2023年最新的任意角的三角函數(shù)教案

第2023年最新的任意角的三角函數(shù)教案

任意角的三角函數(shù)教案

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

三角函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)特例，是函數(shù)概念的下位概念，與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應(yīng)該按照概念的體系將之納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，揭示彼此之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)新概念的本質(zhì)屬性。

因此本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是：

通過概念的同化與精致過程，幫助學(xué)生理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并在這個(gè)過程中突出單位圓的作用。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。(能根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出具體的角的各三角函數(shù)值，能根據(jù)定義探究出三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)。)

2.在定義的學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。(根據(jù)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)寫出角的各三角函數(shù)值，及各三角函數(shù)的定義域，利用單位圓的幾何特征寫出正弦、余弦的值域。)

3.在概念同化和精致的過程中開展學(xué)生研究問題的能力。(知道概念所在的體系，知道任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)、函數(shù)、指、對(duì)數(shù)函數(shù)等之間的關(guān)系，利用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)的方法。)

三、教學(xué)問題診斷分析

在概念教學(xué)過程中要注意學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的作用，發(fā)揮其正遷移，防止其負(fù)遷移。本課時(shí)研究的是任意角的三角函數(shù)，學(xué)生在初中階段曾經(jīng)研究過銳角三角函數(shù)，其研究范圍是銳角;其研究方法是幾何的，沒有坐標(biāo)系的參與;其研究目的是為解直角三角形效勞。以上三點(diǎn)都是與本課時(shí)不同的，因此在教學(xué)過程中要開展學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移。具體而言要做到：明確研究范圍的變化，開闊學(xué)生的視野，并揭示由此帶來的新問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;借助單位圓在坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，要先將銳角的三角函數(shù)問題置于坐標(biāo)系中，幫助學(xué)生利用坐標(biāo)系借助單位圓重新認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，這樣做激活了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并且用新的視角認(rèn)識(shí)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，同時(shí)為新的研究?jī)?nèi)容做好鋪墊;第三，由于研究范圍的改變，更加突出了任意角的三角函數(shù)是為研究客觀世界中大量存在的周期性現(xiàn)象效勞的。這些都是在本課時(shí)的學(xué)習(xí)之后應(yīng)該取得的認(rèn)知方面的進(jìn)步。

認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)，關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)函數(shù)的三要素。在學(xué)生學(xué)習(xí)過的函數(shù)中，一次、二次、反比例或者用圖、表表示的對(duì)應(yīng)法那么的函數(shù)，其三要素是比擬容易找到的，指、對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)就需要一定的根底，同樣在任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中也可能在自變量和對(duì)應(yīng)法那么上出現(xiàn)問題，應(yīng)該注意明確任意角的三角函數(shù)的三要素，比方正弦函數(shù)y=sin中自變量是角，并且R，對(duì)應(yīng)法那么是一個(gè)角與其正弦值對(duì)應(yīng)，至于這個(gè)值怎么計(jì)算，在此處是規(guī)定為角終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，通過例2可以看出，也可以利用比值定義。對(duì)于一次函數(shù)、二次函數(shù)也需要將自變量的值進(jìn)行計(jì)算得到函數(shù)值，這一點(diǎn)本質(zhì)上是統(tǒng)一的，要引導(dǎo)學(xué)生類比理解。

此外，由于學(xué)生對(duì)角度制的應(yīng)用已經(jīng)很熟練，而對(duì)弧度制的應(yīng)用比擬陌生，所以在理解函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)問題，這需要教師的引導(dǎo)，同時(shí)也需要時(shí)間適應(yīng)。

綜合上述分析，本課時(shí)的教學(xué)難點(diǎn)是：

引導(dǎo)學(xué)生將任意角的三角函數(shù)的定義同化，幫助學(xué)生真正理解定義。

四、教學(xué)支持條件分析

利用幾何畫板改變角的位置，認(rèn)識(shí)角的終邊位于不同象限時(shí)如何定義角的三角函數(shù)值，充實(shí)學(xué)生的直觀感知材料，幫助學(xué)生形成比擬全面的認(rèn)知。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

問題1本章研究的問題是三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開平面直角坐標(biāo)系，這在第一節(jié)中已經(jīng)有所感受?，F(xiàn)在請(qǐng)你回憶初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個(gè)問題：如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢

(設(shè)計(jì)意圖：將已有知識(shí)坐標(biāo)化,分化難點(diǎn)。用新的觀點(diǎn)再認(rèn)識(shí)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮其正遷移作用，同時(shí)使本課時(shí)的學(xué)習(xí)與學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系，使知識(shí)有一個(gè)熟悉的起點(diǎn)，扎實(shí)的固著點(diǎn)。)

預(yù)計(jì)的答復(fù)：學(xué)生可以回憶出初中學(xué)過的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標(biāo)語(yǔ)言表述時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)困難即使將角置于坐標(biāo)系中但是仍然習(xí)慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導(dǎo)學(xué)生將之轉(zhuǎn)換為用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)。

解答過程：

(1)再現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義：如圖1，在直角△POM中，M是直角，那么

(2)坐標(biāo)化：如圖2，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，那么

問題2回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的依據(jù)是什么寫出最簡(jiǎn)單的形式。

(設(shè)計(jì)意圖：引入單位圓。深化對(duì)單位圓作用的認(rèn)識(shí)，用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，為定義的拓展奠定根底。該問題與問題1結(jié)合，分步推進(jìn)，降低難度，根本尊重教材的處理方式。)

預(yù)計(jì)的困難：由于學(xué)生只接觸過一次單位圓，對(duì)它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導(dǎo)。也可以引導(dǎo)學(xué)生從形式上對(duì)上述定義化簡(jiǎn)，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結(jié)合起來。

解答過程：

單位圓中定義銳角三角函數(shù)：如圖3，線段OP=1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，那么銳角的三角函數(shù)可以用坐標(biāo)表示為：

(說明：?jiǎn)挝粓A的定義建議在弧度制一節(jié)中給出。)

依據(jù)：三角形相似，比值與具體的點(diǎn)的位置沒有關(guān)系。

問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請(qǐng)你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫出角的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時(shí)的三角函數(shù)。

(設(shè)計(jì)意圖：具體認(rèn)識(shí)任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時(shí)的研究重點(diǎn)。如果問題太一般化，如設(shè)計(jì)為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請(qǐng)寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學(xué)生不知道上述定義是指哪個(gè)，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設(shè)計(jì)中再次強(qiáng)調(diào)要借助于單位圓，利用坐標(biāo)，限定學(xué)生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求寫出任意角的三角函數(shù)之后，又提出具體的活動(dòng)方式：分小組針對(duì)不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化，學(xué)生容易著手解決。寫出定義的過程也是穩(wěn)固推廣的過程，而且這樣做盡可能防止出現(xiàn)學(xué)生用計(jì)算器算cos的現(xiàn)象。)

活動(dòng)形式：由學(xué)生分組獨(dú)立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認(rèn)識(shí)。學(xué)生可能會(huì)在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時(shí)出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導(dǎo)用坐標(biāo)表示，并引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義域。

預(yù)計(jì)的答案：如圖4，針對(duì)其中的圖(1)(2)(3)學(xué)生寫出

，針對(duì)其中的圖(4)學(xué)生寫出

，針對(duì)其中的圖(5)學(xué)生寫出

，tan無(wú)意義。

結(jié)論：給出三角函數(shù)的定義：(略)。

問題4：根據(jù)上述過程，你能寫出三角函數(shù)的定義域嗎你能用函數(shù)的定義對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行分析嗎

(設(shè)計(jì)意圖：順勢(shì)而為形成定義，并將三角函數(shù)的定義進(jìn)行同化，通過這樣的活動(dòng)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)定義的理解，到達(dá)對(duì)概念的初步精致。)

預(yù)計(jì)的困難：學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的自變量認(rèn)識(shí)可能會(huì)存在問題。

教師的引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。

預(yù)計(jì)的答案：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)。

例1求

的正弦、余弦和正切值。

(設(shè)計(jì)意圖：穩(wěn)固對(duì)定義的理解。)

分析：根據(jù)定義求解，先利用銳角三角函數(shù)知識(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)定義求解。

解：如圖5，可知在RTOPC中，OPC=30o，所以O(shè)C=

，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是

根據(jù)定義可得：

練習(xí)1(P15練習(xí)3)完成以下表格中的前兩列：

例2角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-3，-4)，求角的正弦、余弦和正切值。

(設(shè)計(jì)意圖：通過問題的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步加深對(duì)定義的理解。)

分析：通過相似求出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，之后再根據(jù)定義求解。

解：如圖6，由可得：|OP0|=

設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y),分別過點(diǎn)P和P0作x軸的垂線MP，M0P0，那么

又|OP|=1，

根據(jù)

所以，

所以

(說明：上述書寫過程根本與例1統(tǒng)一，這樣可以將該題目的求解思路同化，降低學(xué)習(xí)難度。)

問題5通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)你有哪些收獲，請(qǐng)從知識(shí)、思想方法經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行小結(jié)。此外你還有哪些需要質(zhì)疑之處。

(設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，并進(jìn)一步思考。通過質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，雖然在課堂上不研究其他3個(gè)三角函數(shù)，但是可以讓學(xué)生有一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。通過三角函數(shù)定義的一般化，引導(dǎo)學(xué)生用辯證的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物，理解三角函數(shù)。)

小結(jié)：知識(shí)：(略);

思想方法：(略);

經(jīng)驗(yàn)：用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)。

拓展1：3個(gè)數(shù)可以形成6個(gè)比值，為什么只對(duì)其中的三個(gè)比值進(jìn)行定義和研究，其他3個(gè)比值又能對(duì)應(yīng)什么函數(shù)呢有興趣的同學(xué)可以自己查閱資料進(jìn)行研究。

拓展2：通過求解例2，你能發(fā)現(xiàn)還可以怎么定義任意角的三角函數(shù)呢請(qǐng)閱讀教材的旁白。這是三角函數(shù)定義的等價(jià)定義。

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.P15練習(xí)1，2，3;

(設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用定義和等價(jià)定義。)

2.習(xí)題1.2A組2。

(設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生類比、比照解決問題能力。)

3.完成教材P13的探究，之后完成P15練習(xí)4，6，把結(jié)果填在書上。

(設(shè)計(jì)意圖：將作業(yè)作為課堂教學(xué)的延伸，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和習(xí)慣。)

七.設(shè)計(jì)思路

1.突出單位圓的作用。具體表現(xiàn)在三個(gè)方面：第一是將銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化，引入單位圓;第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數(shù);第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域;第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關(guān)系。

2.用函數(shù)同化三角函數(shù)。給出任意角的三角函數(shù)的定義之后，用函數(shù)的定義對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行分析，將之納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并使得原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生順應(yīng)變化。

3.力求在數(shù)學(xué)的自然、必要和學(xué)生的認(rèn)知之間尋找平衡點(diǎn)。

根據(jù)聽課時(shí)出現(xiàn)的問題，在本教學(xué)設(shè)計(jì)中采取了以下處理方式。

(1)先坐標(biāo)化再引入單位圓，降低認(rèn)知臺(tái)階。

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)這一段的處理根本尊重教材，這是因?yàn)樵诼犝n過程中發(fā)現(xiàn)如果將坐標(biāo)化與單位圓兩個(gè)問題同時(shí)拋給學(xué)生，雖然能表達(dá)出做這兩個(gè)工作的必要性，但是跨度較大，學(xué)生感到困難，解決問題的過程費(fèi)時(shí)費(fèi)力，不但不能使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的必要性，反而制約了學(xué)生的思維。

(2)將問題分解、具體化，通過具體認(rèn)識(shí)一般。

在形成任意角的三角函數(shù)的定義時(shí)將問題解剖，并采取分組合作的組織方式，旨在將抽象的問題具體化，降低難度。讓學(xué)生根據(jù)角的不同位置寫出定義，特別是對(duì)于象限角也進(jìn)行了相同的處理方法，這是因?yàn)閷W(xué)生的思維從具體問題開始，而且要形成初始效應(yīng)，在新概念學(xué)習(xí)伊始就使得它植根于學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并形成強(qiáng)烈的意識(shí)用新定義解決問題，而不再用計(jì)算器或其他方法。