北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下第三章數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn)總結(jié)

3圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（精講精練）【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】1.平移：（1）平移的條件：平移的方向、平移的距離（2）平移的性質(zhì)①把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．②新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等(連接線段)．對(duì)應(yīng)線段平行且相等。（或在同一條直線上）（3）平移變換與坐標(biāo)變化向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）；向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x-a，y）向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）；向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y-b）3.旋轉(zhuǎn)：（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．4.中心對(duì)稱：（1）中心對(duì)稱的定義把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)．（2）中心對(duì)稱的性質(zhì)①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分．（3）把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．5.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)（1）兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是P′（-x，-y）．（2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)或圖形屬于中心對(duì)稱，它是中心對(duì)稱在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用，它具有中心對(duì)稱的所有性質(zhì)．但它主要是用坐標(biāo)變化確定圖形．注意：運(yùn)用時(shí)要熟練掌握，可以不用圖畫(huà)和結(jié)合坐標(biāo)系，只根據(jù)符號(hào)變化直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．小專題8特殊三角形中的“手拉手”模型——教材P89T12的變式與應(yīng)用教材母題：(教材P89復(fù)習(xí)題T12)如圖，△ABC，△ADE均是頂角為42°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，圖中的哪兩個(gè)三角形可以通過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)而相互得到？解：∵△ABC，△ADE均是頂角為42°的等腰三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝42°，AB＝AC，AD＝AE.∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴△ABD與△ACE可通過(guò)旋轉(zhuǎn)相互得到，即△ABD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)42°，得到△ACE.(1)等腰三角形中的“手拉手”模型如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，旋轉(zhuǎn)后有∠BAD＝∠CAE.連接BD，CE，則①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直線BD與直線CE的夾角等于∠A.(2)等邊三角形中的“手拉手”模型如圖，已知△ABC和△ADE是等邊三角形，旋轉(zhuǎn)后有∠BAD＝∠CAE.連接BD，CE，則①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直線BD與直線CE的夾角為60°.(3)等腰直角三角形中的“手拉手”模型如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)后有∠BAD＝∠CAE.連接BD，CE，則①△ABD≌△ACE；②BD＝CE；③直線BD與直線CE的夾角為90°.1．兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC.下列說(shuō)法不正確的是(B)A．△ADC≌△AEBB．△DCE是等腰三角形C．DC＝BED．DC⊥BE2．如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE，BD交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為_(kāi)_120°__．3．(2018·綿陽(yáng)改編)如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．若AE＝，AD＝，則△ABC的面積為2．4．如圖，△ABC和△ADE是兩個(gè)全等的等腰三角形，AB＝AC＝AD＝AE，延長(zhǎng)BD，EC交于點(diǎn)F.(1)求∠BAC與∠F之間的數(shù)量關(guān)系；(2)求證：△BCF≌△EDF.解：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC＝AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴∠ABD＋∠ACF＝180°.∴∠F＋∠BAC＝180°.∴∠ACE＝∠ABD.∵∠ACE＋∠ACF＝180°，(2)證明：由(1)可知：∠ABD＝∠ACE＝∠AEC.∵∠ABC＝∠AED，∴∠CBF＝∠DEF.∵∠F＝∠F，BC＝ED，∴△BCF≌△EDF(AAS)．5．如圖1，兩個(gè)不全等的等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)O.(1)在圖1中，線段AC，BD的數(shù)量關(guān)系是相等，直線AC，BD的位置關(guān)系是垂直；(2)將圖1的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，在圖2中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△OAB；(3)將圖1中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，連接AC，BD得到圖3，這時(shí)(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？作出判斷并說(shuō)明理由．若△OAB繞點(diǎn)O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說(shuō)明理由．解：(2)如圖所示．(3)(1)中結(jié)論成立，理由如下：∵∠COA＋∠AOD＝90°，∠BOD＋∠AOD＝90°，∴∠COA＝∠BOD.又∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)．∴AC＝BD.延長(zhǎng)CA交OD于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)E.∵△COA≌△DOB，∴∠OCA＝∠BDO.又∵∠DHE＝∠CHO，∴∠CED＝∠COD＝90°，即AC⊥BD.將△OAB繞點(diǎn)O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立．6．(1)如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE，連接CE，BD，求證：CE＝BD；(2)如圖2，將△ADE繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，E，D在一條直線上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？(3)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，上述結(jié)論成立嗎？(4)旋轉(zhuǎn)到圖4位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B，E，D在一條直線上，上述結(jié)論成立嗎？若成立，請(qǐng)就(2)(3)(4)中的一種情況加以證明．,圖1)解：(1)證明：∵∠CAB＝∠DAE，∴∠CAB－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.,圖2),圖3),圖4