洛侖茲變換課件

§6狹義相對論的四維協(xié)變形式前已看出，相對論的時間和空間是相互聯(lián)系不可分割的。三維空間和一維的時間構(gòu)成了統(tǒng)一的四維時空空間。本節(jié)我們進一步把四維時空理論用簡潔的四維形式表示出來，進而將物理量表示成明顯的四維協(xié)變形式，從而清楚的顯示出一些物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系。1.三維空間的正交變換在討論四維時空變換之前，先復(fù)習(xí)二維(三維)的空間旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)。1§6狹義相對論的四維協(xié)變形式前已看出，相對論的時間和空間對于二維坐標旋轉(zhuǎn)變換，如圖坐標系S旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)镾坐標系。設(shè)平面上任一點P在S系和S上的坐標分別為它們之間的變換關(guān)系為用矩陣形式表示它是一個正交矩陣，正交條件a2對于二維坐標旋轉(zhuǎn)變換，如圖坐標系S旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)镾坐標系。設(shè)平對于三維空間旋轉(zhuǎn)變換的討論與二維相同。新舊坐標之間的變換一般可寫成若用上方程就可表示成如下的簡潔形式3對于三維空間旋轉(zhuǎn)變換的討論與二維相同。新舊坐標之間的變換一般矩陣形式旋轉(zhuǎn)變換距離保持不變，即具有正交性據(jù)此可得上述變換的反變換4矩陣形式旋轉(zhuǎn)變換距離保持不變，即具有正交性據(jù)此可得上述變換的證明：對兩邊同乘以得此即反變換。其矩陣形式為5證明：對2物理量按空間變換性質(zhì)分類第二章我們已經(jīng)介紹了物理量按張量分類，可歸納為1）標量：坐標旋轉(zhuǎn)變換下不變的量，如q'=q2）矢量：其分量在坐標旋轉(zhuǎn)變換下按如下坐標的變換關(guān)系變換例如：速度，力，電場強度，3）二階張量：其分量在坐標旋轉(zhuǎn)變換下按如下形式變化62物理量按空間變換性質(zhì)分類第二章我們已經(jīng)介紹了物理量按張量兩個矢量的并積就是一二階張量?？啥x高階張量。注意：重復(fù)指標代表求和，這種運算稱為指標收縮。一般有幾個自由指標，就是幾階張量。如AiBi是標量，uiTij有一個自由指標，是一階張量（即矢量），uiTjk有三個自由指標，代表三階張量。7兩個矢量的并積就是一二階張量。注意：重復(fù)指標代表求和，這種運3洛侖茲變換的四維形式形式上引入第四維虛數(shù)坐標返回則洛侖茲變換的形式變?yōu)?3洛侖茲變換的四維形式形式上引入第四維虛數(shù)坐標返回則洛侖相應(yīng)的間隔不變可表示為它就等價于洛侖茲變換的正交性條件由此還可得洛侖茲反變換可見，洛侖茲變換可形式上看成是四維時空的轉(zhuǎn)動變換，此變換具有正交性。9相應(yīng)的間隔不變可表示為它就等價于洛侖茲變換的正交性條件由此還注意：三維和四維指標符號表示不同，三維情況下，各量分量的下標用i，j，k等拉丁字母表示，它可以從1到3取值，相應(yīng)的相同指標代表從1到3求和。為了與三維區(qū)分，在四維時空空間，各量分量的下標均用希臘字母等來表示，它可從1到4取值，其相同指標代表從1到4求和。10注意：三維和四維指標符號表示不同，三維情況下，各量分量的下標4四維協(xié)變量在四維形式中，時間和空間統(tǒng)一在四維時空空間內(nèi)，慣性參考系的變換相當于四維時空空間的“轉(zhuǎn)動”。由于物質(zhì)在時空中運動，描述物質(zhì)運動及屬性的物理量必然會反映時空變換的特點。在此將三維形式推廣，我們就可以將物理量在四維空間“轉(zhuǎn)動”（洛侖茲變換）下的性質(zhì)進行分類。1）洛侖茲不變量（標量）：在洛侖茲變換下不變的量，如：間隔、固有時等114四維協(xié)變量在四維形式中，時間和空間統(tǒng)一在四維時空空間內(nèi)2）四維矢量：具有四個分量，且每個分量在洛侖茲變換下與四維時空坐標的變換形式相同，即3）二階張量：它有16個分量，且每個分量在洛侖茲變換下滿足如下變換形式高階張量可同樣定義。下面我們分別對四維速度矢量和四維波矢量進行討論122）四維矢量：具有四個分量，且每個分量在洛侖茲變換下與四維時1）四維速度矢量通常意義下的速度ui=dxi/dt，它不代表四維速度矢量的分量，因為dxi按矢量變化，同時dt也在洛侖茲變換下變化。實際上，這一點我們也可直接從洛侖茲速度變換公式看出，顯然它不是洛侖茲變換。它在洛侖茲變換下不是按四維時空坐標的形式變化所以它不代表四維速度矢量的分量。131）四維速度矢量通常意義下的速度ui=dxi/dt，它不代表定義為四維速度矢量。它是一個四維矢量是顯然的，因為dτ是一個不變量，而dxμ是一個四維矢量。xμ是一個四維坐標所以14定義為四維速度矢量。注意：四維速度矢量的前三分量并不是普通意義下的速度，其聯(lián)系為當u<<c時，即四維速度矢量的前三分量在u<<c時就趨于普通意義下的速度。這也就是定義它為四維速度矢量的原因。四維速度矢量既然是四維矢量，那么它在洛侖茲變換下按四維矢量變化，即15注意：四維速度矢量的前三分量并不是普通意義下的速度，其聯(lián)系為2）四維波矢量設(shè)有一角頻率為ω，波矢為k的平面電磁波在真空中傳播。在另一個參考系觀察該平面電磁波的頻率和傳播方向都將會發(fā)生改變（這分別由多普勒效應(yīng)和光行差效應(yīng)所證實）?，F(xiàn)以ω'和k'表示S'上觀察到這同一平面電磁波的頻率和波矢。那么它們之間將滿足怎樣的關(guān)系呢？為了回答這個問題，我們先來說明相位是洛侖茲不變量162）四維波矢量設(shè)有一角頻率為ω，波矢為k的平面電磁波在真空中設(shè)參考系S和S'的原點在時刻t=t'=0重合。在該時刻，原點處的電磁波處于波峰（事件1），相位為0.即在S上一周期t0之后原點x=0處于第二個波峰，相位為-2π（這是事件2）,其時空坐標為S(0，t0)。在S'上觀察事件2，它的時空坐標為（x'，t'），17設(shè)參考系S和S'的原點在時刻t=t'=0重合。在該時刻，原點同樣觀察這第二事件也應(yīng)該處于波峰（這是物理事實），所以相位也應(yīng)是-2π，從而我們可以看出在參考系變換下，相位應(yīng)該是不變的，即相位是洛侖茲不變量注意：在此不變性是物理事實（也就是從實驗的角度考慮的）。關(guān)于相位不變性我們還可以通過洛侖茲變換證明它的不變性；可用場的變換來證明以及通過光子的四動量變換關(guān)系證明.對此不作證明，下面依據(jù)相位不變討論問題18同樣觀察這第二事件也應(yīng)該處于波峰（這是物理事實），所以相位也據(jù)相位不變有它可作如下變形進一步可寫為我們知道，(x，ict)構(gòu)成四維坐標矢量，而(k，iω/c)與此四維矢量點乘的結(jié)果是四維標量。故(k，iω/c)也構(gòu)成四維矢量。19據(jù)相位不變有它可作如下變形進一步可寫為我們知道，(x，ict標記為四維波矢量它的前三個分量就是通常意義下的波矢。這時相位不變可表示為波矢量在洛侖茲變換下按一般的四維矢量形式變化，即對特殊洛侖茲變換它就可寫為20標記為四維波矢量它的前三個分量就是通常意義下的波矢。波矢量在可見，盡管從S'系看這波仍然是平面波，但其頻率和傳播方向都發(fā)生變化。21可見，盡管從S'系看這波仍然是平面波，但其頻率和傳播方向都發(fā)由（1）得光行差公式多普勒效應(yīng)由（2）和（3）得所以有22由（1）得光行差公式多普勒效應(yīng)由（2）和（3）得所以有22設(shè)S'相對于光源靜止，則ω'=ω0，從而得相對論多普勒效應(yīng)運動時鐘延緩橫向多普勒效應(yīng)23設(shè)S'相對于光源靜止，則ω'=ω0，從而得相對論多普勒效說明：1）光行差公式也可通過速度變換公式推得；2）光行差現(xiàn)象最早由Bradley（布拉特萊）于1728年用天文觀測所發(fā)現(xiàn)。在地球上觀測恒星時，任一恒星的視位置（表觀位置）在一年內(nèi)有周期性的變化，或者說觀察用的望遠鏡跟蹤恒星時鏡筒指向?qū)霈F(xiàn)周期性的近似于圓的橢圓運動（如圖）。這可作如下解釋24說明：1）光行差公式也可通過速度變換公式推得；2）光行差現(xiàn)象如圖a設(shè)地球相對于太陽系S的運動速度為υ，在S系上看到某一恒星發(fā)出的光線的傾角為α=π-θ（恒星很運可認為恒星發(fā)的是平行光），在地球上（S'系）用望遠鏡觀察該恒星時，傾角為α'=π-θ'，由于υ<<c則圖a圖b由于地球繞太陽公轉(zhuǎn)，一年內(nèi)其運動方向變化一個周期，因此同一恒星發(fā)出的光線的表觀方向亦變化一個周期（如圖b）。這已由天文學(xué)實驗證實.25如圖a設(shè)地球相對于太陽系S的運動速度為υ，在S系上看到某一恒在相對論以前的理論中，上述光行差的存在被解釋為地球相對于“以太”的運動。但其后的邁克耳孫——莫萊實驗卻否定了地球相對于“以太”的運動。正是這種矛盾的出現(xiàn)，才導(dǎo)致了“以太”和絕對參考系的被否定。從而建立了狹義相對論。26在相對論以前的理論中，上述光行差的存在被解釋為地球相對于“以5物理規(guī)律的協(xié)變性在參考系變化時方程形式不變的性質(zhì)稱為協(xié)變性。具有協(xié)變性的方程中的物理量就稱為協(xié)變量。只有方程中各項是同類協(xié)變量的方程才具有協(xié)變性，反過來具有協(xié)變性的方程各項必須是同類協(xié)變量。如Fμ=Gμ+Tμ的兩邊都是四維矢量，所以此方程是協(xié)變的，它在任何慣性參考系下都可表示成這同一形式。利用反變換形式不變，方程具有協(xié)變性。275物理規(guī)律的協(xié)變性在參考系變化時方程形式不變的性質(zhì)稱為協(xié)§7電動力學(xué)的相對論不變性據(jù)相對性原理，電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律對任意慣性系都可表示成相同的形式。而麥氏方程組總結(jié)了宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，由它導(dǎo)出的電磁波在真空中以光速c傳播等一系列推論都被實驗所證明。因此麥氏方程組就應(yīng)適用于任何慣性系，它就能表示成相對論的四維協(xié)變形式.因為在麥氏方程組中出現(xiàn)有電流密度和電荷密度。它們是激發(fā)電磁場的源，現(xiàn)先討論它們的變換性質(zhì)。28§7電動力學(xué)的相對論不變性據(jù)相對性原理，電磁現(xiàn)象的基本1四維電流密度矢量據(jù)電荷守恒定律，帶電體系的總電荷應(yīng)該始終保持不變，即總電荷Q不隨坐標系的變化而改變，它是洛侖茲標量。設(shè)電荷系統(tǒng)固結(jié)于S'系，它相對于S系以速度u運動，那么291四維電流密度矢量據(jù)電荷守恒定律，帶電體系的總電荷應(yīng)該始從而我們就可得到可見電荷體密度在洛侖茲變換下是一變化的量.當粒子以速度u運動時，其電流密度為如果引入電流密度的第四個分量則按前面定義的四維速度矢量，（1）和（2）式合起來可表示成四維電流矢量30從而我們就可得到可見電荷體密度在洛侖茲變換下是一變化的量.如在此電流密度J和電荷密度ρ合為四維矢量，這顯示了這兩個物理量的統(tǒng)一性。在參考系改變時，它們可相互轉(zhuǎn)化。但電荷守恒定律在任何慣性參考系中都是適用的，現(xiàn)可表示成顯然它是協(xié)變的，是一個洛侖茲標量。從這一事實充分說明，由于相對論時空的統(tǒng)一，使得在相對論中不同的物理量之間顯示出了它們的統(tǒng)一性。下面我們還將看出電場和磁場（矢勢和標勢）等也具有這種統(tǒng)一性。31在此電流密度J和電荷密度ρ合為四維矢量，這顯示了這兩個物理2四維勢矢量在講電磁波的輻射時將電磁場用勢A和來表示，描述電磁場的麥氏方程組化成了勢所滿足的波動方程。為方便我們先討論在洛侖茲規(guī)范條件下勢所滿足的達朗伯爾方程所具有的協(xié)變形式（性）322四維勢矢量在講電磁波的輻射時將電磁場用勢A和來表示，利用四維時空坐標，達朗伯爾方程的左邊可寫為??稱為洛侖茲標量算符。進一步將變形得33利用四維時空坐標，達朗伯爾方程的左邊可寫為??稱為洛侖茲標所以有此式與的右邊構(gòu)成四維矢量所以它們的左邊也應(yīng)構(gòu)成四維矢量。而是洛侖茲標量算符，則構(gòu)成四維矢量。用表示，即四維勢矢量這顯然是協(xié)變的這樣勢所滿足的達朗伯爾方程及洛侖茲規(guī)范條件就可分別表為34所以有四維勢矢量這顯然是協(xié)變的這樣勢所滿足的達朗伯爾方在參考系變換（洛侖茲變換）下，四維勢矢量按四維矢量變換即35在參考系變換（洛侖茲變換）下，四維勢矢量按四維矢量變換353電磁場張量電磁場用勢表示分別為其分量形式為363電磁場張量電磁場用勢表示分別為其分量形式為36如果我們引入一個反對稱的四維張量從定義的上述反對稱張量可將電場和磁場分別表為由此得37如果我們引入一個反對稱的四維張量從定義的上述反對稱張量可將電則此反對稱張量用矩陣形式可表示為電磁場張量電磁場張量是四維二階張量，它在洛侖茲變換下按二階張量的規(guī)律變化。即38則此反對稱張量用矩陣形式可表示為電磁場張量電磁場張量是四維二4麥克斯韋方程組的四維協(xié)變形式電磁場可以表示成電磁場張量，用電磁場張量可將麥克斯韋方程組表示成如下的四維協(xié)變形式394麥克斯韋方程組的四維協(xié)變形式電磁場可以表示成電磁場張量下面推導(dǎo)上述的麥克斯韋方程組的協(xié)變形式40下面推導(dǎo)上述的麥克斯韋方程組的協(xié)變形式40用電磁場張量表示為同理可得41用電磁場張量表示為同理可得41將（1）—（4）式合起來即為（A）式42將（1）—（4）式合起來即為（A）式42同理得綜合（5）—（8）式便可得式（B）43同理得綜合（5）—（8）式便可得式（B）435電磁場變換關(guān)系研究的問題是：兩個相對運動的慣性系中在確定的時空點PS系系場量場量已知已知445電磁場變換關(guān)系研究的問題是：兩個相對運動的慣性系中S電磁場表示成電磁場張量，電磁場的變換關(guān)系可通過電磁場張量的變換關(guān)系推出，電磁場張量的變換關(guān)系為據(jù)此可得同理可得45電磁場表示成電磁場張量，電磁場的變換關(guān)系可通過電磁場張量的變正變換（υ→-υ）→逆變換46正變換（υ→-υ）→逆變換46變換可表示成如下的矢量形式47變換可表示成如下的矢量形式471）在運動方向上，電場、磁場分量相等2）在垂直運動方向上，電場、磁場之間有關(guān)系3）矢勢和標勢統(tǒng)一為四維勢矢量，電場和磁場統(tǒng)一為電磁場張量。這反映了電磁場的統(tǒng)一性和相對性。電場和磁場是同一種物質(zhì)的兩個方面，在給定參考系下，電場和磁場表現(xiàn)出不同的性質(zhì)；但參考系變化時，它們可以相互轉(zhuǎn)化，這正是它們的統(tǒng)一性。4）如果產(chǎn)生場的電荷在某個慣性系中靜止，則在這個系中只有靜電場，沒有磁場。但在另一與之有相對運動的慣性系就既有電場，也有磁場。討論481）在運動方向上，電場、磁場分量相等討論48逆變換特殊情況：在一個參考系中只有靜電場則在S系，不僅有電場還有磁場很容易得到49逆變換特殊情況：在一個參考系中只有靜電場則在S系，不僅有電場6電磁場的不變量從前面的討論我們似乎可以看出，通過洛侖茲變換總可以使E和B有任意取值。其實這種電場和磁場的相對性之中還包含著絕對性的一面，這就是電磁場的不變量。因為電磁場用電磁場張量Fμν來表示，故我們要找電磁場的不變量只需求出電磁場張量可能的各種標積，顯然我們只能構(gòu)成兩個獨立不變量506電磁場的不變量從前面的討論我們似乎可以看出，通過洛侖茲可證討論故電磁場構(gòu)成兩個不變量1）若電場和磁場在一慣性系中是相互垂直的，則那么在任意慣性系中都將是垂直的。

51可證討論故電磁場構(gòu)成兩個不變量1）若電場和磁場在一慣性系中是2）如的絕對值在一慣性系中相等，即，則在任意慣性系中它們還相等(如平面波)4）若在一個慣性系中E和B的夾角是鈍角(銳522）如的絕對值在一慣性系中相等

角)，則在任意慣性系中的夾角也是鈍角(銳角)。5）若在一慣性系中，E·B=0，則總能找到一個慣性系，使其中只有電場或只有磁場。具體是只有電場還是只有磁場，就要看至此，電磁現(xiàn)象的參考系問題就完全獲得解決。53角)，則在任意慣性系中的夾角也是例勻速運動的點電荷的電磁場量已知：實驗室參考系中點電荷求：解：取電荷在其靜止的參考系為S'系實驗室參考系為系運動速度系中分量式54例勻速運動的點電荷的電磁場量已知：實驗室參考系中點電荷求：由場量變換得55由場量變換得55利用洛侖茲坐標變換得用S系的量表示的結(jié)果，要注意的是所有距離都是對S系同時測量的。56利用洛侖茲坐標變換得用S系的量表示的結(jié)果，要注意的是所有距離結(jié)果57結(jié)果571)電力線2)高斯定理在兩個慣性系中同時畫的閉合面與運動無關(guān)高斯定理也適用于運動電荷的電場場強不同但電力線的總條數(shù)不變討論581)電力線2)高斯定理在兩個慣性系中同時畫的閉合面與運動無關(guān)3)低速時靜電場593)低速時靜電場59§8狹義相對論動力學(xué)基礎(chǔ)高速運動時動力學(xué)概念如何？基本出發(fā)點：1）基本規(guī)律在洛侖茲變換下形式不變，牛頓力學(xué)理論需要修改；2）低速時回到牛力學(xué)本節(jié)我們通過力學(xué)中的幾個基本問題的分析，得到相對論的協(xié)變力學(xué)方程。60§8狹義相對論動力學(xué)基礎(chǔ)高速運動時動力學(xué)概念如何？601能量—動量四維矢量描述經(jīng)典力學(xué)的基本規(guī)律是牛頓定律物體的動量作用于物體上的力這一規(guī)律在舊時空的伽利略變換下是協(xié)變的，然而新時空觀要求力學(xué)規(guī)律應(yīng)在洛侖茲變換下是協(xié)變的。那么這首先要求把力學(xué)方程修改為四維形式。這樣問題就歸結(jié)為怎樣引入四維動量和四維力的問題。611能量—動量四維矢量描述經(jīng)典力學(xué)的基本規(guī)律是牛頓定律物體在經(jīng)典力學(xué)情況下，是經(jīng)典動量，它在舊時空的伽利略變換下是協(xié)變的，然而在相對論中，不再是協(xié)變量，即不是四維協(xié)變量的前三分量，它與四維速度矢量相聯(lián)系，且在低速情況下，四維速度的前三分量就近似為普通意義下的速度?，F(xiàn)我們就利用四維速度矢量定義一個四維動量。物體的靜止質(zhì)量（洛侖茲不變量）定義按空間分量和時間分量可分為62在經(jīng)典力學(xué)情況下，是經(jīng)典動量，它在舊時空的伽利略變當υ<<c時，P就趨于經(jīng)典動量，因此我們就可以認為P就是相對論中物體的動量。下面我們再來分析P4的物理意義，首先將其在υ<<c時的低速情況下進行展開括號內(nèi)的第二項就代表物體的動能，可見P4與物體的能量有關(guān)。63當υ<<c時，P就趨于經(jīng)典動量，因此我們就可以認為P就是相進一步可證明物體的總能量為總能動能物體的靜止能量（內(nèi)部能量）所以四維動量可表為即構(gòu)成能量動量四維矢量當υ=0時，物體的動能為零總能量為即64進一步可證明物體的總能量為總能動能物體的靜止能量（內(nèi)部能量）1）在此，靜止能量是一個常數(shù)m0c2，在經(jīng)典情形，我們知道對能量附加一個常數(shù)是無意義的。然而在相對論情形，物體的靜止能量（m0c2）的出現(xiàn)是狹義相對論協(xié)變性直接要求的，不可刪掉。2）從物理的角度看，自然界最基本的定律之一是能量轉(zhuǎn)化和守恒定律。對于在此出現(xiàn)的能量附加項只當它可以轉(zhuǎn)化為其它形式的能量時才有物理意義。那么它就能夠在一定的條件下轉(zhuǎn)變成其它形式的能量。這一點已被實驗所證明(原子能的利用等)討論651）在此，靜止能量是一個常數(shù)m0c2，在經(jīng)典情形，我們知道對2動量質(zhì)量和能量的關(guān)系由四維動量可構(gòu)成不變量相對論動量質(zhì)量和能量的關(guān)系在物體靜止時，即662動量質(zhì)量和能量的關(guān)系由四維動量可構(gòu)成不變量相對論動3質(zhì)能關(guān)系1）質(zhì)能關(guān)系前述m0c2是相對論協(xié)變性所要求的，它代表的是物體靜止時所具有的內(nèi)部能量。這說明，靜止物體的內(nèi)部還存在著運動，一定質(zhì)量的粒子就對應(yīng)著一定的內(nèi)部能量。反之，帶有一定內(nèi)部運動能量的粒子就表現(xiàn)有一定的慣性質(zhì)量。它的被揭示是相對論的重要推論之一。質(zhì)能關(guān)系673質(zhì)能關(guān)系1）質(zhì)能關(guān)系它的被揭示是相對論的重要推論之一。2）結(jié)合能與質(zhì)量虧損由于協(xié)變性與物體的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。所以對于復(fù)合物體，上述質(zhì)能關(guān)系仍然成立，即復(fù)合物體靜止(質(zhì)心靜止)時的總內(nèi)部能量復(fù)合物體的靜止質(zhì)量當一組物體構(gòu)成復(fù)合物體時，由于各粒子之間有相互作用能以及相對運動的動能，因而當物體整體靜止時，它的總能量一般就不等于構(gòu)成組合粒子的靜止能量之和，即682）結(jié)合能與質(zhì)量虧損由于協(xié)變性與物體的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。所以對于兩者之差就稱為物體的結(jié)合能，即第i個粒子的質(zhì)量與此對應(yīng)物體的質(zhì)量M0=W0/c2亦不等于組成它的各粒子靜止質(zhì)量之和，兩者之差稱為質(zhì)量虧損說明：1）質(zhì)能關(guān)系已被大量實驗相當好的證明，這反過來更加說明了狹義相對論的正確性69兩者之差就稱為物體的結(jié)合能，即第i個粒子的質(zhì)量與此對應(yīng)物體的質(zhì)能關(guān)系是原子能利用的主要依據(jù)。我們可以說法使物體的質(zhì)量虧損（如聚變和裂變過程），從而可使物體的慣性質(zhì)量向小的方向轉(zhuǎn)化，以釋放出能量。2）質(zhì)能關(guān)系反映了作為慣性量度的質(zhì)量和作為運動量度的能量之間的關(guān)系。在物質(zhì)反應(yīng)和轉(zhuǎn)化過程中，物質(zhì)的存在形式發(fā)生變化，運動形式也發(fā)生變化，但不是說物質(zhì)轉(zhuǎn)化為能量。物質(zhì)在轉(zhuǎn)化過程中并未消滅，而只是從一種形70質(zhì)能關(guān)系是原子能利用的主要依據(jù)。我們可以說法使物體的質(zhì)量虧損

式轉(zhuǎn)化為另一種形式。(如)，在轉(zhuǎn)化過程中，能量保持守恒。在相對論中，能量和動量守恒仍然是自然界最基本的定律。例兩全同粒子以相同的速率相向運動，碰后復(fù)合。求復(fù)合粒子的速度和質(zhì)量。解：設(shè)復(fù)合粒子質(zhì)量為M，速度為V，碰撞過程，由動量和能量守恒得71式轉(zhuǎn)化為另一種形式。(如4相對論力學(xué)方程為使牛頓力學(xué)方程在新時空的洛侖茲變換下是協(xié)變的，上述我們已經(jīng)構(gòu)成了四維動量—即能量動量四維矢量Pμ。如果用固有時來量度能量動量變化率，則此變化率因此若外界對物體的作用可以用一個四維力矢量Kμ來描述的話，則力學(xué)基本方程就可寫成如下的協(xié)變形式也是一四維矢量。724相對論力學(xué)方程為使牛頓力學(xué)方程在新時空的洛侖茲變換下是在低速近似下，上方程應(yīng)過渡到經(jīng)典的牛頓定律。的空間分量也應(yīng)過渡到經(jīng)典力，可以看出上述協(xié)變性力學(xué)方程是滿足這一條的。另外它的第四個分量與空間分量有一定的關(guān)系73在低速近似下，上方程應(yīng)過渡到經(jīng)典的牛頓定律。的空間分因此作用于速度為的物體上的四維力矢量為相對論力學(xué)方程就包括下面兩個方程上述的動量和能量的時間變化率都是用固有時量度的。為方便，我們可以將上方程改用參考系時間變化率表出。由于dt=γdτ，那么只要形式上令就得74因此作用于速度為的物體上的四維力矢量為相對論力學(xué)方程這形式上和非相對論力學(xué)方程完全相同。注意：1）式中和W是相對論的動量和能量，即2）F不是四維力矢量的分量，它的變換關(guān)系應(yīng)由四維力K

μ導(dǎo)出，只有在低速近似下F才代表經(jīng)典力。75這形式上和非相對論力學(xué)方程完全相同。2）F不是四維力矢量的分5洛侖茲力相對論力學(xué)的一個重要應(yīng)用就是研究帶電粒子在電磁場中的運動。為此我們有必要對洛侖茲力加以討論。帶電粒子在電磁場中所受作用力然而電磁場中粒子的受力形式在相對論中是否保持不變呢？這正是下面要說明的問題，即要證明在相對論中是協(xié)變的。上面我們得到的相對論協(xié)變力學(xué)方程其中K是四維力的空間分量。765洛侖茲力相對論力學(xué)的一個重要應(yīng)用就是研究帶電粒子在電磁那么我們只要能將式（A）的右邊寫成而K是四維力的空間分量，是協(xié)變量。這樣就能說明（A）式在相對論下是協(xié)變的。首先，要構(gòu)成四維力矢量Kμ，必須為此我們用電磁場張量Fμν與速度矢量Uν構(gòu)成一個四維矢量77那么我們只要能將式（A）的右邊寫成而K是四維力的空間分量，是那么同理得合起來就是即78那么同理得合起來就是即78因此洛侖茲力公式（A）滿足相對論協(xié)變性的要求。粒子在場中的運動方程為：它適用于一切慣性系，因而能夠描述高速粒子的運動。有關(guān)相對論力學(xué)的正確性已為實驗所證實。至此我們已經(jīng)闡明了電動力學(xué)的基本規(guī)律（麥克斯韋方程組和洛侖茲力）是適用于一切慣性系的物理規(guī)律。79因此洛侖茲力公式（A）滿足相對論協(xié)變性的要求。粒子在場中的運例：討論帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動。解：在均勻恒定磁場B中，帶電粒子的運動方程為所以粒子的能量為常量，因而速度υ的數(shù)值亦為常量。由(1)式得即80例：討論帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動。所以粒子的能量為常量由此得的非相對論運動方程，這方程的解是圓周運動。圓的半徑a可由向心力等于作用力求出，即81由此得的非相對論運動方程，這方程的解是圓周運動。圓的半徑a可圓周運動的角頻率為在非相對論情況下，與粒子運動速度無關(guān)。在相對論情形，隨粒子的能量增大，因而頻率下降。82圓周運動的角頻率為在非相對論情況下，與粒子運動速度無關(guān)。在相我們現(xiàn)已知道，自然界中存在四種基本相互作用：電磁、引力、強和弱相互作用，電磁和引力相互作用屬長程的，強和弱相互作用屬短程的（只存在于10-15m范圍內(nèi)）。如前所述，電磁相互作用完全能納入狹義相對論的范疇，非量子化的相對論性力學(xué)方程在一定條件下能夠正確描述帶電粒子的運動。關(guān)于引力相互作用，要使它成為相對論性的理論，必須把狹義相對論進一步推廣為廣義相對論，這我們將在后面學(xué)習(xí)。83我們現(xiàn)已知道，自然界中存在四種基本相互作用：電磁、引力、強和強和弱相互作用由于屬短程力（只存在10-15m范圍內(nèi)），在該范圍內(nèi)量子效應(yīng)已很顯著，因此對這兩種相互作用必須用量子力學(xué)理論來研究。大統(tǒng)一理論就是試圖將這四種相互作用用規(guī)范群統(tǒng)一起來的理論。84強和弱相互作用由于屬短程力（只存在10-15m范圍內(nèi)），在該§6狹義相對論的四維協(xié)變形式前已看出，相對論的時間和空間是相互聯(lián)系不可分割的。三維空間和一維的時間構(gòu)成了統(tǒng)一的四維時空空間。本節(jié)我們進一步把四維時空理論用簡潔的四維形式表示出來，進而將物理量表示成明顯的四維協(xié)變形式，從而清楚的顯示出一些物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系。1.三維空間的正交變換在討論四維時空變換之前，先復(fù)習(xí)二維(三維)的空間旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)。85§6狹義相對論的四維協(xié)變形式前已看出，相對論的時間和空間對于二維坐標旋轉(zhuǎn)變換，如圖坐標系S旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)镾坐標系。設(shè)平面上任一點P在S系和S上的坐標分別為它們之間的變換關(guān)系為用矩陣形式表示它是一個正交矩陣，正交條件a86對于二維坐標旋轉(zhuǎn)變換，如圖坐標系S旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)镾坐標系。設(shè)平對于三維空間旋轉(zhuǎn)變換的討論與二維相同。新舊坐標之間的變換一般可寫成若用上方程就可表示成如下的簡潔形式87對于三維空間旋轉(zhuǎn)變換的討論與二維相同。新舊坐標之間的變換一般矩陣形式旋轉(zhuǎn)變換距離保持不變，即具有正交性據(jù)此可得上述變換的反變換88矩陣形式旋轉(zhuǎn)變換距離保持不變，即具有正交性據(jù)此可得上述變換的證明：對兩邊同乘以得此即反變換。其矩陣形式為89證明：對2物理量按空間變換性質(zhì)分類第二章我們已經(jīng)介紹了物理量按張量分類，可歸納為1）標量：坐標旋轉(zhuǎn)變換下不變的量，如q'=q2）矢量：其分量在坐標旋轉(zhuǎn)變換下按如下坐標的變換關(guān)系變換例如：速度，力，電場強度，3）二階張量：其分量在坐標旋轉(zhuǎn)變換下按如下形式變化902物理量按空間變換性質(zhì)分類第二章我們已經(jīng)介紹了物理量按張量兩個矢量的并積就是一二階張量?？啥x高階張量。注意：重復(fù)指標代表求和，這種運算稱為指標收縮。一般有幾個自由指標，就是幾階張量。如AiBi是標量，uiTij有一個自由指標，是一階張量（即矢量），uiTjk有三個自由指標，代表三階張量。91兩個矢量的并積就是一二階張量。注意：重復(fù)指標代表求和，這種運3洛侖茲變換的四維形式形式上引入第四維虛數(shù)坐標返回則洛侖茲變換的形式變?yōu)?23洛侖茲變換的四維形式形式上引入第四維虛數(shù)坐標返回則洛侖相應(yīng)的間隔不變可表示為它就等價于洛侖茲變換的正交性條件由此還可得洛侖茲反變換可見，洛侖茲變換可形式上看成是四維時空的轉(zhuǎn)動變換，此變換具有正交性。93相應(yīng)的間隔不變可表示為它就等價于洛侖茲變換的正交性條件由此還注意：三維和四維指標符號表示不同，三維情況下，各量分量的下標用i，j，k等拉丁字母表示，它可以從1到3取值，相應(yīng)的相同指標代表從1到3求和。為了與三維區(qū)分，在四維時空空間，各量分量的下標均用希臘字母等來表示，它可從1到4取值，其相同指標代表從1到4求和。94注意：三維和四維指標符號表示不同，三維情況下，各量分量的下標4四維協(xié)變量在四維形式中，時間和空間統(tǒng)一在四維時空空間內(nèi)，慣性參考系的變換相當于四維時空空間的“轉(zhuǎn)動”。由于物質(zhì)在時空中運動，描述物質(zhì)運動及屬性的物理量必然會反映時空變換的特點。在此將三維形式推廣，我們就可以將物理量在四維空間“轉(zhuǎn)動”（洛侖茲變換）下的性質(zhì)進行分類。1）洛侖茲不變量（標量）：在洛侖茲變換下不變的量，如：間隔、固有時等954四維協(xié)變量在四維形式中，時間和空間統(tǒng)一在四維時空空間內(nèi)2）四維矢量：具有四個分量，且每個分量在洛侖茲變換下與四維時空坐標的變換形式相同，即3）二階張量：它有16個分量，且每個分量在洛侖茲變換下滿足如下變換形式高階張量可同樣定義。下面我們分別對四維速度矢量和四維波矢量進行討論962）四維矢量：具有四個分量，且每個分量在洛侖茲變換下與四維時1）四維速度矢量通常意義下的速度ui=dxi/dt，它不代表四維速度矢量的分量，因為dxi按矢量變化，同時dt也在洛侖茲變換下變化。實際上，這一點我們也可直接從洛侖茲速度變換公式看出，顯然它不是洛侖茲變換。它在洛侖茲變換下不是按四維時空坐標的形式變化所以它不代表四維速度矢量的分量。971）四維速度矢量通常意義下的速度ui=dxi/dt，它不代表定義為四維速度矢量。它是一個四維矢量是顯然的，因為dτ是一個不變量，而dxμ是一個四維矢量。xμ是一個四維坐標所以98定義為四維速度矢量。注意：四維速度矢量的前三分量并不是普通意義下的速度，其聯(lián)系為當u<<c時，即四維速度矢量的前三分量在u<<c時就趨于普通意義下的速度。這也就是定義它為四維速度矢量的原因。四維速度矢量既然是四維矢量，那么它在洛侖茲變換下按四維矢量變化，即99注意：四維速度矢量的前三分量并不是普通意義下的速度，其聯(lián)系為2）四維波矢量設(shè)有一角頻率為ω，波矢為k的平面電磁波在真空中傳播。在另一個參考系觀察該平面電磁波的頻率和傳播方向都將會發(fā)生改變（這分別由多普勒效應(yīng)和光行差效應(yīng)所證實）。現(xiàn)以ω'和k'表示S'上觀察到這同一平面電磁波的頻率和波矢。那么它們之間將滿足怎樣的關(guān)系呢？為了回答這個問題，我們先來說明相位是洛侖茲不變量1002）四維波矢量設(shè)有一角頻率為ω，波矢為k的平面電磁波在真空中設(shè)參考系S和S'的原點在時刻t=t'=0重合。在該時刻，原點處的電磁波處于波峰（事件1），相位為0.即在S上一周期t0之后原點x=0處于第二個波峰，相位為-2π（這是事件2）,其時空坐標為S(0，t0)。在S'上觀察事件2，它的時空坐標為（x'，t'），101設(shè)參考系S和S'的原點在時刻t=t'=0重合。在該時刻，原點同樣觀察這第二事件也應(yīng)該處于波峰（這是物理事實），所以相位也應(yīng)是-2π，從而我們可以看出在參考系變換下，相位應(yīng)該是不變的，即相位是洛侖茲不變量注意：在此不變性是物理事實（也就是從實驗的角度考慮的）。關(guān)于相位不變性我們還可以通過洛侖茲變換證明它的不變性；可用場的變換來證明以及通過光子的四動量變換關(guān)系證明.對此不作證明，下面依據(jù)相位不變討論問題102同樣觀察這第二事件也應(yīng)該處于波峰（這是物理事實），所以相位也據(jù)相位不變有它可作如下變形進一步可寫為我們知道，(x，ict)構(gòu)成四維坐標矢量，而(k，iω/c)與此四維矢量點乘的結(jié)果是四維標量。故(k，iω/c)也構(gòu)成四維矢量。103據(jù)相位不變有它可作如下變形進一步可寫為我們知道，(x，ict標記為四維波矢量它的前三個分量就是通常意義下的波矢。這時相位不變可表示為波矢量在洛侖茲變換下按一般的四維矢量形式變化，即對特殊洛侖茲變換它就可寫為104標記為四維波矢量它的前三個分量就是通常意義下的波矢。波矢量在可見，盡管從S'系看這波仍然是平面波，但其頻率和傳播方向都發(fā)生變化。105可見，盡管從S'系看這波仍然是平面波，但其頻率和傳播方向都發(fā)由（1）得光行差公式多普勒效應(yīng)由（2）和（3）得所以有106由（1）得光行差公式多普勒效應(yīng)由（2）和（3）得所以有22設(shè)S'相對于光源靜止，則ω'=ω0，從而得相對論多普勒效應(yīng)運動時鐘延緩橫向多普勒效應(yīng)107設(shè)S'相對于光源靜止，則ω'=ω0，從而得相對論多普勒效說明：1）光行差公式也可通過速度變換公式推得；2）光行差現(xiàn)象最早由Bradley（布拉特萊）于1728年用天文觀測所發(fā)現(xiàn)。在地球上觀測恒星時，任一恒星的視位置（表觀位置）在一年內(nèi)有周期性的變化，或者說觀察用的望遠鏡跟蹤恒星時鏡筒指向?qū)霈F(xiàn)周期性的近似于圓的橢圓運動（如圖）。這可作如下解釋108說明：1）光行差公式也可通過速度變換公式推得；2）光行差現(xiàn)象如圖a設(shè)地球相對于太陽系S的運動速度為υ，在S系上看到某一恒星發(fā)出的光線的傾角為α=π-θ（恒星很運可認為恒星發(fā)的是平行光），在地球上（S'系）用望遠鏡觀察該恒星時，傾角為α'=π-θ'，由于υ<<c則圖a圖b由于地球繞太陽公轉(zhuǎn)，一年內(nèi)其運動方向變化一個周期，因此同一恒星發(fā)出的光線的表觀方向亦變化一個周期（如圖b）。這已由天文學(xué)實驗證實.109如圖a設(shè)地球相對于太陽系S的運動速度為υ，在S系上看到某一恒在相對論以前的理論中，上述光行差的存在被解釋為地球相對于“以太”的運動。但其后的邁克耳孫——莫萊實驗卻否定了地球相對于“以太”的運動。正是這種矛盾的出現(xiàn)，才導(dǎo)致了“以太”和絕對參考系的被否定。從而建立了狹義相對論。110在相對論以前的理論中，上述光行差的存在被解釋為地球相對于“以5物理規(guī)律的協(xié)變性在參考系變化時方程形式不變的性質(zhì)稱為協(xié)變性。具有協(xié)變性的方程中的物理量就稱為協(xié)變量。只有方程中各項是同類協(xié)變量的方程才具有協(xié)變性，反過來具有協(xié)變性的方程各項必須是同類協(xié)變量。如Fμ=Gμ+Tμ的兩邊都是四維矢量，所以此方程是協(xié)變的，它在任何慣性參考系下都可表示成這同一形式。利用反變換形式不變，方程具有協(xié)變性。1115物理規(guī)律的協(xié)變性在參考系變化時方程形式不變的性質(zhì)稱為協(xié)§7電動力學(xué)的相對論不變性據(jù)相對性原理，電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律對任意慣性系都可表示成相同的形式。而麥氏方程組總結(jié)了宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律，由它導(dǎo)出的電磁波在真空中以光速c傳播等一系列推論都被實驗所證明。因此麥氏方程組就應(yīng)適用于任何慣性系，它就能表示成相對論的四維協(xié)變形式.因為在麥氏方程組中出現(xiàn)有電流密度和電荷密度。它們是激發(fā)電磁場的源，現(xiàn)先討論它們的變換性質(zhì)。112§7電動力學(xué)的相對論不變性據(jù)相對性原理，電磁現(xiàn)象的基本1四維電流密度矢量據(jù)電荷守恒定律，帶電體系的總電荷應(yīng)該始終保持不變，即總電荷Q不隨坐標系的變化而改變，它是洛侖茲標量。設(shè)電荷系統(tǒng)固結(jié)于S'系，它相對于S系以速度u運動，那么1131四維電流密度矢量據(jù)電荷守恒定律，帶電體系的總電荷應(yīng)該始從而我們就可得到可見電荷體密度在洛侖茲變換下是一變化的量.當粒子以速度u運動時，其電流密度為如果引入電流密度的第四個分量則按前面定義的四維速度矢量，（1）和（2）式合起來可表示成四維電流矢量114從而我們就可得到可見電荷體密度在洛侖茲變換下是一變化的量.如在此電流密度J和電荷密度ρ合為四維矢量，這顯示了這兩個物理量的統(tǒng)一性。在參考系改變時，它們可相互轉(zhuǎn)化。但電荷守恒定律在任何慣性參考系中都是適用的，現(xiàn)可表示成顯然它是協(xié)變的，是一個洛侖茲標量。從這一事實充分說明，由于相對論時空的統(tǒng)一，使得在相對論中不同的物理量之間顯示出了它們的統(tǒng)一性。下面我們還將看出電場和磁場（矢勢和標勢）等也具有這種統(tǒng)一性。115在此電流密度J和電荷密度ρ合為四維矢量，這顯示了這兩個物理2四維勢矢量在講電磁波的輻射時將電磁場用勢A和來表示，描述電磁場的麥氏方程組化成了勢所滿足的波動方程。為方便我們先討論在洛侖茲規(guī)范條件下勢所滿足的達朗伯爾方程所具有的協(xié)變形式（性）1162四維勢矢量在講電磁波的輻射時將電磁場用勢A和來表示，利用四維時空坐標，達朗伯爾方程的左邊可寫為??稱為洛侖茲標量算符。進一步將變形得117利用四維時空坐標，達朗伯爾方程的左邊可寫為??稱為洛侖茲標所以有此式與的右邊構(gòu)成四維矢量所以它們的左邊也應(yīng)構(gòu)成四維矢量。而是洛侖茲標量算符，則構(gòu)成四維矢量。用表示，即四維勢矢量這顯然是協(xié)變的這樣勢所滿足的達朗伯爾方程及洛侖茲規(guī)范條件就可分別表為118所以有四維勢矢量這顯然是協(xié)變的這樣勢所滿足的達朗伯爾方在參考系變換（洛侖茲變換）下，四維勢矢量按四維矢量變換即119在參考系變換（洛侖茲變換）下，四維勢矢量按四維矢量變換353電磁場張量電磁場用勢表示分別為其分量形式為1203電磁場張量電磁場用勢表示分別為其分量形式為36如果我們引入一個反對稱的四維張量從定義的上述反對稱張量可將電場和磁場分別表為由此得121如果我們引入一個反對稱的四維張量從定義的上述反對稱張量可將電則此反對稱張量用矩陣形式可表示為電磁場張量電磁場張量是四維二階張量，它在洛侖茲變換下按二階張量的規(guī)律變化。即122則此反對稱張量用矩陣形式可表示為電磁場張量電磁場張量是四維二4麥克斯韋方程組的四維協(xié)變形式電磁場可以表示成電磁場張量，用電磁場張量可將麥克斯韋方程組表示成如下的四維協(xié)變形式1234麥克斯韋方程組的四維協(xié)變形式電磁場可以表示成電磁場張量下面推導(dǎo)上述的麥克斯韋方程組的協(xié)變形式124下面推導(dǎo)上述的麥克斯韋方程組的協(xié)變形式40用電磁場張量表示為同理可得125用電磁場張量表示為同理可得41將（1）—（4）式合起來即為（A）式126將（1）—（4）式合起來即為（A）式42同理得綜合（5）—（8）式便可得式（B）127同理得綜合（5）—（8）式便可得式（B）435電磁場變換關(guān)系研究的問題是：兩個相對運動的慣性系中在確定的時空點PS系系場量場量已知已知1285電磁場變換關(guān)系研究的問題是：兩個相對運動的慣性系中S電磁場表示成電磁場張量，電磁場的變換關(guān)系可通過電磁場張量的變換關(guān)系推出，電磁場張量的變換關(guān)系為據(jù)此可得同理可得129電磁場表示成電磁場張量，電磁場的變換關(guān)系可通過電磁場張量的變正變換（υ→-υ）→逆變換130正變換（υ→-υ）→逆變換46變換可表示成如下的矢量形式131變換可表示成如下的矢量形式471）在運動方向上，電場、磁場分量相等2）在垂直運動方向上，電場、磁場之間有關(guān)系3）矢勢和標勢統(tǒng)一為四維勢矢量，電場和磁場統(tǒng)一為電磁場張量。這反映了電磁場的統(tǒng)一性和相對性。電場和磁場是同一種物質(zhì)的兩個方面，在給定參考系下，電場和磁場表現(xiàn)出不同的性質(zhì)；但參考系變化時，它們可以相互轉(zhuǎn)化，這正是它們的統(tǒng)一性。4）如果產(chǎn)生場的電荷在某個慣性系中靜止，則在這個系中只有靜電場，沒有磁場。但在另一與之有相對運動的慣性系就既有電場，也有磁場。討論1321）在運動方向上，電場、磁場分量相等討論48逆變換特殊情況：在一個參考系中只有靜電場則在S系，不僅有電場還有磁場很容易得到133逆變換特殊情況：在一個參考系中只有靜電場則在S系，不僅有電場6電磁場的不變量從前面的討論我們似乎可以看出，通過洛侖茲變換總可以使E和B有任意取值。其實這種電場和磁場的相對性之中還包含著絕對性的一面，這就是電磁場的不變量。因為電磁場用電磁場張量Fμν來表示，故我們要找電磁場的不變量只需求出電磁場張量可能的各種標積，顯然我們只能構(gòu)成兩個獨立不變量1346電磁場的不變量從前面的討論我們似乎可以看出，通過洛侖茲可證討論故電磁場構(gòu)成兩個不變量1）若電場和磁場在一慣性系中是相互垂直的，則那么在任意慣性系中都將是垂直的。

135可證討論故電磁場構(gòu)成兩個不變量1）若電場和磁場在一慣性系中是2）如的絕對值在一慣性系中相等，即，則在任意慣性系中它們還相等(如平面波)4）若在一個慣性系中E和B的夾角是鈍角(銳1362）如的絕對值在一慣性系中相等

角)，則在任意慣性系中的夾角也是鈍角(銳角)。5）若在一慣性系中，E·B=0，則總能找到一個慣性系，使其中只有電場或只有磁場。具體是只有電場還是只有磁場，就要看至此，電磁現(xiàn)象的參考系問題就完全獲得解決。137角)，則在任意慣性系中的夾角也是例勻速運動的點電荷的電磁場量已知：實驗室參考系中點電荷求：解：取電荷在其靜止的參考系為S'系實驗室參考系為系運動速度系中分量式138例勻速運動的點電荷的電磁場量已知：實驗室參考系中點電荷求：由場量變換得139由場量變換得55利用洛侖茲坐標變換得用S系的量表示的結(jié)果，要注意的是所有距離都是對S系同時測量的。140利用洛侖茲坐標變換得用S系的量表示的結(jié)果，要注意的是所有距離結(jié)果141結(jié)果571)電力線2)高斯定理在兩個慣性系中同時畫的閉合面與運動無關(guān)高斯定理也適用于運動電荷的電場場強不同但電力線的總條數(shù)不變討論1421)電力線2)高斯定理在兩個慣性系中同時畫的閉合面與運動無關(guān)3)低速時靜電場1433)低速時靜電場59§8狹義相對論動力學(xué)基礎(chǔ)高速運動時動力學(xué)概念如何？基本出發(fā)點：1）基本規(guī)律在洛侖茲變換下形式不變，牛頓力學(xué)理論需要修改；2）低速時回到牛力學(xué)本節(jié)我們通過力學(xué)中的幾個基本問題的分析，得到相對論的協(xié)變力學(xué)方程。144§8狹義相對論動力學(xué)基礎(chǔ)高速運動時動力學(xué)概念如何？601能量—動量四維矢量描述經(jīng)典力學(xué)的基本規(guī)律是牛頓定律物體的動量作用于物體上的力這一規(guī)律在舊時空的伽利略變換下是協(xié)變的，然而新時空觀要求力學(xué)規(guī)律應(yīng)在洛侖茲變換下是協(xié)變的。那么這首先要求把力學(xué)方程修改為四維形式。這樣問題就歸結(jié)為怎樣引入四維動量和四維力的問題。1451能量—動量四維矢量描述經(jīng)典力學(xué)的基本規(guī)律是牛頓定律物體在經(jīng)典力學(xué)情況下，是經(jīng)典動量，它在舊時空的伽利略變換下是協(xié)變的，然而在相對論中，不再是協(xié)變量，即不是四維協(xié)變量的前三分量，它與四維速度矢量相聯(lián)系，且在低速情況下，四維速度的前三分量就近似為普通意義下的速度。現(xiàn)我們就利用四維速度矢量定義一個四維動量。物體的靜止質(zhì)量（洛侖茲不變量）定義按空間分量和時間分量可分為146在經(jīng)典力學(xué)情況下，是經(jīng)典動量，它在舊時空的伽利略變當υ<<c時，P就趨于經(jīng)典動量，因此我們就可以認為P就是相對論中物體的動量。下面我們再來分析P4的物理意義，首先將其在υ<<c時的低速情況下進行展開括號內(nèi)的第二項就代表物體的動能，可見P4與物體的能量有關(guān)。147當υ<<c時，P就趨于經(jīng)典動量，因此我們就可以認為P就是相進一步可證明物體的總能量為總能動能物體的靜止能量（內(nèi)部能量）所以四維動量可表為即構(gòu)成能量動量四維矢量當υ=0時，物體的動能為零總能量為即148進一步可證明物體的總能量為總能動能物體的靜止能量（內(nèi)部能量）1）在此，靜止能量是一個常數(shù)m0c2，在經(jīng)典情形，我們知道對能量附加一個常數(shù)是無意義的。然而在相對論情形，物體的靜止能量（m0c2）的出現(xiàn)是狹義相對論協(xié)變性直接要求的，不可刪掉。2）從物理的角度看，自然界最基本的定律之一是能量轉(zhuǎn)化和守恒定律。對于在此出現(xiàn)的能量附加項只當它可以轉(zhuǎn)化為其它形式的能量時才有物理意義。那么它就能夠在一定的條件下轉(zhuǎn)變成其它形式的能量。這一點已被實驗所證明(原子能的利用等)討論1491）在此，靜止能量是一個常數(shù)m0c2，在經(jīng)典情形，我們知道對2動量質(zhì)量和能量的關(guān)系由四維動量可構(gòu)成不變量相對論動量質(zhì)量和能量的關(guān)系在物體靜止時，即1502動量質(zhì)量和能量的關(guān)系由四維動量可構(gòu)成不變量相對論動3質(zhì)能關(guān)系1）質(zhì)能關(guān)系前述m0c2是相對論協(xié)變性所要求的，它代表的是物體靜止時所具有的內(nèi)部能量。這說明，靜止物體的內(nèi)部還存在著運動，一定質(zhì)量的粒子就對應(yīng)著一定的內(nèi)部能量。反之，帶有一定內(nèi)部運動能量的粒子就表現(xiàn)有一定的慣性質(zhì)量。它的被揭示是相對論的重要推論之一。質(zhì)能關(guān)系1513質(zhì)能關(guān)系1）質(zhì)能關(guān)系它的被揭示是相對論的重要推論之一。2）結(jié)合能與質(zhì)量虧損由于協(xié)變性與物體的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。所以對于復(fù)合物體，上述質(zhì)能關(guān)系仍然成立，即復(fù)合物體靜止(質(zhì)心靜止)時的總內(nèi)部能量復(fù)合物體的靜止質(zhì)量當一組物體構(gòu)成復(fù)合物體時，由于各粒子之間有相互作用能以及相對運動的動能，因而當物體整體靜止時，它的總能量一般就不等于構(gòu)成組合粒子的靜止能量之和，即1522）結(jié)合能與質(zhì)量虧損由于協(xié)變性與物體的具體結(jié)構(gòu)無關(guān)。所以對于兩者之差就稱為物體的結(jié)合能，即第i個粒子的質(zhì)量與此對應(yīng)物體的質(zhì)量M0=W0/c2亦不等于組成它的各粒子靜止質(zhì)量之和，兩者之差稱為質(zhì)量虧損說明：1）質(zhì)能關(guān)系已被大量實驗相當好的證明，這反過來更加說明了狹義相對論的正確性153兩者