精品解析：江蘇省淮安市淮陰中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期4月綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省淮陰中學(xué)2020屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)綜合測(cè)試（4）一、填空題：1.復(fù)數(shù)的虛部為_______.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】，故虛部為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的虛部，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2.某校共有400名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則在本次競(jìng)賽中，得分不低于80分以上的人數(shù)為__________.【答案】160【解析】【分析】利用頻率分布直方圖中頻率之和為1，計(jì)算出得分不低于80分的頻率為，從而求出得分不低于80分以上的人數(shù).【詳解】得分不低于80分的頻率為則得分不低于80分以上的人數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖.頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率組距，而不是頻率．頻數(shù)樣本容量＝頻率，此關(guān)系式的變形為頻數(shù)頻率＝樣本容量，樣本容量頻率＝頻數(shù)．3.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出S的值為__________【答案】21【解析】【分析】先讀懂流程圖的功能，然后逐步運(yùn)算即可得解.【詳解】解:由題意可知：當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,輸出當(dāng)前的,故輸出S的值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了流程圖的功能，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.4.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則______________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意建立和的方程組，解出這兩個(gè)量，即可求出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，因此，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是要建立首項(xiàng)和公差的方程組，利用這兩個(gè)基本量來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是____________.（填序號(hào)）①若則；②若則；③若則；④若則.【答案】②④【解析】【分析】由空間線面、線線的位置關(guān)系，逐一判斷即可得解.【詳解】解:對(duì)于①,若則或與相交或與異面,即①錯(cuò)誤；對(duì)于②,若則,即②正確；對(duì)于③,若則或與相交或與異面,即③錯(cuò)誤；對(duì)于④,若由面面垂直的性質(zhì)定理可得,即④正確,即命題中正確的是②④,故答案為:②④.【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面、線線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.6.在中,已知,若分別是角所對(duì)的邊,則的最大值為.【答案】【解析】試題分析：由正余弦定理得：，化簡(jiǎn)得因此即最大值為.考點(diǎn)：正余弦定理,基本不等式7.已知向量，，，若夾角為銳角，則取值范圍是【答案】【解析】若夾角為銳角則故8.先后擲兩次正方體骰子（骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，則是奇數(shù)的概率是____________.【答案】【解析】【分析】先求出擲兩次正方體骰子共有種情況,然后求出是奇數(shù)的共有種情況,再結(jié)合古典概型概率公式求解即可.【詳解】解:先后擲兩次正方體骰子共有種情況,骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，當(dāng)是奇數(shù)時(shí),則均為奇數(shù),又骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6,則有1,3,5三個(gè)奇數(shù),即是奇數(shù)的共有種情況,故是奇數(shù)的概率是,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合知識(shí)，重點(diǎn)考查了古典概型概率公式，屬基礎(chǔ)題.9.設(shè)關(guān)于x的不等式，只有有限個(gè)整數(shù)解，且0是其中一個(gè)解，則全部不等式的整數(shù)解的和為____________【答案】【解析】【分析】先確定，再利用0為其中的一個(gè)解，，求出的值，從而可得不等式，由此確定不等式的整數(shù)解，從而可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，其圖象為拋物線，對(duì)于任意一個(gè)給定的值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足而整數(shù)解只有有限個(gè)，所以，因?yàn)?為其中一個(gè)解可以求得，又，所以或，則不等式為和，可分別求得和，因?yàn)槲徽麛?shù)，所以和，所以全部不等式的整數(shù)解的和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件確定出實(shí)數(shù)的值，求出相應(yīng)的一元二次不等式的解集是解答關(guān)鍵，推理與運(yùn)算能力.10.對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：函數(shù)對(duì)稱中心為___________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求解的根,進(jìn)而求得拐點(diǎn),即對(duì)稱中心的坐標(biāo)即可.【詳解】由題,,故,令可得.代入可得.故其對(duì)稱中心為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分析函數(shù)的對(duì)稱中心問題,需要根據(jù)題意求解的根.屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若橢圓的焦距為，則的取值集合為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分焦點(diǎn)在軸與軸上兩種情況求解即可.【詳解】由題,當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,即,解得或.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,即,解得.綜上,的取值集合為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的焦距以及含指數(shù)式的方程求解.屬于基礎(chǔ)題.12.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A上出發(fā)依次沿圖中線段到達(dá)B、C、D、E、F、G、H、I、J各點(diǎn)，最后又回到A（如圖所示），其中：，AB//CD//EF//HG//IJ，BC//DE//FG//HI//JA.欲知此質(zhì)點(diǎn)所走路程，至少需要測(cè)量n條線段的長(zhǎng)度，則n的值為_____【答案】3【解析】【分析】計(jì)算得到路程等于，得到答案.【詳解】路程等于，故至少需要測(cè)量3條線段長(zhǎng)度.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的長(zhǎng)度問題，確定路程等于解題的關(guān)鍵..13.記，已知函數(shù)是偶函數(shù)（為實(shí)常數(shù)），則函數(shù)的零點(diǎn)為__________．（寫出所有零點(diǎn)）【答案】【解析】【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)（為實(shí)常數(shù)），的零點(diǎn)是14.已知對(duì)角線互相垂直且面積為5的四邊形，其頂點(diǎn)都在半徑為3的圓上，設(shè)圓心到兩對(duì)角線的距離分別為，則的最大值為．【答案】【解析】解：由已知可知，利用均值不等式可以求解二、解答題15.（本小題共14分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在角的終邊上.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）記，試用將S表示出來.【答案】解：（1）是角的終邊上一點(diǎn)，則--------------------------3分又，則，所以.----------------6分（2）==-------------9分-----------------12分----------------------------14分【解析】分析：（1）利用正切函數(shù)的定義，得；（2）將已知表達(dá)式恒等變換，化為，再將代入，化簡(jiǎn)即可．詳解：解：（1）是角的終邊上一點(diǎn)，則--------------------------3分又，則，所以.----------------6分（2）==-------------9分-----------------12分----------------------------14分點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)恒等變換，考查了二倍角公式等，屬于中檔題．16.四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且，側(cè)面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).（1）求證：BG面PAD；（2）E是BC的中點(diǎn)，在PC上求一點(diǎn)F，使得PG面DEF.【答案】（1）證明見解析；（2）F為PC中點(diǎn)時(shí)滿足題意，具體見解析【解析】【分析】（1）連結(jié)BD，證明BGAD，因面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，即可證明BG垂直于面PAD；（2）點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，連接GC交DE于點(diǎn)H，證明PGFH，因?yàn)槊鍰EF，面DEF，即可證明PG面DEF.【詳解】證明：（1）連結(jié)BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且，所以三角形ABD為正三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，所以BGAD；因?yàn)槊鍼AD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，平面，所以BG面PAD.（2）當(dāng)點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，PG面DEF，連結(jié)GC交DE于點(diǎn)H，因?yàn)镋、G分別為菱形ABCD的邊BC、AD的中點(diǎn)，所以四邊形DGEC為平行四邊形，所以點(diǎn)H為DE的中點(diǎn)，又點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以FH是三角形PGC的中位線，所以PGFH，因?yàn)槊鍰EF，面DEF，所以PG面DEF.綜上：當(dāng)點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，PG面DEF.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定，重點(diǎn)考查了線面平行，屬中檔題.17.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費(fèi)為每件40元，若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)，則電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為每件0.05x元，又該廠職工工資固定支出12500元．（1）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；（2）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過3000件，且產(chǎn)品能全部銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每件產(chǎn)品的銷售價(jià)Q（x）與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系：，試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤(rùn)最高？（總利潤(rùn)=總銷售額-總的成本）【答案】（1），當(dāng)時(shí)，最低成本為90元；（2）生產(chǎn)件時(shí)，總利潤(rùn)最高，最高為元.【解析】試題分析：解：（Ⅰ）由基本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立∴，成本的最小值為元．（Ⅱ）設(shè)總利潤(rùn)為元，則當(dāng)時(shí)答：生產(chǎn)650件產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最高，最高總利潤(rùn)為29750元．考點(diǎn)：函數(shù)模型運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：主要是考查了函數(shù)模型運(yùn)用，結(jié)合均值不等式來求解最值，屬于中檔題．18.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在直線，（為長(zhǎng)半軸，為半焦距）上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求以O(shè)M為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N.求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定值為【解析】【分析】（1）由題可知，，再結(jié)合，可求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心和半徑，由以O(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn)，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，即可確定出所求圓的方程；（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出及，由，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式，又，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入，即可求出線段ON的長(zhǎng)，從而得到線段ON的長(zhǎng)為定值.【詳解】（1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得故，從而所以橢圓方程為（2）以O(shè)M為直徑圓的方程為即其圓心為，半徑因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2所以圓心到直線的距離所以，解得所求圓的方程為（3）方法一：由平面幾何知：直線OM：，直線FN：由得所以線段ON的長(zhǎng)為定值.方法二、設(shè)，則又所以，為定值【點(diǎn)睛】此題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.19.已知.（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí)，求證：.【答案】（1）；（2）.（3）見解析.【解析】分析：（1）函數(shù)在區(qū)間有極值.在上有根，結(jié)合條件由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，由此得到的取值范圍；

（2）構(gòu)造函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解有實(shí)數(shù)解

（法二）由分離系數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，由題意可得，．

（3）結(jié)合函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)可得，，利用該結(jié)論分別把代入疊加可證．詳解：解：（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，而函數(shù)在區(qū)間有極值.，解得；（2）由（1）得的極大值為，令，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.（另解：，，令，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值為當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，.）（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，而，，即，即，而，結(jié)論成立.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)存在極值的性質(zhì)，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，要注意疊加法及放縮法在證明不等式中的應(yīng)用．20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，是否存在q的某些取值，使數(shù)列中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和？若能求出q的全部取值集合，若不能說明理由．（3）若，是否存在，使數(shù)列中，某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和？若存在指出q的一個(gè)取值，若不存在，說明理由．【答案】解：（1）見詳解；（2）不存在；（3）不存在【解析】【分析】（1）由前項(xiàng)和公式，結(jié)合求出，進(jìn)而可得出結(jié)論成立；（2）根據(jù)得，不妨設(shè)，兩邊同除以，再結(jié)合條件，即可得出結(jié)論；（3）同(2)，先設(shè)，當(dāng)，結(jié)合條件驗(yàn)證不成立即可.【詳解】（1）n=1時(shí)，，時(shí)，（n=1也符合），，即數(shù)列是等比數(shù)列．（2）若則可設(shè)，兩邊同除以得：因?yàn)樽筮吥鼙籷整除，右邊不能被q整除，因此滿足條件的q不存在．（3）若則可設(shè)，，，不成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)數(shù)列的性質(zhì)和公式即可，屬于常考題型.21.已知正數(shù)，，滿足，求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】由正數(shù)，，滿足，又，然后結(jié)合均值不等式求證即可.【詳解】證明：由正數(shù)，，滿足，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）,故命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查了三項(xiàng)均值不等式,重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力,屬基礎(chǔ)題.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線在矩陣對(duì)