生物統(tǒng)計 第10章 協(xié)方差分析課件

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主要內(nèi)容：協(xié)方差分析的意義對協(xié)方差進行統(tǒng)計控制估計協(xié)方差組分單因素試驗資料的協(xié)方差分析協(xié)方差分析有二個意義：

一是對試驗進行統(tǒng)計控制；二是對協(xié)方差組分進行估計。上一張

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但在有些情況下，即使作出很大努力也難以使試驗控制達到預期目的。

例如：研究幾種配合飼料對豬的增重效果，希望試驗仔豬的初始重相同，因為仔豬的初始重不同，將影響到豬的增重。上一張

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經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)增重與初始重之間存在線性回歸關(guān)系。但是，在實際試驗中很難滿足試驗仔豬初始重相同這一要求。這時可利用仔豬的初始重(記為x)與其增重(記為y)的回歸關(guān)系，將仔豬增重都矯正為初始重相同時的增重，于是初始重不同對仔豬增重的影響就消除了。下一張

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由于矯正后的增重是應用統(tǒng)計方法將初始重控制一致而得到的，故叫統(tǒng)計控制。下一張

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統(tǒng)計控制是試驗控制的一種輔助手段。經(jīng)過這種矯正，試驗誤差將減小，對試驗處理效應估計更為準確。若y的變異主要由x的不同造成(處理沒有顯著效應)，則各矯正后的間將沒有顯著差異(但原y間的差異可能是顯著的)。

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處理平均數(shù)的回歸矯正和矯正平均數(shù)的顯著性檢驗，能夠提高試驗的準確性和精確性，從而更真實地反映試驗實際。

這種將回歸分析與方差分析結(jié)合在一起，對試驗數(shù)據(jù)進行分析的方法，叫做協(xié)方差分析(analysisofcovariance)。退出

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若將公式右端的分子分母同除以自由度(n-1)，得

（10-1）下一張

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稱為x與y的平均的離均差的乘積和，簡稱均積，記為MPxy，即

（10-2）退出

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與均積相應的總體參數(shù)叫協(xié)方差（covariance），記為COV(x,y)或。統(tǒng)計學證明了，均積MPxy是總體協(xié)方差COV(x,y)的無偏估計量，即EMPxy=COV(x,y)。于是，樣本相關(guān)系數(shù)r可用均方MSx、MSy，均積MPxy表示為：

（10-3）下一張

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相應的總體相關(guān)系數(shù)ρ可用x與y的總體標準差、，總體協(xié)方差COV(x,y)或表示如下：

（10-4）

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均積與均方具有相似的形式，也有相似的性質(zhì)。在方差分析中，一個變量的總平方和與自由度可按變異來源進行剖分，從而求得相應的均方。

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統(tǒng)計學已證明：兩個變量的總乘積和與自由度也可按變異來源進行剖分而獲得相應的均積。這種把兩個變量的總乘積和與自由度按變異來源進行剖分并獲得獲得相應均積的方法亦稱為協(xié)方差分析。下一張

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這些分析在遺傳、育種和生態(tài)、環(huán)保的研究上是很有用處的。由于篇幅限制，本章只介紹對試驗進行統(tǒng)計控制的協(xié)方差分析。退出

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第二節(jié)單因素試驗資料協(xié)方差分析

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表10-1kn對觀測值x、y的單向分組資料的一般形式

表10-1的x和y變量的自由度和平方和的剖分參見單因素試驗資料的方差分析方法一節(jié)。其乘積和的剖分則為：其中:退出

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處理間的乘積和SPt是與和與的離均差乘積之和乘以n，即：

(10-6)

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處理內(nèi)的乘積和Spe是與和與的離均差乘積之和，即：

(10-7)上一張

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【例10.1】為了尋找一種較好的哺乳仔豬食欲增進劑，以增進食欲，提高斷奶重，對哺乳仔豬做了以下試驗：試驗設(shè)對照、配方1、配方2、配方3共四個處理，重復12次，選擇初始條件盡量相近的長白種母豬的哺乳仔豬48頭，完全隨機分為4組進行試驗，結(jié)果見表10-2，試作分析。下一張

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表10—2不同食欲增進劑仔豬生長情況表（單位：kg）

此例，

k=4，n=12，kn=4×12=48退出

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協(xié)方差分析的計算步驟如下：(一)求x變量的各項平方和與自由度1.總平方和與自由度

dfT（x）=kn-1=4×12-1=47退出

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2、處理間平方和與自由度退出

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3、處理內(nèi)平方和與自由度退出

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(二)求y變量各項平方和與自由度1.總平方和與自由度下一張

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2.處理間平方和與自由度退出

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3.處理內(nèi)平方和與自由度退出

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(三)x和y兩變量得各項離均差乘積和與自由度1.總乘積和與自由度下一張

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2.處理間乘積和與自由度退出

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3.處理內(nèi)乘積和與自由度

平方和、乘積和與自由度的計算結(jié)果列于表10-3。退出

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表10-3x與y的平方和與乘積和退出

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(四)對x和y各作方差分析(表10-4)

表10-4初生重與50日齡重的方差分析下一張

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分析結(jié)果表明，4種處理的供試仔豬平均初生重間存在著極顯著的差異，其50日齡平均重差異不顯著。須進行協(xié)方差分析，以消除初生重不同對試驗結(jié)果的影響，減小試驗誤差，揭示出可能被掩蓋的處理間差異的顯著性。下一張

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(五)協(xié)方差分析1.誤差項回歸關(guān)系的分析2.對校正后的y作方差分析3.根據(jù)線性回歸關(guān)系計算各處理的校正y的平均值。4.各處理校正y的平均值間多重比較。退出

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1.誤差項回歸關(guān)系的分析

誤差項回歸關(guān)系分析的意義是要從剔除處理間差異的影響的誤差變異中找出50日齡重(y)與初生重(x)之間是否存在線性回歸關(guān)系。

計算出誤差項的回歸系數(shù)并對線性回歸關(guān)系進行顯著性檢驗，若顯著則說明兩者間存在回歸關(guān)系。這時就可應用線性回歸關(guān)系來校正y值(50日齡重)以消去仔豬初生重(x)不同對它的影響。然后根據(jù)校正后的y值(校正50日齡重)來進行方差分析。如線性回歸關(guān)系不顯著，則無需繼續(xù)進行分析。退出

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回歸分析的步驟如下：(1)計算誤差項回歸系數(shù)，回歸平方和，離回歸平方和與相應的自由度。

從誤差項的平方和與乘積和求誤差項回歸系數(shù)：上一張

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誤差項回歸平方和與自由度

(10-11)

dfR(e)=1下一張

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誤差項離回歸平方和與自由度

(10-12)

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(2)檢驗回歸關(guān)系的顯著性(表10—5)

表10-5哺乳仔豬50日齡重與初生重的回歸關(guān)系顯著性檢驗表退出

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F檢驗表明，誤差項回歸關(guān)系極顯著，表明哺乳仔豬50日齡重與初生重間存在極顯著的線性回歸關(guān)系。因此，可以利用線性回歸關(guān)系來校正y，并對校正后的y進行方差分析。退出

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2.對校正后的50日齡重作方差分析(1)求校正后的50日齡重的各項平方和及自由度

利用線性回歸關(guān)系對50日齡重作校正，并由校正后的50日齡重計算各項平方和是相當麻煩的，統(tǒng)計學已證明，校正后的總平方和、誤差平方和及自由度等于其相應變異項的離回歸平方和及自由度，因此，其各項平方和及自由度可直接由下述公式計算。下一張

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①校正50日齡重的總平方和與自由度，即總離回歸平方和與自由度

(10-13)

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②校正50日齡重的誤差項平方和與自由度，即誤差離回歸平方和與自由度

(10-14)

上述回歸自由度均為1，因僅有一個自變量x。

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③校正50日齡重的處理間平方和與自由度

(10-15)

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(2)列出協(xié)方差分析表，對校正后的50日齡重進行方差分析(表10-6)

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表10-6表10-2資料的協(xié)方差分析退出

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查F值：=4.275(由線性內(nèi)插法計算)，由于F=7.63＞，P＜0.01，表明對于校正后的50日齡重不同食欲添加劑配方間存在極顯著的差異。故須進一步檢驗不同處理間的差異顯著性，即進行多重比較。下一張

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3.根據(jù)線性回歸關(guān)系計算各處理的校正50日齡平均重誤差項的回歸系數(shù)表示初生重對50日齡重影響的性質(zhì)和程度，且不包含處理間差異的影響，于是可用根據(jù)平均初生重的不同來校正每一處理的50日齡平均重。下一張

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校正50日齡平均重計算公式如下：(10-16)

公式中：為第i處理校正50日齡平均重；為第i處理實際50日齡平均重(見表10-2)；為第i處理實際平均初生重(見表10-2)；為全試驗的平均數(shù)，為誤差回歸系數(shù)，=7.1848

將所需要的各數(shù)值代入(10-16)式中，即可計算出各處理的校正50日齡平均重(見表10-7)。退出

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表10-7各處理的校正50日齡平均重計算下一張

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4、各處理校正50日齡平均重間的多重比較各處理校正50日齡平均重間的多重比較，即各種食欲添加劑的效果比較。退出

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(1)t檢驗檢驗兩個處理校正平均數(shù)間的差異顯著性，可應用t檢驗法：

(10-17)

(10-18)

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式中，為兩個處理校正平均數(shù)間的差異；為兩個處理校正平均數(shù)差數(shù)標準誤；為誤差離回歸均方；

n為各處理的重復數(shù)；為處理i的x變量的平均數(shù)；為處理j的x變量的平均數(shù)；

SSe(x)

為x變量的誤差平方和

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例如，檢驗食欲添加劑配方1與對照校正50日齡平均重間的差異顯著性：

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于是下一張

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將上面各數(shù)值代入(10-18)式得：

查t值表，當自由度為43時(見表10-6誤差自由度)，t0.01(43)=2.70(利用線性內(nèi)插法計算)，|t|＞t0.01(43)，P＜0.01，表明對照與食欲添加劑1號配方校正50日齡平均重間存在著極顯著的差異，這里表現(xiàn)為1號配方的校正50日齡平均重極顯著高于對照。其余的每兩處理間的比較都須另行算出，再進行t檢驗。退出

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（2）最小顯著差數(shù)法

利用t檢驗法進行多重比較，每一次比較都要算出各自的，比較麻煩。當誤差項自由度在20以上，x變量的變異不甚大(即x變量各處理平均數(shù)間差異不顯著)，為簡便起見，可計算一個平均的采用最小顯著差數(shù)法進行多重比較。的計算公式如下：下一張

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(10-19)

公式中SSt(x)為x變量的處理間平方和。然后按誤差自由度查臨界t值，計算出最小顯著差數(shù)：

(10-20)

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本例x變量處理平均數(shù)間差異極顯著，不滿足“x變量的變異不甚大”這一條件，不應采用此處所介紹的最小顯著差數(shù)法進行多重比較。為了便于讀者熟悉該方法，仍以本例的數(shù)據(jù)說明之。

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此時

由查臨界t值得：

t0.05(43)=2.017，t0.01(43）=2.70于是

LSD0.05=2.017×0.4353=0.878LSD0.01=2.70×0.4353=1.175退出

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表10-8不同食欲添加劑配方與對照間的效果比較退出

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多重比較結(jié)果表明：食欲添加劑配方1、2、3號與對照比較，其校正50日齡平均重間均存在極顯著的差異，這里表現(xiàn)為配方1、2、3號的校正50日齡平均重均極顯著高于對照。退出

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