高考數(shù)學(xué)二輪專題講座專題四 三角函數(shù)與復(fù)數(shù)

專題四三角函數(shù)與復(fù)數(shù)【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：函數(shù)y=Asin(的圖象與函數(shù)y=sinx圖象的關(guān)系以及根據(jù)圖象寫出函數(shù)的解析式考點(diǎn)2：三角函數(shù)的定義域和值域、最大值和最小值；考點(diǎn)3：三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最小正周期和三角函數(shù)圖象的對稱軸問題；考點(diǎn)4：和、差、倍、半、、誘導(dǎo)公式、和差化積和積化和差公式、萬能公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式；考點(diǎn)5：三角形中的內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理；考點(diǎn)6、復(fù)數(shù)的基本概念及運(yùn)算.【自我檢測】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿.誘導(dǎo)公式是指α的三角函數(shù)與－α，180o,90o,270o,360o－α，k360o+α(k∈Z)三角函數(shù)之間關(guān)系：奇變偶不變，符號看象限.兩角和與差的三角函數(shù)：sin(αβ)=_______________________;cos(αβ)=________________________;tan(αβ)=_________________________.二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________tan2α=_____________.半角公式：sin=_______，cos=_______,tan=________=________=______.萬能公式sinα=_____________,cosα=_____________,tanα=_____________.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：y=sinxy=cosxy=tanx定義域值域圖象單調(diào)性奇偶性周期性【重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)】問題1：三角函數(shù)的圖象問題關(guān)于三角函數(shù)的圖象問題，要掌握函數(shù)圖象的平移變化、壓縮變化，重點(diǎn)要掌握函數(shù)y=Asin(的圖象與函數(shù)y=sinx圖象的關(guān)系，注意先平移后伸縮與先伸縮后平移是不同的，要會根據(jù)三角函數(shù)的圖象寫出三角函數(shù)的解析式.例1．（05天津理）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的A、橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）,再向左平行移動個單位長度B、橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度C、橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度D、橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度思路點(diǎn)撥：將化為，再進(jìn)行變換.解答：變換1：先將的圖象向左平移個單位，得到的圖象，再將的圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍得到.變換2：先將的圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍，得到的圖象，再將的圖象向左平移個單位，得到.由上可得，應(yīng)選C.演變1：函數(shù)的部分圖象如圖，則（） A． B． C．D．點(diǎn)撥與提示：根據(jù)圖象得出函數(shù)的周期與振幅，再將（1,10坐標(biāo)代入即可.問題2：三角函數(shù)的求值問題關(guān)干三角函數(shù)的求值問題,要注意根據(jù)已知條件,準(zhǔn)確判斷角所在的范圍,合理選擇公式,正確選擇所求三角函數(shù)值的符號例2：已知.（I）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求的值.思路分析：將sinx-cosx=平方，求出sinxcosx的值，進(jìn)而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范圍確定sinx-cosx的符號.解法一：（Ⅰ）由即又故（Ⅱ）①②解法二：（Ⅰ）聯(lián)立方程①②由①得將其代入②，整理得故（Ⅱ）點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號等基本知識，以及推理和運(yùn)算能力.演變1：已知.點(diǎn)撥與提示：用已知中的角表示所求的角.問題3：三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等問題有關(guān)三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性等問題，通常需要先變形化簡，然后求解.例3：設(shè)函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像.思路點(diǎn)撥：正弦y=sinx的圖象的對稱軸為直線，其對稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是使函數(shù)取得最值的x值.解：（Ⅰ）的圖像的對稱軸，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由題意得所以函數(shù)（Ⅲ）由x0y－1010故函數(shù)點(diǎn)評：本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識，考查推理和運(yùn)算能力.演變3：已知向量.求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.問題4：“拆項”與“添項”的問題“拆項”與“添項”是指在作三角變換時，對角或三角函數(shù)可以分別進(jìn)行面或添項處理.例4：（1）求的值；（2）已知：，求：的值.思路分析：解此題的關(guān)健是能否抓住題中各角之間的內(nèi)在聯(lián)系.如（1）中的含有角7o、15o、8o，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系是15o＝7o＋8o，故可將7o拆成15o－8o；同理在第（2）題中可以拆成兩角差，即.解：（1）＝＝＝tan15o==(2)∵=∴tan()=tan[]＝＝＝點(diǎn)評：進(jìn)行三角變換的技巧常常是變角――注意角的和、差、倍、半、互余、互補(bǔ)關(guān)系，根據(jù)實際情況，對角進(jìn)行“拆”或“添”變形，這樣可以大大減少運(yùn)算量.演變4：求的值.點(diǎn)撥與提示：10o＝30o－20o.問題五：復(fù)數(shù)方程和共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)方程常見解法是將復(fù)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程組；關(guān)于共軛復(fù)數(shù)有兩個充要條件：①Z∈R，②非零復(fù)數(shù)y為純虛數(shù)，這兩個充要條件是用整體觀點(diǎn)處理復(fù)數(shù)的生要工具.例5：求實數(shù)k的值，使方程至少有一個實根.思路分析：已知方程是一元二次方程，系數(shù)含有參數(shù)，并且方程有一個實根，設(shè)出實根，利用復(fù)數(shù)相等可得出實數(shù)方程組，從而得解.解：設(shè)是方程的實根，則，即根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得：，消去得k2=8，∴k=點(diǎn)評：如果利用一元二次方程的判別式△＝（k+2i）2－4(2+ki)＝k2－12，要使方程至少有一個實根，只需△≥0，即k≤,k≥，這樣的解法是錯誤的.錯誤的原因在于：一元二次方程的判別式△＝b2-4ac≥0是實系數(shù)一元二次方程有實根的充要條件，不適合于復(fù)系數(shù)一元二次方程.對于這類虛數(shù)系數(shù)一元二次方程有實根的常見解法是設(shè)實根為，將x＝代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件來解.演變5：解復(fù)數(shù)集中的方程：點(diǎn)撥與提示：整理成關(guān)于x的一元二次方程，用求根公式求解.例6：設(shè)z是虛數(shù)，是實數(shù)，，求證：u為純虛數(shù).思路分析：本題證法很多，可以從共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算的角度給出證明.證明：∵∈R，∴，∴∴，∵z是純虛數(shù)，∴，∴|z|＝1，∴∵.∴.∵z是虛數(shù)，∴，∴，∴u為純虛數(shù).點(diǎn)評：用整體觀點(diǎn)處理復(fù)數(shù)問題時，應(yīng)注意利用前面提到的充要條件.演變6：設(shè)z1,z2為兩個非零復(fù)數(shù)，且｜z1+z2｜=|z1－z2|，求證：為負(fù)數(shù).點(diǎn)撥與提示：利用復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義求解.專題小結(jié)1．三角變換常用的方法技巧有切割化弦法，升冪降冪法、輔助元素法，“1”的代換法等．對于三角公式要記憶準(zhǔn)確（在理解基礎(chǔ)上），并要注意公式成立的條件，在應(yīng)用時，要認(rèn)真分析，合理轉(zhuǎn)化，避免盲目性．2．三角函數(shù)圖象的對稱性和有界性是高考命題的一個熱點(diǎn)．最基本的三角函數(shù)圖象的形狀和位置特征，要準(zhǔn)確掌握，它是利用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)問題的關(guān)鍵．三角函數(shù)圖象各種變換的實質(zhì)要熟練掌握，不能從形式上簡單判斷．3．解三角形時，要根據(jù)條件正確選擇正、余弦定理以及三角變換式．要充分發(fā)揮圖形的作用，注意三角形外接圓半徑在正弦定理中的轉(zhuǎn)化功能【臨陣磨槍】一、選擇題1．已知f(cosx)=cos3x，則f(sin30o)的值為（）A0B1C－1D2．（2006年遼寧卷）的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量,,若,則角的大小為(A)(B)(C)(D)3．（2006年安徽卷）將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對應(yīng)函數(shù)的解析式是（）A．B．C．D．4．把函數(shù)的圖象適當(dāng)變動，就可得到y(tǒng)=－sin3x的圖象，這種變動可以是（）A沿x軸向右平移B沿x軸向左平移C沿x軸向右平移D沿x軸向左平移5．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)z1=2（cos60o+isin60o）?z2,|z2|=2，則△AOB的面積為（）ABCD26．復(fù)數(shù)z＝1－cosθ－isinθ（3＜θ＜4π）的輻角主值是（）ABCD7．函數(shù)y=3sin(x+20o)+5sin(x+80o)的最大值為（）ABC7D88．在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則當(dāng)△OAB的面積達(dá)最大值時，（）A． B． C． D．9．在△ABC中，若，其中a,b分別是∠A，∠B的對邊，則△ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形10．函數(shù)y=的最小正周期為（）A2πBπCD二、填空題11已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)=，則tan(α－2β)=______12設(shè)α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，則sin(α+β)=_________13．已知復(fù)數(shù)：，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)14．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為f(x)在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sin（nx）在[0，]上的面積為（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面積為；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為.三、解答題15不查表求值：16（2006年安徽卷）已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.17．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：(i為虛數(shù)單位).18．（2006年四川卷）已知是三角形三內(nèi)角，向量，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求.19已知cosα+sinβ=，sinα+cosβ的取值范圍是D，x∈D，求函數(shù)y=的最小值，并求取得最小值時x的值參考答案1．C提示：2B提示：，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B.3．C提示：將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應(yīng)的解析式為，由圖象知，，所以.4．D提示：5．B提示∠AOB＝60o，｜z2|=2|z1|=4，6．B提示：，∵，7．C提示：y=3sin(x+20o)+5sin(x+80o)＝3sin(x+20o)+5sin[(x+20o)＋60o]＝8．D提示：，當(dāng)即時，面積最大.9．D提示：由正弦定理得：＝，∴或∴或∴A＝B或A＋B＝90o10．D提示：，則11．提示∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－則tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,12提示α∈(),α－∈(0,),又cos(α－)=13．1-i提示：設(shè)z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i,得3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2,∴a=1,b=.14．提示：由題意得：為一個半周期結(jié)合圖象分析其面積為.15答案216．解：(Ⅰ)由得，即，又，所以為所求.（Ⅱ）====17．解：原方程化簡為,設(shè)z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1－i，∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－且y=±,∴原方程的解是z=-±i.18．解：（Ⅰ）∵∴即,∵∴∴（Ⅱ）由題知，整理得∴∴∴或而使，舍去∴∴19解設(shè)u=sinα+cosβ則u2+()2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4∴u2≤1,－1≤u≤1即D=［－1,1］,設(shè)t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤x=【挑戰(zhàn)自我】設(shè)a,b,c為△ABC的三邊，a≤b≤c，R是△ABC的外接圓半徑，令f=a+b－2R-8R，試用C的大小來判定f的符號.解：f=2R（sinA+sinB－1－4）＝2R[]＝4R＝4R＝2R由a≤b≤c，得A≤B≤C，所以0＜B－A＜B＋A，因此，，所以故當(dāng)f>0時，，則0＜C＜當(dāng)f＝0時，，則C＝當(dāng)f＜0時，，則C＞【答案及點(diǎn)撥】演變1：由圖得,由T=,得,在y=sin()中令x=1,y=1,得,,得,選(C)演變2：（解法一）由題設(shè)條件，應(yīng)用兩角差的正弦公式得，即①由題設(shè)條件，應(yīng)用二倍角余弦公式得故