統(tǒng)計學(xué)-第3章-數(shù)據(jù)分布特征描述課件

以數(shù)值特征，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布進(jìn)行量化描述。主要包括三方面：集中趨勢用平均指標(biāo)描述（位置特征）；離中趨勢用變異指標(biāo)描述（離散特征）；偏斜程度用偏度和峰度描述（偏斜特征、峰度特征）。

本章學(xué)習(xí)任務(wù)以數(shù)值特征，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布進(jìn)行量化描述。本章學(xué)習(xí)任務(wù)0學(xué)習(xí)要求：理解測度統(tǒng)計數(shù)據(jù)集中趨勢、離散程度的概念、指標(biāo)、相互關(guān)系；

掌握主要分析指標(biāo)的計算方法和應(yīng)用場合，并能熟練進(jìn)行相關(guān)計算分析。學(xué)習(xí)要求：1數(shù)據(jù)分布特征與測度：概覽集中趨勢(位置)偏態(tài)和峰態(tài)(形狀)離中趨勢

(分散程度)數(shù)據(jù)分布特征與測度：概覽集中趨勢偏態(tài)和峰態(tài)離中趨勢2數(shù)據(jù)分布特征測度分布形狀集中趨勢離散程度冪平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)異眾比率方差、標(biāo)準(zhǔn)差峰度平均差極差偏度

變異系數(shù)數(shù)據(jù)分布特征測度分布形狀集中趨勢離散程度冪平均數(shù)中位數(shù)眾3第一節(jié)統(tǒng)計變量集中趨勢測定一集中趨勢指標(biāo)及作用二數(shù)值平均數(shù)三眾數(shù)與中位數(shù)（位置平均數(shù)）第一節(jié)統(tǒng)計變量集中趨勢測定一集中趨勢指標(biāo)及作用4一、集中趨勢指標(biāo)及作用集中趨勢(Centraltendency)集中趨勢即一組數(shù)據(jù)向其中心值聚集或靠攏的傾向和程度。用平均指標(biāo)表示，代表數(shù)據(jù)的一般水平。測定集中趨勢是認(rèn)識數(shù)據(jù)分布特征的基本內(nèi)容。一、集中趨勢指標(biāo)及作用集中趨勢(Centraltenden5集中趨勢指標(biāo)有兩類：數(shù)值平均數(shù)根據(jù)全部數(shù)據(jù)計算得到的代表值。優(yōu)點：數(shù)學(xué)性質(zhì)良好，可用于統(tǒng)計推斷

缺點：易受極端值影響。主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)及幾何平均數(shù)，三者均為冪平均數(shù)特例。集中趨勢指標(biāo)有兩類：6位置平均數(shù)根據(jù)對總體中處于特定位置的單個或部分單位標(biāo)志值直接觀察或推算確定的代表值。優(yōu)點：不易受極端值影響，具有較好穩(wěn)健性。

缺點：不宜用作統(tǒng)計推斷。主要包括眾數(shù)和中位數(shù)。位置平均數(shù)7集中趨勢指標(biāo)作用1．反映變量分布的集中趨勢和一般水平。如用平均工資了解職工工資分布的中心，反映職工工資的一般水平。2．比較同一現(xiàn)象在不同空間或不同階段的發(fā)展水平，反映現(xiàn)象變化特征、趨勢和規(guī)律性。能消除總體規(guī)模差異造成的不利影響；在一定程度上減弱偶然因素的影響。一、集中趨勢指標(biāo)及作用集中趨勢指標(biāo)作用一、集中趨勢指標(biāo)及作用83．分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。如研究勞動者文化程度與收入的關(guān)系。4．（數(shù)值）平均指標(biāo)是推斷統(tǒng)計中的重要統(tǒng)計量，是進(jìn)行統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。3．分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。9幾種常見的位置特征數(shù)數(shù)據(jù)分布的位置特征數(shù)實際上也是數(shù)據(jù)的代表值，代表了數(shù)據(jù)的一般水平。在不同場合，可以適當(dāng)選用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)充當(dāng)位置特征數(shù)（代表值）其中平均數(shù)不同于中位數(shù)、眾數(shù)的特點在于：平均數(shù)是由所研究的全體數(shù)據(jù)參加計算所得。平均數(shù)的一般形式叫做冪平均數(shù)。常見的有算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)。幾種常見的位置特征數(shù)數(shù)據(jù)分布的位置特征數(shù)實際上也是數(shù)據(jù)的代表10二、數(shù)值平均數(shù)（一）冪平均數(shù)冪，power變量X取N個值：。權(quán)數(shù)為一組正數(shù)：。加權(quán)冪平均數(shù)一般形式為：其中，k為任意實數(shù)。二、數(shù)值平均數(shù)（一）冪平均數(shù)11權(quán)數(shù)w均相等時，加權(quán)平均數(shù)退化為簡單平均數(shù)：

權(quán)數(shù)w均相等時，加權(quán)平均數(shù)退化為簡單平均數(shù)：12特例情況

冪平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（冪指數(shù)k=1）

調(diào)和平均數(shù)（冪指數(shù)k=-1）幾何平均數(shù)（冪指數(shù)k0）

其他冪平均數(shù)特例情況冪平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（冪指數(shù)k=1）調(diào)和平均數(shù)（13k=1:算術(shù)平均數(shù)加權(quán)簡單k=1:算術(shù)平均數(shù)14k=-1:調(diào)和平均數(shù)加權(quán)簡單k=-1:調(diào)和平均數(shù)15k0:幾何平均數(shù)加權(quán)簡單k0:幾何平均數(shù)16關(guān)于加權(quán)問題權(quán)數(shù)確定方式：客觀權(quán)數(shù)：權(quán)數(shù)由實際統(tǒng)計資料獲得或推算。主觀權(quán)數(shù)：根據(jù)研究問題，由研究者主觀賦值。權(quán)數(shù)作用：權(quán)衡變量的各種取值在計算平均數(shù)時的重要性。權(quán)數(shù)作用，根本上是通過權(quán)數(shù)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。關(guān)于加權(quán)問題17權(quán)數(shù)作用：即使不改變被平均的數(shù)值，僅改變權(quán)數(shù)結(jié)構(gòu)，即可改變平均數(shù)水平。例如，改變教師職稱結(jié)構(gòu)，而不改變各種職稱教師課時費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，會改變平均課時費(fèi)水平。權(quán)數(shù)實質(zhì)權(quán)數(shù)的實質(zhì)在于其結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)比例形式（比重權(quán)數(shù)）。其更能清晰表明權(quán)數(shù)之權(quán)衡輕重的作用。權(quán)數(shù)作用：18權(quán)數(shù)形式有2種：絕對數(shù)形式結(jié)構(gòu)比例形式

權(quán)數(shù)形式有2種：19（二）算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticmean），也稱均值（mean）。由一組數(shù)據(jù)的總和（總體標(biāo)志總量）除以該組數(shù)據(jù)的項數(shù)（總體單位總量）得到;算術(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量/總體單位總量是最常用的數(shù)值平均數(shù)；根據(jù)掌握資料不同，其有多種計算公式。

（二）算術(shù)平均數(shù)201．簡單算術(shù)平均數(shù)對未分組數(shù)據(jù)，采用簡單算術(shù)平均數(shù)公式。即把各項數(shù)據(jù)直接加總，然后除以總項數(shù)。計算公式：1．簡單算術(shù)平均數(shù)21分組舉例解：采用簡單算術(shù)平均法計算，即全體隊員的平均年齡為（單位：周歲）分組數(shù)據(jù)不能簡單平均！因為各組變量值的次數(shù)（權(quán)數(shù)）不等！若采用簡單平均：應(yīng)采用加權(quán)平均。兩種計算公式結(jié)果相同！分組舉例解：采用簡單算術(shù)平均法計算，即全體隊員的平均年齡為（222．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)對單項式分組資料，應(yīng)以各標(biāo)志值出現(xiàn)次數(shù)為權(quán)數(shù)加權(quán)平均。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算公式：例3-1單項式分組資料（表3-2）計算方法為：2．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)233．由組距分組資料計算組距分組資料中，各組變量值不唯一，是一個區(qū)間；計算時，各組變量值通常用組中值（近似）代表；用組中值代替實際值，其假定條件是各組內(nèi)數(shù)據(jù)呈均勻分布或?qū)ΨQ分布。由于實際情況中該條件未必滿足，故計算結(jié)果是近似值；與單項式分組資料一樣，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算。3．由組距分組資料計算24舉例解：平均使用壽命為舉例解：平均使用壽命為254．比率類型統(tǒng)計變量求平均數(shù)（1）比率類型統(tǒng)計變量，指平均指標(biāo)和相對指標(biāo)。（2）對比率類型變量求平均，涉及個體比率和總比率兩個概念。（3）對比率類型變量計算平均數(shù)，基本要求是：比率類型變量平均值M，等于個體比率的總比率。簡言之：先求和，再對比。（4）根據(jù)掌握資料不同，可采用三種等價形式：

總比率，加權(quán)算術(shù)平均，加權(quán)調(diào)和平均4．比率類型統(tǒng)計變量求平均數(shù)26例如：對相對數(shù)求算術(shù)平均數(shù)對相對數(shù)而言，由于各個相對數(shù)的對比基礎(chǔ)不同，采用簡單算術(shù)平均不合理，必須加權(quán)平均。權(quán)數(shù)選擇必須符合該相對數(shù)本身的計算公式，通常為該相對數(shù)的分母指標(biāo)。對表3-4的分組資料：其中，分母b為權(quán)數(shù)f例如：對相對數(shù)求算術(shù)平均數(shù)27又如：對平均數(shù)求算術(shù)平均數(shù)某商貿(mào)公司購入一批水果，分等級收購價格和收購金額如下表。試求這批水果的平均收購價格。解：又如：對平均數(shù)求算術(shù)平均數(shù)285．算術(shù)平均數(shù)主要數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與變量值個數(shù)乘積，等于各變量值總和。（2）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之總和，等于零。（3）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之總和最小。（從全部數(shù)據(jù)看，算術(shù)平均數(shù)最接近所有變量值）5．算術(shù)平均數(shù)主要數(shù)學(xué)性質(zhì)29性質(zhì)（3）證明：性質(zhì)（3）證明：30（三）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）調(diào)和平均數(shù)，也稱倒數(shù)平均數(shù)。各變量值倒數(shù)（1/xi）的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。計算公式為：（三）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）31社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)，通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形。已知各組變量值xi和（xi

fi）而缺乏fi時，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)通?？勺冃螢檎{(diào)和平均數(shù)形式來計算?；貞?-4求解：社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)，通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形32（四）幾何平均數(shù)（Geometricmean）簡單幾何平均數(shù)—n個變量值連乘積的n次方根。加權(quán)幾何平均數(shù)適用于各個變量值之間存在連乘積關(guān)系的場合。主要用于計算現(xiàn)象的平均發(fā)展速度（第九章）；也適用于對某些具有環(huán)比性質(zhì)的比率求平均（下例）。（四）幾何平均數(shù)（Geometricmean）33舉例例3-5。某企業(yè)產(chǎn)品的加工要順次經(jīng)過前后銜接的五道工序。本月該企業(yè)各加工工序的合格率分別為88％、85％、90％、92％、96％，試求這五道工序的平均合格率。解：本例中各工序的合格率具有環(huán)比的性質(zhì)，企業(yè)產(chǎn)品的總合格率等于各工序合格率之連乘積。所以，所求平均合格率應(yīng)為：舉例例3-5。某企業(yè)產(chǎn)品的加工要順次經(jīng)過前后銜接的五道工序。34（五）幾種平均數(shù)大小關(guān)系對同一批數(shù)據(jù)和權(quán)數(shù)，三種平均數(shù)關(guān)系：

調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均當(dāng)且僅當(dāng)所有觀察值全部相等時，等號成立；否則不等式嚴(yán)格成立。證明思路：首先證明冪平均數(shù)隨冪值k單調(diào)遞增變化（可由微分方法證明）。根據(jù)三類平均數(shù)k取值關(guān)系，調(diào)和平均數(shù)（k=-1）、幾何平均數(shù)（k→0）、算術(shù)平均數(shù)（k=1）可得到以上結(jié)論。（五）幾種平均數(shù)大小關(guān)系35平均數(shù)的應(yīng)用場合常見的應(yīng)用場合有：作為統(tǒng)計指標(biāo)的一種表現(xiàn)形式作為統(tǒng)計總體分布的位置特征數(shù)反映一個統(tǒng)計變量所有觀察值的一般水平抵消掉隨機(jī)試驗中的偶然因素影響，顯示出試驗的規(guī)律性水平。

平均數(shù)的應(yīng)用場合常見的應(yīng)用場合有：36數(shù)據(jù)是隨機(jī)試驗的結(jié)果。隨機(jī)試驗的個別結(jié)果會呈現(xiàn)出或高或低的起伏波動，實際上這是由偶然因素影響造成的。在進(jìn)行大量重復(fù)試驗，將試驗結(jié)果簡單算術(shù)平均，那么隨著試驗次數(shù)的增加，算術(shù)平均值就會越來越逼近一個穩(wěn)定值，而這個穩(wěn)定值就是試驗的規(guī)律性水平（數(shù)學(xué)期望值）。因此，在統(tǒng)計分析中，常常采用算術(shù)平均的手法去抵消現(xiàn)象中的偶然影響，以期近似地認(rèn)識現(xiàn)象的規(guī)律性水平。數(shù)據(jù)是隨機(jī)試驗的結(jié)果。37三、眾數(shù)與中位數(shù)（一）眾數(shù)（Mode）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多、頻率最高的變量值，常用Mo

表示。眾數(shù)代表最常見、最普遍的狀況，可度量現(xiàn)象集中趨勢。可測度定性變量集中趨勢，也可度量定量變量集中趨勢。在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的管理決策中具有廣泛應(yīng)用。三、眾數(shù)與中位數(shù)（一）眾數(shù)（Mode）38對分布數(shù)列求眾數(shù)，具有條件性。存在性:若分布數(shù)列沒有明顯集中趨勢，則不存在眾數(shù)；唯一性:若分布數(shù)列有多個相對集中趨勢，則有多個眾數(shù)。從分布曲線上看，眾數(shù)就是一個變量分布曲線的最高峰所對應(yīng)的變量值。（見課本55頁圖3-1）為確定眾數(shù)，通常要編制分布數(shù)列。眾數(shù)是分布曲線最高點對應(yīng)的標(biāo)志值。單項式分布數(shù)列中，眾數(shù)是具有最多次數(shù)的標(biāo)志值，可觀察得到。如表3-2中，眾數(shù)值Mo＝25，組距式分布數(shù)列中，眾數(shù)需要推算。對分布數(shù)列求眾數(shù)，具有條件性。39組距分布數(shù)列中，眾數(shù)推算方法：先找到眾數(shù)組。等距數(shù)列中，眾數(shù)組是頻數(shù)最多的組；異距數(shù)列中，眾數(shù)組是頻數(shù)密度最大的組。根據(jù)眾數(shù)組與其相鄰兩組的次數(shù)差推算（假定性）。其公式有2，結(jié)果完全一致：具體計算：見教材例3-7（P55）下限公式：上限公式：組距分布數(shù)列中，眾數(shù)推算方法：下限公式：上限公式：40統(tǒng)計學(xué)-第3章--數(shù)據(jù)分布特征描述課件414050607080901005040302010AGFBCED頻數(shù)xy(L)(U)Mo=L+x=U-yO40506042（二）中位數(shù)（Median）中位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排列后位置居中的數(shù)值。標(biāo)志值小于或等于中位數(shù)的單位占一半；標(biāo)志值大于或等于中位數(shù)的單位也占一半。用中位數(shù)代表總體標(biāo)志值的一般水平，可以避免極端值影響，有時更具代表性。Me50%50%（二）中位數(shù)（Median）Me50%50%43未分組數(shù)據(jù)計算中位數(shù)若數(shù)據(jù)項數(shù)是奇數(shù)，則位于中間的數(shù)值為中位數(shù)；如5人收入為:1200,1450,1500,1600,2000元，則其收入中位數(shù)Me=1500。若數(shù)據(jù)項數(shù)是偶數(shù)，則取居中兩個數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。如6人收入為:1200,1450,1500,1600,1800,2000元，則收入中位數(shù)Me=1550。未分組數(shù)據(jù)計算中位數(shù)44分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)先確定中位數(shù)組，即中間位置（Σf/2）所在的組。對單項式分組，可直接得到中位數(shù)。對組距式分組，假定中位數(shù)組內(nèi)次數(shù)均勻分布，近似推算中位數(shù)。計算公式有2，結(jié)果完全一致：分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)45下限公式上限公式下限公式46分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)先確定中位數(shù)組，即中間位置（Σf/2）所在的組。對單項式分組，可直接得到中位數(shù)。對組距式分組，假定中位數(shù)組內(nèi)次數(shù)均勻分布，近似推算中位數(shù)。計算公式有2，結(jié)果完全一致。見下例：下限公式：上限公式：分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)下限公式：上限公式：47可由累計分布數(shù)列或累計分布圖確定中位數(shù)。以累計頻率分布曲線圖為例(該例與前面直方圖數(shù)據(jù)一致)此例中，與累計頻率50%相對應(yīng)的成績76分，即為中位數(shù)。向上累計圖：60分以下有16.7%向下累計圖：80分以上有38.9%可由累計分布數(shù)列或累計分布圖確定中位數(shù)。向上累計圖：向下累計48中位數(shù)與分位數(shù)四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)分別是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/4、1/10、1/100位置上的數(shù)值。中位數(shù)實際上是第2個四分位數(shù)、第5個十分位數(shù)、第50個百分位數(shù)。分位數(shù)與其它指標(biāo)結(jié)合，可以更詳細(xì)地反映數(shù)據(jù)分布特征。中位數(shù)使用場合與作用在較明顯的偏斜分布情形下，用中位數(shù)來說明次數(shù)分布位置特征較為適中。因為眾數(shù)忽略了偏斜一側(cè)的大量數(shù)值，而算術(shù)平均數(shù)又過分強(qiáng)調(diào)了這些數(shù)值。算術(shù)平均數(shù)對特異值的反應(yīng)十分靈敏，而中位數(shù)對特異值反應(yīng)不靈敏。常常把中位數(shù)（與算術(shù)平均數(shù)的差異大?。┳鳛樘剿靼l(fā)現(xiàn)特異值的標(biāo)準(zhǔn)。中位數(shù)與分位數(shù)49箱線圖（boxplot）箱線圖由一組數(shù)據(jù)的最小值（xmin）、第一四分位數(shù)（Q1）、中位數(shù)（Me）、第三四分位數(shù)（Q3）、最大值（xmax）等五個數(shù)值來繪成。利用箱線圖可以觀察數(shù)據(jù)分布的范圍、中心位置和對稱性等特征，還可進(jìn)行多組數(shù)據(jù)分布的比較。xminQ1MeQ3

xmax箱線圖（boxplot）xminQ150（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)比較0.三者均測度數(shù)據(jù)的集中趨勢和一般水平。1.算術(shù)平均數(shù)屬于數(shù)值平均數(shù)，其綜合利用全部數(shù)據(jù)信息；眾數(shù)和中位數(shù)則由數(shù)據(jù)分布的特定位置確定。2.算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在，且具有惟一性；眾數(shù)則不然，其計算和應(yīng)用有兩個前提條件：數(shù)據(jù)項數(shù)眾多，且具有明顯的集中趨勢。（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)比較513.算術(shù)平均數(shù)只能用于定量（數(shù)值型）數(shù)據(jù)；中位數(shù)適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)；眾數(shù)適用于所有形式（各種類型及計量層次）的數(shù)據(jù)。4.算術(shù)平均數(shù)受數(shù)據(jù)極端值影響，而眾數(shù)和中位數(shù)都不受極端值的影響。為排除極端值干擾，可計算切尾均值，即去掉數(shù)據(jù)中最大和最小的若干數(shù)值后計算的均值。該思路常用于某些比賽計分規(guī)則中，如體操、跳水等。切尾均值是將算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)互相結(jié)合的結(jié)果。3.算術(shù)平均數(shù)只能用于定量（數(shù)值型）數(shù)據(jù)；525.算術(shù)平均數(shù)可用于推算總體的有關(guān)總量指標(biāo)，而中位數(shù)和眾數(shù)則不宜用作此類推算。6.算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的數(shù)量關(guān)系，取決于數(shù)據(jù)分布的偏斜程度。對單峰鐘形分布而言，三者數(shù)量大小有如下關(guān)系：統(tǒng)計學(xué)-第3章--數(shù)據(jù)分布特征描述課件53據(jù)例3-2，3-7，3-8結(jié)果，表3-3的燈泡壽命數(shù)據(jù)服從右偏分布。皮爾遜（K.Pearson）經(jīng)驗公式：在輕微偏態(tài)時，三者的近似關(guān)系為對稱分布右偏分布上偏分布正偏分布左偏分布下偏分布負(fù)偏分布據(jù)例3-2，3-7，3-8結(jié)果，表3-3的燈泡壽命數(shù)據(jù)服從右54第二節(jié)統(tǒng)計變量離散程度測定一、離散程度指標(biāo)及其作用二、極差、四分位差和平均差三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差四、離散系數(shù)五、異眾比率第二節(jié)統(tǒng)計變量離散程度測定一、離散程度指標(biāo)及其作用55一、離散程度指標(biāo)及作用測度離散程度的指標(biāo)，稱為變異指標(biāo)，分為兩類：絕對數(shù)：極差、四分位差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。相對數(shù)：離散系數(shù)、異眾比率。離散程度指標(biāo)作用：

1.說明數(shù)據(jù)分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。

2.衡量平均數(shù)的代表性。離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。

3.統(tǒng)計推斷的重要依據(jù)判別統(tǒng)計推斷前提條件是否成立；衡量推斷效果好壞的重要尺度。一、離散程度指標(biāo)及作用測度離散程度的指標(biāo)，稱為變異指標(biāo)，分為56二、極差、四分位差和平均差（一）極差（Range）極差(極值之差)是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，常用R表示。對總體數(shù)據(jù)而言，極差能界定變量變化范圍與幅度大小，也稱全距。組距數(shù)列中，極差≈最高組上限-最低組下限。優(yōu)缺點：優(yōu)點：計算簡便、含義直觀、容易理解。缺點：代表性差、穩(wěn)健性差（僅利用尾端信息，未考慮數(shù)據(jù)中間分布情況，不能充分說明全部數(shù)據(jù)的差異程度）。二、極差、四分位差和平均差（一）極差（Range）57（二）四分位差第3四分位數(shù)（Q3）與第1四分位數(shù)（Q1）之差，常用Qd表示。計算公式為：實質(zhì)是兩端各去掉1/4數(shù)據(jù)以后的極差，表示占全部數(shù)據(jù)一半的中間數(shù)據(jù)的離散程度。四分位差越大，表示數(shù)據(jù)離散程度越大。在一定程度上改進(jìn)極差，避免了極端值干擾。但對數(shù)據(jù)差異的反映，仍然不充分。使用場合：當(dāng)用中位數(shù)測度數(shù)據(jù)集中趨勢時，使用四分位差反映離散程度效果最好（匹配性）。（二）四分位差58（三）平均差（AverageDeviation）定義：平均差是各數(shù)據(jù)與其均值（算術(shù)平均數(shù)）的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。反映全部數(shù)據(jù)與其均值的平均差距，以A.D表示。計算公式：優(yōu)缺點：含義清晰，能全面反映數(shù)據(jù)離散程度。取離差絕對值進(jìn)行平均，數(shù)學(xué)處理不方便，數(shù)學(xué)性質(zhì)也非最優(yōu)。分組數(shù)據(jù):xi為各組組中值未分組數(shù)據(jù):xi為原始數(shù)據(jù)（三）平均差（AverageDeviation）分組數(shù)據(jù):59三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（一）方差（Variance）概念和計算方差是全部數(shù)據(jù)與其均值的離差平方的算術(shù)平均數(shù).總體方差（

2）計算公式：樣本方差（常用S2表示）分母應(yīng)改為（n-1）。只有如此，才能保證s2是σ2的無偏估計量。分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（一）方差（Variance）概念和計算分60標(biāo)準(zhǔn)差（standardDeviation）：方差的算術(shù)平方根?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差一般用表示。計算公式為：未分組數(shù)據(jù)：樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S），分母應(yīng)為（n-1）。特點：方差和標(biāo)準(zhǔn)差均利用全部數(shù)據(jù)計算，能全面反映數(shù)據(jù)離散程度；且其靈敏性通常高于平均差。標(biāo)準(zhǔn)差比方差更容易理解（計量單位與均值一致）。在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計分析中，標(biāo)準(zhǔn)差比方差應(yīng)用普遍，經(jīng)常被用作測度數(shù)據(jù)與均值差距的標(biāo)準(zhǔn)尺度。分組數(shù)據(jù)：標(biāo)準(zhǔn)差（standardDeviation）：方差的算術(shù)平61例3-9計算平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差由例3-2，已知該組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)為1542。例3-9計算平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差62統(tǒng)計學(xué)-第3章--數(shù)據(jù)分布特征描述課件63（二）方差主要數(shù)學(xué)性質(zhì)常數(shù)方差等于零。如a為常數(shù)，則變量線性函數(shù)的方差，等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。設(shè)a,b為常數(shù)，y=a+bx，則有：分組條件下，總體方差可以分解為組間方差與各組方差平均數(shù)之和。（該結(jié)論可用于第六章方差分析）組間方差各組方差平均數(shù)（二）方差主要數(shù)學(xué)性質(zhì)組間方差各組方差平均數(shù)64（三）標(biāo)準(zhǔn)化值（Z-score）對于兩組數(shù)據(jù)，如果其均值和標(biāo)準(zhǔn)差均有明顯差異，則往往不能直接對比。需要首先將其轉(zhuǎn)化為可比的數(shù)據(jù)。通?？梢詫ζ溥M(jìn)行無量綱化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化值，也稱為Z值。標(biāo)準(zhǔn)化值，實際是將不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的總體轉(zhuǎn)換為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的總體，將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為其在總體中的相對位置。標(biāo)準(zhǔn)化值比較具有相對意義，沒有絕對意義。（三）標(biāo)準(zhǔn)化值（Z-score）65例3-10假定某班學(xué)生先后兩次進(jìn)行難度不同的綜合考試。第一次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為80分和10分，第二次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70分和7分。某同學(xué)第一、二次考試的成績分別為92分和80分，那么全班相比較而言，他哪一次考試的成績更好呢？解：由于兩次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同，該學(xué)生兩次考試的成績不宜直接比較。直接比較，第一次成績更好；利用標(biāo)準(zhǔn)化值比較，表明第二次考試成績更好一些。例3-10假定某班學(xué)生先后兩次進(jìn)行難度不同的綜合考試。第一次66（四）對稱鐘形分布的3法則3法則——關(guān)于對稱鐘形分布的近似經(jīng)驗法則：變量值落在[-3，+3]范圍以外的情況極為少見。通常將落在區(qū)間[-3，+3]之外的數(shù)據(jù)，稱為異常數(shù)據(jù)或離群點。x99.73%68.27%95.45%正態(tài)分布（四）對稱鐘形分布的3法則x99.73%68.27%9567四、離散系數(shù)絕對值變異指標(biāo)有計量單位。其數(shù)值大小不僅取決于數(shù)據(jù)離散程度，還受數(shù)據(jù)本身水平高低和計量單位的影響。對不同變量（或不同數(shù)據(jù)組）的離散程度進(jìn)行比較時，只有當(dāng)它們的平均水平和計量單位都相同時，才能利用絕對值變異指標(biāo)分析；否則，須利用離散系數(shù)比較其離散程度。例如，哪個變量差異較大：體重，還是身高？例如，那組人群體重差異較大：成人，還是嬰兒？成人：平均體重=70kg，標(biāo)準(zhǔn)差=5kg嬰兒：5kg，1kg四、離散系數(shù)絕對值變異指標(biāo)有計量單位。其數(shù)值大小不僅取決于數(shù)68例：觀察7個人的體重和身高如下：體重（公斤）xi：62,67,65,69,70,73,74身高（厘米）yi:165,166，168，170，174，178，180判斷體重與身高哪個離散較為嚴(yán)重。注：兩組計量單位不同，不能用極差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差等絕對離散特征數(shù)直接進(jìn)行比較。適合采用離散系數(shù)比較。例：觀察7個人的體重和身高如下：體重（公斤）xi：69離散系數(shù)是極差、四分位差、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差等變異指標(biāo)與算術(shù)平均數(shù)的比率，以相對數(shù)形式表示變異程度。將極差與算術(shù)平均數(shù)對比得到極差系數(shù)，將平均差與算術(shù)平均數(shù)對比得到平均差系數(shù)。最常用的離散系數(shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差計算的，稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大，其平均數(shù)的代表性就差；反之亦反。離散系數(shù)是極差、四分位差、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差等變異指標(biāo)與算術(shù)平均70五、異眾比率異眾比率是指非眾數(shù)值的次數(shù)之和在總次數(shù)中所占比重，其公式為：主要用于衡量一組數(shù)據(jù)以眾數(shù)為分布中心的集中程度，即衡量眾數(shù)對一組數(shù)據(jù)一般水平的代表性。其值越小，數(shù)據(jù)集中程度越高，眾數(shù)代表性越大；反之，亦反。其既可用于定量變量，也可用于定性變量。五、異眾比率異眾比率是指非眾數(shù)值的次數(shù)之和在總次數(shù)中所占比71第三節(jié)變量分布的偏度與峰度一、矩（動差）二、偏度三、峰度要全面了解數(shù)據(jù)的分布特點，還要知道數(shù)據(jù)偏斜狀況以及尖峭程度，分別由偏度和峰度來反映。與均值和方差一樣，均為矩的特例。第三節(jié)變量分布的偏度與峰度一、矩（動差）72一、矩（動差）矩（動差）——一系列刻畫數(shù)據(jù)分布特征的指標(biāo)的統(tǒng)稱（該概念引自物理學(xué)）。變量值與數(shù)值a之離差的k次方的平均數(shù)，稱為變量x關(guān)于a的k階矩，即：一、矩（動差）矩（動差）——一系列刻畫數(shù)據(jù)分布特征的指73K階原點矩（當(dāng)a=0時）是數(shù)據(jù)的k次方的平均數(shù)一階原點矩即算術(shù)平均數(shù)；二階原點矩即平方平均數(shù)。K階中心矩矩（當(dāng)a=均值時）是以均值為中心計算的離差k次方的平均數(shù)k=1時，稱為一階中心矩，它恒等于0，即

m1=0；k=2時，稱為二階中心矩，也就是方差，即m2=

2。K階原點矩（當(dāng)a=0時）是數(shù)據(jù)的k次方的平均數(shù)74二、偏度（Skewness）偏度——指數(shù)據(jù)分布的不對稱程度或偏斜程度。以對稱分布為標(biāo)準(zhǔn)來區(qū)分偏態(tài)分布又分左偏（負(fù)偏）和右偏（正偏）.左偏分布（負(fù)偏）右偏分布（正偏）二、偏度（Skewness）偏度——指數(shù)據(jù)分布的不對稱程度或75偏態(tài)的測度方法（一）由均值與眾數(shù)之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù) 一般有：-30+3

極左偏態(tài)對稱分布極右偏態(tài)偏態(tài)的測度方法-376（二）由三個四分位數(shù)之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)值域：-1Sk1-10+1

極左偏態(tài)對稱分布極右偏態(tài)（二）由三個四分位數(shù)之間的關(guān)系求偏態(tài)系數(shù)值域：-1Sk77（三）利用3階中心矩來計算偏度系數(shù)。測定偏度最常用的方法原理：若分布不對稱，則3階中心矩不為0。不對稱程度愈嚴(yán)重，3階中心矩的絕對值愈大。為消除量綱的影響，可除以

3。0

對稱分布

左偏分布

右偏分布（三）利用3階中心矩來計算偏度系數(shù)。078三、峰度（Kurtosis）峰度——是指變量的集中程度和分布曲線的陡峭（或平坦）的程度。對峰度的度量通常以正態(tài)分布曲線為比較標(biāo)準(zhǔn)，分為正態(tài)峰度、尖頂峰度和平頂峰度.平頂分布尖峰分布尖頂峰度的分布曲線比正態(tài)分布曲線更加尖峭、更高更窄；平頂峰度的分布曲線比正態(tài)分配曲線更為平緩、更低更扁平。三、峰度（Kurtosis）峰度——是指變量的集中程度和分布79峰度系數(shù)原理：分布曲線尖峭程度與偶數(shù)階中心矩數(shù)值大小直接有關(guān)。以四階中心矩m4為基礎(chǔ)，除以標(biāo)準(zhǔn)差的四次方σ4（消除量綱影響），得到的相對數(shù)即可衡量峰度。對正態(tài)分布曲線有：m4/σ4=3當(dāng)K=0時，分布曲線為正態(tài)曲線；當(dāng)K＞0時，為尖頂曲線，表示數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更集中在均值附近；K的數(shù)值越大，則變量分布曲線之頂端越尖峭；當(dāng)K＜0時，為平頂曲線，表示數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更分散；K的數(shù)值越小，則變量分布曲線之頂端越平坦。峰度系數(shù)80例3-13根據(jù)表3-3的數(shù)據(jù)，計算使用壽命分布的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。解：計算結(jié)果表明，偏度系數(shù)幾乎為0，峰度系數(shù)略小于0，說明該產(chǎn)品使用壽命的分布十分接近對稱分布，分布曲線頂峰略比正態(tài)分布平坦一些?？偟恼f來，該產(chǎn)品的使用壽命的分布非常接近正態(tài)分布。例3-13根據(jù)表3-3的數(shù)據(jù)，計算使用壽命分布的偏度系數(shù)和峰81以數(shù)值特征，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布進(jìn)行量化描述。主要包括三方面：集中趨勢用平均指標(biāo)描述（位置特征）；離中趨勢用變異指標(biāo)描述（離散特征）；偏斜程度用偏度和峰度描述（偏斜特征、峰度特征）。

本章學(xué)習(xí)任務(wù)以數(shù)值特征，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)分布進(jìn)行量化描述。本章學(xué)習(xí)任務(wù)82學(xué)習(xí)要求：理解測度統(tǒng)計數(shù)據(jù)集中趨勢、離散程度的概念、指標(biāo)、相互關(guān)系；

掌握主要分析指標(biāo)的計算方法和應(yīng)用場合，并能熟練進(jìn)行相關(guān)計算分析。學(xué)習(xí)要求：83數(shù)據(jù)分布特征與測度：概覽集中趨勢(位置)偏態(tài)和峰態(tài)(形狀)離中趨勢

(分散程度)數(shù)據(jù)分布特征與測度：概覽集中趨勢偏態(tài)和峰態(tài)離中趨勢84數(shù)據(jù)分布特征測度分布形狀集中趨勢離散程度冪平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)異眾比率方差、標(biāo)準(zhǔn)差峰度平均差極差偏度

變異系數(shù)數(shù)據(jù)分布特征測度分布形狀集中趨勢離散程度冪平均數(shù)中位數(shù)眾85第一節(jié)統(tǒng)計變量集中趨勢測定一集中趨勢指標(biāo)及作用二數(shù)值平均數(shù)三眾數(shù)與中位數(shù)（位置平均數(shù)）第一節(jié)統(tǒng)計變量集中趨勢測定一集中趨勢指標(biāo)及作用86一、集中趨勢指標(biāo)及作用集中趨勢(Centraltendency)集中趨勢即一組數(shù)據(jù)向其中心值聚集或靠攏的傾向和程度。用平均指標(biāo)表示，代表數(shù)據(jù)的一般水平。測定集中趨勢是認(rèn)識數(shù)據(jù)分布特征的基本內(nèi)容。一、集中趨勢指標(biāo)及作用集中趨勢(Centraltenden87集中趨勢指標(biāo)有兩類：數(shù)值平均數(shù)根據(jù)全部數(shù)據(jù)計算得到的代表值。優(yōu)點：數(shù)學(xué)性質(zhì)良好，可用于統(tǒng)計推斷

缺點：易受極端值影響。主要有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)及幾何平均數(shù)，三者均為冪平均數(shù)特例。集中趨勢指標(biāo)有兩類：88位置平均數(shù)根據(jù)對總體中處于特定位置的單個或部分單位標(biāo)志值直接觀察或推算確定的代表值。優(yōu)點：不易受極端值影響，具有較好穩(wěn)健性。

缺點：不宜用作統(tǒng)計推斷。主要包括眾數(shù)和中位數(shù)。位置平均數(shù)89集中趨勢指標(biāo)作用1．反映變量分布的集中趨勢和一般水平。如用平均工資了解職工工資分布的中心，反映職工工資的一般水平。2．比較同一現(xiàn)象在不同空間或不同階段的發(fā)展水平，反映現(xiàn)象變化特征、趨勢和規(guī)律性。能消除總體規(guī)模差異造成的不利影響；在一定程度上減弱偶然因素的影響。一、集中趨勢指標(biāo)及作用集中趨勢指標(biāo)作用一、集中趨勢指標(biāo)及作用903．分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。如研究勞動者文化程度與收入的關(guān)系。4．（數(shù)值）平均指標(biāo)是推斷統(tǒng)計中的重要統(tǒng)計量，是進(jìn)行統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。3．分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。91幾種常見的位置特征數(shù)數(shù)據(jù)分布的位置特征數(shù)實際上也是數(shù)據(jù)的代表值，代表了數(shù)據(jù)的一般水平。在不同場合，可以適當(dāng)選用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)充當(dāng)位置特征數(shù)（代表值）其中平均數(shù)不同于中位數(shù)、眾數(shù)的特點在于：平均數(shù)是由所研究的全體數(shù)據(jù)參加計算所得。平均數(shù)的一般形式叫做冪平均數(shù)。常見的有算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)。幾種常見的位置特征數(shù)數(shù)據(jù)分布的位置特征數(shù)實際上也是數(shù)據(jù)的代表92二、數(shù)值平均數(shù)（一）冪平均數(shù)冪，power變量X取N個值：。權(quán)數(shù)為一組正數(shù)：。加權(quán)冪平均數(shù)一般形式為：其中，k為任意實數(shù)。二、數(shù)值平均數(shù)（一）冪平均數(shù)93權(quán)數(shù)w均相等時，加權(quán)平均數(shù)退化為簡單平均數(shù)：

權(quán)數(shù)w均相等時，加權(quán)平均數(shù)退化為簡單平均數(shù)：94特例情況

冪平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（冪指數(shù)k=1）

調(diào)和平均數(shù)（冪指數(shù)k=-1）幾何平均數(shù)（冪指數(shù)k0）

其他冪平均數(shù)特例情況冪平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（冪指數(shù)k=1）調(diào)和平均數(shù)（95k=1:算術(shù)平均數(shù)加權(quán)簡單k=1:算術(shù)平均數(shù)96k=-1:調(diào)和平均數(shù)加權(quán)簡單k=-1:調(diào)和平均數(shù)97k0:幾何平均數(shù)加權(quán)簡單k0:幾何平均數(shù)98關(guān)于加權(quán)問題權(quán)數(shù)確定方式：客觀權(quán)數(shù)：權(quán)數(shù)由實際統(tǒng)計資料獲得或推算。主觀權(quán)數(shù)：根據(jù)研究問題，由研究者主觀賦值。權(quán)數(shù)作用：權(quán)衡變量的各種取值在計算平均數(shù)時的重要性。權(quán)數(shù)作用，根本上是通過權(quán)數(shù)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。關(guān)于加權(quán)問題99權(quán)數(shù)作用：即使不改變被平均的數(shù)值，僅改變權(quán)數(shù)結(jié)構(gòu)，即可改變平均數(shù)水平。例如，改變教師職稱結(jié)構(gòu)，而不改變各種職稱教師課時費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，會改變平均課時費(fèi)水平。權(quán)數(shù)實質(zhì)權(quán)數(shù)的實質(zhì)在于其結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)比例形式（比重權(quán)數(shù)）。其更能清晰表明權(quán)數(shù)之權(quán)衡輕重的作用。權(quán)數(shù)作用：100權(quán)數(shù)形式有2種：絕對數(shù)形式結(jié)構(gòu)比例形式

權(quán)數(shù)形式有2種：101（二）算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticmean），也稱均值（mean）。由一組數(shù)據(jù)的總和（總體標(biāo)志總量）除以該組數(shù)據(jù)的項數(shù)（總體單位總量）得到;算術(shù)平均數(shù)=總體標(biāo)志總量/總體單位總量是最常用的數(shù)值平均數(shù)；根據(jù)掌握資料不同，其有多種計算公式。

（二）算術(shù)平均數(shù)1021．簡單算術(shù)平均數(shù)對未分組數(shù)據(jù)，采用簡單算術(shù)平均數(shù)公式。即把各項數(shù)據(jù)直接加總，然后除以總項數(shù)。計算公式：1．簡單算術(shù)平均數(shù)103分組舉例解：采用簡單算術(shù)平均法計算，即全體隊員的平均年齡為（單位：周歲）分組數(shù)據(jù)不能簡單平均！因為各組變量值的次數(shù)（權(quán)數(shù)）不等！若采用簡單平均：應(yīng)采用加權(quán)平均。兩種計算公式結(jié)果相同！分組舉例解：采用簡單算術(shù)平均法計算，即全體隊員的平均年齡為（1042．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)對單項式分組資料，應(yīng)以各標(biāo)志值出現(xiàn)次數(shù)為權(quán)數(shù)加權(quán)平均。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算公式：例3-1單項式分組資料（表3-2）計算方法為：2．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)1053．由組距分組資料計算組距分組資料中，各組變量值不唯一，是一個區(qū)間；計算時，各組變量值通常用組中值（近似）代表；用組中值代替實際值，其假定條件是各組內(nèi)數(shù)據(jù)呈均勻分布或?qū)ΨQ分布。由于實際情況中該條件未必滿足，故計算結(jié)果是近似值；與單項式分組資料一樣，采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算。3．由組距分組資料計算106舉例解：平均使用壽命為舉例解：平均使用壽命為1074．比率類型統(tǒng)計變量求平均數(shù)（1）比率類型統(tǒng)計變量，指平均指標(biāo)和相對指標(biāo)。（2）對比率類型變量求平均，涉及個體比率和總比率兩個概念。（3）對比率類型變量計算平均數(shù)，基本要求是：比率類型變量平均值M，等于個體比率的總比率。簡言之：先求和，再對比。（4）根據(jù)掌握資料不同，可采用三種等價形式：

總比率，加權(quán)算術(shù)平均，加權(quán)調(diào)和平均4．比率類型統(tǒng)計變量求平均數(shù)108例如：對相對數(shù)求算術(shù)平均數(shù)對相對數(shù)而言，由于各個相對數(shù)的對比基礎(chǔ)不同，采用簡單算術(shù)平均不合理，必須加權(quán)平均。權(quán)數(shù)選擇必須符合該相對數(shù)本身的計算公式，通常為該相對數(shù)的分母指標(biāo)。對表3-4的分組資料：其中，分母b為權(quán)數(shù)f例如：對相對數(shù)求算術(shù)平均數(shù)109又如：對平均數(shù)求算術(shù)平均數(shù)某商貿(mào)公司購入一批水果，分等級收購價格和收購金額如下表。試求這批水果的平均收購價格。解：又如：對平均數(shù)求算術(shù)平均數(shù)1105．算術(shù)平均數(shù)主要數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與變量值個數(shù)乘積，等于各變量值總和。（2）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之總和，等于零。（3）各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方之總和最小。（從全部數(shù)據(jù)看，算術(shù)平均數(shù)最接近所有變量值）5．算術(shù)平均數(shù)主要數(shù)學(xué)性質(zhì)111性質(zhì)（3）證明：性質(zhì)（3）證明：112（三）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）調(diào)和平均數(shù)，也稱倒數(shù)平均數(shù)。各變量值倒數(shù)（1/xi）的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。計算公式為：（三）調(diào)和平均數(shù)（Harmonicmean）113社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)，通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形。已知各組變量值xi和（xi

fi）而缺乏fi時，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)通常可變形為調(diào)和平均數(shù)形式來計算?；貞?-4求解：社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計中所應(yīng)用的調(diào)和平均數(shù)，通常是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形114（四）幾何平均數(shù)（Geometricmean）簡單幾何平均數(shù)—n個變量值連乘積的n次方根。加權(quán)幾何平均數(shù)適用于各個變量值之間存在連乘積關(guān)系的場合。主要用于計算現(xiàn)象的平均發(fā)展速度（第九章）；也適用于對某些具有環(huán)比性質(zhì)的比率求平均（下例）。（四）幾何平均數(shù)（Geometricmean）115舉例例3-5。某企業(yè)產(chǎn)品的加工要順次經(jīng)過前后銜接的五道工序。本月該企業(yè)各加工工序的合格率分別為88％、85％、90％、92％、96％，試求這五道工序的平均合格率。解：本例中各工序的合格率具有環(huán)比的性質(zhì)，企業(yè)產(chǎn)品的總合格率等于各工序合格率之連乘積。所以，所求平均合格率應(yīng)為：舉例例3-5。某企業(yè)產(chǎn)品的加工要順次經(jīng)過前后銜接的五道工序。116（五）幾種平均數(shù)大小關(guān)系對同一批數(shù)據(jù)和權(quán)數(shù)，三種平均數(shù)關(guān)系：

調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均當(dāng)且僅當(dāng)所有觀察值全部相等時，等號成立；否則不等式嚴(yán)格成立。證明思路：首先證明冪平均數(shù)隨冪值k單調(diào)遞增變化（可由微分方法證明）。根據(jù)三類平均數(shù)k取值關(guān)系，調(diào)和平均數(shù)（k=-1）、幾何平均數(shù)（k→0）、算術(shù)平均數(shù)（k=1）可得到以上結(jié)論。（五）幾種平均數(shù)大小關(guān)系117平均數(shù)的應(yīng)用場合常見的應(yīng)用場合有：作為統(tǒng)計指標(biāo)的一種表現(xiàn)形式作為統(tǒng)計總體分布的位置特征數(shù)反映一個統(tǒng)計變量所有觀察值的一般水平抵消掉隨機(jī)試驗中的偶然因素影響，顯示出試驗的規(guī)律性水平。

平均數(shù)的應(yīng)用場合常見的應(yīng)用場合有：118數(shù)據(jù)是隨機(jī)試驗的結(jié)果。隨機(jī)試驗的個別結(jié)果會呈現(xiàn)出或高或低的起伏波動，實際上這是由偶然因素影響造成的。在進(jìn)行大量重復(fù)試驗，將試驗結(jié)果簡單算術(shù)平均，那么隨著試驗次數(shù)的增加，算術(shù)平均值就會越來越逼近一個穩(wěn)定值，而這個穩(wěn)定值就是試驗的規(guī)律性水平（數(shù)學(xué)期望值）。因此，在統(tǒng)計分析中，常常采用算術(shù)平均的手法去抵消現(xiàn)象中的偶然影響，以期近似地認(rèn)識現(xiàn)象的規(guī)律性水平。數(shù)據(jù)是隨機(jī)試驗的結(jié)果。119三、眾數(shù)與中位數(shù)（一）眾數(shù)（Mode）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多、頻率最高的變量值，常用Mo

表示。眾數(shù)代表最常見、最普遍的狀況，可度量現(xiàn)象集中趨勢?？蓽y度定性變量集中趨勢，也可度量定量變量集中趨勢。在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的管理決策中具有廣泛應(yīng)用。三、眾數(shù)與中位數(shù)（一）眾數(shù)（Mode）120對分布數(shù)列求眾數(shù)，具有條件性。存在性:若分布數(shù)列沒有明顯集中趨勢，則不存在眾數(shù)；唯一性:若分布數(shù)列有多個相對集中趨勢，則有多個眾數(shù)。從分布曲線上看，眾數(shù)就是一個變量分布曲線的最高峰所對應(yīng)的變量值。（見課本55頁圖3-1）為確定眾數(shù)，通常要編制分布數(shù)列。眾數(shù)是分布曲線最高點對應(yīng)的標(biāo)志值。單項式分布數(shù)列中，眾數(shù)是具有最多次數(shù)的標(biāo)志值，可觀察得到。如表3-2中，眾數(shù)值Mo＝25，組距式分布數(shù)列中，眾數(shù)需要推算。對分布數(shù)列求眾數(shù)，具有條件性。121組距分布數(shù)列中，眾數(shù)推算方法：先找到眾數(shù)組。等距數(shù)列中，眾數(shù)組是頻數(shù)最多的組；異距數(shù)列中，眾數(shù)組是頻數(shù)密度最大的組。根據(jù)眾數(shù)組與其相鄰兩組的次數(shù)差推算（假定性）。其公式有2，結(jié)果完全一致：具體計算：見教材例3-7（P55）下限公式：上限公式：組距分布數(shù)列中，眾數(shù)推算方法：下限公式：上限公式：122統(tǒng)計學(xué)-第3章--數(shù)據(jù)分布特征描述課件1234050607080901005040302010AGFBCED頻數(shù)xy(L)(U)Mo=L+x=U-yO405060124（二）中位數(shù)（Median）中位數(shù)是將數(shù)據(jù)由小到大排列后位置居中的數(shù)值。標(biāo)志值小于或等于中位數(shù)的單位占一半；標(biāo)志值大于或等于中位數(shù)的單位也占一半。用中位數(shù)代表總體標(biāo)志值的一般水平，可以避免極端值影響，有時更具代表性。Me50%50%（二）中位數(shù)（Median）Me50%50%125未分組數(shù)據(jù)計算中位數(shù)若數(shù)據(jù)項數(shù)是奇數(shù)，則位于中間的數(shù)值為中位數(shù)；如5人收入為:1200,1450,1500,1600,2000元，則其收入中位數(shù)Me=1500。若數(shù)據(jù)項數(shù)是偶數(shù)，則取居中兩個數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。如6人收入為:1200,1450,1500,1600,1800,2000元，則收入中位數(shù)Me=1550。未分組數(shù)據(jù)計算中位數(shù)126分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)先確定中位數(shù)組，即中間位置（Σf/2）所在的組。對單項式分組，可直接得到中位數(shù)。對組距式分組，假定中位數(shù)組內(nèi)次數(shù)均勻分布，近似推算中位數(shù)。計算公式有2，結(jié)果完全一致：分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)127下限公式上限公式下限公式128分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)先確定中位數(shù)組，即中間位置（Σf/2）所在的組。對單項式分組，可直接得到中位數(shù)。對組距式分組，假定中位數(shù)組內(nèi)次數(shù)均勻分布，近似推算中位數(shù)。計算公式有2，結(jié)果完全一致。見下例：下限公式：上限公式：分組數(shù)據(jù)推算中位數(shù)下限公式：上限公式：129可由累計分布數(shù)列或累計分布圖確定中位數(shù)。以累計頻率分布曲線圖為例(該例與前面直方圖數(shù)據(jù)一致)此例中，與累計頻率50%相對應(yīng)的成績76分，即為中位數(shù)。向上累計圖：60分以下有16.7%向下累計圖：80分以上有38.9%可由累計分布數(shù)列或累計分布圖確定中位數(shù)。向上累計圖：向下累計130中位數(shù)與分位數(shù)四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù)分別是將數(shù)據(jù)由小到大排序后，位于全部數(shù)據(jù)1/4、1/10、1/100位置上的數(shù)值。中位數(shù)實際上是第2個四分位數(shù)、第5個十分位數(shù)、第50個百分位數(shù)。分位數(shù)與其它指標(biāo)結(jié)合，可以更詳細(xì)地反映數(shù)據(jù)分布特征。中位數(shù)使用場合與作用在較明顯的偏斜分布情形下，用中位數(shù)來說明次數(shù)分布位置特征較為適中。因為眾數(shù)忽略了偏斜一側(cè)的大量數(shù)值，而算術(shù)平均數(shù)又過分強(qiáng)調(diào)了這些數(shù)值。算術(shù)平均數(shù)對特異值的反應(yīng)十分靈敏，而中位數(shù)對特異值反應(yīng)不靈敏。常常把中位數(shù)（與算術(shù)平均數(shù)的差異大?。┳鳛樘剿靼l(fā)現(xiàn)特異值的標(biāo)準(zhǔn)。中位數(shù)與分位數(shù)131箱線圖（boxplot）箱線圖由一組數(shù)據(jù)的最小值（xmin）、第一四分位數(shù)（Q1）、中位數(shù)（Me）、第三四分位數(shù)（Q3）、最大值（xmax）等五個數(shù)值來繪成。利用箱線圖可以觀察數(shù)據(jù)分布的范圍、中心位置和對稱性等特征，還可進(jìn)行多組數(shù)據(jù)分布的比較。xminQ1MeQ3

xmax箱線圖（boxplot）xminQ1132（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)比較0.三者均測度數(shù)據(jù)的集中趨勢和一般水平。1.算術(shù)平均數(shù)屬于數(shù)值平均數(shù)，其綜合利用全部數(shù)據(jù)信息；眾數(shù)和中位數(shù)則由數(shù)據(jù)分布的特定位置確定。2.算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在，且具有惟一性；眾數(shù)則不然，其計算和應(yīng)用有兩個前提條件：數(shù)據(jù)項數(shù)眾多，且具有明顯的集中趨勢。（三）眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)比較1333.算術(shù)平均數(shù)只能用于定量（數(shù)值型）數(shù)據(jù)；中位數(shù)適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)；眾數(shù)適用于所有形式（各種類型及計量層次）的數(shù)據(jù)。4.算術(shù)平均數(shù)受數(shù)據(jù)極端值影響，而眾數(shù)和中位數(shù)都不受極端值的影響。為排除極端值干擾，可計算切尾均值，即去掉數(shù)據(jù)中最大和最小的若干數(shù)值后計算的均值。該思路常用于某些比賽計分規(guī)則中，如體操、跳水等。切尾均值是將算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)互相結(jié)合的結(jié)果。3.算術(shù)平均數(shù)只能用于定量（數(shù)值型）數(shù)據(jù)；1345.算術(shù)平均數(shù)可用于推算總體的有關(guān)總量指標(biāo)，而中位數(shù)和眾數(shù)則不宜用作此類推算。6.算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的數(shù)量關(guān)系，取決于數(shù)據(jù)分布的偏斜程度。對單峰鐘形分布而言，三者數(shù)量大小有如下關(guān)系：統(tǒng)計學(xué)-第3章--數(shù)據(jù)分布特征描述課件135據(jù)例3-2，3-7，3-8結(jié)果，表3-3的燈泡壽命數(shù)據(jù)服從右偏分布。皮爾遜（K.Pearson）經(jīng)驗公式：在輕微偏態(tài)時，三者的近似關(guān)系為對稱分布右偏分布上偏分布正偏分布左偏分布下偏分布負(fù)偏分布據(jù)例3-2，3-7，3-8結(jié)果，表3-3的燈泡壽命數(shù)據(jù)服從右136第二節(jié)統(tǒng)計變量離散程度測定一、離散程度指標(biāo)及其作用二、極差、四分位差和平均差三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差四、離散系數(shù)五、異眾比率第二節(jié)統(tǒng)計變量離散程度測定一、離散程度指標(biāo)及其作用137一、離散程度指標(biāo)及作用測度離散程度的指標(biāo)，稱為變異指標(biāo)，分為兩類：絕對數(shù)：極差、四分位差、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。相對數(shù)：離散系數(shù)、異眾比率。離散程度指標(biāo)作用：

1.說明數(shù)據(jù)分散程度，反映變量的穩(wěn)定性、均衡性。數(shù)據(jù)之間差異越大，變量的穩(wěn)定性或均衡性越差。

2.衡量平均數(shù)的代表性。離散程度越大，平均數(shù)的代表性就越小。

3.統(tǒng)計推斷的重要依據(jù)判別統(tǒng)計推斷前提條件是否成立；衡量推斷效果好壞的重要尺度。一、離散程度指標(biāo)及作用測度離散程度的指標(biāo)，稱為變異指標(biāo)，分為138二、極差、四分位差和平均差（一）極差（Range）極差(極值之差)是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，常用R表示。對總體數(shù)據(jù)而言，極差能界定變量變化范圍與幅度大小，也稱全距。組距數(shù)列中，極差≈最高組上限-最低組下限。優(yōu)缺點：優(yōu)點：計算簡便、含義直觀、容易理解。缺點：代表性差、穩(wěn)健性差（僅利用尾端信息，未考慮數(shù)據(jù)中間分布情況，不能充分說明全部數(shù)據(jù)的差異程度）。二、極差、四分位差和平均差（一）極差（Range）139（二）四分位差第3四分位數(shù)（Q3）與第1四分位數(shù)（Q1）之差，常用Qd表示。計算公式為：實質(zhì)是兩端各去掉1/4數(shù)據(jù)以后的極差，表示占全部數(shù)據(jù)一半的中間數(shù)據(jù)的離散程度。四分位差越大，表示數(shù)據(jù)離散程度越大。在一定程度上改進(jìn)極差，避免了極端值干擾。但對數(shù)據(jù)差異的反映，仍然不充分。使用場合：當(dāng)用中位數(shù)測度數(shù)據(jù)集中趨勢時，使用四分位差反映離散程度效果最好（匹配性）。（二）四分位差140（三）平均差（AverageDeviation）定義：平均差是各數(shù)據(jù)與其均值（算術(shù)平均數(shù)）的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。反映全部數(shù)據(jù)與其均值的平均差距，以A.D表示。計算公式：優(yōu)缺點：含義清晰，能全面反映數(shù)據(jù)離散程度。取離差絕對值進(jìn)行平均，數(shù)學(xué)處理不方便，數(shù)學(xué)性質(zhì)也非最優(yōu)。分組數(shù)據(jù):xi為各組組中值未分組數(shù)據(jù):xi為原始數(shù)據(jù)（三）平均差（AverageDeviation）分組數(shù)據(jù):141三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（一）方差（Variance）概念和計算方差是全部數(shù)據(jù)與其均值的離差平方的算術(shù)平均數(shù).總體方差（

2）計算公式：樣本方差（常用S2表示）分母應(yīng)改為（n-1）。只有如此，才能保證s2是σ2的無偏估計量。分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（一）方差（Variance）概念和計算分142標(biāo)準(zhǔn)差（standardDeviation）：方差的算術(shù)平方根?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差一般用表示。計算公式為：未分組數(shù)據(jù)：樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S），分母應(yīng)為（n-1）。特點：方差和標(biāo)準(zhǔn)差均利用全部數(shù)據(jù)計算，能全面反映數(shù)據(jù)離散程度；且其靈敏性通常高于平均差。標(biāo)準(zhǔn)差比方差更容易理解（計量單位與均值一致）。在社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計分析中，標(biāo)準(zhǔn)差比方差應(yīng)用普遍，經(jīng)常被用作測度數(shù)據(jù)與均值差距的標(biāo)準(zhǔn)尺度。分組數(shù)據(jù)：標(biāo)準(zhǔn)差（standardDeviation）：方差的算術(shù)平143例3-9計算平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差由例3-2，已知該組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)為1542。例3-9計算平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差144統(tǒng)計學(xué)-第3章--數(shù)據(jù)分布特征描述課件145（二）方差主要數(shù)學(xué)性質(zhì)常數(shù)方差等于零。如a為常數(shù)，則變量線性函數(shù)的方差，等于變量系數(shù)的平方乘以變量的方差。設(shè)a,b為常數(shù)，y=a+bx，則有：分組條件下，總體方差可以分解為組間方差與各組方差平均數(shù)之和。（該結(jié)論可用于第六章方差分析）組間方差各組方差平均數(shù)（二）方差主要數(shù)學(xué)性質(zhì)組間方差各組方差平均數(shù)146（三）標(biāo)準(zhǔn)化值（Z-score）對于兩組數(shù)據(jù)，如果其均值和標(biāo)準(zhǔn)差均有明顯差異，則往往不能直接對比。需要首先將其轉(zhuǎn)化為可比的數(shù)據(jù)。通常可以對其進(jìn)行無量綱化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化值，也稱為Z值。標(biāo)準(zhǔn)化值，實際是將不同均值和標(biāo)準(zhǔn)差的總體轉(zhuǎn)換為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的總體，將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為其在總體中的相對位置。標(biāo)準(zhǔn)化值比較具有相對意義，沒有絕對意義。（三）標(biāo)準(zhǔn)化值（Z-score）147例3-10假定某班學(xué)生先后兩次進(jìn)行難度不同的綜合考試。第一次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為80分和10分，第二次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為70分和7分。某同學(xué)第一、二次考試的成績分別為92分和80分，那么全班相比較而言，他哪一次考試的成績更好呢？解：由于兩次考試成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同，該學(xué)生兩次考試的成績不宜直接比較。直接比較，第一次成績更好；利用標(biāo)準(zhǔn)化值比較，表明第二次考試成績更好一些。例3-10假定某班學(xué)生先后兩次進(jìn)行難度不同的綜合考試。第一次148（四）對稱鐘形分布的3法則3法則——關(guān)于對稱鐘形分布的近似經(jīng)驗法則：變量值落在[-3，+3]范圍以外的情況極為少見。通常將落在區(qū)間[-3，+3]之外的數(shù)據(jù)，稱為異常數(shù)據(jù)或離群點。x99.73%68.27%95.45%正態(tài)分布（四）對稱鐘形分布的3法則x99.73%68.27%95149四、離散系數(shù)絕對值變異指標(biāo)有計量單位。其數(shù)值大小不僅取決于數(shù)據(jù)離散程度，還受數(shù)據(jù)本身水平高低和計量單位的影響。對不同變量（或不同數(shù)據(jù)組）的離散程度進(jìn)行比較時，只有當(dāng)它們的平均水平和計量單位都相同時，才能利用絕對值變異指標(biāo)分析；否則，須利用離散系數(shù)比較其離散程度