可靠性概率分布

南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院系統(tǒng)可靠性設(shè)計與分析第（2）下圖為威布爾分布可靠度與不可靠度函數(shù)曲線圖4-2威布爾分布可靠度與不可靠度從圖4-2中觀察到①形狀參數(shù)越小，不可靠度在起始階段上升越快，處于較高水平，而后平穩(wěn)上升，時間足夠長時，其不可靠度相對其他較低。②尺度參數(shù)越小，不可靠度上升越早，且上升迅速，很快接近1。③位置參數(shù)影響可靠度及不可靠度曲線左右位置，但不會改變曲線形狀。(3)下圖為威布爾分布失效率函數(shù)曲線圖4-3威布爾分布失效率（1）形狀參數(shù)當(dāng)m<1時，失效率以縱軸為漸近線，從無窮大迅速減小，而后，逐漸趨于0；當(dāng)m=1時，失效率為常數(shù)1，一直維持此水平；當(dāng)m>1時失效率從0開始增加并一直保持上升趨勢a．1<m<2時，失效率增加速度逐漸減慢；b．m=2時，失效率為一條直線，為線性增圖4-3威布爾分布失效率曲線長；c．m>2時，失效率增長速度逐漸加快；（2）尺度參數(shù)尺度參數(shù)變化影響失效率增長速度，越小，增長速度越快。從公式（4.4）也可以看出，變化時，失效率的變化是成比例的。（3）位置參數(shù)位置參數(shù)會改變失效率函數(shù)的左右位置（即起始位置的改變），不會引起函數(shù)曲線形狀和大小的變化。5、應(yīng)用（1）原理：威布爾分布具有重要的的工程應(yīng)用和研究價值。威布爾分布是由最弱環(huán)節(jié)模型導(dǎo)出的，這個模型如同許多鏈環(huán)串聯(lián)而成的一根鏈條，兩端受拉力時，其中任意一個環(huán)斷裂，則鏈條失效。顯然，鏈條斷裂發(fā)生在最弱環(huán)節(jié)。一個整體的任何部分失效則整體就失效，即屬于最弱環(huán)節(jié)模型。因某一局部失效而導(dǎo)致全局停止運行的元件、部件、器件、設(shè)備等的壽命都可以看做服從威布爾分布，機(jī)械中的疲勞強(qiáng)度、疲勞壽命、磨損壽命、腐蝕壽命大多服從威布爾分布。對于機(jī)電系統(tǒng)和電子系統(tǒng)，這些系統(tǒng)或設(shè)備的疲勞失效或真空失效和磨損失效等,也都可以認(rèn)為服從威布爾分布。因此，威布爾模型是研究機(jī)械零部件可靠性的最適合的模型之一[8]。標(biāo)準(zhǔn)的三參數(shù)威布爾分布能夠擬合各種類型的壽命數(shù)據(jù)，當(dāng)其參數(shù)取特定的數(shù)值時，它可以接近于指數(shù)分布、正態(tài)分布等各種分布模型。另外，威布爾分布對于產(chǎn)品壽命的“浴盆曲線”的三個失效期都有較強(qiáng)的適應(yīng)力，并且由于它是根據(jù)最弱環(huán)節(jié)模型或串聯(lián)模型得到的，能充分反映材料缺陷和應(yīng)力集中源對材料疲勞壽命的影響，它通常作為材料或零件的壽命分布模型或給定壽命下的疲勞強(qiáng)度的模型。（2）工程應(yīng)用：威布爾分布可以用來對機(jī)械設(shè)備中許多通用的零部件（如齒輪、軸承、密封件等）進(jìn)行可靠性預(yù)計與評價，用于檢驗失效分布形式，確定分布參數(shù)，驗證和確定可靠性指標(biāo)，分析失效機(jī)理和變化趨勢，比較新老設(shè)計方案等[9]。在航空領(lǐng)域，威布爾分布的一個重要應(yīng)用就是研究發(fā)動機(jī)渦輪葉片的壽命。渦輪工作葉片在高溫高壓燃?xì)獍鼑鹿ぷ鳎粌H要承受轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)時葉片自身的離心力、氣動力、熱應(yīng)力及振動負(fù)荷，還受到燃?xì)獾膰?yán)重腐蝕。當(dāng)發(fā)動機(jī)工況不斷變化時，葉片還經(jīng)受冷熱疲勞，所以它是發(fā)動機(jī)中受力和受熱最為嚴(yán)重的零件之一。渦輪葉片工作時間越接近于壽命期，渦輪葉片的失效概率越大，可靠性也越低[10]。（3）局限性：威布爾分布在機(jī)械可靠性工程領(lǐng)域已經(jīng)得到了一定的應(yīng)用，為可靠性設(shè)計和可靠性試驗中的數(shù)據(jù)分析提供了有效的概率模型，在基于統(tǒng)計的可靠性領(lǐng)域占有非常重要的地位。但是由于威布爾分布與指數(shù)分布、正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布相比，模型相對復(fù)雜，需要確定的分布參數(shù)較多，應(yīng)用范圍受到一定的限制。因此，在各種樣本條件下，建立高精度的參數(shù)估計方法是很重要的。同時，研究威布爾分布的改進(jìn)模型，尋找有效的參數(shù)估計方法，對威布爾分布及其改進(jìn)模型在機(jī)械可靠性工程各領(lǐng)域的應(yīng)用也具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價值。作為在可靠性工程領(lǐng)域最為重要的壽命分布之一，威布爾分布自從提出以來，一直受到機(jī)械工程等領(lǐng)域研究人員的關(guān)注。關(guān)于威布爾分布的研究主要集中在以下幾個方面：（1）對傳統(tǒng)威布爾分布模型進(jìn)行改進(jìn)[11]；（2）建立傳統(tǒng)模型參數(shù)估計的新方法，建立改進(jìn)模型的參數(shù)估計算法；（3）在疲勞可靠性分析、加速試驗方案的制定、退化產(chǎn)品的壽命分布以及維修策略的優(yōu)化等方面拓展威布爾分布原有的應(yīng)用范圍；（4）在無失效數(shù)據(jù)條件下，威布爾分布的參數(shù)估計及可靠性分析方法研究。三、小結(jié)可靠性是產(chǎn)品在規(guī)定時間內(nèi)和規(guī)定條件下完成規(guī)定功能的能力。可靠性定量分析是對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性設(shè)計與分析的重要環(huán)節(jié)，是通過各種可靠性數(shù)據(jù)分析工作來完成的。由于其不確定性，在分析中，往往用數(shù)學(xué)概率分布模型來研究失效時間。失效時間的分布函數(shù)主要有指數(shù)分布，正態(tài)分布，對數(shù)正態(tài)分布，威布爾分布等。本文主要分析討論了以上四種分布函數(shù)的失效概率密度函數(shù)，可靠度函數(shù)，不可靠度函數(shù)和失效率的影響因素，以及概率分布函數(shù)在工程上的應(yīng)用，使讀者對可靠性理論中的壽命概率分布有一個大致的了解。

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附錄計算數(shù)據(jù)所用的C程序如下：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<windows.h>#definePI3.1415926/*宏*/voidZhiShu_FenBu()/*指數(shù)分布*/{ doublex,f,F,R,a,t; x=0;f=0;F=0;R=0; FILE*fp; fp=fopen("c:/指數(shù)分布.xls","a");/*以追加寫方式打開excel文件*/ if(fp==NULL) { printf("Cannotopenthefile1!\n"); return; } printf("您選擇指數(shù)分布\n\n"); for(;;) { printf("請輸入?yún)?shù)：失效率(大于0)\n");/*輸入?yún)?shù)*/ scanf("%lf",&a); if(a<=0) { printf("數(shù)據(jù)無效！請重新輸入\n");/*參數(shù)不符合要求*/ continue; } fprintf(fp,"指數(shù)分布\n失效率為%lf\n",a); fprintf(fp,"x\tf(x)\tF(x)\tR(x)\n"); for(x=0;x<=10;x+=0.1) { f=a*exp(-1*a*x);/*計算fFR*/ F=1-exp(-1*a*x); R=exp(-1*a*x); fprintf(fp,"%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\n",x,f,F,R);/*寫數(shù)據(jù)fFR*/ } printf("\t計算完畢\n\n"); x=0;f=0;F=0;R=0;/*重置計算值*/ printf("要繼續(xù)計算下一組指數(shù)分布數(shù)據(jù)點嗎？\n"); printf("繼續(xù)請按1\t否則按0\n");/*是否繼續(xù)？*/ scanf("%lf",&t); if(t==0) break;/*退出for循環(huán)*/ } system("cls");/*清屏*/ fclose(fp);/*關(guān)閉文件*/} voidZhengTai_FenBu()/*正態(tài)分布*/{ doublex,f,F,R,FailureRate,a,b,t; x=0;f=0;F=0;R=0;FailureRate=0; FILE*fp; fp=fopen("c:/正態(tài)分布.xls","a");/*以追加寫方式打開excel文件*/ if(fp==NULL) { printf("Cannotopenthefile2!\n"); return; } printf("您選擇正態(tài)分布\n\n"); for(;;) { printf("請輸入?yún)?shù)：均值標(biāo)準(zhǔn)差(大于0)\n");/*輸入數(shù)據(jù)*/ scanf("%lf%lf",&a,&b); if(b<=0) { printf("數(shù)據(jù)無效！請重新輸入\n");/*數(shù)據(jù)不符合要求*/ continue; } fprintf(fp,"正態(tài)分布\n均值為%lf\t標(biāo)準(zhǔn)差為%lf\n",a,b); fprintf(fp,"x\tf(x)\tF(x)\tR(x)\t失效率\n"); for(x=0;x<=15;x+=0.1) { f=1/b/sqrt(2*PI)*exp(-0.5*((x-a)/b)*((x-a)/b));/*計算*/ F=F+f*0.1; R=1-F; FailureRate=f/R; fprintf(fp,"%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\n",x,f,F,R,FailureRate);/*寫數(shù)據(jù)*/ } x=0;f=0;F=0;R=0;/*重置計算值*/ printf("\t計算完畢\n\n"); printf("要繼續(xù)計算下一組正態(tài)分布數(shù)據(jù)點嗎？\n"); printf("繼續(xù)請按1\t否則按0\n");/*是否繼續(xù)？*/ scanf("%lf",&t); if(t==0) break; } system("cls");/*清屏*/ fclose(fp);/*關(guān)閉文件*/}voidDuiShuZhengTai_FenBu()/*對數(shù)正態(tài)分布*/{ doublex,f,F,R,FailureRate,a,b,t; x=0;f=0;F=0;R=0;FailureRate=0; FILE*fp; fp=fopen("c:/對數(shù)正態(tài)分布.xls","a");/*以追加寫方式打開文件*/ if(fp==NULL) { printf("Cannotopenthefile3!\n"); return; } printf("您選擇對數(shù)正態(tài)分布\n\n"); for(;;) { printf("請輸入?yún)?shù)：對數(shù)均值對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差(大于0)\n"); scanf("%lf%lf",&a,&b); if(b<=0) { printf("數(shù)據(jù)無效！請重新輸入\n");/*數(shù)據(jù)不符合要求*/ continue; } fprintf(fp,"對數(shù)正態(tài)分布\n對數(shù)均值為%lf對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為%lf\n",a,b); fprintf(fp,"x\tf(x)\tF(x)\tR(x)\t失效率\n"); for(x=0.1;x<=4;x+=0.1) { f=1/x/b/sqrt(2*PI)*exp(-0.5*(log(x)-a)/b*(log(x)-a)/b);/*計算*/ F=F+f*0.1; R=1-F; FailureRate=f/R; fprintf(fp,"%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\n",x,f,F,R,FailureRate);/*寫數(shù)據(jù)*/ } x=0;f=0;F=0;R=0;/*重置計算值*/ printf("\t計算完畢\n\n"); printf("要繼續(xù)計算下一組對數(shù)正態(tài)分布數(shù)據(jù)點嗎？\n");/*是否繼續(xù)?*/ printf("繼續(xù)請按1\t否則按0\n"); scanf("%lf",&t); if(t==0) break; } system("cls");/*清屏*/ fclose(fp);/*關(guān)閉文件*/}voidWeibull_FenBu()/*威布爾分布*/{ doublex,f,F,R,FailureRate,a,b,c,t; x=0;f=0;F=0;R=0;FailureRate=0; FILE*fp; fp=fopen("c:/威布爾分布.xls","a");/*以追加寫方式打開文件*/ if(fp==NULL) { printf("Cannotopenthefile4!\n"); return; } printf("您選擇威布爾分布\n\n"); for(;;) { printf("請輸入?yún)?shù)：形狀參數(shù)尺度參數(shù)位置參數(shù)\n"); scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);/*輸入數(shù)據(jù)*/ if(a<=0||b<=0) { printf("數(shù)據(jù)無效！請重新輸入\n");/*數(shù)據(jù)無效*/ continue; } fprintf(fp,"威布爾分布\n形狀參數(shù)為%lf尺度參數(shù)為%lf位置參數(shù)為%lf\n",a,b,c); fprintf(fp,"x\tf(x)\tF(x)\tR(x)\t失效率\n"); for(x=c+0.1;x<=c+4;x+=0.1) { f=a/b*pow(((x-c)/b),(a-1))*exp(-1*pow((x-c)/b,a));/*計算*/ F=1-exp(-1*pow((x-c)/b,a)); R=1-F; FailureRate=f/R; fprintf(fp,"%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\n",x,f,F,R,FailureRate);/*寫數(shù)據(jù)*/ } x=0;f=0;F=0;R=0;/*重置計算值*/ printf("\t計算完畢\n\n"); printf("要繼續(xù)計算下一組威布爾分布數(shù)據(jù)點嗎？\n");/*是否繼續(xù)?*/ printf("繼續(xù)請按1\t否則按0\n"); scanf("%lf",&t); if(t==0) break; } system("cls");/*清屏*/ fclose(fp);