七年級數學多邊形的內角和與外角和及用正多邊形拼地板華東師大版知識精講

七年級數學多邊形的內角和與外角和及用正多邊形拼地板華東師大版【本講教育信息】一授課內容：多邊形的內角和與外角和及用正多邊形拼地板［學習要求］1掌握正多邊形的看法，引導研究、歸納多邊形的內角和公式、

外角和定理，并能靈便地運用。能將多邊形的問題轉變成三角形的問題來解決。理解并掌握正多邊形能夠鋪滿地面的道理，并能設計圖案。在鋪滿地面的過程中，欣賞多彩的圖案，體驗數學的美，提高自己的審美情味。［知識內容］（一）多邊形的內角和與外角和1四邊形、五邊形、n邊形的看法1）由四條不在同一條直線上的線段首尾按次連結組成的平面圖形，叫做四邊形。2）由五條不在同素來線上的線段首尾按次連結組成的平面圖形，叫做五邊形。（3）由n條不在同素來線上的線段首尾按次連結組成的平面圖形，叫做n邊形。（我們所研究的多邊形都是凸多邊形，即所有的內角都小于180°的多邊形）正多邊形的看法若是多邊形的各邊都相等各內角也都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形。n邊形內角和公式：n邊形內角和等于，在這里給同學們介紹幾種n邊形內角和公式的推導方法：（1）在n邊形內任取一點，并把這一點與n個極點連結起來，因此共組成了n個三角形（以以下列圖1），這n個三角形的內角和為。計算n邊形的內角和，應該把中間那個周角去掉，因此，在中減去360°，即獲取n邊形的內角和為（2）在n邊形的某一邊上取一點，把這一點與它不相鄰的個極點相連，圖2），n邊形內角和等于這個三角形的內角和再減去一個平角，即

得個三角形（如（3）過n邊形的一個極點連對角線，能夠連條對角線，這條對角線把角形（如圖3），這些三角形的內角的和恰好是n邊形的內角和，即等于。

n邊形分成個三（4）在n邊形（n＞3）外取一點塊正三角形，n塊正方形拼，則有，即：。由于m、n均為正整數，因此，因此用3塊正三角形、2塊正方形可鋪滿地面。（2）設用m塊正三角形、n塊正六邊形拼，則有，即：，因此，或，因此用2塊正三角形，2塊正六邊形，或4塊正三角形，1塊正六邊形可鋪滿地面。3）設用m塊正方形、n塊正六邊形拼，則有，即：，這樣的正整數不存在，因此不能夠同時用正方形和正六邊形鋪地板。4）設用m塊正方形、n塊正八邊形拼，則有，即：，因此，因此用1塊正方形，2塊正八邊形能夠鋪滿地面。其他，同學們可模擬以上的研究方法，研究正三角形與正五邊形，正三角形與正七邊形等兩種正多邊形組合情況。若能，試一試有幾種可能的鋪法。4用三種不同樣的正多邊形拼。方法與兩種不同樣的正多邊形拼近似，設用塊正三角形，塊正方形，塊正六邊形拼，則有，即，因此，因此用1塊正三角形，2塊正方形，1塊正六邊形能夠鋪滿地面。至于用其他三種不同樣的正多邊形或是用四種不同樣的正多邊形可否能鋪滿地面，同學們可以模擬以上方法去研究。【典型例題】例1已知兩個多邊形的內角和為1800°，且兩多邊形的邊數之比為2：5，求這兩個多邊形的邊數。解析：此題含有兩個等量關系：（1）第一個多邊形內角和加上第二個多邊形內角和等于1800°；2）兩個多邊形的邊數之比為2：5，故可考慮用方程（組）來求解。解：設這兩個多邊形的邊數分別為、，依照題意，得：解得：經檢驗吻合題意。答：這兩個多邊形的邊數分別為4、10。例2一個n邊形中，其內角中至多有多少個銳角請說明原由。解析：此題若單獨從內角來考慮是很麻煩，從外角方面來考慮就簡單多了，內角中有一個銳角則外角中必有一鈍角，而多邊形的外角和是360°，因其他角至多只能有3個鈍角，因此內角中至多只能有3個銳角。解：一個n邊形中，其內角中至多只能有3個銳角，由于一個多邊形若有3個以上的銳角，則它的外角中最少有4個鈍角，4個鈍角的和大于360°，這與多邊形的外角和為360°相矛盾。因此一個n邊形中，至多只能有3個銳角。例3已知多邊形的一個內角的外角與其他各內角和為600°，求邊數及相應的外角的度數。解析：依照多邊形的邊數，可表示這個多邊形的內角和，由于內角和中的一個內角換成了這個內角的外角，故可設一輔助未知數列出方程求解。解：設這個多邊形邊數為n，這個外角的度數為，則與這個外角相鄰的內角為，列方程得：解之得：由于0°＜＜180°，n為正整數或當時，當時，答：當邊數為5時，這個外角為120°；當邊數為6時，這個外角為30°。注意：此題有兩種吻合題意的答案，不要漏解。例4以下列圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度數。解析：從圖中可看出，此圖是由四個三角形和一個四邊形組成的。在△ABO中，它的兩個內角∠A、∠B之和等于△ABO的外角∠個正方形的角，n個正八邊形的角，則這些角的和等于360°，即，其整數解為，因此每個極點周圍有1個正方形和兩個正八邊形，只有一種情況可能。設在一個極點周圍有m個正三角形的角，360°，即，其整數解為，因此每個極點周圍有

n個正十二邊形的角，則這些角的和等于1個正三角形和兩個正十二邊形，也只有一種情況可能。例7已知一個多邊形的每個內角都為144°，求此多邊形的內角和。解析：要求此多邊形內角和，應該知道此多邊形是幾邊形，再依照每個內角為求出內角和。解：法一：由于每個內角為144°因此正多邊形的每個外角為而多邊形的外角和為360°因此此正多邊形為邊形即：此正多邊形的內角和為法二：用方程思想來解。設此正多邊形為正n多邊形，則有

144°，解之得：∴內角和為【模擬試題】（答題時間：50分鐘）1已知一個多邊形的內角和是外角和的倍，則此多邊形的邊數為（）A5B6C7D82若一個多邊形的每一個內角都是108°，則這個多邊形是（）A四邊形B五邊形C六邊形D七邊形3若一個多邊形的每一個外角都等于36°，則它的內角和為（）A1260°B1440°C1620°D1800°4六邊形的對角線共有（）A12條B9條C5條D3條5邊形的外角和是（n為大于1的整數）（）A360°B720°CD180°6一個多邊形中，最多有（）個銳角。A1B2C3D47一個多邊形除了一個內角之外，其他各內角之和是2570°，則這一內角的度數是（）A90°B105°C130°D120°8用以下兩種正多邊形不能夠鋪滿平面的是（）A正三角形、正方形B正三角形、正六邊形C正方形、正八邊形D正五邊形、正六邊形9商店銷售以下形狀的地磚：（1）正三角形；（2）正方形；（3）正八邊形；（4）正五邊形；5）正六邊形。若選購其中兩種地磚鑲嵌地面可選擇的方案共有（）A1種B2種C3種D4種10一個n邊形的邊數增加一倍，則它的內角和增加（）A180°B360°CD二填空題。11九邊形的內角和為______________，外角和為______________。12一個多邊形的內角和為900°，那么這個多邊形的邊數是______________。13已知一個多邊形的內角和與外角相等，則這個多邊形是______________邊形。14從一個多邊形的一個極點出發(fā)，最多能引6條對角線，這是一個______________邊形。15若正n邊形的一個內角與正2n邊形的一個內角的和等于225°，則n＝__________。16一個多邊形的每個外角相等，且比它的內角小140°，則這個多邊形是___________邊形。17四邊形的內角和與外角和的和是______________。18一個多邊形的每個外角的度數等于某相鄰內角度數的，則這個多邊形是__________邊形。以下列圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______________。五邊形的各內角度數之比為2：3：4：5：6，這個五邊形中最大角是__________，最小角是____________。解答題。在某正多邊形中，一個外角等于一個內角的，求這個正多邊形的邊數。22一個多邊形的每個外角都相等，若是它的內角與外角的度數之比為13：2，求這個多邊形的邊數。已知：以下列圖，求的度數。以下列圖，用同樣規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設長方形地面，先請你觀察以下列圖形，再解答后邊的問題：1）在第n個圖中，每一橫行共有___________塊瓷磚，每一豎列共有___________塊瓷磚（用含有n的代數式表示）。（2）設鋪設地面所用瓷磚的總數為，請寫出與n的關系式。（3）在第10個圖中，需要白色__