常微分方程課件-常數(shù)變易法

§1.4線性方程與常數(shù)變易法

§1.4線性方程與常數(shù)變易法

一階線性微分方程一階線性微分方程一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)例1

求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫為首先,求齊次方程的通解從分離變量得兩邊積分得例1求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫為首先,求齊故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即積分得故通解為故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,例2

求方程通解.解:但將它改寫為即故其通解為例2求方程通解.解:但將它改寫為即故其通解為例3

求初值問題的解.解:先求原方程的通解例3求初值問題的解.解:先求原方程的通解故所給初值問題的通解為故所給初值問題的通解為形如的方程,稱為伯努利方程.解法:形如的方程,稱為伯努利方程.解法:(雅各布第一·

伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年《猜度術(shù)》,則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出版了他的巨著這是組合數(shù)學(xué)與概率論史上的一件大事,此外,他對(duì)雙紐線,懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究.(雅各布第一·伯努利)書中給出的伯努利數(shù)在很多地方例4

求方程的通解.解:解以上線性方程得例4求方程的通解.解:解以上線性方程得例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動(dòng)勢(shì)E均為常數(shù),試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.

二線性微分方程的應(yīng)用舉例電路的Kirchhoff第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.

例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串則電流經(jīng)過電感L,電阻R的電壓降分別為

解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到

設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t),取開關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻為0,得通解為:則電流經(jīng)過電感L,電阻R的電壓降分別為故當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為故當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為例2湖泊的污染設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，這些廢水流入一個(gè)湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時(shí).開始湖中有水400000立方米.河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時(shí),湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小時(shí),求該廠排污1年時(shí),湖泊水中鹽酸的含量.解:設(shè)t時(shí)刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為考慮內(nèi)湖泊中鹽酸的變化.例2湖泊的污染設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg因此有該方程有積分因子兩邊同乘以后,整理得因此有該方程有積分因子兩邊同乘以后,整理得積分得利用初始條件得故積分得利用初始條件得故§1.4線性方程與常數(shù)變易法

§1.4線性方程與常數(shù)變易法

一階線性微分方程一階線性微分方程一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法一一階線性微分方程的解法-----常數(shù)變易法代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)代入(1)得積分得注求(1)的通解可直接用公式(3)例1

求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫為首先,求齊次方程的通解從分離變量得兩邊積分得例1求方程通解,這里為n常數(shù)解:將方程改寫為首先,求齊故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,即積分得故通解為故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為其次應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,例2

求方程通解.解:但將它改寫為即故其通解為例2求方程通解.解:但將它改寫為即故其通解為例3

求初值問題的解.解:先求原方程的通解例3求初值問題的解.解:先求原方程的通解故所給初值問題的通解為故所給初值問題的通解為形如的方程,稱為伯努利方程.解法:形如的方程,稱為伯努利方程.解法:(雅各布第一·

伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年《猜度術(shù)》,則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出版了他的巨著這是組合數(shù)學(xué)與概率論史上的一件大事,此外,他對(duì)雙紐線,懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究.(雅各布第一·伯努利)書中給出的伯努利數(shù)在很多地方例4

求方程的通解.解:解以上線性方程得例4求方程的通解.解:解以上線性方程得例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動(dòng)勢(shì)E均為常數(shù),試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.

二線性微分方程的應(yīng)用舉例電路的Kirchhoff第二定律:在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.

例5R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串則電流經(jīng)過電感L,電阻R的電壓降分別為

解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到

設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t),取開關(guān)閉合時(shí)的時(shí)刻為0,得通解為:則電流經(jīng)過電感L,電阻R的電壓降分別為故當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為故當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度為例2湖泊的污染設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，這些廢水流入一個(gè)湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時(shí).開始湖中有水400000立方米.河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時(shí),湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小時(shí),求該廠排污1年