常微分方程階段復(fù)習(xí)題

《常微分方程》試題一.填空題若xi

(t（i=1,2,┄, n）是n為非齊性齊次方程方程的一個(gè)特解，則非齊線形方程的所有解可表為若（t）和（t）xˊ=A(t)x的基解矩陣，則（t）與（t）具有關(guān)系：若（txAx的基解矩陣,(t)0的(t)= 0二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y(x),y (x)成為其基本解組的充要條件1 25．n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè) 維線性空間.2 向量函數(shù)組Y1(x),Y(x),…,Y(x)線性相關(guān)的 條件是它們的朗斯期行列式2 W(x)=0.若X(t),X (t),Xn(t)為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是1 2若(t)和(tX=A(t)X的基解矩陣，則(t)和(t具有關(guān)系：二.單選題y1

coswx,y2

sinwx (wyw2y0的解，試指出（式中CC1 2

為任意常數(shù)（ ）（A）yC1

coswxC2

sinwx （B）yC1

coswx2sinwx（C）yC1

coswx2C1

sinwx （D）yC2coswxC1

sinwx微分方程yyex1的一個(gè)特解應(yīng)有形式( )（A）aexb； （B）axexbx； （C）aexbx； （D）axexb微分方程yysinx的一個(gè)特解應(yīng)具有形式( )（A）Asinx （B）Acosx（C）AsixBcosx （D）x(AsinxBcosx)微分方程yyxcos2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（ ）（A）(AxB)cos2x(CxD)sin2x （B）(Ax2Bx)cos2x（C）Acos2xBsin2x （D）(AxB)cos2x5.微分方程y''2y'10的通解是（ ）（A）y(C1C2x)ex； （B）yC1exC2ex；1 1（C）yC1

Ce2x2

x； （C）yC2

cosxC2

sinx x。2yy1 2

yy''p(xy'q(xyf(x的解，3C,C1

是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是（ ）（A）Cy1 1

Cy2

y； （B）Cy3 1

Cy2 (C1

C)y；2 3（C）Cy1 1

Cy2

C1

C)y2

；（D）Cy1 1

Cy2

C1

C)y2 3函數(shù)

(x),1

在區(qū)間［a,b］上的朗斯基行列式恒為零，是它們?cè)赱a,b]上線性相2關(guān)的( ).充分條件； (B)必要條件；(C)充分必要條件； (D)充分非必要條件.8．n階線性非齊次微分方程的所有解是否構(gòu)成一個(gè)線性空間?( (A)是； (B)不是；(C)也許是； (D)也許不是.兩個(gè)不同的線性齊次微分方程組是否可以有相同的基本解組?( (A)不可以 (B)可以(C)也許不可以 (D)也許可以dY若Φ(x是線性齊次方程組dx

A(x)Ynn常數(shù)矩陣，那么Φ(x)T是否還是此方程的基解矩陣.( (A)是 (B)不是(C)也許是 (D)也許不是三．將下列方程式化為一階方程組（1）md2xdt2

cdxdt

kxf(t)（2）ya1

(x)ya2

(x)ya3

(x)y0四．已知方程(xyxyy0y1

x，試求其通解．2．yxy(y)3xxsintcos2t3x2yxy1的通解。A2 1

xAx

(t),(0)4．若

試求方程組 的解

1并求expAt21 4 22 1 15、試求：1 2 的基解矩陣 1 1 2六．且滿足()exxttdtxxtdt求(8)0 0七．證明題設(shè)nnA1

(t)，A2

(t)在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組dXA

(tX 與dX

(t)XA1

dt(t)2

1(t)．

dt 2y1

(x)，y2

(xyp(xyq(xy0定義在(abp(x，q(x)在(a,by1

(x)，y2

(x)均在x0

(a,b)y1

(x)，y2

(x)在(a,b)上不能構(gòu)成方程的基本解組．n階線性齊次微分方程一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)解。x1

(t),x2

(t),.....,

n1

(txn

a(t)x(n1)...a1

n1

(t)xan

(t)xf(tn+1無(wú)關(guān)解,證明微分方