設(shè)g(x)=xFF2,(x>解法'可^設(shè)g(x)=xFF2,(x>—1,x豐0),x由題意可知<x+1>0k=xHF2、x與直線y=k沒有交點(diǎn)，則0<k<4.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請?jiān)诖穑}．卡．指．定．區(qū)．域．內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟．15．(本小題滿分14分)ur在AABC中，A,B,C的對邊分別是a,b,c，已知平面向量m=(sin?-C),cosC),n=n=(sin(B+上),sinB)2urr且m-n=sin2A.求sinA的值；若a=1,cosB+cosC=1，求邊c的值.TOC\o"1-5"\h\z15.【解析】(1)由題意，sin2A=sinCcosB+sinBcosC2分得2sinAcosA=sin(B+C)=sinA4分由于AABC中sinA>0，/.2cosA=1，cosA=—5分2sinA=s'l-cos2A=空6分2(2)由cosB+cosC=1得-cos(A+C)+cosC=17分巧1即sinAsinC一cosAcosC+cosC=1，/.——sinC+—cosC=19分22得sin(C烷=1，q0<C<號，?冷<C+i<5F，平方得二C=312分所以AABC為正三角形c=114分16.(本小題滿分14分)如圖，四棱錐E—ABCD中，EA=EB,AB〃CD,AB丄BC，AB=2CD.求證：AB丄ED；線段EA上是否存在點(diǎn)F,使得DF〃平面BCE?請說明你的理由.解析：(1)證明：如圖，取AB中點(diǎn)0,連結(jié)EO,D0.TOC\o"1-5"\h\z因?yàn)镋A=EB,所以E0丄AB.1分因?yàn)锳B〃CD,AB=2CD,所以B0〃CD,B0=CD.又因?yàn)锳B丄BC,所以四邊形0BCD為矩形，所以AB丄D0.4分因?yàn)镋0nD0=0,所以AB丄平面E0D.5分又因?yàn)镋D平面E0D,所以AB丄ED.6分(2)當(dāng)點(diǎn)F為EA中點(diǎn)時(shí)，有DF〃平面BCE.證明如下：取EB中點(diǎn)G,連結(jié)CG,FG.因?yàn)镕為EA中點(diǎn),所以所以FG〃AB,FG=2ab.8分所以所以FG〃AB,FG=2ab.8分TOC\o"1-5"\h\z因?yàn)锳B〃CD,CD=2aB,9分所以FG〃CD,FG=CD.10分所以四邊形CDFG是平行四邊形，11分所以DF〃CG.12分因?yàn)镈F平面BCE,CG平面BCE,所以DF〃平面BCE.14分17．（本小題滿分14分）如圖，ABCD是邊長為1百米的正方形區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃建造一塊景觀帶厶ECF,其中動(dòng)點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，且△ECF的周長為常數(shù)a（單位：百米）.（1）求景觀帶面積的最大值；（2）當(dāng)a=2時(shí)，請計(jì)算出從A點(diǎn)欣賞此景觀帶的視角（即ZEAF）.DECABDECAB（第17題）17.解析：(1)設(shè)EC=x,CF=y,則x+y+2+y2=a(探)由基本不等式，x+y+Jx2+y2>2,/xy+J2xy=(2+3分所以,11(a△ECF的面積S二所以,11(a△ECF的面積S二2xy乞2V丸J115分當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2—Ia時(shí)等號成立故景觀帶面積的最大值為亠a246分兀兀(2)記ZEAD=a,ZFAB,a,卩w(0,—)Q+卩w(0,—),22貝ytana=1—x,tanB=1—y2—x—y2—(x+y)故tan(a+P)二二1—(1—x)(1—y)x+y—xy1010分1010分a2由(探)可得，xy=a(x+y)一一，即xy=2(x+y)一22代入上式可得，tan(a+P)=|一gj)=1兀兀所以ZEAF=--(a+卩)=24兀故當(dāng)a=2時(shí)，視角ZEAF為定值一14分418．(本小題滿分16分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(1,0)，A、B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且△APB面積的最大值為2方.求橢圓C的方程；直線AP與直線x=2交于點(diǎn)D，證明：以BD為直徑的圓與直線PF相切.18.解析：(1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為乂+上=1(a>b>0).a2b2丄?2a-b=2爲(wèi),2由題意知＜c=1，解得a=2,b=.6分a2=b2+c2.6分故橢圓C的方程為斗+￥=1-43(2)由題意，設(shè)直線AP的方程為y=k(x+2)(k豐0).則點(diǎn)D坐標(biāo)為(2,4k)，BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,2k).y=k(x+2),x2y2得(3+4k2)x2+16k2x+16k2一12=0.I43—^―I4316k2一12設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，則-2x0=口7TOC\o"1-5"\h\z6一8k212k所以x=，y=k(x+2)=?10分03+4k2003+4k2因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，13當(dāng)k=±—時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,±—)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,土2).22直線PF丄x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓(x-2)2+(ym1)2=1與直線PF相切.???11分TOC\o"1-5"\h\zy4k當(dāng)k工土—時(shí)，則直線PF的斜率k=」l=——.PFx一11一4k204k所以直線PF的方程為y=—(x一1).13分1一4k2==2IkI．15分點(diǎn)E到直線PF的距離d點(diǎn)E到直線PF的距離d=8k“4k-2k1—4k21-4k216k2(1-4k2)2+12k+8k31-4k21+4k2I1-4k2I又因?yàn)镮BD1=41k丨，所以d=-\BDI.216分故以BD為直徑的圓與直線PF相切.綜上得，以BD為直徑的圓與直線PF16分19．(本小題滿分16分)若數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且滿足等式a+2S=3.nnnn(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)a;nn能否在數(shù)列｛a｝中找到這樣的三項(xiàng)，它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由；n1令b=loga+-，記函數(shù)f(x)=bx2+2bx+b(neN*)的圖象在x軸上截得的n-n2nn+1n+23線段長為c，設(shè)T=丄(cc+cc+L+cc)(n>2)，求T，并證明：TTTLT>◎.nn41223n-1nn234nn【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，a+2a=3，則a=1?111乂a+2S=3，所以a+2S=3，兩式相減得a=-a，nnn+1n+1n+13n即｛a｝是首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列，n3所以a=—4分n3n-1(2)假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為a,a,a,(p<q<r)pqr2323q-13q3q3p3r3p-13r-1所以2-3r-q=3r-p+1，即2-3廠-q—3廠-p=1，即3r-q(2—3q-p)=1又Qp<q<r，???r—q,r—peN*，所以3r-q>3,2-3q-p<0所以3r-q(2—3q-p)<0???假設(shè)不成立，所以不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列勺分(3)設(shè)f(x)與x軸交點(diǎn)為(x,0),(x,0)12Q2b=b+b，n+1nn+2當(dāng)f(x)=0時(shí)有(x+1)(bx+b)=0nn+2

..x=—1,x=12bn+2bnb+2nbn/.c=..x=—1,x=12bn+2bnb+2nbn/.c=1x—x1=1—1+1=—n12又Qb=logan1/32c=nbn2...cc=xn—1nbbn—1n211=4(—)bbbn—1nT=-xn41、/I1、r—)+(—)+Lbbb1223+(產(chǎn)-b)]n—1n1111bb111nn——1n222(n-1)14分2(n—1)>2(n-1)nT〔n1n——222-22-3>??23420.(本小題滿分16分).TTTLT234n2-4t2(n—1)2n-1L5n16分已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aInx.4若f(x)的極大值為，求實(shí)數(shù)b的值；27若對任意xe11,e］，都有g(shù)(x)三—x2+(a+2)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;當(dāng)b=當(dāng)b=0時(shí)，設(shè)F(x)=f(x),x<1g(x),x21對任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=F(x)上是否存在兩點(diǎn)P,Q，使得APOQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由.20.解析：(1)由f(x)=—x3+x2+b，得f'(x)=—3x2+2x=—x(3x—2)，2令f'(x)=0，得x=0或當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)及f(x)的變化如下表：x(Y,0)0(0,2)2(2,+8)333f'(x)—0+0—f(x)極小值/極大值TOC\o"1-5"\h\z244所以f(x)的極大值為f(―)=—+b二一,32727b=0?°4分(2)由g(x)>-x—+(a+―)x，得(x一lnx)a<x—一—x?Qxg[1,e],.lnx<1<x，且等號不能同時(shí)取，.Inx<x，艮卩x一lnx〉0x——2xl亠亠口口zx——2x、一八???a<恒成立，即a<()6分x一lnxx一lnxmin令t(x)=斗,(xg[1,e])，求導(dǎo)得，t'(x)=(x一[)(x：2一2lnx)x—lnx(x—lnx)2當(dāng)xg[1,e]時(shí)，x—1>0,0<lnx<1,x+2—2lnx〉0，從而t'(x)>0，???t(x)在[1,e]上為增函數(shù)，.t(x)=t(1)=—1，min?a<—1??8分3)由條件，F(xiàn)(x)=—x3+x2,3)由條件，F(xiàn)(x)=，alnx,x>1假設(shè)曲線y=F(x)上存在兩點(diǎn)P，Q滿足題意，則P，Q只能在y軸兩側(cè)，……9分不妨設(shè)P(t,F(t))(t〉0)，貝yQ(—t,13+12)，且t豐1?uuuruuurQAPOQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，?OP-OQ=0，?—12+F(t)(t3+12)=0(*)，11分是否存在P，Q等價(jià)于方程(*)在t>0且t豐111分①若0<t<1時(shí)，方程(*)為—12+Ct3+12)(t3+12)=0，化簡得14—12+1=0，此方程12分12分②若t>1時(shí)，方程(*)為—12+alnt-(t3+12)=0，即—=(t+1)lnt,a設(shè)h(t)=(t+1)lnt(t>1)，則h(t)=lnt+1+1,t顯然，當(dāng)t〉1時(shí)，h(t)>0,即h(t)在(1,+8)上為增函數(shù),

???h（t）的值域?yàn)椋╤（1）,+8），即（0,+8）,?當(dāng)a〉0時(shí)，方程（*）總有解.???對任意給定的正實(shí)數(shù)a,曲線y=F（x）上總存在兩點(diǎn)P,Q，使得APOQ是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上.16分?jǐn)?shù)學(xué)11（附加題）【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡.指.定.區(qū).域.內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.選修4-1:幾何證明選講如圖，00的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P,E為00上一點(diǎn)，AE=AC,求證…【解析】因AE=AC,AB為直徑，故Z0AC=Z0AE.2(第21(A)題)分TOC\o"1-5"\h\z所以ZP0C=Z0AC+Z0CA=Z0AE+Z0AC=ZEAC,6分又ZEAC=ZPDE,8分所以ZPDE=ZP0C.10分選修4-2:矩陣與變換【解析】TA=1_21_211_向量￡2【解析】TA=1_21_211_向量￡2〕11「11」，山|_2A2a求向量a,使得A2a=B.T1」=[3211」1_21」1_43」3分「3Bo1_423_「x1_y_T「3x+2y「T=o=2L4x＋3y」2即8分3x+2y8分4x+3y=2,x=一1,解得ly=2,「一11a=.10L2」1515選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,直線在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為〔y*（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的0點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為P=2cos[°—nnj.若直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長度.【解析】直線l的直角坐標(biāo)方程為y=豐，3分P=2cos|°圓心俘到直線l的距離d=P=2cos|°圓心俘到直線l的距離d=xn）一—力的直角坐標(biāo)方程為+y—=1，8分8分10分選修4-5:不等式選講若正數(shù)a,b，c滿足a+b+c=1，求3a^2^3b+2^3C+2的最小值?【解析】因?yàn)檎龜?shù)a,b，c滿足a+b+c=l.所以^3a+2^3b+2^3c+2y[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]^(1+1+1)2，6即3a+2+3b+2+3c+2^1'當(dāng)且僅當(dāng)3a+2=3b+2=3c+2，即a=b=c=|時(shí)，原式取最小值1.10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖?題.卡.指.定.區(qū).域.內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（本小題滿分10分）甲、乙、丙三人商量周末自駕游，甲提議去六朝古都南京，乙提議去江南水鄉(xiāng)無錫，丙表示隨意．最終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果．規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上，則甲得一分、乙得零分；若反面朝上，則乙得一分、