第4章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)-綜合檢測(cè)2（培優(yōu)卷）（解析版）

第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．在下面四個(gè)等式運(yùn)算中，正確的是A． B．C． D．【試題來源】北京市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)測(cè)試題【答案】B【解析】，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤．故選B．2．若實(shí)數(shù)x、y滿足（，且），則的值為A． B．2C． D．1【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)期中測(cè)試【答案】D【解析】由已知，，所以，，所以，，得．故選D．3．三個(gè)數(shù)，，的大小順序是A． B．C． D．【試題來源】廣東省廣州市仲元中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期末【答案】C【解析】因?yàn)?，，，，又函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．故選C．4．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n，則以下結(jié)論中正確的是A． B．C． D．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第四章【答案】B【解析】不妨設(shè)，則兩式相減，得，所以．故選B．5．若a?b?c都是正數(shù)，且，那么A． B．C． D．【試題來源】湖北省騰云聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考【答案】D【解析】由于，，都是正數(shù)，故可設(shè)，，，，則，，．，，即，去分母整理得，．所以ABC不正確，D正確，故選D．6．若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值可以是A． B．C．2 D．4【試題來源】黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】A【解析】畫出兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象，若有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故選A7．已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是A． B．C． D．【試題來源】浙江省舟山中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】D【解析】由函數(shù)（其中）的圖象可得，所以，所以排除BC，因?yàn)?，所以為增函?shù)，所以排除A，故選D8．已知時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，則關(guān)于以下兩個(gè)結(jié)論正確的判斷是①函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②函數(shù)的零點(diǎn)必定在區(qū)間（a，b）內(nèi)．A．①②均對(duì) B．①對(duì)，②錯(cuò)C．①錯(cuò)，②對(duì) D．①②均錯(cuò)【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第五章5．3函數(shù)的應(yīng)用【答案】B【解析】因?yàn)楹途鶠閰^(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，因此函數(shù)也是區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，且，．所以只有一個(gè)零點(diǎn)，①對(duì)．因?yàn)?，所以的符?hào)為兩正一負(fù)或者全負(fù)，因?yàn)?，所以必有，，或者，，．?dāng)，，時(shí)，零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；當(dāng)，，時(shí)，零點(diǎn)在區(qū)間（a，b）內(nèi)，所以②錯(cuò)．故選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，且，，，且，則下列各式不恒成立的是①；②；③；④．A．① B．②C．③ D．④【試題來源】福建省莆田第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考【答案】AC【解析】若x<0，則①錯(cuò)誤；易知，則，所以，②正確；若x<0，y<0，則③錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，④正確．故選AC．10．已知，，則A． B．C． D．【試題來源】2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)鏈接教材精準(zhǔn)變式練（蘇教版2019必修第一冊(cè)）【答案】ABD【解析】由，得．，故B正確；由，，且得，故A正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選ABD．11．給出下列四個(gè)命題，其中所有正確命題的選項(xiàng)是A．函數(shù)的圖象過定點(diǎn)B．化簡(jiǎn)的結(jié)果為25C．已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D．若（，），則【試題來源】廣東省汕頭市潮師高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考【答案】BD【解析】對(duì)于A，函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，A錯(cuò)，對(duì)于B，，B對(duì)，對(duì)于C，由函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，可得，且，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，若，則，即，又，在上單減，所以，所以故D對(duì)，故選BD．12．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，，，且，則A． B．實(shí)數(shù)a的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的解集為【試題來源】湘教版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第4章全章綜合檢測(cè)【答案】ACD【解析】由題意方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為，，．作出函數(shù)的圖象和直線如圖所示：由圖可知，，所以，故A正確；由于，所以，故B錯(cuò)誤；由，得，所以，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，由，即，得，當(dāng)時(shí)，由，即，得，故的解集為，故D正確．故選ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．【試題來源】陜西省西安中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】【解析】令，則，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為．14．已知，，定義，則__________．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第三章3．1冪與指數(shù)【答案】【解析】．故答案為15．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，定義函數(shù)f(x)=x-[x]．有下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象是一條直線；②函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，1)；③方程f(x)=有無數(shù)個(gè)解；④函數(shù)是R上的增函數(shù)．其中正確的是__________．(填序號(hào))【試題來源】黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】②③【解析】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，可以看出函數(shù)的圖象不是一條直線，故A錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，故②正確；方程有無數(shù)個(gè)解，③正確；函數(shù)是分段函數(shù)，且函數(shù)不是R上的增函數(shù)，故④錯(cuò)誤．故答案為②③16．已知，設(shè)，若，則的取值范圍是__________．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第五章章測(cè)試【答案】【解析】作出函數(shù)在區(qū)間（0，1）與上的圖象，如圖所示：若，滿足，則必有，，且，即，所以，，令，，則．設(shè)，可得，因此所求取值范圍是．故答案為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）化簡(jiǎn)與求值．（1）化簡(jiǎn)：（，）；（2）已知，求的值．【試題來源】北師大版（2019）必修第一冊(cè)突圍者第三章全章綜合檢測(cè)【答案】（1），（2）【解析】（1）因?yàn)?，，所以．?）因?yàn)?，所以，即，又，而，所以，故?8．（12分）（1）計(jì)算；（2）已知，，求的值．【試題來源】北京市大興區(qū)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中考試【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）因?yàn)?，，所?9．（12分）在飛機(jī)制造業(yè)中，發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律：制造第2架飛機(jī)所需的工時(shí)數(shù)是第1架的80%；第4（即）架又是第2架的80%；第8（即）架又是第4架的80%；……這就是說，通過積累經(jīng)驗(yàn)，可以提高效率．這也是符合學(xué)習(xí)規(guī)律的，這里的80%稱為“進(jìn)步率”，所制造的飛機(jī)架數(shù)與所需工時(shí)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系所確定的曲線常稱為“學(xué)習(xí)曲線”．設(shè)制造第1架飛機(jī)需要用k個(gè)工時(shí)，進(jìn)步率為r，試求出制造第x架飛機(jī)與需用的工時(shí)數(shù)y之間的函數(shù)表達(dá)式．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第五章5．3函數(shù)的應(yīng)用【答案】【解析】由題意，可知第1架用k個(gè)工時(shí)，第2架用kr個(gè)工時(shí)，第架用個(gè)工時(shí)，……第架用個(gè)工時(shí)．令，則，因此，所以制造第x架飛機(jī)與需用的工時(shí)數(shù)y之間的函數(shù)表達(dá)式為．20．（12分）設(shè)正整數(shù)a、b、c滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有成立．（1）求證：；（2）求出所有滿足題設(shè)的a、b、c的值．【試題來源】滬教版（2020）必修第一冊(cè)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第三章章測(cè)試【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則．因?yàn)?，所以，所以，即成立．?）不妨設(shè)，易得．若，則，，故，解得，與n為任意的正整數(shù)矛盾．若，則．故，，從而．因?yàn)?，所以?．當(dāng)時(shí)，，而，矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，，從而，，所以21．（12分）函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【試題來源】廣東省深圳市深圳中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中【答案】（1）最小值為-5，最大值為-1，（2）【解析】（1）設(shè)，由可得，故所求即為在上的最值，該函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為故的最小值為，最大值為，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為．（2）所求即為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，滿足，設(shè)可得，即，解得，實(shí)數(shù)的取值范