高考理科數(shù)學(xué)人教A一輪復(fù)習(xí)課件：8-空間幾何體的表面積與體積

8.2空間幾何體的表面積與體積8.2空間幾何體的表面積與體積-2-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.多面體的表(側(cè))面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面,所以多面體的側(cè)面積就是

,表面積是側(cè)面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式所有側(cè)面的面積之和

2πrlπrlπ(r1+r2)l-2-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.多面體的表(側(cè))面積所有側(cè)面的面積-3-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

Sh4πR2-3-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積Sh-4-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等.2.長(zhǎng)方體的外接球(1)球心:體對(duì)角線的交點(diǎn).-4-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論-5-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)如果圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(

)(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為3πa2.(

)(3)若一個(gè)球的體積為

π,則它的表面積為12π.(

)(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9π.(

)(5)將圓心角為,面積為3π的扇形作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的表面積等于4π.(

)××√×√-5-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√-6-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診2.(2019湖北黃岡中學(xué)三模)已知一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為24π+48,則r=(

)A.1 B.2C.3 D.4B-6-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診2.(2019湖北黃岡中學(xué)三模)已知一-7-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的體積是(

)B解析:根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由一個(gè)正方體切去一角得到的.故該幾何體的外接球?yàn)檎襟w的外接球,-7-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何-8-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)的和為36,表面積為52,則其體對(duì)角線的長(zhǎng)為(

)B-8-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長(zhǎng)-9-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診5.(2019江蘇,9)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是

.

10-9-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診5.(2019江蘇,9)如圖,長(zhǎng)方體A-10-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診解析:∵長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120,∴AB·BC·CC1=120.∵E為CC1的中點(diǎn),CC1⊥底面ABCD,-10-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診解析:∵長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

空間幾何體的表面積例1(1)(2019山西晉城二模,文8)若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(

)A.240

B.264C.274 D.282B-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3空間幾何體的表面積B-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,在《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”,若某“陽(yáng)馬”的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形,則該“陽(yáng)馬”的表面積為

(

)C-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)解法一:由幾何體的三視圖得幾何體的直觀圖如圖所示,延長(zhǎng)BE交DF于A點(diǎn),其中AB=AD=DD1=6,AE=3,AF=4,-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)解法一:由幾何體的三視-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五棱柱,底面看作是邊長(zhǎng)為6的正方形與一個(gè)三角形組成,如圖:則該幾何體的表面積為:(10+6+6+3+5)×6+2×6×6+3×4=264.故選B.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)由三視圖知該幾何體是側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,如圖所示.正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形,且俯視圖為正方形,所以四棱錐的底面是正方形,且邊長(zhǎng)為1,其中一條側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且側(cè)棱AD=1,四棱錐的四個(gè)側(cè)面都為直角三角形,-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)由三視圖知該幾何體是側(cè)棱垂直-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么?解題心得1.以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的一般思路是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后在直觀圖中求解.2.求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征,確定得到計(jì)算體積所需要的幾何量.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么?-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2019第三次全國(guó)大聯(lián)考,理8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是(

)D-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2019第三次全-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是2的圓,則這個(gè)幾何體的表面積是(

)A.16π B.14π C.12π D.8πA-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3空間幾何體的體積例2(2019湖南六校聯(lián)考,4)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,且這個(gè)幾何體的體積為8,則俯視圖中三角形的高x等于(

)A.2 B.3

C.4 D.1C-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3空間幾何體的體積例2(2019湖南-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思路是什么?解題心得1.求由三視圖給出的幾何體的體積,一般思路是根據(jù)三視圖畫(huà)出幾何體的直觀圖,從三視圖中找到構(gòu)成幾何體的元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后求其體積.2.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法.-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2019山東日照三校一月聯(lián)考,7)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則該幾何體的體積為(

)B-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2019山東日照三校一-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(多考向)考向1

棱柱的外接球問(wèn)題例3(2019陜西寶雞中學(xué)模擬,15)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱柱的體積為,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此球的表面積等于

.

8π-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(多考向)8-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?解題心得求棱柱外接球的半徑,常利用球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑r的關(guān)系式R2=r2+d2,這里棱柱的底面看作球的截面.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為

.

-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3一個(gè)六棱柱的底面是正六邊-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

考向2

棱錐的外接球問(wèn)題(多方法)

方法1

補(bǔ)形法求球的半徑例4(1)(2019全國(guó)1,理12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為(

)(2)(2019福建漳州質(zhì)檢二,15)已知正四面體A-BCD的外接球的體積為8π,則這個(gè)四面體的表面積為

.

D-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向2棱錐的外接球問(wèn)題(多方法-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,如下圖所示,-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)將正四面體ABCD放在一個(gè)正-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,怎樣求其外接球的半徑?解題心得一般地,若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且其長(zhǎng)度分別為a,b,c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則有-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2019山東德州一模,8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為

(

)C-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2019山東德州-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)(2019山東實(shí)驗(yàn)等四校聯(lián)考,6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則此三棱錐的外接球表面積是(

)B-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)(2019山東實(shí)驗(yàn)等四校聯(lián)考-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,其外接球的直徑為將三棱錐補(bǔ)形為三棱柱,則三棱錐與三棱柱有相同的外接球,由于正三棱柱與球都是中心和軸對(duì)稱(chēng)圖形,所以球心為三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn),設(shè)△ABC的外心為O1,設(shè)球心為O,連接OC,O1C,則-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補(bǔ)形-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

方法2

體積法求球的半徑例5正四面體的棱長(zhǎng)為a,則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少?解:

如圖所示,設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心,正四面體棱長(zhǎng)為a.由圖形的對(duì)稱(chēng)性知,點(diǎn)O也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為r,外接球半徑為R.-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3方法2體積法求球的半徑解:如-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考幾何體的內(nèi)切球和外接球的球心與幾何體有怎樣的關(guān)系?解題心得正四面體的內(nèi)切球及外接球的半徑及其求法1.內(nèi)切球的半徑是根據(jù)球心到各個(gè)面的距離相等把正四面體分解成四個(gè)正三棱錐,且正四面體的體積等于四個(gè)正三棱錐體積之和,從而求出球心到正四面體面的距離,即內(nèi)切球半徑.2.外接球的半徑是根據(jù)外接球的球心到正四面體的每一個(gè)頂點(diǎn)的距離是相等的,所以繼計(jì)算出內(nèi)切球半徑后,再將分解出來(lái)的小的四面體的棱長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)即可.3.內(nèi)切球與外接球半徑的聯(lián)系:內(nèi)切球半徑+外接球半徑=正四面體的高.-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考幾何體的內(nèi)切球和外接球的球心與-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2019山師附中考前模擬,14)在三棱錐P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為

.

-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2019山師附中考前模-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

方法3

確定球心位置例6(1)(2019陜西咸陽(yáng)一模,10)四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,則球O的表面積為(

)A.6π B.5π C.4π

D.3π(2)(2019湖南六校聯(lián)考,16)已知四棱錐S-ABCD的三視圖如圖所示,若該四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積等于

.

A-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3方法3確定球心位置A-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)由于AB⊥平面BCD,故AB⊥BD,AB⊥CD,而CD⊥BC,故CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以三角形ABD和三角形ACD為有公共斜邊的直角三角形,設(shè)斜邊AD的中點(diǎn)為O,則有OA=OB=OC=OD,即O為外接球的球心,AD為球的直徑,AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面積為π·AD2=6π,故選A.-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)由于AB⊥平面BCD-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)找球心是本題的難點(diǎn),由該四棱錐的三視圖知,該四棱錐直觀圖如圖,由△SAB是一個(gè)銳角三角形,可知其外接圓的圓心在三角形內(nèi),設(shè)為O1,長(zhǎng)方形ABCD的外接圓的圓心為其對(duì)角線的中點(diǎn)O2,設(shè)四棱錐外接球的球心為O,則OO1⊥平面SAB,OO2⊥平面ABCD,則OB為球的半徑R.設(shè)r1為△SAB外接圓半徑,r2為矩形ABCD外接圓半徑,L=AB,則r1=O1B,r2=O2B,-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)找球心是本題的難點(diǎn),由該四棱-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定棱錐外接球的球心?解題心得球是中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形,球心與任意一個(gè)截面圓的圓心的連線垂直截面圓,經(jīng)常由此性質(zhì)來(lái)確實(shí)球的球心位置.-43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定棱錐外接球的球心?-44-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)(2019河北唐山一模,15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC=,且AD⊥CD,該四面體外接球的表面積為

.

(2)(2019江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考一,16)已知四棱錐S-ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SD⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD且滿(mǎn)足AB=2AD=2DC=2,SC=,則球O的表面積是

.

2π5π-44-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)(2019河北唐山-45-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)如圖所示,由AB=BC=1,AC=,得AB⊥BC,所以△ABC為直角三角形.AC的中點(diǎn)到點(diǎn)A,B,C的距離相等且為AC長(zhǎng)的一半,又AD⊥CD,△DAC也是直角三角形,AC的中點(diǎn)到點(diǎn)D的距離也是AC長(zhǎng)的一半,所以AC的中點(diǎn)到四面體各頂點(diǎn)的距離都相等,所以其外接球的球心即為AC的中點(diǎn).-45-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)如圖所示,由AB=B-46-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-46-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-47-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-47-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-48-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.求柱體、錐體、臺(tái)體與球的表面積、體積的問(wèn)題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決.2.求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面.3.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖.-48-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.求柱體、錐體、臺(tái)體與球的表面積-49-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.求組合體的表面積時(shí),組合體的銜接部分的面積問(wèn)題易出錯(cuò).2.由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí),由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致錯(cuò)誤.3.易混側(cè)面積與表面積的概念.-49-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)31.求組合體的表面積時(shí),組合體的銜-50-例1(2019河北衡水中學(xué)四調(diào),10)如圖所示,某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對(duì)接而成,該封閉幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體,且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行,則小圓柱體積的最大值為(

)-50-例1(2019河北衡水中學(xué)四調(diào),10)如圖所示,某幾-51-答案:B小圓柱體積V=π·(5cos

θ)2(5+5sin

θ),設(shè)sin

θ=t,t∈(0,1),則V=125π(-t3-t2+t+1),-51-答案:B-52-例2(2019山東德州一模,12)在四面體ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,則四面體ABCD體積的最大值是

(

)答案:A-52-例2(2019山東德州一模,12)在四面體ABCD中-53--53--54-例3(2017全國(guó)1,理16)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為

.

-54-例3(2017全國(guó)1,理16)如圖,圓形紙片的圓心為-55--55--56-點(diǎn)評(píng)求幾何體體積最值的基本思路是根據(jù)題意設(shè)出一個(gè)幾何量,用該量表示出幾何體的體積,然后根據(jù)體積表達(dá)式求其最值,若表達(dá)式是一個(gè)三次以上的函數(shù),一般通過(guò)求導(dǎo)的方法求最值.-56-點(diǎn)評(píng)求幾何體體積最值的基本思路是根據(jù)題意設(shè)出一個(gè)幾何8.2空間幾何體的表面積與體積8.2空間幾何體的表面積與體積-58-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.多面體的表(側(cè))面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面,所以多面體的側(cè)面積就是

,表面積是側(cè)面積與底面面積之和.

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式所有側(cè)面的面積之和

2πrlπrlπ(r1+r2)l-2-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.多面體的表(側(cè))面積所有側(cè)面的面積-59-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積

Sh4πR2-3-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積Sh-60-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論(1)一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等.2.長(zhǎng)方體的外接球(1)球心:體對(duì)角線的交點(diǎn).-4-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論-61-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)如果圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(

)(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為3πa2.(

)(3)若一個(gè)球的體積為

π,則它的表面積為12π.(

)(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9π.(

)(5)將圓心角為,面積為3π的扇形作為圓錐的側(cè)面,則圓錐的表面積等于4π.(

)××√×√-5-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√-62-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診2.(2019湖北黃岡中學(xué)三模)已知一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為24π+48,則r=(

)A.1 B.2C.3 D.4B-6-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診2.(2019湖北黃岡中學(xué)三模)已知一-63-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的體積是(

)B解析:根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由一個(gè)正方體切去一角得到的.故該幾何體的外接球?yàn)檎襟w的外接球,-7-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何-64-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)的和為36,表面積為52,則其體對(duì)角線的長(zhǎng)為(

)B-8-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診4.(2019湖北武漢5月模擬)已知長(zhǎng)-65-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診5.(2019江蘇,9)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是

.

10-9-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診5.(2019江蘇,9)如圖,長(zhǎng)方體A-66-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診解析:∵長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120,∴AB·BC·CC1=120.∵E為CC1的中點(diǎn),CC1⊥底面ABCD,-10-知識(shí)梳理考點(diǎn)自診解析:∵長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1-67-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

空間幾何體的表面積例1(1)(2019山西晉城二模,文8)若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(

)A.240

B.264C.274 D.282B-11-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3空間幾何體的表面積B-68-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,在《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”,若某“陽(yáng)馬”的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形,則該“陽(yáng)馬”的表面積為

(

)C-12-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名-69-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)解法一:由幾何體的三視圖得幾何體的直觀圖如圖所示,延長(zhǎng)BE交DF于A點(diǎn),其中AB=AD=DD1=6,AE=3,AF=4,-13-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)解法一:由幾何體的三視-70-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五棱柱,底面看作是邊長(zhǎng)為6的正方形與一個(gè)三角形組成,如圖:則該幾何體的表面積為:(10+6+6+3+5)×6+2×6×6+3×4=264.故選B.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解法二:幾何體是以俯視圖為底面的五-71-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)由三視圖知該幾何體是側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,如圖所示.正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形,且俯視圖為正方形,所以四棱錐的底面是正方形,且邊長(zhǎng)為1,其中一條側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且側(cè)棱AD=1,四棱錐的四個(gè)側(cè)面都為直角三角形,-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)由三視圖知該幾何體是側(cè)棱垂直-72-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么?解題心得1.以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的一般思路是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后在直觀圖中求解.2.求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征,確定得到計(jì)算體積所需要的幾何量.-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么?-73-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2019第三次全國(guó)大聯(lián)考,理8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積是(

)D-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2019第三次全-74-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是2的圓,則這個(gè)幾何體的表面積是(

)A.16π B.14π C.12π D.8πA-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,-75-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-76-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3空間幾何體的體積例2(2019湖南六校聯(lián)考,4)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,且這個(gè)幾何體的體積為8,則俯視圖中三角形的高x等于(

)A.2 B.3

C.4 D.1C-20-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3空間幾何體的體積例2(2019湖南-77-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-21-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-78-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思路是什么?解題心得1.求由三視圖給出的幾何體的體積,一般思路是根據(jù)三視圖畫(huà)出幾何體的直觀圖,從三視圖中找到構(gòu)成幾何體的元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,然后求其體積.2.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法.-22-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考由三視圖求解幾何體體積的一般思-79-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2019山東日照三校一月聯(lián)考,7)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正(主)視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則該幾何體的體積為(

)B-23-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2019山東日照三校一-80-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-24-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-81-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(多考向)考向1

棱柱的外接球問(wèn)題例3(2019陜西寶雞中學(xué)模擬,15)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱柱的體積為,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此球的表面積等于

.

8π-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3與球有關(guān)的切、接問(wèn)題(多考向)8-82-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?解題心得求棱柱外接球的半徑,常利用球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑r的關(guān)系式R2=r2+d2,這里棱柱的底面看作球的截面.-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定三棱柱外接球的半徑?-83-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為

.

-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3一個(gè)六棱柱的底面是正六邊-84-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

考向2

棱錐的外接球問(wèn)題(多方法)

方法1

補(bǔ)形法求球的半徑例4(1)(2019全國(guó)1,理12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為(

)(2)(2019福建漳州質(zhì)檢二,15)已知正四面體A-BCD的外接球的體積為8π,則這個(gè)四面體的表面積為

.

D-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考向2棱錐的外接球問(wèn)題(多方法-85-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-86-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-87-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,如下圖所示,-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)將正四面體ABCD放在一個(gè)正-88-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,怎樣求其外接球的半徑?解題心得一般地,若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且其長(zhǎng)度分別為a,b,c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則有-32-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直-89-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2019山東德州一模,8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為

(

)C-33-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2019山東德州-90-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)(2019山東實(shí)驗(yàn)等四校聯(lián)考,6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則此三棱錐的外接球表面積是(

)B-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)(2019山東實(shí)驗(yàn)等四校聯(lián)考-91-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,其外接球的直徑為將三棱錐補(bǔ)形為三棱柱,則三棱錐與三棱柱有相同的外接球,由于正三棱柱與球都是中心和軸對(duì)稱(chēng)圖形,所以球心為三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn),設(shè)△ABC的外心為O1,設(shè)球心為O,連接OC,O1C,則-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)該幾何體為三棱錐,補(bǔ)形-92-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

方法2

體積法求球的半徑例5正四面體的棱長(zhǎng)為a,則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少?解:

如圖所示,設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心,正四面體棱長(zhǎng)為a.由圖形的對(duì)稱(chēng)性知,點(diǎn)O也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為r,外接球半徑為R.-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3方法2體積法求球的半徑解:如-93-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考幾何體的內(nèi)切球和外接球的球心與幾何體有怎樣的關(guān)系?解題心得正四面體的內(nèi)切球及外接球的半徑及其求法1.內(nèi)切球的半徑是根據(jù)球心到各個(gè)面的距離相等把正四面體分解成四個(gè)正三棱錐,且正四面體的體積等于四個(gè)正三棱錐體積之和,從而求出球心到正四面體面的距離,即內(nèi)切球半徑.2.外接球的半徑是根據(jù)外接球的球心到正四面體的每一個(gè)頂點(diǎn)的距離是相等的,所以繼計(jì)算出內(nèi)切球半徑后,再將分解出來(lái)的小的四面體的棱長(zhǎng)計(jì)算出來(lái)即可.3.內(nèi)切球與外接球半徑的聯(lián)系:內(nèi)切球半徑+外接球半徑=正四面體的高.-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考幾何體的內(nèi)切球和外接球的球心與-94-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2019山師附中考前模擬,14)在三棱錐P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為60°,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為

.

-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2019山師附中考前模-95-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3

方法3

確定球心位置例6(1)(2019陜西咸陽(yáng)一模,10)四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,則球O的表面積為(

)A.6π B.5π C.4π

D.3π(2)(2019湖南六校聯(lián)考,16)已知四棱錐S-ABCD的三視圖如圖所示,若該四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積等于

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A-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3方法3確定球心位置A-96-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)由于AB⊥平面BCD,故AB⊥BD,AB⊥CD,而CD⊥BC,故CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以三角形ABD和三角形ACD為有公共斜邊的直角三角形,設(shè)斜邊AD的中點(diǎn)為O,則有OA=OB=OC=OD,即O為外接球的球心,AD為球的直徑,AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面積為π·AD2=6π,故選A.-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3解析:(1)由于AB⊥平面BCD-97-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)找球心是本題的難點(diǎn),由該四棱錐的三視圖知,該四棱錐直觀圖如圖,由△SAB是一個(gè)銳角三角形,可知其外接圓的圓心在三角形內(nèi),設(shè)為O1,長(zhǎng)方形ABCD的外接圓的圓心為其對(duì)角線的中點(diǎn)O2,設(shè)四棱錐外接球的球心為O,則OO1⊥平面SAB,OO2⊥平面ABCD,則OB為球的半徑R.設(shè)r1為△SAB外接圓半徑,r2為矩形ABCD外接圓半徑,L=AB,則r1=O1B,r2=O2B,-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3(2)找球心是本題的難點(diǎn),由該四棱-98-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-42-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3-99-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定棱錐外接球的球心?解題心得球是中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形,球心與任意一個(gè)截面圓的圓心的連線垂直截面圓,經(jīng)常由此性質(zhì)來(lái)確實(shí)球的球心位置.-43-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3思考如何確定棱錐外接球的球心?-100-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6(1)(2019河北唐山一模,15)在四面體ABCD中,AB=BC=1,AC=,且AD⊥CD,該四面體外接球的表面積為

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(2)(2019江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考一,16