多屬性決策概論

L14多屬性決策2詹文杰（教授/博導(dǎo)）Office:華中科技大學(xué)管理學(xué)院611室Tel習(xí)目標(biāo)層次分析法(AHP)；加權(quán)和法；加權(quán)積法；權(quán)重的靈敏度分析。14多屬性決策14.1層次分析法(AHP)14.2加權(quán)和法14.3加權(quán)積法14.4權(quán)重的靈敏度分析14.1層次分析法

(TheAnalyticalHierarchyProcess,簡稱AHP)層次分析法（TheAnalyticalHierarchyProcess）是美國運籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)教授在20世紀(jì)70年代初提出來的。它是處理多目標(biāo)、多準(zhǔn)則、多要素、多層次的復(fù)雜問題，進(jìn)行決策分析、綜合評價的一種簡單、實用而有效的方法，是一種定性分析與定量分析相結(jié)合的方法。AHP的流程圖構(gòu)造判斷矩陣B求B的特征向量求B的最大特征值結(jié)束一致性檢驗建立層次分析結(jié)構(gòu)模型修改判斷矩陣沒有通過AHP的求解步驟步驟1:構(gòu)造判斷矩陣B步驟2:求權(quán)重步驟3:一致性檢驗步驟4:方案排序例1:買車(AHP法確定權(quán))備選車價格(萬元)y1油耗(升/百公里)y2舒適度y3x1402510x215183x325106x435158判斷矩陣B的含義：相對于某個指標(biāo)，各個指標(biāo)重要性兩兩比較的判斷值。bij表示指標(biāo)i與指標(biāo)j重要性的比值。B（按1~9標(biāo)度給定）i與j重要性比較biji與j同等重要1i比j稍重要3i比j重要5i比j明顯重要7i比j絕對重要9相鄰兩級間2,4,6,8判斷矩陣B具有如下性質(zhì)：(1)bii=1;(2)bij與bji互為倒數(shù);(3)完全一致性，即:bik×bkj=bij,其中，(i,j,k=1,…,n)

b11…b1nB=(bij)n×n

=……

bn1…bnn步驟1:構(gòu)造判斷矩陣B步驟1:構(gòu)造判斷矩陣B價格(y1)油耗(y2)舒適度(y3)價格(y1)129油耗(y2)1/217舒適度(y3)1/91/71步驟2:求權(quán)重方法一：特征根法方法二：Saaty近似算法根據(jù)矩陣陣?yán)碚摚?，一致性矩矩陣A的最大特特征值等等于矩陣陣A的階數(shù)n。以n個事物為為元素的的向量W是矩陣B對應(yīng)于n的特征向向量，它它表示n個事物在在總量和和中的權(quán)權(quán)重。也也就是說說，矩陣A的最大特特征值n所對應(yīng)的的特征向向量即為為被比較較事物的的權(quán)重。方法一：：特征根根法A具有如下下性質(zhì)：：①aii＝1②aij與aji互為倒數(shù)數(shù)③完全全一致性性，即aik×akj=aij,i,j,k=1,……,n方法一：：特征根根法基本思想想：當(dāng)判判斷矩陣陣B為一一致性矩矩陣時，，其特征征根問題題BW=λλW的最大特特征值所所對應(yīng)的的特征向向量歸一一化后即即為排序序權(quán)重向向量。結(jié)論：求B的重重要性權(quán)權(quán)重就可可以歸結(jié)結(jié)為求B的最大大特征值值所對應(yīng)應(yīng)的特征征向量。方法二：：Saaty近近似算法法步驟2:求權(quán)重重(Saaty近似似算法)(1)A中每行行元素連連乘并開開n次方方:(2)wi*規(guī)范范化:步驟2:求權(quán)重重(Saaty近似似算法)價格油耗舒適度價格129油耗1/217舒適度1/91/71規(guī)范化:w1*+w2*+w3*=4.39w1=w1*/4.39=2.62/4.39=0.6w2=w2*/4.39=1.52/4.39=0.35w3=w3*/4.39=0.25/4.39=0.05步驟3:一致性性檢驗B與A都都表示元元素重要要性比值值，但A是按定定義構(gòu)造造，而B是由主主觀判斷斷獲得，，因此兩兩者數(shù)學(xué)學(xué)性質(zhì)并并不完全全一致，，表現(xiàn)在在A具有有完全一一致性③③，從而而其判斷斷矩陣的的最大特特征根λλ=n。。而B不不具備性性質(zhì)③，，λ大于于n，從從而把A推廣到到B所得得的結(jié)論論也有一一定誤差差。為使特征征根法仍仍能適用用，須對對誤差進(jìn)進(jìn)行檢驗驗，若誤誤差在允允許范圍圍內(nèi)，則則對B所所求的特特征向量量可近似似表示權(quán)權(quán)重。這一檢驗驗環(huán)節(jié)稱稱一致性性檢驗（（相容性性檢驗））。前述A的最大特特征值為為n，而判斷斷矩陣B的最大特特征值λmax>n，可以認(rèn)認(rèn)為這是是B不滿足③③而產(chǎn)生生的結(jié)果果，B越是不滿滿足③，，λmax-n越大，因因此，將將這一誤誤差值作作為衡量量A滿足完全全一致性性的程度度。一致性指指標(biāo)(ConsistencyIndex)其中步驟3:一致性性檢驗考慮到n越大，判判斷矩陣陣B越難滿足足一致性性，所以以應(yīng)對不不同階數(shù)數(shù)的矩陣陣給予不不同的誤誤差限，，為此引引入隨機一致致性指標(biāo)標(biāo)R.I.（1000個樣本得得到的平平均C.I.值）：n12345678910R.I.000.580.961.121.241.321.411.451.49λ’max//3.1164.275.456.627.798.9910.1611.34(1)一一致性性比率(ConsistencyRatio):C.R.=C.I./R.I.若C.R.<0.1，判斷矩矩陣B具有滿意意一致性性;若C.R.≥0.1，判斷矩矩陣B不具有滿滿意一致致性，需需要重新新構(gòu)造，，直到滿滿意為止止。步驟3:一致性性檢驗(2)最最大特特征根檢檢驗：λmax<λ’max

A

B1B2B3B＝

B111/32

B2315

B31/21/5111/32BW=3151/21/510.2300.6480.122

0.69=1.9480.367例2：對對下面判判斷矩陣陣B進(jìn)行一致致性檢驗驗。故此判斷斷矩陣具具有滿意意一致性性。步驟3:一致性性檢驗(Saaty近似似算法)(1)A中每列列元素求求和:(2)計算λmax的值(3)與與臨界值λ’max比較:n12345678910R.I.000.580.961.121.241.321.411.451.49λ’max//3.1164.275.456.627.798.9910.1611.34步驟3:一致性性檢驗(Saaty近似似算法)價格油耗舒適度價格129油耗1/217舒適度1/91/71S1=1+1/2+1/9=1.61S2=2+1+1/7=3.14S3=9+7+1=17W1=0.6W2=0.35W3=0.05λmax=∑(WixSi)=0.61.61+0.353.14+0.0517=2.9150<3.116步驟驟4:方方案案排排序序備選車價格(萬元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒適度y3(w3=0.05)x1402510x215183x325106x435158步驟驟4:方方案案排排序序(屬屬性性值值0-1處處理理)備選車價格(萬元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒適度y3(w3=0.05)綜合評價值(Ci)x1001.00000.0500x21.00.466700.7633x30.61.00000.42860.7314x40.20.66670.71430.3890方案案排排序序：：x2>x3>x4>x1例3(9.3):設(shè)某某高高校校擬擬從從三三個個候候選選人人中中選選一一人人擔(dān)擔(dān)任任中中層層領(lǐng)領(lǐng)導(dǎo)導(dǎo)，，候候選選人人的的優(yōu)優(yōu)劣劣用用六六個個屬屬性性去去衡衡量量，，這這六六個個屬屬性性是是：：①①健健康康狀狀況況；；②②業(yè)業(yè)務(wù)務(wù)知知識識；；③③書書面面表表達(dá)達(dá)能能力力；；④④口口才才；；⑤⑤道道德德水水平平；；和和⑥⑥工工作作作作風(fēng)風(fēng)。。關(guān)關(guān)于于這這六六個個屬屬性性的的重重要要性性，，有有關(guān)關(guān)部部門門設(shè)設(shè)定定的的屬屬性性重重要要性性矩矩陣陣B為為：：①②③④⑤⑥①111411/2②112411/2③11/21531/2④1/41/41/511/31/3⑤111/3311⑥222311權(quán)重重的的本本征征向向量量屬性性值值的的AHP法法三個個候候選選人人分分別別記記作作X、、Y、、Z；；設(shè)設(shè)在在各各屬屬性性下下比比較較的的結(jié)結(jié)果果（（稱稱為為比比較較矩矩陣陣））如如下下。。屬性性的的最最大大本本征征值值屬性性值值的的調(diào)調(diào)整整調(diào)整整前前調(diào)整整后后結(jié)果果例4：：某省省輕輕工工部部門門有有一一筆筆資資金金欲欲投投資資生生產(chǎn)產(chǎn)輕輕工工產(chǎn)產(chǎn)品品?！，F(xiàn)現(xiàn)擬擬定定三三個個投投資資方方案案:(1)生生產(chǎn)產(chǎn)某某種種家家用用電電器器；；(2)生生產(chǎn)產(chǎn)某某種種緊緊俏俏產(chǎn)產(chǎn)品品；；(3)生生產(chǎn)產(chǎn)傳傳統(tǒng)統(tǒng)產(chǎn)產(chǎn)品品。評評價價和和選選擇擇投投資資方方案案的的準(zhǔn)準(zhǔn)則則是是：：風(fēng)險險程程度度、、資資金金利利潤潤率率和和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)產(chǎn)產(chǎn)難難易易程程度度。經(jīng)經(jīng)初初步步分分析析認(rèn)認(rèn)為為：：若若投投資資用用來來生生產(chǎn)產(chǎn)家家用用電電器器，，其其優(yōu)優(yōu)點點是是資資金金利利潤潤率率高高，，但但因因競競爭爭廠廠家家多多，，故故所所冒冒風(fēng)風(fēng)險險也也大大，，且且今今后后若若要要轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)產(chǎn)產(chǎn)其其他他產(chǎn)產(chǎn)品品也也較較困困難難。。若若資資金金用用來來生生產(chǎn)產(chǎn)傳傳統(tǒng)統(tǒng)產(chǎn)產(chǎn)品品，，情情況況正正好好相相反反，，即即其其優(yōu)優(yōu)點點是是所所冒冒風(fēng)風(fēng)險險小小，，今今后后若若要要轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)產(chǎn)產(chǎn)也也較較方方便便，，但但資資金金利利潤潤卻卻很很低低。。生生產(chǎn)產(chǎn)緊緊俏俏產(chǎn)產(chǎn)品品的的投投資資方方案案，，其其優(yōu)優(yōu)缺缺點點則則介介于于上上述述兩兩種種方方案案之之間間。。因因此此，，對對上上述述三三種種投投資資方方案案不不能能立立即即作作出出評評價價與與決決策策。。1.建建立立層層次次分分析析結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)模模型型

A

B1

B2

B3Wi0C.R.=C.I./R.I.

B111/320.230

B23150.6480.004/0.58=0.007＜0.10

B31/21/510.122選擇合理投資方向A

風(fēng)險小B1

家用電器C1利潤高B2

易轉(zhuǎn)產(chǎn)B3

緊俏產(chǎn)品C2傳統(tǒng)產(chǎn)品C32.構(gòu)構(gòu)造造判判斷斷矩矩陣陣，，進(jìn)進(jìn)行行層層次次單單排排序序及及一一致致性性檢檢驗驗。。

B1

C1

C2

C3Wi0C.R.

C111/31/50.105

C2311/30.2580.022/0.58=0.038＜0.10

C35310.637

B2

C1

C2

C3Wi0C.R.

C11270.592

C21/2150.3330.008/0.58=0.014＜0.10

C31/71/510.075

B3

C1

C2

C3Wi0C.R.

C111/31/70.081

C2311/50.1880.035/0.58=0.06＜0.10

C37510.731屬性性值值的的層層次次分分析析法法：：0.230××0.105+0.648××0.592+0.122××0.0810.230××0.022+0.648××0.008+0.122××0.035層次B要素

B層總排序值單排序值層次C要素B1B2B3綜合重要度0.2300.6480.122C1C2C30.1050.2580.6370.5920.333

0.0750.0810.1880.7310.4180.2980.284C.I.0.0220.0080.0350.015R.I.0.580.580.580.583.層層次次總總排排序序及及一一致致性性檢檢驗驗。。C.R.=C.I/R.I.=0.015/0.58=0.025<0.1改進(jìn)進(jìn)的的1~9標(biāo)度度--Ax標(biāo)標(biāo)度度Ax標(biāo)度賦值因素i與j相比較的重要程度等級901同等重要91/81.3161稍微重要92/81.7321重要94/83明顯重要96/85.1962強烈重要98/89極端重要14.2加加權(quán)權(quán)和和法法采用用加加權(quán)權(quán)和和法法的的關(guān)關(guān)鍵鍵在在于于確定定指指標(biāo)標(biāo)體體系系并設(shè)設(shè)定定各各最低低層層指指標(biāo)標(biāo)的的權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)：有有了了指指標(biāo)標(biāo)體體系系就就可可以以設(shè)設(shè)法法利利用用統(tǒng)統(tǒng)計計數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)或或?qū)＜壹掖虼蚍址纸o給出出屬性值表；有了權(quán)系數(shù)數(shù)，具體的計計算和排序就就十分簡單了了。正因為此，以以往的各種實實際評估過程程中總要把相相當(dāng)大的精力力和時間用在在確定指標(biāo)體體系和設(shè)定權(quán)權(quán)上。14.2加加權(quán)和法一般加權(quán)和法法求解步驟:（1）屬性值值規(guī)范化：得得Zij(i=1,…,m;j=1,…,n);（2）確定各各指標(biāo)的權(quán)重重系數(shù)：Wj(j=1,…,n);（3）求各方方案的綜合值值：根據(jù)方案綜合合值的大小對對方案排序。。例2:用加權(quán)和法求求解研究生院院排序問題。。指標(biāo)方案人均專著C1（本/人）生師比C2科研經(jīng)費C3（萬元/年）逾期畢業(yè)率C4（%）A10.1550004.7A20.2740002.2A30.61012603.0A40.3430003.9A52.822841.2例2:用加權(quán)和法求求解研究生院院排序問題。。（1）進(jìn)行數(shù)數(shù)據(jù)預(yù)處理；；（2）設(shè)決策策人設(shè)定的各各屬性權(quán)重分分別為:0.2,0.3,0.4,0.1；；（3）計算各各方案的綜合合值，見下表表：方案集X中各方案的排排序為：解：指標(biāo)方案人均專著z1生師比z2科研經(jīng)費z3逾期畢業(yè)率z4方案綜合值Cix10.03571.01.00.00.7074x20.07140.83330.80.53190.6375x30.21430.33330.25200.36170.2871x40.10710.66660.60.17020.4784x51.00.00.05680.74470.2972例3:用統(tǒng)計處理對對屬性1作處處理，用加權(quán)權(quán)和法求解例例2。（1）進(jìn)行數(shù)數(shù)據(jù)預(yù)處理；；（2）設(shè)決策策人設(shè)定的各各屬性權(quán)重分分別為:0.2,0.3,0.4,0.1；；（3）計算各各方案的綜合合值，見下表表：方案集X中各方案的排排序為：解：指標(biāo)方案人均專著M=0.7生師比z2科研經(jīng)費z3逾期畢業(yè)率z4方案綜合值Cix10.59501.01.00.00.8190x20.61000.83330.80.53190.7452x30.67000.33330.25200.36170.3782x40.62500.66660.60.17020.5820x51.00.00.05680.74470.2972例：某航空公司在在國際市場買買飛機，按6個決策指標(biāo)標(biāo)對不同型號號的飛機進(jìn)行行綜合評價。。這6個指標(biāo)標(biāo)是，最大速速度（C1）、最大范圍圍（C2）、最大負(fù)載載（C3）、價格（C4）、可靠性（（C5）、靈敏度（（C6）?，F(xiàn)有4種種型號的飛機機可供選擇，，具體指標(biāo)值值如表。使用用加權(quán)和法就就購買飛機問問題進(jìn)行決策策。指標(biāo)機型最大速度馬赫最大范圍公里最大負(fù)載千克費用106美元可靠性靈敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般指標(biāo)機型最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負(fù)載(千克)費用(106美元)可靠性靈敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般指標(biāo)機型最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負(fù)載(千克)費用(106美元)可靠性靈敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055指標(biāo)機型Ai最大速度馬赫最大范圍公里最大負(fù)載千克費用106美元可靠性靈敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055解：用適當(dāng)方方法確定決策策指標(biāo)的權(quán)重重，得到wT=(0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3)用線性比例變換法得到標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣求得四個方案案的加權(quán)指標(biāo)標(biāo)值分別為u1=0.835,u2=0.709,u3=0.853,u4=0.738利用公式計算各方案的加權(quán)指標(biāo)值。由此可得最滿意方案為a3,且各方案的優(yōu)劣排序結(jié)果為一般加權(quán)和法法的適用條件件加權(quán)和法常常常被人們不適適當(dāng)?shù)厥褂茫?，這是因為許許多人并不清清楚：使用加加權(quán)和法意味味著承認(rèn)如下下假設(shè)：①指標(biāo)體系系為樹狀結(jié)構(gòu)，即每個下級級指標(biāo)只與一一個上級指標(biāo)標(biāo)相關(guān)聯(lián)；②每個屬性的邊際價價值是線性的(優(yōu)劣與屬屬性值大小成成比例)，每每兩個屬性都都是相互價值值獨立的；③屬性間的完全全可補償性：一個方案的的某屬性無論論多差都可用用其他屬性來來補償。字典序法字典序法是在在w1?w2?…?wn(符號?表示示遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于））時的加權(quán)和和法，即某個個目標(biāo)特別重重要,它與重重要性處于第第二位的目標(biāo)標(biāo)相比重要得得多；重要性性處于第二位位的目標(biāo)又又比重要性處處于第三位的的目標(biāo)重要得得多，……。。實質(zhì)上，字典序法是單單目標(biāo)決策,首先只根根據(jù)最重要目目標(biāo)的屬性值值的優(yōu)劣來判判斷方案集X中各方案的的優(yōu)劣；只有有當(dāng)兩個或多多個方案的最最重要目標(biāo)的的屬性值相同同時，再比較較它們的第二二重要的目標(biāo)標(biāo)的屬性值；；如此繼續(xù)，，直到排定所所有方案的優(yōu)優(yōu)劣次序為止止。14.3加權(quán)權(quán)積法在用一般般加權(quán)和和法及層層次分析析法求解解多屬性性決策問問題時，，都隱含了各各目標(biāo)的的屬性值值之間的的可補償償性，而而且這種種補償是是線性的的。例如：高高考錄取取只看總總分，表表示各科科成績直直接可以以線性補補償。而事實上上，許多決策策問題中中的屬性性值之間間是不可可補償?shù)牡?，即使在在一定范范圍?nèi)可可以補償償，這種種補償也也是非線線性的。。例如：研研究生錄錄取不光光只看總總分，還還看單科科成績，，如果單單科成績績低于分分?jǐn)?shù)線，，即使總總分夠線線也不可可以錄取取，表示示各科成成績直接接不可以以補償。。例5:可可持續(xù)發(fā)發(fā)展評價價指標(biāo)體體系加權(quán)積法法1:可可持續(xù)續(xù)發(fā)展評評價加權(quán)積法法2:可可持續(xù)續(xù)發(fā)展評評價加權(quán)積與與加權(quán)和和法的對對比加權(quán)積與與加權(quán)和和法的對對比從表9.12可可知，加加權(quán)積法法與加權(quán)權(quán)和法最最顯著的的差別在在于，只要有一一個屬性性值為零零，加權(quán)權(quán)積法的的綜合評評價指數(shù)數(shù)也為零零，屬性