高考理科數學人教A一輪復習課件：8-空間幾何體的表面積與體積

8.2空間幾何體的表面積與體積8.2空間幾何體的表面積與體積-2-知識梳理考點自診1.多面體的表(側)面積因為多面體的各個面都是平面,所以多面體的側面積就是

,表面積是側面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式所有側面的面積之和

2πrlπrlπ(r1+r2)l-2-知識梳理考點自診1.多面體的表(側)面積所有側面的面積-3-知識梳理考點自診3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

Sh4πR2-3-知識梳理考點自診3.柱、錐、臺和球的表面積和體積Sh-4-知識梳理考點自診1.與體積有關的幾個結論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.2.長方體的外接球(1)球心:體對角線的交點.-4-知識梳理考點自診1.與體積有關的幾個結論-5-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)如果圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側面積是2πS.(

)(2)設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為3πa2.(

)(3)若一個球的體積為

π,則它的表面積為12π.(

)(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC繞直線BC旋轉一周所形成的幾何體的體積為9π.(

)(5)將圓心角為,面積為3π的扇形作為圓錐的側面,則圓錐的表面積等于4π.(

)××√×√-5-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√-6-知識梳理考點自診2.(2019湖北黃岡中學三模)已知一個簡單幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為24π+48,則r=(

)A.1 B.2C.3 D.4B-6-知識梳理考點自診2.(2019湖北黃岡中學三模)已知一-7-知識梳理考點自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的體積是(

)B解析:根據幾何體的三視圖,該幾何體是由一個正方體切去一角得到的.故該幾何體的外接球為正方體的外接球,-7-知識梳理考點自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何-8-知識梳理考點自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為(

)B-8-知識梳理考點自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長-9-知識梳理考點自診5.(2019江蘇,9)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點,則三棱錐E-BCD的體積是

.

10-9-知識梳理考點自診5.(2019江蘇,9)如圖,長方體A-10-知識梳理考點自診解析:∵長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120,∴AB·BC·CC1=120.∵E為CC1的中點,CC1⊥底面ABCD,-10-知識梳理考點自診解析:∵長方體ABCD-A1B1C1-11-考點1考點2考點3

空間幾何體的表面積例1(1)(2019山西晉城二模,文8)若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(

)A.240

B.264C.274 D.282B-11-考點1考點2考點3空間幾何體的表面積B-12-考點1考點2考點3(2)《九章算術》是我國古代數學名著,在《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”,若某“陽馬”的三視圖如圖所示,其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形,則該“陽馬”的表面積為

(

)C-12-考點1考點2考點3(2)《九章算術》是我國古代數學名-13-考點1考點2考點3解析:(1)解法一:由幾何體的三視圖得幾何體的直觀圖如圖所示,延長BE交DF于A點,其中AB=AD=DD1=6,AE=3,AF=4,-13-考點1考點2考點3解析:(1)解法一:由幾何體的三視-14-考點1考點2考點3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五棱柱,底面看作是邊長為6的正方形與一個三角形組成,如圖:則該幾何體的表面積為:(10+6+6+3+5)×6+2×6×6+3×4=264.故選B.-14-考點1考點2考點3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五-15-考點1考點2考點3(2)由三視圖知該幾何體是側棱垂直于底面的四棱錐,如圖所示.正視圖和側視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形,且俯視圖為正方形,所以四棱錐的底面是正方形,且邊長為1,其中一條側棱PD⊥底面ABCD,且側棱AD=1,四棱錐的四個側面都為直角三角形,-15-考點1考點2考點3(2)由三視圖知該幾何體是側棱垂直-16-考點1考點2考點3思考求幾何體的表面積的關鍵是什么?解題心得1.以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的一般思路是根據三視圖想象原幾何體的形狀構成,并從三視圖中發(fā)現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系,然后在直觀圖中求解.2.求旋轉體體積的一般思路是理解所得旋轉體的幾何特征,確定得到計算體積所需要的幾何量.-16-考點1考點2考點3思考求幾何體的表面積的關鍵是什么?-17-考點1考點2考點3對點訓練1(1)(2019第三次全國大聯考,理8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是(

)D-17-考點1考點2考點3對點訓練1(1)(2019第三次全-18-考點1考點2考點3(2)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與側視圖均為半徑是2的圓,則這個幾何體的表面積是(

)A.16π B.14π C.12π D.8πA-18-考點1考點2考點3(2)一個幾何體的三視圖如圖所示,-19-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3-20-考點1考點2考點3空間幾何體的體積例2(2019湖南六校聯考,4)如圖是一個幾何體的三視圖,且這個幾何體的體積為8,則俯視圖中三角形的高x等于(

)A.2 B.3

C.4 D.1C-20-考點1考點2考點3空間幾何體的體積例2(2019湖南-21-考點1考點2考點3-21-考點1考點2考點3-22-考點1考點2考點3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思路是什么?解題心得1.求由三視圖給出的幾何體的體積,一般思路是根據三視圖畫出幾何體的直觀圖,從三視圖中找到構成幾何體的元素間的位置關系及數量關系,然后求其體積.2.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補體法、轉化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法.-22-考點1考點2考點3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思-23-考點1考點2考點3對點訓練2(2019山東日照三校一月聯考,7)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖是邊長為2的正三角形,則該幾何體的體積為(

)B-23-考點1考點2考點3對點訓練2(2019山東日照三校一-24-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-25-考點1考點2考點3

與球有關的切、接問題(多考向)考向1

棱柱的外接球問題例3(2019陜西寶雞中學模擬,15)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該棱柱的體積為,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此球的表面積等于

.

8π-25-考點1考點2考點3與球有關的切、接問題(多考向)8-26-考點1考點2考點3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?解題心得求棱柱外接球的半徑,常利用球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑r的關系式R2=r2+d2,這里棱柱的底面看作球的截面.-26-考點1考點2考點3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?-27-考點1考點2考點3對點訓練3一個六棱柱的底面是正六邊形,其側棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為3,則這個球的體積為

.

-27-考點1考點2考點3對點訓練3一個六棱柱的底面是正六邊-28-考點1考點2考點3

考向2

棱錐的外接球問題(多方法)

方法1

補形法求球的半徑例4(1)(2019全國1,理12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為(

)(2)(2019福建漳州質檢二,15)已知正四面體A-BCD的外接球的體積為8π,則這個四面體的表面積為

.

D-28-考點1考點2考點3考向2棱錐的外接球問題(多方法-29-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3-30-考點1考點2考點3-30-考點1考點2考點3-31-考點1考點2考點3(2)將正四面體ABCD放在一個正方體內,設正方體的棱長為a,如下圖所示,-31-考點1考點2考點3(2)將正四面體ABCD放在一個正-32-考點1考點2考點3思考若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直,怎樣求其外接球的半徑?解題心得一般地,若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且其長度分別為a,b,c,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體,于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半徑為R,則有-32-考點1考點2考點3思考若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直-33-考點1考點2考點3對點訓練4(1)(2019山東德州一模,8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為

(

)C-33-考點1考點2考點3對點訓練4(1)(2019山東德州-34-考點1考點2考點3(2)(2019山東實驗等四校聯考,6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則此三棱錐的外接球表面積是(

)B-34-考點1考點2考點3(2)(2019山東實驗等四校聯考-35-考點1考點2考點3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補形為長方體,其外接球的直徑為將三棱錐補形為三棱柱,則三棱錐與三棱柱有相同的外接球,由于正三棱柱與球都是中心和軸對稱圖形,所以球心為三棱柱兩底面中心連線的中點,設△ABC的外心為O1,設球心為O,連接OC,O1C,則-35-考點1考點2考點3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補形-36-考點1考點2考點3

方法2

體積法求球的半徑例5正四面體的棱長為a,則其內切球和外接球的半徑是多少?解:

如圖所示,設點O是內切球的球心,正四面體棱長為a.由圖形的對稱性知,點O也是外接球的球心.設內切球半徑為r,外接球半徑為R.-36-考點1考點2考點3方法2體積法求球的半徑解:如-37-考點1考點2考點3思考幾何體的內切球和外接球的球心與幾何體有怎樣的關系?解題心得正四面體的內切球及外接球的半徑及其求法1.內切球的半徑是根據球心到各個面的距離相等把正四面體分解成四個正三棱錐,且正四面體的體積等于四個正三棱錐體積之和,從而求出球心到正四面體面的距離,即內切球半徑.2.外接球的半徑是根據外接球的球心到正四面體的每一個頂點的距離是相等的,所以繼計算出內切球半徑后,再將分解出來的小的四面體的棱長計算出來即可.3.內切球與外接球半徑的聯系:內切球半徑+外接球半徑=正四面體的高.-37-考點1考點2考點3思考幾何體的內切球和外接球的球心與-38-考點1考點2考點3對點訓練5(2019山師附中考前模擬,14)在三棱錐P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三個側面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內切球的表面積為

.

-38-考點1考點2考點3對點訓練5(2019山師附中考前模-39-考點1考點2考點3

方法3

確定球心位置例6(1)(2019陜西咸陽一模,10)四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,則球O的表面積為(

)A.6π B.5π C.4π

D.3π(2)(2019湖南六校聯考,16)已知四棱錐S-ABCD的三視圖如圖所示,若該四棱錐的各個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積等于

.

A-39-考點1考點2考點3方法3確定球心位置A-40-考點1考點2考點3解析:(1)由于AB⊥平面BCD,故AB⊥BD,AB⊥CD,而CD⊥BC,故CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以三角形ABD和三角形ACD為有公共斜邊的直角三角形,設斜邊AD的中點為O,則有OA=OB=OC=OD,即O為外接球的球心,AD為球的直徑,AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面積為π·AD2=6π,故選A.-40-考點1考點2考點3解析:(1)由于AB⊥平面BCD-41-考點1考點2考點3(2)找球心是本題的難點,由該四棱錐的三視圖知,該四棱錐直觀圖如圖,由△SAB是一個銳角三角形,可知其外接圓的圓心在三角形內,設為O1,長方形ABCD的外接圓的圓心為其對角線的中點O2,設四棱錐外接球的球心為O,則OO1⊥平面SAB,OO2⊥平面ABCD,則OB為球的半徑R.設r1為△SAB外接圓半徑,r2為矩形ABCD外接圓半徑,L=AB,則r1=O1B,r2=O2B,-41-考點1考點2考點3(2)找球心是本題的難點,由該四棱-42-考點1考點2考點3-42-考點1考點2考點3-43-考點1考點2考點3思考如何確定棱錐外接球的球心?解題心得球是中心對稱圖形和軸對稱圖形,球心與任意一個截面圓的圓心的連線垂直截面圓,經常由此性質來確實球的球心位置.-43-考點1考點2考點3思考如何確定棱錐外接球的球心?-44-考點1考點2考點3對點訓練6(1)(2019河北唐山一模,15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC=,且AD⊥CD,該四面體外接球的表面積為

.

(2)(2019江西重點中學聯考一,16)已知四棱錐S-ABCD的所有頂點都在球O的球面上,SD⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD且滿足AB=2AD=2DC=2,SC=,則球O的表面積是

.

2π5π-44-考點1考點2考點3對點訓練6(1)(2019河北唐山-45-考點1考點2考點3解析:(1)如圖所示,由AB=BC=1,AC=,得AB⊥BC,所以△ABC為直角三角形.AC的中點到點A,B,C的距離相等且為AC長的一半,又AD⊥CD,△DAC也是直角三角形,AC的中點到點D的距離也是AC長的一半,所以AC的中點到四面體各頂點的距離都相等,所以其外接球的球心即為AC的中點.-45-考點1考點2考點3解析:(1)如圖所示,由AB=B-46-考點1考點2考點3-46-考點1考點2考點3-47-考點1考點2考點3-47-考點1考點2考點3-48-考點1考點2考點31.求柱體、錐體、臺體與球的表面積、體積的問題,要結合它們的結構特點與平面幾何知識來解決.2.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面.3.與球有關的組合體問題,一種是內切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關元素間的數量關系,并作出合適的截面圖.-48-考點1考點2考點31.求柱體、錐體、臺體與球的表面積-49-考點1考點2考點31.求組合體的表面積時,組合體的銜接部分的面積問題易出錯.2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時,由于幾何體的還原不準確及幾何體的結構特征認識不準易導致錯誤.3.易混側面積與表面積的概念.-49-考點1考點2考點31.求組合體的表面積時,組合體的銜-50-例1(2019河北衡水中學四調,10)如圖所示,某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成,該封閉幾何體內部放入一個小圓柱體,且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行,則小圓柱體積的最大值為(

)-50-例1(2019河北衡水中學四調,10)如圖所示,某幾-51-答案:B小圓柱體積V=π·(5cos

θ)2(5+5sin

θ),設sin

θ=t,t∈(0,1),則V=125π(-t3-t2+t+1),-51-答案:B-52-例2(2019山東德州一模,12)在四面體ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,則四面體ABCD體積的最大值是

(

)答案:A-52-例2(2019山東德州一模,12)在四面體ABCD中-53--53--54-例3(2017全國1,理16)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為

.

-54-例3(2017全國1,理16)如圖,圓形紙片的圓心為-55--55--56-點評求幾何體體積最值的基本思路是根據題意設出一個幾何量,用該量表示出幾何體的體積,然后根據體積表達式求其最值,若表達式是一個三次以上的函數,一般通過求導的方法求最值.-56-點評求幾何體體積最值的基本思路是根據題意設出一個幾何8.2空間幾何體的表面積與體積8.2空間幾何體的表面積與體積-58-知識梳理考點自診1.多面體的表(側)面積因為多面體的各個面都是平面,所以多面體的側面積就是

,表面積是側面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式所有側面的面積之和

2πrlπrlπ(r1+r2)l-2-知識梳理考點自診1.多面體的表(側)面積所有側面的面積-59-知識梳理考點自診3.柱、錐、臺和球的表面積和體積

Sh4πR2-3-知識梳理考點自診3.柱、錐、臺和球的表面積和體積Sh-60-知識梳理考點自診1.與體積有關的幾個結論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.2.長方體的外接球(1)球心:體對角線的交點.-4-知識梳理考點自診1.與體積有關的幾個結論-61-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)如果圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側面積是2πS.(

)(2)設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為3πa2.(

)(3)若一個球的體積為

π,則它的表面積為12π.(

)(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC繞直線BC旋轉一周所形成的幾何體的體積為9π.(

)(5)將圓心角為,面積為3π的扇形作為圓錐的側面,則圓錐的表面積等于4π.(

)××√×√-5-知識梳理考點自診1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√-62-知識梳理考點自診2.(2019湖北黃岡中學三模)已知一個簡單幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為24π+48,則r=(

)A.1 B.2C.3 D.4B-6-知識梳理考點自診2.(2019湖北黃岡中學三模)已知一-63-知識梳理考點自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的體積是(

)B解析:根據幾何體的三視圖,該幾何體是由一個正方體切去一角得到的.故該幾何體的外接球為正方體的外接球,-7-知識梳理考點自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何-64-知識梳理考點自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為(

)B-8-知識梳理考點自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長-65-知識梳理考點自診5.(2019江蘇,9)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點,則三棱錐E-BCD的體積是

.

10-9-知識梳理考點自診5.(2019江蘇,9)如圖,長方體A-66-知識梳理考點自診解析:∵長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120,∴AB·BC·CC1=120.∵E為CC1的中點,CC1⊥底面ABCD,-10-知識梳理考點自診解析:∵長方體ABCD-A1B1C1-67-考點1考點2考點3

空間幾何體的表面積例1(1)(2019山西晉城二模,文8)若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(

)A.240

B.264C.274 D.282B-11-考點1考點2考點3空間幾何體的表面積B-68-考點1考點2考點3(2)《九章算術》是我國古代數學名著,在《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”,若某“陽馬”的三視圖如圖所示,其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形,則該“陽馬”的表面積為

(

)C-12-考點1考點2考點3(2)《九章算術》是我國古代數學名-69-考點1考點2考點3解析:(1)解法一:由幾何體的三視圖得幾何體的直觀圖如圖所示,延長BE交DF于A點,其中AB=AD=DD1=6,AE=3,AF=4,-13-考點1考點2考點3解析:(1)解法一:由幾何體的三視-70-考點1考點2考點3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五棱柱,底面看作是邊長為6的正方形與一個三角形組成,如圖:則該幾何體的表面積為:(10+6+6+3+5)×6+2×6×6+3×4=264.故選B.-14-考點1考點2考點3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五-71-考點1考點2考點3(2)由三視圖知該幾何體是側棱垂直于底面的四棱錐,如圖所示.正視圖和側視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形,且俯視圖為正方形,所以四棱錐的底面是正方形,且邊長為1,其中一條側棱PD⊥底面ABCD,且側棱AD=1,四棱錐的四個側面都為直角三角形,-15-考點1考點2考點3(2)由三視圖知該幾何體是側棱垂直-72-考點1考點2考點3思考求幾何體的表面積的關鍵是什么?解題心得1.以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的一般思路是根據三視圖想象原幾何體的形狀構成,并從三視圖中發(fā)現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系,然后在直觀圖中求解.2.求旋轉體體積的一般思路是理解所得旋轉體的幾何特征,確定得到計算體積所需要的幾何量.-16-考點1考點2考點3思考求幾何體的表面積的關鍵是什么?-73-考點1考點2考點3對點訓練1(1)(2019第三次全國大聯考,理8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是(

)D-17-考點1考點2考點3對點訓練1(1)(2019第三次全-74-考點1考點2考點3(2)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與側視圖均為半徑是2的圓,則這個幾何體的表面積是(

)A.16π B.14π C.12π D.8πA-18-考點1考點2考點3(2)一個幾何體的三視圖如圖所示,-75-考點1考點2考點3-19-考點1考點2考點3-76-考點1考點2考點3空間幾何體的體積例2(2019湖南六校聯考,4)如圖是一個幾何體的三視圖,且這個幾何體的體積為8,則俯視圖中三角形的高x等于(

)A.2 B.3

C.4 D.1C-20-考點1考點2考點3空間幾何體的體積例2(2019湖南-77-考點1考點2考點3-21-考點1考點2考點3-78-考點1考點2考點3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思路是什么?解題心得1.求由三視圖給出的幾何體的體積,一般思路是根據三視圖畫出幾何體的直觀圖,從三視圖中找到構成幾何體的元素間的位置關系及數量關系,然后求其體積.2.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補體法、轉化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法.-22-考點1考點2考點3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思-79-考點1考點2考點3對點訓練2(2019山東日照三校一月聯考,7)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖是邊長為2的正三角形,則該幾何體的體積為(

)B-23-考點1考點2考點3對點訓練2(2019山東日照三校一-80-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3-81-考點1考點2考點3

與球有關的切、接問題(多考向)考向1

棱柱的外接球問題例3(2019陜西寶雞中學模擬,15)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該棱柱的體積為,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此球的表面積等于

.

8π-25-考點1考點2考點3與球有關的切、接問題(多考向)8-82-考點1考點2考點3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?解題心得求棱柱外接球的半徑,常利用球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑r的關系式R2=r2+d2,這里棱柱的底面看作球的截面.-26-考點1考點2考點3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?-83-考點1考點2考點3對點訓練3一個六棱柱的底面是正六邊形,其側棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為3,則這個球的體積為

.

-27-考點1考點2考點3對點訓練3一個六棱柱的底面是正六邊-84-考點1考點2考點3

考向2

棱錐的外接球問題(多方法)

方法1

補形法求球的半徑例4(1)(2019全國1,理12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為(

)(2)(2019福建漳州質檢二,15)已知正四面體A-BCD的外接球的體積為8π,則這個四面體的表面積為

.

D-28-考點1考點2考點3考向2棱錐的外接球問題(多方法-85-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3-86-考點1考點2考點3-30-考點1考點2考點3-87-考點1考點2考點3(2)將正四面體ABCD放在一個正方體內,設正方體的棱長為a,如下圖所示,-31-考點1考點2考點3(2)將正四面體ABCD放在一個正-88-考點1考點2考點3思考若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直,怎樣求其外接球的半徑?解題心得一般地,若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直,且其長度分別為a,b,c,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體,于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半徑為R,則有-32-考點1考點2考點3思考若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直-89-考點1考點2考點3對點訓練4(1)(2019山東德州一模,8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為

(

)C-33-考點1考點2考點3對點訓練4(1)(2019山東德州-90-考點1考點2考點3(2)(2019山東實驗等四校聯考,6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則此三棱錐的外接球表面積是(

)B-34-考點1考點2考點3(2)(2019山東實驗等四校聯考-91-考點1考點2考點3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補形為長方體,其外接球的直徑為將三棱錐補形為三棱柱,則三棱錐與三棱柱有相同的外接球,由于正三棱柱與球都是中心和軸對稱圖形,所以球心為三棱柱兩底面中心連線的中點,設△ABC的外心為O1,設球心為O,連接OC,O1C,則-35-考點1考點2考點3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補形-92-考點1考點2考點3

方法2

體積法求球的半徑例5正四面體的棱長為a,則其內切球和外接球的半徑是多少?解:

如圖所示,設點O是內切球的球心,正四面體棱長為a.由圖形的對稱性知,點O也是外接球的球心.設內切球半徑為r,外接球半徑為R.-36-考點1考點2考點3方法2體積法求球的半徑解:如-93-考點1考點2考點3思考幾何體的內切球和外接球的球心與幾何體有怎樣的關系?解題心得正四面體的內切球及外接球的半徑及其求法1.內切球的半徑是根據球心到各個面的距離相等把正四面體分解成四個正三棱錐,且正四面體的體積等于四個正三棱錐體積之和,從而求出球心到正四面體面的距離,即內切球半徑.2.外接球的半徑是根據外接球的球心到正四面體的每一個頂點的距離是相等的,所以繼計算出內切球半徑后,再將分解出來的小的四面體的棱長計算出來即可.3.內切球與外接球半徑的聯系:內切球半徑+外接球半徑=正四面體的高.-37-考點1考點2考點3思考幾何體的內切球和外接球的球心與-94-考點1考點2考點3對點訓練5(2019山師附中考前模擬,14)在三棱錐P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三個側面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內切球的表面積為

.

-38-考點1考點2考點3對點訓練5(2019山師附中考前模-95-考點1考點2考點3

方法3

確定球心位置例6(1)(2019陜西咸陽一模,10)四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,則球O的表面積為(

)A.6π B.5π C.4π

D.3π(2)(2019湖南六校聯考,16)已知四棱錐S-ABCD的三視圖如圖所示,若該四棱錐的各個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積等于

.

A-39-考點1考點2考點3方法3確定球心位置A-96-考點1考點2考點3解析:(1)由于AB⊥平面BCD,故AB⊥BD,AB⊥CD,而CD⊥BC,故CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以三角形ABD和三角形ACD為有公共斜邊的直角三角形,設斜邊AD的中點為O,則有OA=OB=OC=OD,即O為外接球的球心,AD為球的直徑,AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面積為π·AD2=6π,故選A.-40-考點1考點2考點3解析:(1)由于AB⊥平面BCD-97-考點1考點2考點3(2)找球心是本題的難點,由該四棱錐的三視圖知,該四棱錐直觀圖如圖,由△SAB是一個銳角三角形,可知其外接圓的圓心在三角形內,設為O1,長方形ABCD的外接圓的圓心為其對角線的中點O2,設四棱錐外接球的球心為O,則OO1⊥平面SAB,OO2⊥平面ABCD,則OB為球的半徑R.設r1為△SAB外接圓半徑,r2為矩形ABCD外接圓半徑,L=AB,則r1=O1B,r2=O2B,-41-考點1考點2考點3(2)找球心是本題的難點,由該四棱-98-考點1考點2考點3-42-考點1考點2考點3-99-考點1考點2考點3思考如何確定棱錐外接球的球心?解題心得球是中心對稱圖形和軸對稱圖形,球心與任意一個截面圓的圓心的連線垂直截面圓,經常由此性質來確實球的球心位置.-43-考點1考點2考點3思考如何確定棱錐外接球的球心?-100-考點1考點2考點3對點訓練6(1)(2019河北唐山一模,15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC=,且AD⊥CD,該四面體外接球的表面積為

.

(2)(2019江西重點中學聯考一,16