高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件

高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院韓繼偉高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院1報(bào)告提綱一、PCK是教師所特有的知識(shí)二、學(xué)科知識(shí)是PCK的基礎(chǔ)——學(xué)科知識(shí)的第一個(gè)內(nèi)涵——學(xué)科知識(shí)的第二個(gè)內(nèi)涵報(bào)告提綱2一、什么是PCK?美國(guó)學(xué)者Shulman(1986,1987)學(xué)科教學(xué)知識(shí)(pedagogicalcontentknowledge)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（mathematicspedagogicalcontentknowledge）一、什么是PCK?美國(guó)學(xué)者Shulman(1986,19873為什么提出PCK的概念？

Hewhocan,does.Hewhocannot,teaches.——GeorgeBernardShaw“ManandSuperman”為什么提出PCK的概念？4什么是教師所特有的知識(shí)？PCK是教師所特有的專(zhuān)業(yè)知識(shí)教學(xué)不是低等的研究

教師不是低等的研究者教師和律師、醫(yī)生一樣是專(zhuān)業(yè)人士什么是教師所特有的知識(shí)？PCK是教師所特有的專(zhuān)業(yè)知識(shí)5案例1：馬小跳愛(ài)科學(xué)地球表面的熱量基本都來(lái)自太陽(yáng)，太陽(yáng)的位置決定著地面接受光熱的多少。陽(yáng)光直射，地球接收光熱就多；陽(yáng)光斜射，地球接收光熱就少。因?yàn)榈厍蚴菄@太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的，太陽(yáng)射向地球的入射角年而復(fù)始地在南北回歸線(xiàn)之間移動(dòng)，就形成了一年中四個(gè)不同的季節(jié)。案例1：馬小跳愛(ài)科學(xué)地球表面的熱量基本都來(lái)自太陽(yáng)，太6幼兒最好奇的十萬(wàn)個(gè)為什么地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的過(guò)程中，地軸始終與軌道面傾斜成一定的夾角。地球表面不同地點(diǎn)的太陽(yáng)高度不同。太陽(yáng)高時(shí)，太陽(yáng)直射，日照時(shí)間長(zhǎng)，晝長(zhǎng)夜短，氣溫升高，是夏季。反之，太陽(yáng)高度小時(shí)，陽(yáng)光斜射，日照時(shí)間短，晝短夜長(zhǎng)，氣溫低，是冬季。幼兒最好奇的十萬(wàn)個(gè)為什么地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的過(guò)程中，地軸7高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件8研究和教學(xué)的差別是什么？研究是什么？教學(xué)是什么？教師特有的思維方式是什么？研究和教學(xué)的差別是什么？研究是什么？9案例2：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式案例2：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式10高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件11高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件12高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件13=梯形面積_a_n_n_(n-1)d_n_a_1_a_1公式的記憶=梯形面積_a_n_n_(n-1)d_n_a_1_a_1公式14問(wèn)題討論：上面這兩種設(shè)計(jì)的差別是什么？問(wèn)題討論：15數(shù)學(xué)教學(xué)是什么？數(shù)學(xué)教學(xué)是詮釋,是連貫的故事Shulman（1986）提出的PCK：教師所擁有的圖解、例子、比喻等一切使學(xué)生學(xué)習(xí)變得更容易的知識(shí)。

數(shù)學(xué)教學(xué)是什么？數(shù)學(xué)教學(xué)是詮釋,是連貫的故事16問(wèn)題討論：為什么面積公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式契合？這是巧合嗎？問(wèn)題討論：17高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件18高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件19測(cè)量的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)度面積體積測(cè)量：將實(shí)物的某一屬性變成數(shù)字測(cè)量的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)度20二、學(xué)科知識(shí)是PCK的基礎(chǔ)PCK是理解基礎(chǔ)上的有聯(lián)系的表征，它的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。如果數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)不強(qiáng)，不可能產(chǎn)生有創(chuàng)意的教學(xué)設(shè)計(jì)。一般教學(xué)知識(shí)(PK)也是PCK的知識(shí)基礎(chǔ)二、學(xué)科知識(shí)是PCK的基礎(chǔ)21高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件22高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件23

人教B版：正態(tài)分布

人教B版：正態(tài)分布

24高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件25高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件26為什么說(shuō)前者是數(shù)學(xué)，后者是統(tǒng)計(jì)學(xué)？統(tǒng)計(jì)學(xué)是一系列可用于描述、整理和解釋數(shù)據(jù)的工具和技術(shù)?！稅?ài)上統(tǒng)計(jì)學(xué)》統(tǒng)計(jì)學(xué)是搜集、分析、表述和解釋數(shù)據(jù)的科學(xué)——《大不列顛百科全書(shū)》為什么說(shuō)前者是數(shù)學(xué)，后者是統(tǒng)計(jì)學(xué)？統(tǒng)計(jì)學(xué)是一系列可用于描述、27各種刻畫(huà)數(shù)據(jù)的方式的優(yōu)劣原始數(shù)據(jù)直方圖密度函數(shù)各種刻畫(huà)數(shù)據(jù)的方式的優(yōu)劣原始數(shù)據(jù)28人教A版：正態(tài)分布人教A版：正態(tài)分布29高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件30高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件31正態(tài)分布教材的啟發(fā)：——數(shù)學(xué)教學(xué)的表達(dá)來(lái)自對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解——我們不僅需要微觀(guān)地觀(guān)察世界，也需要宏觀(guān)地觀(guān)察世界：生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件32案例4：反函數(shù)的另一種理解求反函數(shù)想不通的是什么？數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)求導(dǎo)的啟發(fā)：從方程看函數(shù)y=f(x)的進(jìn)一步理解為什么高中的反函數(shù)定義想不通案例4：反函數(shù)的另一種理解求反函數(shù)33從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容34中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)是什么？教師重視解題練習(xí)，學(xué)生雙基扎實(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的合理性是什么？中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足是什么？這種不足的根源是什么？——播亮數(shù)學(xué)的火焰——數(shù)學(xué)不僅僅是解題物理諾貝爾獎(jiǎng)得主費(fèi)曼談巴西的物理教學(xué)中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)是什么？教師重視解題練習(xí)，學(xué)生雙基扎實(shí)35撥亮數(shù)學(xué)的火焰(人民日?qǐng)?bào))

中國(guó)科技大學(xué)研究生部教授著名數(shù)學(xué)教育家馮克勤

本世紀(jì)特別是近50年來(lái)，數(shù)學(xué)有了極大的發(fā)展。這些年，許多學(xué)校在開(kāi)設(shè)新課介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)方面也作了努力，但是從整體上講，與其他學(xué)科相比，在知識(shí)結(jié)構(gòu)更新方面，我以為數(shù)學(xué)是做得最差的。我們高中學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)大約達(dá)到了17世紀(jì)的數(shù)學(xué)水平，工科大學(xué)生的主要數(shù)學(xué)課———微積分、線(xiàn)性代數(shù)和數(shù)理方程則是18和19世紀(jì)的數(shù)學(xué)，連數(shù)學(xué)系大學(xué)生畢業(yè)時(shí)，對(duì)本世紀(jì)的數(shù)學(xué)也沒(méi)有一個(gè)概念。技術(shù)領(lǐng)域的課程更新較快，其他自然科學(xué)課程更新也比較容易，似乎唯獨(dú)數(shù)學(xué)有特殊的困難。這當(dāng)中除了長(zhǎng)期形成的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之外，人們往往強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的連貫性和嚴(yán)密的邏輯性推理體系。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教材或論文寫(xiě)出來(lái)的推理程序常常不是我們?cè)谘芯亢退伎紨?shù)學(xué)時(shí)的思維程序，甚至兩者完全相反。如果只看證明邏輯，學(xué)生沒(méi)有學(xué)到很多東西，他們不知道這個(gè)證明是怎么得來(lái)的；學(xué)習(xí)后，他們自己也仍沒(méi)有研究和創(chuàng)造這類(lèi)新結(jié)果的能力。所以，我們不必把形式化和嚴(yán)格化的東西看得過(guò)于神圣，這不是我們要教給學(xué)生的最本質(zhì)的東西———數(shù)學(xué)的直觀(guān)和形象化。我們常常熱衷于告訴學(xué)生面面俱到的知識(shí)，但不知如何用最少的語(yǔ)言啟發(fā)學(xué)生自己學(xué)習(xí)和思考的能力。我們還常常用學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)來(lái)衡量學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和成績(jī)，但這是不可靠的?，F(xiàn)在各國(guó)都使用筆試考試，但筆試所起的誤導(dǎo)作用恐怕以我國(guó)最甚。實(shí)際上，我們應(yīng)當(dāng)以學(xué)生在討論、作業(yè)等方面的日常表現(xiàn)作為考核學(xué)生的主要依據(jù)，而考試則主要采用口試方式為好。德國(guó)波恩大學(xué)的期末考試就一直采取口試。由3位教授共同對(duì)每個(gè)學(xué)生面試10到20分鐘。問(wèn)題有指定的，也有像“你對(duì)本課程在學(xué)習(xí)中有什么新想法”之類(lèi)的問(wèn)題。不論學(xué)生講的正確與否，教授們不停地與學(xué)生討論，隨時(shí)問(wèn)一些小問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)正確東西的確認(rèn)程度，或者有多大的能力發(fā)現(xiàn)和改正錯(cuò)誤。最后由3位教授共同給定一個(gè)分?jǐn)?shù)和能相應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生個(gè)性特點(diǎn)的評(píng)語(yǔ)。這樣的考試是辛苦的，但是德國(guó)人對(duì)待他們認(rèn)為是合理和科學(xué)的事情，就一直持有這樣認(rèn)真的態(tài)度。我們的中小學(xué)生在考試中出了一點(diǎn)小錯(cuò)便會(huì)得到一個(gè)不好的分?jǐn)?shù)。這種對(duì)天真幼稚的孩童要求百分之百不出錯(cuò)，不僅過(guò)于殘酷，也違反人類(lèi)實(shí)踐的常規(guī)。在實(shí)踐中，任何人都會(huì)出錯(cuò)，問(wèn)題是培養(yǎng)通過(guò)直覺(jué)和驗(yàn)算如何及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和改正錯(cuò)誤的能力?？傊?，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生將來(lái)工作中運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)真正需要的能力考慮得太少了。據(jù)說(shuō)法國(guó)拓?fù)鋵W(xué)家托姆曾經(jīng)和兩位古人類(lèi)學(xué)家討論：我們的祖先出于什么動(dòng)機(jī)保存了火種。一位古人類(lèi)學(xué)家說(shuō)是由于火可以取暖，另一位則認(rèn)為是由于用火做成的熟食鮮美可口。而托姆則認(rèn)為，人類(lèi)保存火種的最原始動(dòng)機(jī)，是由于在漫漫長(zhǎng)夜中被光彩奪目的火苗所吸引，對(duì)美麗的火焰著了迷。我不想討論托姆的觀(guān)點(diǎn)是否正確，只是聯(lián)想到，我們應(yīng)當(dāng)把怎樣的教員看作是最優(yōu)秀的？我想，倘若你使學(xué)生都有一個(gè)好的分?jǐn)?shù)，那只算是一個(gè)合格的教員；但若學(xué)生們———哪怕只是班里的一小部分———在你的課上對(duì)數(shù)學(xué)著了迷，看到數(shù)學(xué)的火焰光彩奪目，那才是一個(gè)真正優(yōu)秀的教員。

撥亮數(shù)學(xué)的火焰(人民日?qǐng)?bào))

中國(guó)科技大學(xué)研究生部教授著名36“數(shù)的教學(xué)”奧秘小學(xué)：分?jǐn)?shù)初中：無(wú)理數(shù)高中：對(duì)數(shù)“數(shù)的教學(xué)”奧秘小學(xué)：分?jǐn)?shù)37問(wèn)題討論：數(shù)的教學(xué)的難點(diǎn)是什么？問(wèn)題討論：38問(wèn)題討論：分?jǐn)?shù)集合大還是小數(shù)集合大？問(wèn)題討論：39高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件40高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件41高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件42高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件43問(wèn)題1：是不是“事實(shí)上”？整數(shù)和分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是分?jǐn)?shù)嗎？問(wèn)題1：是不是“事實(shí)上”？整數(shù)和分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)44分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？

如果有理數(shù)不是有限十進(jìn)位小數(shù)，那么通過(guò)不斷的作除法能表示為一個(gè)無(wú)限的十進(jìn)位小數(shù)。在這過(guò)程中每次必然有一個(gè)非零的余數(shù)，否則這十進(jìn)位小數(shù)是有限的。在除的過(guò)程中出現(xiàn)的所有不同余數(shù)將是之間的整數(shù)，所以最多只能有q—1個(gè)不同的余數(shù)值，這說(shuō)明任何有理數(shù)的十進(jìn)位小數(shù)表示式是循環(huán)的；開(kāi)始出現(xiàn)有限個(gè)數(shù)碼，隨后同樣的一個(gè)數(shù)碼或一組數(shù)碼將無(wú)限次地再現(xiàn)。分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？

如果有理數(shù)不是有限45問(wèn)題討論：分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)問(wèn)題討論：46問(wèn)題2：有理數(shù)的定義為什么變了？問(wèn)題2：有理數(shù)的定義為什么變了？47萬(wàn)物皆數(shù)：數(shù)與量哲學(xué)家們認(rèn)為世界上的量都可以用數(shù)來(lái)表示。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)可以描述極小極小的量。……用分?jǐn)?shù)可以表示的點(diǎn)是密密麻麻的。任何兩個(gè)分?jǐn)?shù)，無(wú)論多么近，它們之間還有無(wú)窮多個(gè)分?jǐn)?shù)。這么多的數(shù)，居然還不能表示出某些幾何線(xiàn)段的長(zhǎng)度，這一事實(shí)當(dāng)時(shí)的哲學(xué)家感到難以理解。數(shù)的萬(wàn)能的力量被否定了。萬(wàn)物皆數(shù)：數(shù)與量哲學(xué)家們認(rèn)為世界上的量都可以用數(shù)來(lái)表示。因?yàn)?8二千年的探索：測(cè)量過(guò)程所獲得的啟發(fā)假設(shè)數(shù)軸（0，1）上有一點(diǎn)P。我們把這個(gè)區(qū)間分為十等分，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為10-1，并且發(fā)現(xiàn)P在第四個(gè)這樣的區(qū)間內(nèi)，在0.3和0.4之間。我們把0.3到0.4這個(gè)區(qū)間再分成10分，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為10-2，發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)在第四個(gè)這樣的區(qū)間內(nèi)。再把這個(gè)區(qū)間再分成十等分，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為10-3，……。無(wú)論我們?nèi)《啻蟮膎,點(diǎn)P總在區(qū)間In中，這個(gè)In的左端點(diǎn)是十進(jìn)位小數(shù)0.a1a2a3……an,它的右端點(diǎn)是0.a1a2a3……an-1（an+1）,In的長(zhǎng)度為10-n，那么P點(diǎn)就包含在一串十進(jìn)位區(qū)間的區(qū)間套中。二千年的探索：測(cè)量過(guò)程所獲得的啟發(fā)假設(shè)數(shù)軸（0，1）上有一點(diǎn)49中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足成績(jī)：國(guó)際上PISA上海數(shù)學(xué)第一國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌美國(guó)數(shù)學(xué)系的中國(guó)大軍問(wèn)題：對(duì)數(shù)學(xué)的理解，特別是整體理解不夠數(shù)學(xué)不等于解題數(shù)學(xué)更不等于邏輯笛卡爾和牛頓并不僅僅會(huì)解題中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足成績(jī)：50案例5：對(duì)數(shù)案例5：對(duì)數(shù)51高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件52高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件53高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件54高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件55案例6：小學(xué)和高中是有聯(lián)系的案例6：小學(xué)和高中是有聯(lián)系的56如果不教會(huì)這些基本觀(guān)念會(huì)怎么樣？碩士研究生復(fù)試的情景讓我感到了什么是教育的泡沫南京某重點(diǎn)中學(xué)畢業(yè)十周年聚會(huì)，高考平均分96，十年后平均分17.6分教育是什么？如果不教會(huì)這些基本觀(guān)念會(huì)怎么樣？碩士研究生復(fù)試的情景讓我感57二、學(xué)科知識(shí)的內(nèi)容之二：?jiǎn)栴}圖式課改講探究講感悟講活動(dòng)，不敢講訓(xùn)練。探究課二、學(xué)科知識(shí)的內(nèi)容之二：?jiǎn)栴}圖式課改講探究講感悟講活動(dòng)，不敢58從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容59KnowthatKnowhowRyle:理論指導(dǎo)實(shí)踐會(huì)勾股定理和用勾股定理解題是兩回事騎自行車(chē)高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件60波蘭尼：個(gè)人知識(shí)當(dāng)他開(kāi)始向右倒時(shí)，他把車(chē)把轉(zhuǎn)向右，使自行車(chē)行進(jìn)的路線(xiàn)沿著一條曲線(xiàn)偏向右邊。這樣就產(chǎn)生了離心力把騎車(chē)者推向左邊，抵消了把他拉向右邊的向心力。波蘭尼：個(gè)人知識(shí)當(dāng)他開(kāi)始向右倒時(shí)，他把車(chē)把轉(zhuǎn)向右，使自行61課改講探究講感悟講活動(dòng)，不敢講訓(xùn)練。探究課初中數(shù)學(xué)鑲嵌第三難：做不到？？？第三難：做不到？？？62人腦象電腦一樣心理學(xué)：工作記憶（workingmemory）woman考試題目太多，要求學(xué)生解題速度太快。只有自動(dòng)化才能有更多的內(nèi)存去處理其他信息。四則運(yùn)算、分母有理化不會(huì)附小口算要征得家長(zhǎng)同意第三難：做不到？？？人腦象電腦一樣第三難：做不到？？？63已知：過(guò)弦AB的一端B，作一切線(xiàn)BC，過(guò)另一端A作BC的垂線(xiàn)AC與直徑AD。求證：∠DAB=∠BAC重視解題的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的合理性已知：過(guò)弦AB的一端B，作一切線(xiàn)BC，過(guò)另一端A作BC的垂64這是一道和切線(xiàn)有關(guān)的典型題目，在解和圓的切線(xiàn)有關(guān)的題目1的時(shí)候，我通常會(huì)告訴學(xué)生有幾種常見(jiàn)的引輔助線(xiàn)的方法。一個(gè)是連接過(guò)切點(diǎn)的半徑2，這樣就會(huì)有直角3，或者是設(shè)法使用弦切角定理4，引過(guò)切點(diǎn)的弦5，能得到相等的角6。還可以做圓的另一條切線(xiàn)7，利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理8得到兩個(gè)相等的角和兩個(gè)相等的線(xiàn)段9。最后，有切線(xiàn)、割線(xiàn)的時(shí)候10要直接考慮切割線(xiàn)定理11。引出這些輔助線(xiàn)之后就可以通過(guò)定理將切線(xiàn)這個(gè)條件轉(zhuǎn)化成了角和線(xiàn)段（教師T-1-1）。這是一道和切線(xiàn)有關(guān)的典型題目，在解和圓的切線(xiàn)有關(guān)的題目1的時(shí)65切線(xiàn)定理切線(xiàn)長(zhǎng)定理切割線(xiàn)定理弦切角定理行動(dòng)圖式相等線(xiàn)段相等的角直角比例線(xiàn)段提取的命題結(jié)論找相交的切割線(xiàn)連接過(guò)切點(diǎn)的弦做圓的另一切線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)圖2問(wèn)題情境的典型特征已知切線(xiàn)切線(xiàn)定理切線(xiàn)長(zhǎng)定理切割線(xiàn)定理弦切角定理行動(dòng)圖式相等線(xiàn)段相等的66_O_A_D_B_C_O_E_A_D_B_C_O_A_D_B_C_O_E_A_D_B_C67已知：PA是⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，割線(xiàn)PBC交⊙O于B、C兩點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，連PD并延長(zhǎng)交AC于E。求證：AE：EC=PA^2：PC^2已知：PA是⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，割線(xiàn)PBC交⊙O于68得到比例線(xiàn)段相似三角形性質(zhì)定理平行等分線(xiàn)段定理面積的公式行動(dòng)圖式2證三角形相似證平行面積法直接找平行線(xiàn)換項(xiàng)找相似三角形換項(xiàng)找平行線(xiàn)找等底或等高的三角形行動(dòng)圖式1提取的命題結(jié)論直接找相似三角形圖7問(wèn)題情境的典型特征求證線(xiàn)段成比例得到比例線(xiàn)段相似三角形性質(zhì)定理平行等分線(xiàn)段定理面積的公式行動(dòng)69高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件70高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件71經(jīng)驗(yàn)的提升題海戰(zhàn)術(shù)一線(xiàn)教師的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)瞬即逝，應(yīng)該系統(tǒng)化理論化經(jīng)驗(yàn)的提升題海戰(zhàn)術(shù)72報(bào)告總結(jié)PCK是教師所特有的知識(shí)——等差數(shù)列前n項(xiàng)和的設(shè)計(jì)與測(cè)量的聯(lián)系學(xué)科知識(shí)是PCK的基礎(chǔ)——學(xué)科的理解：正態(tài)分布、反函數(shù)、位值制、數(shù)——學(xué)科解題經(jīng)驗(yàn)的提升、問(wèn)題圖式的形成報(bào)告總結(jié)PCK是教師所特有的知識(shí)73

謝謝您的聆聽(tīng)!hanjw617@

74高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院韓繼偉高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院75報(bào)告提綱一、PCK是教師所特有的知識(shí)二、學(xué)科知識(shí)是PCK的基礎(chǔ)——學(xué)科知識(shí)的第一個(gè)內(nèi)涵——學(xué)科知識(shí)的第二個(gè)內(nèi)涵報(bào)告提綱76一、什么是PCK?美國(guó)學(xué)者Shulman(1986,1987)學(xué)科教學(xué)知識(shí)(pedagogicalcontentknowledge)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（mathematicspedagogicalcontentknowledge）一、什么是PCK?美國(guó)學(xué)者Shulman(1986,198777為什么提出PCK的概念？

Hewhocan,does.Hewhocannot,teaches.——GeorgeBernardShaw“ManandSuperman”為什么提出PCK的概念？78什么是教師所特有的知識(shí)？PCK是教師所特有的專(zhuān)業(yè)知識(shí)教學(xué)不是低等的研究

教師不是低等的研究者教師和律師、醫(yī)生一樣是專(zhuān)業(yè)人士什么是教師所特有的知識(shí)？PCK是教師所特有的專(zhuān)業(yè)知識(shí)79案例1：馬小跳愛(ài)科學(xué)地球表面的熱量基本都來(lái)自太陽(yáng)，太陽(yáng)的位置決定著地面接受光熱的多少。陽(yáng)光直射，地球接收光熱就多；陽(yáng)光斜射，地球接收光熱就少。因?yàn)榈厍蚴菄@太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的，太陽(yáng)射向地球的入射角年而復(fù)始地在南北回歸線(xiàn)之間移動(dòng)，就形成了一年中四個(gè)不同的季節(jié)。案例1：馬小跳愛(ài)科學(xué)地球表面的熱量基本都來(lái)自太陽(yáng)，太80幼兒最好奇的十萬(wàn)個(gè)為什么地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的過(guò)程中，地軸始終與軌道面傾斜成一定的夾角。地球表面不同地點(diǎn)的太陽(yáng)高度不同。太陽(yáng)高時(shí)，太陽(yáng)直射，日照時(shí)間長(zhǎng)，晝長(zhǎng)夜短，氣溫升高，是夏季。反之，太陽(yáng)高度小時(shí)，陽(yáng)光斜射，日照時(shí)間短，晝短夜長(zhǎng)，氣溫低，是冬季。幼兒最好奇的十萬(wàn)個(gè)為什么地球在繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的過(guò)程中，地軸81高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件82研究和教學(xué)的差別是什么？研究是什么？教學(xué)是什么？教師特有的思維方式是什么？研究和教學(xué)的差別是什么？研究是什么？83案例2：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式案例2：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式84高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件85高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件86高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件87=梯形面積_a_n_n_(n-1)d_n_a_1_a_1公式的記憶=梯形面積_a_n_n_(n-1)d_n_a_1_a_1公式88問(wèn)題討論：上面這兩種設(shè)計(jì)的差別是什么？問(wèn)題討論：89數(shù)學(xué)教學(xué)是什么？數(shù)學(xué)教學(xué)是詮釋,是連貫的故事Shulman（1986）提出的PCK：教師所擁有的圖解、例子、比喻等一切使學(xué)生學(xué)習(xí)變得更容易的知識(shí)。

數(shù)學(xué)教學(xué)是什么？數(shù)學(xué)教學(xué)是詮釋,是連貫的故事90問(wèn)題討論：為什么面積公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式契合？這是巧合嗎？問(wèn)題討論：91高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件92高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件93測(cè)量的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)度面積體積測(cè)量：將實(shí)物的某一屬性變成數(shù)字測(cè)量的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)度94二、學(xué)科知識(shí)是PCK的基礎(chǔ)PCK是理解基礎(chǔ)上的有聯(lián)系的表征，它的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。如果數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)不強(qiáng)，不可能產(chǎn)生有創(chuàng)意的教學(xué)設(shè)計(jì)。一般教學(xué)知識(shí)(PK)也是PCK的知識(shí)基礎(chǔ)二、學(xué)科知識(shí)是PCK的基礎(chǔ)95高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件96高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件97

人教B版：正態(tài)分布

人教B版：正態(tài)分布

98高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件99高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件100為什么說(shuō)前者是數(shù)學(xué)，后者是統(tǒng)計(jì)學(xué)？統(tǒng)計(jì)學(xué)是一系列可用于描述、整理和解釋數(shù)據(jù)的工具和技術(shù)?！稅?ài)上統(tǒng)計(jì)學(xué)》統(tǒng)計(jì)學(xué)是搜集、分析、表述和解釋數(shù)據(jù)的科學(xué)——《大不列顛百科全書(shū)》為什么說(shuō)前者是數(shù)學(xué)，后者是統(tǒng)計(jì)學(xué)？統(tǒng)計(jì)學(xué)是一系列可用于描述、101各種刻畫(huà)數(shù)據(jù)的方式的優(yōu)劣原始數(shù)據(jù)直方圖密度函數(shù)各種刻畫(huà)數(shù)據(jù)的方式的優(yōu)劣原始數(shù)據(jù)102人教A版：正態(tài)分布人教A版：正態(tài)分布103高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件104高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件105正態(tài)分布教材的啟發(fā)：——數(shù)學(xué)教學(xué)的表達(dá)來(lái)自對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解——我們不僅需要微觀(guān)地觀(guān)察世界，也需要宏觀(guān)地觀(guān)察世界：生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件106案例4：反函數(shù)的另一種理解求反函數(shù)想不通的是什么？數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)求導(dǎo)的啟發(fā)：從方程看函數(shù)y=f(x)的進(jìn)一步理解為什么高中的反函數(shù)定義想不通案例4：反函數(shù)的另一種理解求反函數(shù)107從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容108中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)是什么？教師重視解題練習(xí)，學(xué)生雙基扎實(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的合理性是什么？中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足是什么？這種不足的根源是什么？——播亮數(shù)學(xué)的火焰——數(shù)學(xué)不僅僅是解題物理諾貝爾獎(jiǎng)得主費(fèi)曼談巴西的物理教學(xué)中國(guó)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)是什么？教師重視解題練習(xí)，學(xué)生雙基扎實(shí)109撥亮數(shù)學(xué)的火焰(人民日?qǐng)?bào))

中國(guó)科技大學(xué)研究生部教授著名數(shù)學(xué)教育家馮克勤

本世紀(jì)特別是近50年來(lái)，數(shù)學(xué)有了極大的發(fā)展。這些年，許多學(xué)校在開(kāi)設(shè)新課介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)方面也作了努力，但是從整體上講，與其他學(xué)科相比，在知識(shí)結(jié)構(gòu)更新方面，我以為數(shù)學(xué)是做得最差的。我們高中學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)大約達(dá)到了17世紀(jì)的數(shù)學(xué)水平，工科大學(xué)生的主要數(shù)學(xué)課———微積分、線(xiàn)性代數(shù)和數(shù)理方程則是18和19世紀(jì)的數(shù)學(xué)，連數(shù)學(xué)系大學(xué)生畢業(yè)時(shí)，對(duì)本世紀(jì)的數(shù)學(xué)也沒(méi)有一個(gè)概念。技術(shù)領(lǐng)域的課程更新較快，其他自然科學(xué)課程更新也比較容易，似乎唯獨(dú)數(shù)學(xué)有特殊的困難。這當(dāng)中除了長(zhǎng)期形成的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)之外，人們往往強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)傳授的連貫性和嚴(yán)密的邏輯性推理體系。事實(shí)上，數(shù)學(xué)教材或論文寫(xiě)出來(lái)的推理程序常常不是我們?cè)谘芯亢退伎紨?shù)學(xué)時(shí)的思維程序，甚至兩者完全相反。如果只看證明邏輯，學(xué)生沒(méi)有學(xué)到很多東西，他們不知道這個(gè)證明是怎么得來(lái)的；學(xué)習(xí)后，他們自己也仍沒(méi)有研究和創(chuàng)造這類(lèi)新結(jié)果的能力。所以，我們不必把形式化和嚴(yán)格化的東西看得過(guò)于神圣，這不是我們要教給學(xué)生的最本質(zhì)的東西———數(shù)學(xué)的直觀(guān)和形象化。我們常常熱衷于告訴學(xué)生面面俱到的知識(shí)，但不知如何用最少的語(yǔ)言啟發(fā)學(xué)生自己學(xué)習(xí)和思考的能力。我們還常常用學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)來(lái)衡量學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和成績(jī)，但這是不可靠的?，F(xiàn)在各國(guó)都使用筆試考試，但筆試所起的誤導(dǎo)作用恐怕以我國(guó)最甚。實(shí)際上，我們應(yīng)當(dāng)以學(xué)生在討論、作業(yè)等方面的日常表現(xiàn)作為考核學(xué)生的主要依據(jù)，而考試則主要采用口試方式為好。德國(guó)波恩大學(xué)的期末考試就一直采取口試。由3位教授共同對(duì)每個(gè)學(xué)生面試10到20分鐘。問(wèn)題有指定的，也有像“你對(duì)本課程在學(xué)習(xí)中有什么新想法”之類(lèi)的問(wèn)題。不論學(xué)生講的正確與否，教授們不停地與學(xué)生討論，隨時(shí)問(wèn)一些小問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)正確東西的確認(rèn)程度，或者有多大的能力發(fā)現(xiàn)和改正錯(cuò)誤。最后由3位教授共同給定一個(gè)分?jǐn)?shù)和能相應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生個(gè)性特點(diǎn)的評(píng)語(yǔ)。這樣的考試是辛苦的，但是德國(guó)人對(duì)待他們認(rèn)為是合理和科學(xué)的事情，就一直持有這樣認(rèn)真的態(tài)度。我們的中小學(xué)生在考試中出了一點(diǎn)小錯(cuò)便會(huì)得到一個(gè)不好的分?jǐn)?shù)。這種對(duì)天真幼稚的孩童要求百分之百不出錯(cuò)，不僅過(guò)于殘酷，也違反人類(lèi)實(shí)踐的常規(guī)。在實(shí)踐中，任何人都會(huì)出錯(cuò)，問(wèn)題是培養(yǎng)通過(guò)直覺(jué)和驗(yàn)算如何及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和改正錯(cuò)誤的能力?？傊?，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)于學(xué)生將來(lái)工作中運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)真正需要的能力考慮得太少了。據(jù)說(shuō)法國(guó)拓?fù)鋵W(xué)家托姆曾經(jīng)和兩位古人類(lèi)學(xué)家討論：我們的祖先出于什么動(dòng)機(jī)保存了火種。一位古人類(lèi)學(xué)家說(shuō)是由于火可以取暖，另一位則認(rèn)為是由于用火做成的熟食鮮美可口。而托姆則認(rèn)為，人類(lèi)保存火種的最原始動(dòng)機(jī)，是由于在漫漫長(zhǎng)夜中被光彩奪目的火苗所吸引，對(duì)美麗的火焰著了迷。我不想討論托姆的觀(guān)點(diǎn)是否正確，只是聯(lián)想到，我們應(yīng)當(dāng)把怎樣的教員看作是最優(yōu)秀的？我想，倘若你使學(xué)生都有一個(gè)好的分?jǐn)?shù)，那只算是一個(gè)合格的教員；但若學(xué)生們———哪怕只是班里的一小部分———在你的課上對(duì)數(shù)學(xué)著了迷，看到數(shù)學(xué)的火焰光彩奪目，那才是一個(gè)真正優(yōu)秀的教員。

撥亮數(shù)學(xué)的火焰(人民日?qǐng)?bào))

中國(guó)科技大學(xué)研究生部教授著名110“數(shù)的教學(xué)”奧秘小學(xué)：分?jǐn)?shù)初中：無(wú)理數(shù)高中：對(duì)數(shù)“數(shù)的教學(xué)”奧秘小學(xué)：分?jǐn)?shù)111問(wèn)題討論：數(shù)的教學(xué)的難點(diǎn)是什么？問(wèn)題討論：112問(wèn)題討論：分?jǐn)?shù)集合大還是小數(shù)集合大？問(wèn)題討論：113高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件114高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件115高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件116高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件117問(wèn)題1：是不是“事實(shí)上”？整數(shù)和分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是分?jǐn)?shù)嗎？問(wèn)題1：是不是“事實(shí)上”？整數(shù)和分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)118分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？

如果有理數(shù)不是有限十進(jìn)位小數(shù)，那么通過(guò)不斷的作除法能表示為一個(gè)無(wú)限的十進(jìn)位小數(shù)。在這過(guò)程中每次必然有一個(gè)非零的余數(shù)，否則這十進(jìn)位小數(shù)是有限的。在除的過(guò)程中出現(xiàn)的所有不同余數(shù)將是之間的整數(shù)，所以最多只能有q—1個(gè)不同的余數(shù)值，這說(shuō)明任何有理數(shù)的十進(jìn)位小數(shù)表示式是循環(huán)的；開(kāi)始出現(xiàn)有限個(gè)數(shù)碼，隨后同樣的一個(gè)數(shù)碼或一組數(shù)碼將無(wú)限次地再現(xiàn)。分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或者是無(wú)限循環(huán)小數(shù)嗎？

如果有理數(shù)不是有限119問(wèn)題討論：分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)問(wèn)題討論：120問(wèn)題2：有理數(shù)的定義為什么變了？問(wèn)題2：有理數(shù)的定義為什么變了？121萬(wàn)物皆數(shù)：數(shù)與量哲學(xué)家們認(rèn)為世界上的量都可以用數(shù)來(lái)表示。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)可以描述極小極小的量。……用分?jǐn)?shù)可以表示的點(diǎn)是密密麻麻的。任何兩個(gè)分?jǐn)?shù)，無(wú)論多么近，它們之間還有無(wú)窮多個(gè)分?jǐn)?shù)。這么多的數(shù)，居然還不能表示出某些幾何線(xiàn)段的長(zhǎng)度，這一事實(shí)當(dāng)時(shí)的哲學(xué)家感到難以理解。數(shù)的萬(wàn)能的力量被否定了。萬(wàn)物皆數(shù)：數(shù)與量哲學(xué)家們認(rèn)為世界上的量都可以用數(shù)來(lái)表示。因?yàn)?22二千年的探索：測(cè)量過(guò)程所獲得的啟發(fā)假設(shè)數(shù)軸（0，1）上有一點(diǎn)P。我們把這個(gè)區(qū)間分為十等分，每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為10-1，并且發(fā)現(xiàn)P在第四個(gè)這樣的區(qū)間內(nèi)，在0.3和0.4之間。我們把0.3到0.4這個(gè)區(qū)間再分成10分，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為10-2，發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)在第四個(gè)這樣的區(qū)間內(nèi)。再把這個(gè)區(qū)間再分成十等分，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為10-3，……。無(wú)論我們?nèi)《啻蟮膎,點(diǎn)P總在區(qū)間In中，這個(gè)In的左端點(diǎn)是十進(jìn)位小數(shù)0.a1a2a3……an,它的右端點(diǎn)是0.a1a2a3……an-1（an+1）,In的長(zhǎng)度為10-n，那么P點(diǎn)就包含在一串十進(jìn)位區(qū)間的區(qū)間套中。二千年的探索：測(cè)量過(guò)程所獲得的啟發(fā)假設(shè)數(shù)軸（0，1）上有一點(diǎn)123中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足成績(jī)：國(guó)際上PISA上海數(shù)學(xué)第一國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌美國(guó)數(shù)學(xué)系的中國(guó)大軍問(wèn)題：對(duì)數(shù)學(xué)的理解，特別是整體理解不夠數(shù)學(xué)不等于解題數(shù)學(xué)更不等于邏輯笛卡爾和牛頓并不僅僅會(huì)解題中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足成績(jī)：124案例5：對(duì)數(shù)案例5：對(duì)數(shù)125高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件126高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件127高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件128高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件129案例6：小學(xué)和高中是有聯(lián)系的案例6：小學(xué)和高中是有聯(lián)系的130如果不教會(huì)這些基本觀(guān)念會(huì)怎么樣？碩士研究生復(fù)試的情景讓我感到了什么是教育的泡沫南京某重點(diǎn)中學(xué)畢業(yè)十周年聚會(huì)，高考平均分96，十年后平均分17.6分教育是什么？如果不教會(huì)這些基本觀(guān)念會(huì)怎么樣？碩士研究生復(fù)試的情景讓我感131二、學(xué)科知識(shí)的內(nèi)容之二：?jiǎn)栴}圖式課改講探究講感悟講活動(dòng)，不敢講訓(xùn)練。探究課二、學(xué)科知識(shí)的內(nèi)容之二：?jiǎn)栴}圖式課改講探究講感悟講活動(dòng)，不敢132從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從Ryle的哲學(xué)分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容133KnowthatKnowhowRyle:理論指導(dǎo)實(shí)踐會(huì)勾股定理和用勾股定理解題是兩回事騎自行車(chē)高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的知識(shí)基礎(chǔ)-課件134波蘭尼：個(gè)人知識(shí)當(dāng)他開(kāi)始向右倒時(shí)，他把車(chē)把轉(zhuǎn)向右，使自行車(chē)行進(jìn)的路線(xiàn)沿著一條曲線(xiàn)偏向右邊。這樣就產(chǎn)生了離心力把騎車(chē)者推向左邊，抵消了把他拉向右邊的向心力。波蘭尼：個(gè)人知識(shí)當(dāng)他開(kāi)始向右倒時(shí)，他把車(chē)把轉(zhuǎn)向右，使自行135課改講探究講感悟講活動(dòng)，不敢講訓(xùn)練。探究課初中數(shù)學(xué)鑲嵌第三難：做不到？？？第三難：做不到？？？136人腦象電腦一樣心理學(xué)：工作記憶（workingm