課程資源-計(jì)算機(jī)組織與結(jié)構(gòu)chapter

第二章數(shù)據(jù)的機(jī)器級(jí)表示

——數(shù)制和編碼、整數(shù)的表示

主要內(nèi)容數(shù)制和編碼整數(shù)的表示實(shí)數(shù)的表示各類數(shù)據(jù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系你知道數(shù)碼相機(jī)拍攝一張照片的過(guò)程嗎？離散化、編碼數(shù)值數(shù)據(jù)的表示數(shù)值數(shù)據(jù)表示的三要素進(jìn)位計(jì)數(shù)制定、浮點(diǎn)表示如何用二進(jìn)制編碼即：要確定一個(gè)數(shù)值數(shù)據(jù)的值必須先確定這三個(gè)要素。例如，機(jī)器數(shù)01011001的值是多少？進(jìn)位計(jì)數(shù)制十進(jìn)制、二進(jìn)制、十六進(jìn)制、八進(jìn)制數(shù)及其相互轉(zhuǎn)換定/浮點(diǎn)表示（解決小數(shù)點(diǎn)問(wèn)題）定點(diǎn)整數(shù)、定點(diǎn)小數(shù)浮點(diǎn)數(shù)（可用一個(gè)定點(diǎn)小數(shù)和一個(gè)定點(diǎn)整數(shù)來(lái)表示）定點(diǎn)數(shù)的編碼（解決正負(fù)號(hào)問(wèn)題）原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼（反碼很少用）答案是：不知道！

SignandMagnitude（原碼的表示）BinaryDecimal0123456700000001001000110100010101100111

容易理解,但是：0的表示不唯一，故不利于程序員編程

加、減運(yùn)算方式不統(tǒng)一

需額外對(duì)符號(hào)位進(jìn)行處理，故不利于硬件設(shè)計(jì)

特別當(dāng)a<b時(shí)，實(shí)現(xiàn)a-b比較困難從50年代開(kāi)始，整數(shù)都采用補(bǔ)碼來(lái)表示但浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)用原碼定點(diǎn)小數(shù)表示BinaryDecimal-0-1-2-3-4-5-6-710001001101010111100110111101111補(bǔ)碼-模運(yùn)算（modular運(yùn)算）時(shí)鐘是一種模12系統(tǒng)假定鐘表時(shí)針指向10點(diǎn)，要將它撥向6點(diǎn)，則有兩種撥法：①倒撥4格：10-4=6②順撥8格：10+8=18≡6(mod12)模12系統(tǒng)中：10-4≡10+8(mod12)-4≡8(mod12)

則，稱8是-4對(duì)模12的補(bǔ)碼（即：-4的模12補(bǔ)碼等于8）。同樣有-3≡9（mod12）-5≡7（mod12）等結(jié)論2：對(duì)于某一確定的模，某數(shù)減去小于模的另一數(shù)，總可以用該數(shù)加上另一數(shù)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼來(lái)代替。補(bǔ)碼（modular運(yùn)算）：+和–的統(tǒng)一

重要概念：在一個(gè)模運(yùn)算系統(tǒng)中，一個(gè)數(shù)與它除以“?！焙蟮挠鄶?shù)等價(jià)。結(jié)論1：一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于模減該負(fù)數(shù)的絕對(duì)值?，F(xiàn)實(shí)世界中的模運(yùn)算系統(tǒng)計(jì)算機(jī)中的運(yùn)算器是模運(yùn)算系統(tǒng)

8位二進(jìn)制加法器模運(yùn)算系統(tǒng)

計(jì)算01111111-01000000=?

01111111-01000000=01111111+(28-

01000000)=01111111+11000000=100111111(mod28)

=00111111只留余數(shù)，“1”被丟棄結(jié)論1：一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于對(duì)應(yīng)正數(shù)補(bǔ)碼的“各位取反、末位加1”[X]補(bǔ)=2n+X（-2n≤X＜2n

，mod2n）求特殊數(shù)的補(bǔ)碼②[-1]補(bǔ)=2n-0…01=11…1（n個(gè)1）（mod2n）假定機(jī)器數(shù)有n位①[-2n-1]補(bǔ)=2n-2n-1=10…0（n-1個(gè)0）（mod2n）③[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)=00…0（n個(gè)0）

32位機(jī)器中，int、short、char型數(shù)據(jù)的機(jī)器數(shù)各占幾位？補(bǔ)碼與真值之間的簡(jiǎn)便轉(zhuǎn)換例:設(shè)機(jī)器數(shù)有8位，求123和-123的補(bǔ)碼表示。解:123=127–4=01111111B–100B=01111011B

–

123=–01111011B[01111011]補(bǔ)=28+01111011=100000000+01111011

=01111011(mod28)，即7BH。

[–

01111011]補(bǔ)=28–01111011=100000000–01111011=11111111–01111011+1=10000100+1

=10000101，即85H。如何快速得到123的二進(jìn)制表示？各位取反，末位加1當(dāng)機(jī)器數(shù)為16位時(shí)，結(jié)果怎樣？主要內(nèi)容數(shù)制和編碼整數(shù)的表示實(shí)數(shù)的表示Unsignedinteger(無(wú)符號(hào)整數(shù))機(jī)器中字的位排列順序有兩種方式：（例：32位字:0…010112）高到低位從左到右：00000000000000000000000000001011高到低位從右到左：11010000000000000000000000000000Leftmost和rightmost這兩個(gè)詞有歧義，故用LSB(LeastSignificantBit)來(lái)表示最低有效位，用MSB來(lái)表示最高有效位高位到低位多采用從左往右排列一般在全部是正數(shù)運(yùn)算且不出現(xiàn)負(fù)值結(jié)果的場(chǎng)合下，可使用無(wú)符號(hào)數(shù)表示。例如，地址運(yùn)算，編號(hào)表示，等等無(wú)符號(hào)整數(shù)的編碼中沒(méi)有符號(hào)位能表示的最大值大于位數(shù)相同的帶符號(hào)整數(shù)的最大值（Why？）例如，8位無(wú)符號(hào)整數(shù)最大是255（11111111）而8位帶符號(hào)整數(shù)最大為127（01111111）總是整數(shù)，所以很多時(shí)候就簡(jiǎn)稱為“無(wú)符號(hào)數(shù)”MSBLSBSignedinteger（帶符號(hào)整數(shù)，定點(diǎn)整數(shù)）計(jì)算機(jī)必須能處理正數(shù)(positive)和負(fù)數(shù)(negative)，MSB表示數(shù)符有三種定點(diǎn)編碼方式Signedmagnitude（原碼）

現(xiàn)用來(lái)表示浮點(diǎn)（實(shí)）數(shù)的尾數(shù)One’scomplement（反碼）現(xiàn)已不用于表示數(shù)值數(shù)據(jù)Two’scomplement（補(bǔ)碼）

50年代以來(lái)，所有計(jì)算機(jī)都用補(bǔ)碼來(lái)表示定點(diǎn)整數(shù)為什么用補(bǔ)碼表示帶符號(hào)整數(shù)？補(bǔ)碼運(yùn)算系統(tǒng)是模運(yùn)算系統(tǒng)，加、減運(yùn)算統(tǒng)一數(shù)0的表示唯一，方便使用比原碼和反碼多表示一個(gè)最小負(fù)數(shù)C語(yǔ)言整數(shù)的表示無(wú)符號(hào)整數(shù)使用自然二進(jìn)制表示帶符號(hào)整數(shù)使用補(bǔ)碼表示寬度最大值最小值unsignedchar12550unsignedshort2655360unsignedint4

0unsignedlong4

0寬度最大值最小值char1127-128short232767-32768int42147483647-2147483648long42147483647-2147483648C語(yǔ)言程序中的整數(shù)例如，考慮以下C代碼：1 intx=–1;2 unsignedu=2147483648;34 printf(“x=%u=%d\n”,x,x);5 printf(“u=%u=%d\n”,u,u);在32位機(jī)器上運(yùn)行上述代碼時(shí)，它的輸出結(jié)果是什么？為什么？x==–1u=2147483648=–2147483648因?yàn)楱C1的補(bǔ)碼整數(shù)表示為“11…1”，作為32位無(wú)符號(hào)數(shù)解釋時(shí)，其值為232–1=4294967296–1=4294967295。231的無(wú)符號(hào)數(shù)表示為“100…0”，被解釋為32位帶符號(hào)整數(shù)時(shí)，其值為最小負(fù)數(shù)：–232-1=–231=–2147483648。C90上的運(yùn)行結(jié)果是什么？C99的結(jié)果大家回去試試。gcc–std=c99常量的默認(rèn)類型C90 范圍類型0~231-1int231~232-1unsignedint232~263-1longlong263~264-1unsignedlonglongC99范圍類型0~231-1int231~263-1longlong263~264-1unsignedlonglongC語(yǔ)言默認(rèn)類型轉(zhuǎn)換順序（32位）高double←←float↑↑↑unsignedlonglong↑↑↑longlong↑↑↑unsignedint（unsignedlong）↑↑

低int（long）←←char,short，unsignedshortfloat計(jì)算前必然轉(zhuǎn)換為double；char，short計(jì)算前必然轉(zhuǎn)換為int；C語(yǔ)言默認(rèn)類型轉(zhuǎn)換順序（64位）高double←←float↑↑↑unsignedlong↑↑↑long↑↑↑unsignedint↑↑

低int（long）←←char,short，unsignedshortfloat計(jì)算前必然轉(zhuǎn)換為double；char，short計(jì)算前必然轉(zhuǎn)換為int；C90上的運(yùn)行結(jié)果是什么？C99的結(jié)果大家回去試試。gcc–std=c99C語(yǔ)言程序中的整數(shù)關(guān)系表達(dá)式類型結(jié)果說(shuō)明0==0U-1<0-1<0U2147483647>-2147483647-12147483647U>-2147483647-12147483647>(int)2147483648U-1>-2(unsigned)-1>-2無(wú)帶無(wú)帶無(wú)帶帶無(wú)11

0*1

0*

1*1100…0B=00…0B11…1B(-1)<00…0B(0)11…1B(232-1)>00…0B(0)011…1B(231-1)>100…0B(-231)011…1B(231-1)<100…0B(231)011…1B(231-1)>100…0B(-231)11…1B(-1)>11…10B(-2)11…1B(232-1)>11…10B(232-2)帶*的結(jié)果與常規(guī)預(yù)想的相反！類型轉(zhuǎn)換實(shí)例結(jié)果跟你想的一樣嗎，為什么？主要內(nèi)容數(shù)制和編碼整數(shù)的表示實(shí)數(shù)的表示Example:

mantissa(尾數(shù))exponent(階碼、指數(shù))

6.02x1021

decimalpoint

radix(base，基)°Normalizedform（規(guī)格化形式）:小數(shù)點(diǎn)前只有一位非0數(shù)°同一個(gè)數(shù)有多種表示形式。例：對(duì)于數(shù)1/1,000,000,000?Normalized(唯一的規(guī)格化形式):1.0x10-9?Unnormalized（非規(guī)格化形式不唯一）:0.1x10-8,10.0x10-10科學(xué)計(jì)數(shù)法(ScientificNotation)與浮點(diǎn)數(shù)

mantissa（尾數(shù)）exponent（指數(shù)）0.101two

x

2

-10

binarypoint基為2forBinaryNumbers:只要對(duì)尾數(shù)和指數(shù)分別編碼，就可表示一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)（即：實(shí)數(shù)）浮點(diǎn)數(shù)(FloatingPoint)的表示范圍例：畫(huà)出下述32位浮點(diǎn)數(shù)格式的規(guī)格化數(shù)的表示范圍。

018931

第0位數(shù)符S；第1～8位為8位移碼表示階碼E（偏置常數(shù)為128）；第9～31位為24位二進(jìn)制原碼小數(shù)表示的尾數(shù)M。規(guī)格化尾數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第一位總是1，故規(guī)定第一位默認(rèn)的“1”不明顯表示出來(lái)。這樣可用23個(gè)數(shù)位表示24位尾數(shù)。S階碼E尾數(shù)M最大正數(shù)：0.11…1x211…1=(1-2-24)x2127

最小正數(shù)：0.10…0x200…0=(1/2)x2-128

因?yàn)樵a是對(duì)稱的，所以其表示范圍關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。機(jī)器0：尾數(shù)為0或落在下溢區(qū)中的數(shù)浮點(diǎn)數(shù)范圍比定點(diǎn)數(shù)大，但數(shù)的個(gè)數(shù)沒(méi)變多，故數(shù)之間更稀疏，且不均勻

正下溢

負(fù)下溢

-

(1-2-24)

×2127

數(shù)軸

零

可表示的正數(shù)

可表示的負(fù)數(shù)

-2-129

0

2-129

(1-2-24)

×2127

正上溢

負(fù)上溢

+/-0.1xxxxx

×2E“Father”oftheIEEE754standard現(xiàn)在所有計(jì)算機(jī)都采用IEEE754來(lái)表示浮點(diǎn)數(shù)1970年代后期,IEEE成立委員會(huì)著手制定浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)1985年完成浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)IEEE754的制定Prof.WilliamKahan

ieee754status/754story.htmlThisstandardwasprimarilytheworkofoneperson,UCBerkeleymathprofessorWilliamKahan.

直到80年代初，各個(gè)機(jī)器內(nèi)部的浮點(diǎn)數(shù)表示格式還沒(méi)有統(tǒng)一

因而相互不兼容，機(jī)器之間傳送數(shù)據(jù)時(shí)，帶來(lái)麻煩

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)

SinglePrecision：

S

Exponent

Significand

1bit8bits23bits°Signbit:1表示negative;0表示positive°Significand（尾數(shù)）:?規(guī)格化尾數(shù)最高位總是1，所以隱含表示，省1位?1+23bits（single）1+52bits（double）°Exponent（階碼/指數(shù)）:SP規(guī)格化數(shù)階碼范圍為00000001(-126)~11111110(127)bias為127(single),SP:(-1)Sx(1+Significand)x2(Exponent-127)DP:(-1)Sx(1+Significand)x2(Exponent-1023)全0和全1用來(lái)表示特殊值！為什么用127？若用128,則階碼范圍為多少？00000001(-127)～11111110(126)規(guī)格化數(shù)：+/-1.xxxxxxxxxxtwox2Exponent規(guī)定：小數(shù)點(diǎn)前總是“1”，故可隱含表示。注意：和前面例子規(guī)定不一樣,這里更合理!Ex:ConvertingBinaryFPtoDecimal11000000101000000000000000000000°Sign:1=>negative°Exponent:?10000001two=129ten?Biasadjustment:129-127=2°Significand:

1+0x2-1+1x2-2+0x2-3+0x2-4+0x2-5+...=1+2-2=1+0.25=1.25°Represents:-1.25tenx22=-5(-1)S

x(1+Significand)x2(Exponent-127)C0A00000H

isthehex.Rep.OfanIEEE754SPFPnumberEx:ConvertingBinaryFPtoDecimal10111110111000000000000000000000°Sign:1=>negative°Exponent:?01111101two=125ten?Biasadjustment:125-127=-2°Significand:

1+1x2-1+1x2-2+0x2-3+0x2-4+0x2-5+...=1+2-1+2-2=1+0.5+0.25=1.75°Represents:-1.75tenx2-2=-0.4375(-1)S

x(1+Significand)x2(Exponent-127)BEE00000H

isthehex.Rep.OfanIEEE754SPFPnumberEx:ConvertingDecimaltoFP-0.751.Denormalize:-0.752.Convertintegerpart:0=023.Convertfractionalpart:.75=.5+.25=.1124.Putpartstogetherandnormalize:0.11=1.1x2-15.Convertexponent:127-1=126=01111110210111111010000000000000000000000TheHexrep.isBF400000HEx:ConvertingDecimaltoFP-12.751.Denormalize:-12.752.Convertintegerpart:12=8+4=110023.Convertfractionalpart:.75=.5+.25=.1124.Putpartstogetherandnormalize:1100.11=1.10011x235.Convertexponent:127+3=128+2=10000010211000001010011000000000000000000TheHexrep.isC14C0000HNormalizednumbers（規(guī)格化數(shù)）ExponentSignificandObject1-254anythingNormsimplicitleading100?0nonzero?2550?255nonzero?前面的定義都是針對(duì)規(guī)格化數(shù)（normalizedform）Howaboutotherpatterns?Representationfor0Howtorepresent0?

exponent:allzeros

significand:allzeros

Whataboutsign?Bothcasesvalid.+0:00000000000000000000000000000000-0:10000000000000000000000000000000Representationfor+∞/-∞

Howtorepresent+∞/-∞??Exponent:

allones(11111111B=255)?Significand:allzeros

+∞:01111111100000000000000000000000-∞:11111111100000000000000000000000Operations5.0/0=+∞,-5.0/0=-∞5+(+∞)=+∞,(+∞)+(+∞)=+∞5-(+∞)=-∞,(-∞)-(+∞)=-∞etc為什么要這樣處理??可以利用+∞/-∞作比較。例如：X/0>Y可作為有效比較InFP,除數(shù)為0的結(jié)果是+/-∞,不是溢出異常.（整數(shù)除0為異常）∞：infinityRepresentationfor“NotaNumber”Sqrt(-4.0)=?0/0=?CalledNotaNumber(NaN)-“非數(shù)”O(jiān)perations

sqrt(-4.0)=NaN0/0=NaNop(NaN,x)=NaN+∞+(-∞)=Na