微積分早期復(fù)習(xí)注意修改時(shí)間

本科生考試試 考試課程微積分（II）(期中考試) A卷 2007年5月12日 若對(duì)于任意的0N0nNanAn

anA．[√數(shù)列{anCauchy列的充分必要條件是它的任何一個(gè)子列{ankCauchy列．[√f(x在區(qū)間[abL0x1[abx2[ab]，都

f(x1)f(x2)Lx1

成立．[×f(x在區(qū)間[ab上不一致連續(xù)的充分必要條件是：存在0，對(duì)任意的正整數(shù)nxn[a,b],yn[a,b]xnyn1n立

f(xnfyn)設(shè){Ind(InInIn1In

d(In)0，則存在唯一的實(shí)數(shù)In(n1,2,3,．[×若數(shù)列{anbncn}在 ×

anbncn

an

cn

n

如果廣義積分bf(x)dx收斂，那么廣義積分bf(x)dx也收斂 × 廣義積分1xp1(1x)q1dx收斂的條件是p0且q0 0第１頁(yè)/二、解答題（共68分

xk9（12

(1x2)(1xkdx0(1x2)(1xkdx dx的值． (1x2)(1xk1解：令x ，0t0

dx

1t

(11 tt

3 t 0(1t2)(1tk)dt0(1x2)(1xk)dx 5

dx

810(1x2)(1xk1

1 xk 10(1x2)(1xk)dx0(1x2)(1xk)dx01x2

10arctanx0

12410（12

anA

a2nA

a2n1A證：必要性：任給0

anANnNanA這時(shí)由于2nnN,2n1nN

成立 2a2nA和a2n1A

a2n

a2n1A 6充分性：任給0

a2nAN1nN1a2nA

成立 8lima2n1AN2，使得當(dāng)nN2a2n1ANmax{2N1,2N21，則當(dāng)nN時(shí)，

成立 10

limaAnn

anA

1211（12

an

1an2 2因?yàn)?/p>

an1

，所an2

與an

同號(hào) 5

a3

10,

10，所以{a

單調(diào)遞減數(shù)列。根據(jù)單調(diào)有界有極限定理可知lima2n1與lima2n都存在 8lima2n1Alima2nB

A1

1，B11 解得AB12

10即lim

lim

12

liman

存在，且limnn

12

12412（12分）limg(xy0

f(y)

xx0g(x)y0則x

f(g(x))A

y證：任給0y

fyA，所以存在00，使得當(dāng)0

y

0f(y)A

成立 4

00limg(xy0xx0g(x)y0，所以存在00x

0g(x)

成立 10從而f(g(xA成立

x

f(g(x))

12

nk3k13（10k

kk kk

k 3n

1 nn1且

kn

k1nk

3n 4nk 3nnk

3xdx0

3

3n 3xdx

8nn1kk

nn1k

所以lim

nk3nn

10nk1kn

1f1f(1f(x)f(1m214（10分）若區(qū)間[ab1f1f(1f(x)f(1m2

f

在[ab證因

f(x)f(y)

f(xfy)[a,

a

x

b

wf

1w

(k1,2,nwf,w

f

f(x在

]上的振幅 4nf(x在區(qū)間[ab上可積，所以