《勾股定理》典型練習(xí)題73299

PAGEPAGE18第18頁—總NUMPAGES18頁《勾股定理》典型例題分析一、知識(shí)要點(diǎn)：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。公式的變形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且滿足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時(shí)，同學(xué)們要注意處理好如下幾個(gè)要點(diǎn)：已知的條件：某三角形的三條邊的長(zhǎng)度.②滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方.③得到的結(jié)論：這個(gè)三角形是直角三角形，并且最大邊的對(duì)角是直角.④如果不滿足條件，就說明這個(gè)三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：①勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3，4，5

）(5，12，13

)(

6，8，10

)

(

7，24，25

)

(

8，15，17

)(9，12，15

)

4、最短距離問題：主要運(yùn)用的依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短。二、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長(zhǎng)方形；（3）陰影部分是半圓．2.如圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系．3、如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是S1、S2、S3，則它們之間的關(guān)系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S14、四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。5、在直線上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是、=_____________?？键c(diǎn)二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊 1．在直角三角形中,若兩直角邊的長(zhǎng)分別為1cm，2cm，則斜邊長(zhǎng)為．2．（易錯(cuò)題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3、2，則另一條邊長(zhǎng)的平方是3、已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，求斜邊上的高．4、把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來的（）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍5、在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，則c=___________；②若a=15，c=25，則b=___________；③若c=61，b=60，則a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10則Rt△ABC的面積是=________。6、如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，2n（n>1），那么它的斜邊長(zhǎng)是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、7、在Rt△ABC中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是（）A.B.C.D.以上都有可能8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A、24 B、36 C、48 D、609、已知x、y為正數(shù)，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（） A、5 B、25 C、7 D、15考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖1所示，等腰中，，是底邊上的高，若，求①AD的長(zhǎng)；②ΔABC的面積．考點(diǎn)四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，172、若線段a，b，c組成直角三角形，則它們的比為（）A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶73、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為8，15，17．其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有（）．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4、若三角形的三邊之比為，則這個(gè)三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等邊三角形5、已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù),得到的三角形是()A．鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7、若△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足試判斷△ABC的形狀。8、△ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為，此三角形為。例3：求（1）若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7,24,25，則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是度。（2）已知三角形三邊的比為1：：2，則其最小角為。

考點(diǎn)五:應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯?jiǎn)栴}某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，，，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為

．考點(diǎn)六、利用列方程求線段的長(zhǎng)（方程思想）ABC１、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開ABC2、一架長(zhǎng)2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4，那么梯子底端將向左滑動(dòng)米3、如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動(dòng)距離1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵樹10m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20m處的池塘A處；另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？60120140B60120140B60AC第5題圖76、如圖：有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了米．7、如圖18-15所示，某人到一個(gè)荒島上去探寶，在A處登陸后，往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km就找到了寶藏，問：登陸點(diǎn)（A處）到寶藏埋藏點(diǎn)（B處）的直線距離是多少？圖18-15圖18-15考點(diǎn)七：折疊問題1、如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD等于（）A.B.C.D.2、如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的長(zhǎng)．3、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。AABCEFD4、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC=5，在DC邊上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把△ABC折疊，使點(diǎn)D恰好在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若△ABF的面積為30，求折疊的△AED的面積5、如圖，矩形紙片ABCD的長(zhǎng)AD=9㎝，寬AB=3㎝，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長(zhǎng)是多少？6、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，將ABC沿AC對(duì)折至AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。（1）試說明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長(zhǎng)7、如圖2所示，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D正好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=3cm，AB=8cm，則圖中陰影部分面積為_______．8、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面積為________．9、如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，求證：DE：DM：EM=3：4：5。10、如圖2-5，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，若將該矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折疊后痕跡EF的長(zhǎng)為（）A．3.74B．3.75C．3.76D．3.772-511、如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板ABCD，長(zhǎng)為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.②再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2cm？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)你說明理由.12、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長(zhǎng)。

13、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？

考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為2、已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是．考點(diǎn)九、圖形問題1、如圖1，求該四邊形的面積2、如圖2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，則邊BC的長(zhǎng)為．3、某公司的大門如圖所示,其中四邊形ＡＢＣＤ是長(zhǎng)方形,上部是以ＡＤ為直徑的半圓,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車,高為2.5ｍ,寬為1.6ｍ,問這輛卡車能否通過公司的大門?并說明你的理由.4、將一根長(zhǎng)24㎝的筷子置于地面直徑為5㎝，高為12㎝的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為h㎝，則h的取值范圍。5、如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處？考點(diǎn)十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求這塊地的面積?？键c(diǎn)十一：與展開圖有關(guān)的計(jì)算1、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A’B’C’D’的表面上，求從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C’的最短距離．2、如圖一個(gè)圓柱，底圓周長(zhǎng)6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

考點(diǎn)十二、航海問題1、一輪船以16海里/時(shí)的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時(shí)后，它們相距________海里．2、如圖，某貨船以24海里／時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險(xiǎn)？試說明理由。3、如圖，某沿海開放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向260km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=100km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？考點(diǎn)十三、網(wǎng)格問題1、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是（）A．0B．1C．2D．32、如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則△ABC是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(duì)3、如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是()A．25B.12.5C.9D.8.5（圖1）（圖2）（圖3）4、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫三角形：①使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、、（在圖甲中畫一個(gè)即可）；②使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個(gè)即可）．課后練習(xí)一、填空題（每題3分，共24分）1．三角形的三邊長(zhǎng)分別為a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整數(shù)），則這個(gè)三角形是（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定2．若△ABC的三邊a、b、c滿足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，則△ABC的面積是（）A.338B.24C.26D.303．若等腰△ABC的腰長(zhǎng)AB＝2，頂角∠BAC＝120°，以BC為邊的正方形面積為（）A.3B.12C.D.4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A.42B.32C.42或32D.37或335．直角三角形三條邊的比是3∶4∶5.則這個(gè)三角形三條邊上的高的比是（）A.15∶12∶8B.15∶20∶12C.12∶15∶20D.20∶15∶126．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個(gè)半圓的面積等于（）A.B.C.D.25π7．如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm圖1D圖1D16cm18cm圖2BA8．如圖2，一個(gè)圓桶兒，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲底部點(diǎn)A爬到上底B處，則小蟲所爬的最短路徑長(zhǎng)是（π取3）（）A.20cmB.30cmC.40cmD.50cm二、填空題（每小題3分，共24分）9．在△ABC中，若其三條邊的長(zhǎng)度分別為9、12、15，則以兩個(gè)這樣的三角形所拼成的長(zhǎng)方形的面積是＿＿＿．10．某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要（）北南A東第12題圖A、450a元 B、225a元 北南A東第12題圖AABEFDC第11題圖150150°20m30m第10題圖11．已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm212．已知，如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（）A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里13.．一個(gè)長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是3、4、12，則這個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)能容下的最長(zhǎng)的木棒為＿＿＿.14．在△ABC中，∠C＝