時(shí)間序列 第章修訂版

平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列是一個(gè)ARMA(p,q)過程，即本章將討論其預(yù)測問題，設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，已知時(shí)刻t和以前時(shí)刻的觀察值我們將用已知的觀察值對時(shí)刻t后的觀察值

進(jìn)行預(yù)測，記為，稱為時(shí)間序列的第步預(yù)測值。1§7.1最小均方誤差預(yù)測考慮預(yù)測問題首先要確定衡量預(yù)測效果的標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)很自然的思想就是預(yù)測值與真值的均方誤差達(dá)到最小，即設(shè)預(yù)測值與真值的均方誤差

我們的工作就是尋找，使上式達(dá)到最小。2條件無偏均方誤差最小預(yù)測

設(shè)隨機(jī)序列，滿足，則如果隨機(jī)變量使得

達(dá)到最小值，則如果隨機(jī)變量使得

達(dá)到最小值，則3根據(jù)上述結(jié)論，我們得到，當(dāng)時(shí)，使得達(dá)到最小。對于ARMA模型，下列等式成立：4ARMA模型的預(yù)測方差和預(yù)測區(qū)間

如果ARMA模型滿足因果性，則有所以，預(yù)測誤差為5由此，我們可以看到在預(yù)測方差最小的原則下，是當(dāng)前樣本和歷史樣本已知條件下得到的條件最小方差預(yù)測值。其預(yù)測方差只與預(yù)測步長有關(guān)，而與預(yù)測起始點(diǎn)t無關(guān)。當(dāng)預(yù)測步長的值越大時(shí)，預(yù)測值的方差也越大，因此為了預(yù)測精度，ARMA模型的預(yù)測步長不宜過大，也就是說使用ARMA模型進(jìn)行時(shí)間序列分析只適合做短期預(yù)測。6進(jìn)一步地，在正態(tài)分布假定下，有由此可以得到預(yù)測值的95%的置信區(qū)間為或者

7§7.2對AR模型的預(yù)測首先考慮AR(1)模型當(dāng)時(shí)，即當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為當(dāng)，當(dāng)前時(shí)刻為t的步預(yù)測8對于AR(p)模型當(dāng)時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為

當(dāng)，當(dāng)前時(shí)刻為t的步預(yù)測9例7.1

設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列來自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信區(qū)間。10解：根據(jù)第三章，，可以計(jì)算模模型的格林函函數(shù)為所以的的95%的置信區(qū)間為為（－1.076，3.236）的95%的置信區(qū)間為為（－2.296，3.952）11例7.2已知某商場月月銷售額來自自AR(2)模型(單位：萬元/月)2006年第一季度該該商場月銷售售額分別為：：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商商場2006年第二季度的的月銷售額的的95%的置信區(qū)間。。12求第二季度的的四月、五月月、六月的預(yù)預(yù)測值分別為為13計(jì)算模型的格格林函數(shù)為四月、五月、、六月的月銷銷售額的95%的置信區(qū)間分分別為四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）14§7.3MA模型的預(yù)測對于MA(q)模型我們有當(dāng)預(yù)測步長，，可可以分分解為當(dāng)預(yù)測步長，，可可以分分解為15MA(q)模型預(yù)測方差差為16例7.3已知某地區(qū)每每年常住人口口數(shù)量近似的的服從MA(3)模型（單位：：萬人）2002年—2004年的常住人口口數(shù)量及1步預(yù)測數(shù)量見見表17年份人口數(shù)量預(yù)測人口數(shù)量200220032004104108105110100109預(yù)測未來5年該地區(qū)常住住人口數(shù)量的的95%的置信區(qū)間。。1819預(yù)測年份95%的置信區(qū)間20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）§7.4ARMA模型的預(yù)測關(guān)于ARMA模型有2021例7.4已知ARMA(1,1)模型為且，，預(yù)測未未來3期序列值的95%的置信區(qū)間。。22首先計(jì)算未來來3期預(yù)測值計(jì)算模型的格格林函數(shù)為23計(jì)算預(yù)測方差差計(jì)算得到未來3期序列值的95%的置信區(qū)間24預(yù)測時(shí)期95%的置信區(qū)間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）§7.5預(yù)測值的適時(shí)時(shí)修正25綜合上述推導(dǎo)導(dǎo)，可得適時(shí)時(shí)修正預(yù)測公公式為：上述公式說明明：新的預(yù)測測值是在舊的的預(yù)測值的基礎(chǔ)上，加加上一個(gè)修正正項(xiàng)推算出來來的，而這一個(gè)修正項(xiàng)項(xiàng)比例于舊的的一步預(yù)測誤誤差，比例系數(shù)隨著預(yù)預(yù)測超前步數(shù)數(shù)的變化而變變化。例7.2續(xù)假設(shè)一個(gè)月后后已知四月份份的真實(shí)銷售售額為100萬元，求第二二季度后兩個(gè)個(gè)月銷售額的的修正預(yù)測值值及95%的置信區(qū)間。。因?yàn)楦鶕?jù)上述公式式可以計(jì)算五五月、六月的的修正預(yù)測值值如下：29修正預(yù)測方差差為步預(yù)測銷售額額的95%的置信區(qū)間30預(yù)測時(shí)期修正前95%的置信區(qū)間修正后95%的置信區(qū)間四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）9、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December24,202210、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。07:23:4607:23:4607:2312/24/20227:23:46AM11、以我獨(dú)獨(dú)沈久，，愧君相相見頻。。。12月-2207:23:4607:23Dec-2224-Dec-2212、故人人江海海別，，幾度度隔山山川。。。07:23:4607:23:4607:23Saturday,December24,202213、乍見見翻疑疑夢，，相悲悲各問問年。。。12月月-2212月月-2207:23:4607:23:46December24,202214、他鄉(xiāng)生白白發(fā)，舊國國見青山。。。24十二二月20227:23:46上上午07:23:4612月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月227:23上上午12月-2207:23December24,202216、行動(dòng)出出成果，，工作出出財(cái)富。。。2022/12/247:23:4607:23:4624December202217、做前，，能夠環(huán)環(huán)視四周周；做時(shí)時(shí)，你只只能或者者最好沿沿著以腳腳為起點(diǎn)點(diǎn)的射線線向前。。。7:23:46上午午7:23上午午07:23:4612月-229、沒有失敗，，只有暫時(shí)停停止成功！。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。07:23:4607:23:4607:2312/24/20227:23:46AM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)小小小努力力的積積累。。。12月月-2207:23:4607:23Dec-2224-Dec-2212、世世間間成成事事，，不不求求其其絕絕對對圓圓滿滿，，留留一一份份不不足足，，可可得得無無限限完完美美。。。。07:23:4607:23:4607:23Saturday,December24,202213、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。12月-2212月-2207:23:4607:23:46December24,202214、意志堅(jiān)強(qiáng)強(qiáng)的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。24十二二月20227:23:46上上午07:23:4612月-2215、楚塞三湘湘接，荊門門九派通。。。。十二月227:23上上午12月-2207:23December24,202216、少年十五五二十時(shí)，，步行奪得得胡馬騎。。。2022/12/247:23:4607:23:4624December202217、空山新雨雨后，天氣氣晚來秋。。。7:23:46上上午7:23上上午07:23:4612月-229、楊柳散和和風(fēng)，青山山澹吾慮。。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、閱讀一切切好書如同同和過去最最杰出的人人談話。07:23:4607:23:4607:2312/24/20227:23:46AM11、越越是是沒沒有有本本領(lǐng)領(lǐng)的的就就越越加加自自命命不不凡凡。。12月月-2207:23:4607:23Dec-2224-Dec-2212、越越是是無無能能的的人人，，越越喜喜歡歡挑挑剔剔別別人人的的錯(cuò)錯(cuò)兒兒。。07:23:4607:23:4607:23Saturday,December24,202213、知人者者智，自自知者明明。勝人人者有力力，自勝勝者強(qiáng)。。12月-2212月-2207:23:4607:23:46December24,202214、意志堅(jiān)堅(jiān)強(qiáng)的人人能把世世界放在在手中像像泥塊一一樣任意意揉捏。。24十十二月20227:23:46上午午07:23:4612月-2215、最具具挑戰(zhàn)戰(zhàn)性的的挑戰(zhàn)戰(zhàn)莫過過于提提升自自我。。。十二月月227:23上上午午12月月-2207:23December24,202216、業(yè)余余生活活要有有意義義，不不要越越軌。。2022/12/247:23:4607:23:4624December202