數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論與計(jì)算實(shí)例

摘要本文采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)麥秸稈的燃燒熱值數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，首先對(duì)燃燒數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)整理，給出燃燒數(shù)據(jù)的頻率和頻數(shù)的分布表，并畫出相應(yīng)的直方圖和折線圖。其次，假定熱值數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)總體，對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，包括矩估計(jì)和最大似然估計(jì)，接著研究當(dāng)數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布時(shí)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。然后對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的區(qū)間估計(jì)，包括“方差未知時(shí)數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間”和“數(shù)學(xué)期望，均未知時(shí)方差的置信區(qū)間”兩種情況，當(dāng)然這些區(qū)間估計(jì)都是都是建立在數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的情況下，如果熱值數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，要給出探求分布的方案。在接下來(lái)就是對(duì)其進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)，參數(shù)檢驗(yàn)包括：t檢驗(yàn)和檢驗(yàn)，非參數(shù)檢驗(yàn)就是指擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，最后給出相應(yīng)的結(jié)論。關(guān)鍵字：正態(tài)分布；參數(shù)估計(jì)；區(qū)間估計(jì)；假設(shè)檢驗(yàn)AbstractInthisarticle,weusethemethodofmathematicalstatisticstoanalysetheheatofcombustionofwheatstrawdata.Firsttidyingthedataofcombustion,givingthetableaboutfrequencyandthefrequencydistributionfromthenumberofcombustiondata,anddrawingthecorrespondinghistogramandlinecharts.Second,assumingthatthecalorificvalueofthedatafromthenormalpopulation,andtheestimatingparameters,includingmomentestimationandmaximumlikelihoodestimation,thenstudythemwhenthedatadoesnotfollowanormaldistribution.Thenitscorrespondingintervalestimates,includingthevarianceunknownmathematicalexpectationoftheconfidenceintervalandmathematicalexpectation,confidenceintervalsareunknownvariancebothcases,ofcourse,theseintervalsareestimatedarebasedindataobeypositivestatedistributioncase,iftheheatvaluedatadonotfollowanormaldistribution,toexplorethedistributionoftheprogramisgiven.Thenextstepistoitsparametrictestsandnon-parametrictests,parametrictestsincluding:t-testandtest,nonparametrictestsisthegoodnessoffittest,andfinallygivesthecorrespondingconclusions.Keywords:Normaldistribution;Parameterestimation;Intervalestimation;Hypothesistesting目錄TOC\o"1-3"\h\u9953前言 前言隨著當(dāng)今社會(huì)不斷的發(fā)展，能源消耗越來(lái)越多，能源供給問題越來(lái)越嚴(yán)重，伴隨而來(lái)的環(huán)境污染問題也逐步為人們所重視。理所應(yīng)當(dāng)?shù)?，尋求潔凈、安全的可持續(xù)能源成為了人類目前的一個(gè)重大課題。2006年1月11日，國(guó)務(wù)院總理溫家寶主持召開常務(wù)會(huì)議，經(jīng)過審議并原則通過《煉油工業(yè)中長(zhǎng)期發(fā)展專項(xiàng)規(guī)劃》和《乙烯工業(yè)中長(zhǎng)期發(fā)展專項(xiàng)規(guī)劃》。會(huì)議指出，煉油和乙烯工業(yè)還存在著資源供應(yīng)能力不足、產(chǎn)業(yè)布局不合理、產(chǎn)業(yè)集中度低、技術(shù)創(chuàng)新能力不強(qiáng)、低水平生產(chǎn)能力過大以及企業(yè)及產(chǎn)業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力弱等問題。專家指出，我國(guó)能源產(chǎn)業(yè)將長(zhǎng)期面臨供應(yīng)乏力、浪費(fèi)嚴(yán)重和結(jié)構(gòu)畸形等諸多問題。2002年以來(lái)我國(guó)高能耗產(chǎn)業(yè)擴(kuò)張速度驚人，但國(guó)內(nèi)一次能源生產(chǎn)總量?jī)H增長(zhǎng)11%，其中原油只增長(zhǎng)了1.8%。今后幾年，我國(guó)原油產(chǎn)量上限為1.8億t/a~2.0億t/a，而2020年估計(jì)消費(fèi)量將高達(dá)5億t，對(duì)外依存度將逾60%，高于美國(guó)目前50%的水平。石油短缺、油價(jià)飚升引發(fā)了替代能源熱。我國(guó)化石類能源儲(chǔ)量中，煤炭占92%，石油2.9%，天然氣僅0.2%。因此，“煤制油”成為領(lǐng)頭羊。號(hào)稱“全球首個(gè)”的神華集團(tuán)煤制烯烴工程也在包頭奠基，包括項(xiàng)目煤制甲醇、甲醇制丙烯以及聚丙烯等。上述煤制油、煤制烯烴項(xiàng)目動(dòng)輒投資數(shù)百億元，需要相當(dāng)長(zhǎng)的周期回籠資金。[1][2]生物質(zhì)能資源的儲(chǔ)備豐富、可再生等優(yōu)點(diǎn)使其越來(lái)越受到人們的廣泛關(guān)注。生物質(zhì)儲(chǔ)存量極大，盲目地燃燒不僅浪費(fèi)資源而且也污染了環(huán)境，如果采取合理的方法使其壓縮成型，從而成為一種鍋爐燃料，可極大緩解我國(guó)目前或潛在的能源危機(jī)。麥秸稈作為一種典型生物質(zhì)能源，不僅具備生物質(zhì)能源的優(yōu)點(diǎn)，而且麥秸稈基本存在于農(nóng)田之中，只要政策得當(dāng)，那么開發(fā)費(fèi)用相較于其他能源會(huì)有較大的競(jìng)爭(zhēng)力。收集完成后通過粉碎處理、堿處理、干燥、熱值分析、工業(yè)和元素分析等研究步驟，可對(duì)麥秸稈有更加深入的了解。本文就著眼于利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法分析麥秸稈燃燒的熱值，從而研究這種典型的生物質(zhì)能源替代煤等礦物燃料的潛力。1采集樣本及數(shù)據(jù)整理1.1數(shù)據(jù)的搜集方法及說(shuō)明實(shí)驗(yàn)室對(duì)麥秸稈進(jìn)行發(fā)熱量測(cè)定時(shí)，產(chǎn)生約120組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，下面研究的數(shù)據(jù)就來(lái)源于此，測(cè)定的數(shù)據(jù)在排除儀器問題的情況下，基本準(zhǔn)確可靠。1.1.1數(shù)據(jù)分析用儀器SXHW—2型數(shù)顯恒溫量熱儀。鶴壁市儀表廠有限責(zé)任公司。如圖1。BT25S型分析天平。Max=21g，d=0.01mg。如圖2。圖圖1SXHW—2型數(shù)顯恒溫量熱儀Fig1SXHW-2-baseddigitaltemperaturecalorimeter圖2BT25S型分析天平Figure2BT25Stypeanalyticalbalance1.1.2燃燒熱值測(cè)試方法先用壓餅機(jī)將標(biāo)準(zhǔn)重量的試樣壓成塊狀，再將把塊放在一個(gè)不銹鋼坩堝中，試樣下面墊有棉線，上方纏繞金屬絲，完成后把坩堝放入不銹鋼彈筒中，旋緊彈帽，然后往鋼彈筒中充入氧氣，壓力約達(dá)2.0Mpa，再把它放進(jìn)盛有一定量水的橢圓筒內(nèi)，使彈筒浸沒在水中，再把放有彈筒的橢圓形內(nèi)筒放進(jìn)儀器的雙層水套筒中，當(dāng)通電點(diǎn)燃筒內(nèi)的試樣后，根據(jù)水溫的上升和量熱系統(tǒng)（包括水筒、鋼彈）的熱容量，即可計(jì)算出試樣的發(fā)熱量。1.2燃燒數(shù)據(jù)整理為了方便對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析，首先要整理數(shù)據(jù)，得出相應(yīng)的頻率和頻數(shù)等較簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)，以方便對(duì)其進(jìn)一步深入研究。1.2.1直觀數(shù)據(jù)整理表1試樣的發(fā)熱量(kJ/g)Table1Caloricvalueofsamples(kJ/g)17.1120.3917.3518.3418.0619.2719.7117.2218.3317.8619.1419.7212.7717.4321.1920.0418.8619.0515.1812.1517.2720.6716.3918.8519.2617.0917.8614.8616.1419.6818.9018.0818.7621.9817.7119.6114.3119.9120.6815.3922.2119.9017.1218.0119.9419.6520.3820.3619.3120.1517.6420.1018.9618.4816.1215.4719.7018.4118.2916.8819.5717.9819.1017.3916.8818.2418.9219.0415.7317.3717.1520.7518.2417.9420.7620.6417.5414.3520.9214.9818.5418.0321.0213.1418.4619.3118.8322.5819.4016.5217.3119.3119.0717.3817.5414.9820.7120.7119.4918.0418.0021.0617.6317.3019.8017.5917.9419.3818.2620.5920.5917.1017.1717.5419.4417.7816.8017.9317.1118.321.2.2頻數(shù)和頻率分布表樣本中：最小值X(1)=12.15；最大值為X（n）=22.58；可以取a=12.145，b=22.585；全距L=22.585-12.145=10.44。一般規(guī)律（n為數(shù)據(jù)量，k為組數(shù)）故取k=10。等組距（）：表2燃燒數(shù)據(jù)頻率、頻數(shù)、累計(jì)頻率分布表Table2frequency、absoluterfrequencyandcumulativefrequencyfromburndata組序范圍區(qū)間頻數(shù)

Ni頻率

Wj=fj/n累計(jì)頻率

Fj1(12.145,13.195]30.0250.0252(13.195,14.245]00.0000.0253(14.245,15.295]60.0500.0754(15.295,16.345]50.0420.1175(16.345,17.395]200.1670.2846(17.395,18.445]290.2410.5257(18.445,19.495]240.2000.7258(19.495,20.545]170.1420.8679(20.545,21.595]130.1080.97510(21.595,22.645]30.0251.0001.3燃燒數(shù)據(jù)直方圖圖3燃燒數(shù)據(jù)直方圖Fig3Thehistogramofburndata根據(jù)表2中的燃燒數(shù)據(jù)頻率，可生成如圖3所示的燃燒數(shù)據(jù)直方圖，該圖比較特殊的地方在于第二組沒有數(shù)據(jù)，這可能是因?yàn)槲宜玫降臄?shù)據(jù)不夠多，不能完整的描述其中的規(guī)律。圖4燃燒數(shù)據(jù)折線圖Fig4Thepolygramofburndata同樣，該燃燒數(shù)據(jù)折線圖也是根據(jù)圖2中的頻率，利用excel軟件生成的，就整體而言雖存在些許波動(dòng)，但趨勢(shì)亦表現(xiàn)的很明顯，先增大后減小，在第6組的時(shí)候達(dá)到高峰。圖5燃燒數(shù)據(jù)累計(jì)頻率折線圖Fig5Thepolygramofcumulativefrequency利用表2中燃燒數(shù)據(jù)的累計(jì)頻率可得如圖5所示的累計(jì)頻率折線圖，在該圖中，從第4組到第7組增大的加速度較大，兩側(cè)則趨于平緩。1.4經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)用X表示麥秸稈燃燒數(shù)據(jù)總體，X1,X2,……，Xn是來(lái)自總體X的樣本，樣本的順序統(tǒng)計(jì)量為（n=120），對(duì)于任何實(shí)數(shù)X，稱下式為總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。其對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布圖如下：圖6經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖Fig6thegraphofempiricaldistribution2假定總體服從正態(tài)分布，給出，的估計(jì)假定總體服從正態(tài)分布，顯然我們的抽樣樣本容量n=120。2.1矩估計(jì)法數(shù)學(xué)期望：即，。故的矩估計(jì)量為。方差：即，。故的矩估計(jì)量為。2.2最大似然估計(jì)X的密度函數(shù)為：所以與的似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)得令，解得所以與的極大似然估計(jì)量為，2.3若總體不是正態(tài)分布請(qǐng)?zhí)角笃鋮?shù)估計(jì)，并寫出方案若該樣本數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，而從圖形看，可假定其服從泊松分布。泊松分布的概率密度為：可令，則有：由于，所以由上式可得：①矩估計(jì)法：令，即，則②最大似然估計(jì)：令似然函數(shù)為，則有即，。3參數(shù)區(qū)間估計(jì)假設(shè)總體服從正態(tài)分布。對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)區(qū)間估計(jì)。而粗略的講，參數(shù)的區(qū)間估計(jì)其實(shí)就是尋找一個(gè)值域，期望該值域包含參數(shù)的真實(shí)值。3.1方差未知，求數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間①選擇t作為樣本函數(shù)，②給定置信水平：0.95，使根據(jù)自由度n-1和0.95的置信水平，從t-分布表查出分位數(shù)為則上式等價(jià)于③μ的隨機(jī)置信區(qū)間：μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為④μ的確定置信區(qū)間：由樣本可知：n=120，=18.34，s=1.90。取上分位數(shù)=0.05，則查表可得=1.9801經(jīng)計(jì)算得μ的置信水平為0.95的確定置信區(qū)間為:[18.00，18.68]，而μ=18.34，顯然位于置信區(qū)間內(nèi)。3.2數(shù)學(xué)期望，均未知，求方差的置信區(qū)間①選擇G作為樣本函數(shù)，②給出置信水平0.95，使③則的置信水平為0.95的隨機(jī)置信區(qū)間為：④顯然的置信水平為0.95的確定置信區(qū)間為：有樣本可知：n=120，s2=3.60根據(jù)置信水平0.95和自由度119，從分布表查出分位數(shù)==90.6996==151.0844經(jīng)計(jì)算的置信水平為0.95的確定置信區(qū)間為：[2.84，4.72]，顯然=3.6位于置信區(qū)間內(nèi)。4參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)4.1樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的t檢驗(yàn)設(shè)總體服從正態(tài)分布N(，)，其中參數(shù)，均未知，方差未知的情況下，對(duì)數(shù)學(xué)期望進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)：①原假設(shè)和備擇假設(shè)（雙邊假設(shè)）其中為已知常量18.01。②選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)原假設(shè)為真，方差未知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：服從自由度為119的t-分布，即。其中為樣本差。③確定拒絕域給定顯著性水平=0.05，使由上文可知=1.9801顯然拒絕域?yàn)椋孩軝z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值：⑤判斷：顯然，即觀察值未落在拒絕域中，接受原假設(shè)。4.2數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)設(shè)總體服從正態(tài)分布N(，)，其中參數(shù)，均未知，對(duì)方差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。①原假設(shè)和備擇假設(shè)其中為已知常數(shù)。②選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中為樣本差。③確定拒絕域給定顯著性水平=0.05，使從分布表查出臨界值為，，則拒絕域?yàn)榛?。由分布表知：則拒絕域?yàn)椋孩苡?jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值：⑤作判斷顯然的值為落在拒絕中，故接受原假設(shè)。

5非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)（擬合優(yōu)度檢驗(yàn)或K—S檢驗(yàn)）一般地，樣本來(lái)自正態(tài)總體，樣本數(shù)據(jù)滿足隨機(jī)性和獨(dú)立性。然而，對(duì)有些情形，總體分布不知道，這時(shí)檢驗(yàn)問題限定的假設(shè)條件弱一些，如只要求樣本的隨機(jī)性、獨(dú)立性，樣本來(lái)自同一總體。換句話說(shuō)，對(duì)總體分布不作任何假設(shè)，至多假設(shè)總體服從連續(xù)分布。像這種不取決于總體分布類型的檢驗(yàn)稱為非參數(shù)性的假設(shè)檢驗(yàn)。5.1擬合優(yōu)度檢驗(yàn)或K—S檢驗(yàn)由圖3可看出，粗略認(rèn)為麥秸稈燃燒熱值服從正態(tài)分布，假定顯著性水平=0.05。①原假設(shè)和備擇假設(shè)為：不真其中，均為未知參數(shù)，，的極大似然估計(jì)值分別為，②以表2為基礎(chǔ)，原假設(shè)為真時(shí)，隨機(jī)變量X落在各小區(qū)間的概率為，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：③等價(jià)檢驗(yàn)假設(shè)：計(jì)算結(jié)果列入下表中：表3熱值數(shù)據(jù)分析表Table3theanalysistableofcalorificdata組序熱值區(qū)間頻數(shù)

NiPi0n*Pi0(Ni-n*Pio)^2/nPio1(12.145,13.195]30.00340.40818.24902(13.195,14.245]00.01201.4403(14.245,15.295]60.03944.7284(15.295,16.345]50.092111.0523.31405(16.345,17.395]200.161619.3920.01916(17.395,