用樣本估計總體知識講解

--可編輯修改-用樣本估計總體學習目標】在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準確地做出總體估計.正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的標準差.能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差），并做出合理的解釋.會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征.【要點梳理】要點一、頻率分布的概念頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.其一般步驟為：計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差決定組距與組數(shù)將數(shù)據(jù)分組列頻率分布表畫頻率分布直方圖要點詮釋：頻率分布直方圖的特征：從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.要點二、頻率分布折線圖、總體密度曲線1.頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.2.總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，樣本容量越大，所分組數(shù)越多，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.要點詮釋：總體密度曲線能夠精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細的信息，能夠精確的反映一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.要點三、莖葉圖當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.要點詮釋：莖葉圖的特征：用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是在統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示.莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰.要點四、眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).如果變量是分類的，用眾數(shù)是很有必要的.例如班委會要作出一項決定，考察全班同學對它贊成與否就可以用眾數(shù).中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)(或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做中位數(shù).中位數(shù)把樣本數(shù)據(jù)分成了相同數(shù)目的兩部分.平均數(shù)-1樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=-(x+x+L+x).n12n要點詮釋：由于眾數(shù)僅能刻畫某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)較多，中位數(shù)對極端值不敏感，而平均數(shù)又受極端值左右，因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來估計總體數(shù)字特征的準確性.要點五、標準差與方差標準差樣本數(shù)據(jù)xlx2，x的標準差的算法：1,2,n⑴算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x.算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：x-xG=12丄,n)i算出(2)中x-xG=12丄,n)的平方.i算出(3)中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差.算出(4)中平均數(shù)的算術(shù)平方根，，即為樣本標準差.其計算公式為：[(x-x)2+(x-x)2+L方差從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s2(即方差)來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：

s2=[（x-x）2+（x-x）2+L+（x-x）2]n本次活動共有多少件作品參加評比？哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組獲獎率較高？答案】（本次活動共有多少件作品參加評比？哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組獲獎率較高？答案】（1）60（2）四組18（3）六組要點詮釋：在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.數(shù)據(jù)的離散值程度可以用極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度；樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大??；樣本方差的算術(shù)根表示樣本的標準差，它也描述了數(shù)據(jù)對平均數(shù)的離散程度.【典型例題】類型一：頻率分布表、頻率分布直方圖例1．在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至30日，評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如下圖所示）．已知從左到右各長方形的高的比為2:3:464:1,第三組的頻數(shù)為12，請解答下列問題:解析】1）依題意知第三組的頻率為???第三組的頻數(shù)為12,12???本次活動的參評作品數(shù)為蘋=60件）.5（2）根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共6002+3+4:6+4+1=18件）．⑶第四組的獲獎率是18=9第六組上交的作品數(shù)量為60x=3（件）,2+3+4+6+4+1???第六組的獲獎率為-=-.39顯然第六組的獲獎率較高．【總結(jié)升華】弄清所求問題是什么，并正確地運算是做對題的關(guān)鍵．本題主要考查同學們對頻率分布直方圖的理解，只有熟悉它的特征，才能清楚數(shù)據(jù)分布的總體趨勢，根據(jù)直方圖反映的信息正確解題．舉一反三：【變式1】某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如下圖所示）．根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是例2．閱高考試卷有一個環(huán)節(jié)叫“試批”．某省為了了解和掌握考生的實際答卷情況，隨機地抽取了100名考生的數(shù)學成績，數(shù)據(jù)如下（單位：分）：1359810211099121110961001031259711711311092102109104112105124871319710212310410412810912311110310592114108104102TOC\o"1-5"\h\z12912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖和折線圖；（3）估計該省考生數(shù)學成績在100-120分之間的比例；（4）設(shè)該省有20萬考生，估計該省考生數(shù)學成績不及格的人數(shù)（滿分150分，90分及以上視為及格）；（5）根據(jù)折線圖估計該省考生的數(shù)學成績在哪一個分數(shù)段的人數(shù)將會最多．【思路點撥】理解頻率分布直方圖的具體含義.【解析】100個數(shù)據(jù)中，最大值為135，最小值為80，極差為135－80=55．把100個數(shù)據(jù)分成11組，這時組距=極差=55=5.組數(shù)111）頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率頻率組距[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008

[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合計10010.27X注：表中加上“頻率”一列，這是為畫頻率直方圖準備的，因為它是頻率直方圖的縱坐標.7X組距(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及折線圖，見下圖.(3)從頻率分布表中可知,這100名考生的數(shù)學成績在100-120分之間的頻率為0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,據(jù)此估計該省考生數(shù)學成績在100~120分之間的比例為60%(0.60=60％)．(4)100名考生中，數(shù)學成績不及格的頻率為0.01+0.02=0.03．比例為3%．200000x3%=6000(人).估計該省考生數(shù)學成績不及格的有6000人．(5)折線圖的最高點位于100-105之間，據(jù)此估計該省考生的數(shù)學成績在100-105分這個分數(shù)段的人數(shù)將會最多.

【總結(jié)升華】本例中，決定分點時，直接使用了最小值加組距，即80+5k（k=1,2，…，11）,而沒有把最小值減去某一個數(shù)（例如80－0.5=79.5）作為第1個分點，這是因為100個分數(shù)是明確的，即它們都在80-135之間?凡事都要具體問題具體分析，不可教條化?本例是把5分看成一個分數(shù)段，統(tǒng)計各段的情況．舉一反三：【變式1】一個容量為20的樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下［10，20］，2；（20，30］，3；（30，40］，4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70],2,則樣本在(-8,50]上的頻率為()10A.丄1020答案】D【解析】根據(jù)頻率的計算公式頻率=樣本容量求解.頻率=2+3+4+5_14_頻率=2+3^4+5+4+^_20_10變式2】對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查,情況如下：壽命/h100-200200-300300-400400-500500-600個數(shù)20308040301）列出頻率分布表;2）畫出頻率分布直方圖;（3）估計該電子元件壽命在100~400h以內(nèi)的占總體的比例;（4）估計該電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例.解析】1）樣本頻率分布表如下：壽命/h頻數(shù)頻率

100-200200.10200-300300.15300-400800.40400-500400.20500-600300.15合計20012)頻率分布直方圖如下圖所示；(3)估計該電子元件壽命在100-400h以內(nèi)占總體的比例為65%;(4)估計該電子元件壽命在400h以上的在總體中占的比例為35%.類型二：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例3.據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資(元)5500500035003000250020001500求該公司人員月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);(精確到元)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到元)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司人員的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法.思路點撥】理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念．【答案】（1）209115001500（2）3288（3）中位數(shù)和眾數(shù)【解析】（1）平均數(shù)是4000+3500+2000x2+1500+1000x5+500x3+0x20x=1500+石沁1500+591二2091（元），中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（2）平均數(shù)是X'=1500+28500+18500+2000x2+1500+1000x5+500x3+0x20沁1500+1788=328833（元），中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（3）在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司人員的工資水平．因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司人員的工資水平．【總結(jié)升華】（1）深刻理解和把握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)上的特點，結(jié)合實際情況，靈活運用．2）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較，平均數(shù)更能體現(xiàn)每個數(shù)據(jù)的特征，它是各數(shù)據(jù)的重心．舉一反三：變式1】為了了解高一學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右帛頻率/組距各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右帛頻率/組距各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二0.0360.032小組頻數(shù)為12.0.028（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？0.0240.020（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達標，試估0.0160.0120.008-可編輯000490100110120130140150次數(shù)--可編輯修改-計該學校全體高一學生的達標率是多少？在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由.在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1.【答案】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：2+4+17+15+9+3_0,08又因為頻率=

第二小組頻數(shù)

樣本容量所以樣本容量=第二小組頻數(shù)第二小組頻率120.08=150(2)由圖可估計該學校高一學生的達標率約為17+15+9+3%100%=88%2+4+17+15+9+3(3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi).類型三：方差、標準差例4．在一次科技知識競賽中，兩組學生的成績?nèi)缦卤恚悍謹?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個組的平均分都是80分．請根據(jù)你所學過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優(yōu)誰劣，并說明理由．解析】1）甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績解析】好些．(2)s2=[2(50-80)2+5(60-80)2+10(70-80)2+13(80-80)2+14(90-甲2+5+10+13+14+680)2+6(100-80)2]=-(2x900+5x400+10x100+13x0+14x100+6x400)=172,50s2=丄(4x900+4x400+16-100+2x0+12x100+12x400)=256.乙50…s2<s2,甲乙???甲組成績較乙組成績穩(wěn)定，故甲組成績好些.（3）甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中，甲組成績在80分以上的有33人，乙組成績在80分以上的有26人，從這一角度看，甲組的成績總體較好.（4）從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于90分的人數(shù)為14+6=20（人），乙組成績大于或等于90分的人數(shù)為12+12=24（人）乙組成績集中在高分段的人數(shù)較多，同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人，從這一角度看，乙組的成績較好【總結(jié)升華】要正確解答這道題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語.全方位地進行必要的計算，而不能習慣地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績好，像這樣的實際問題還得從實際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當?shù)卦u估后，組織好正確的語言作出結(jié)論.舉一反三：【變式1】甲、乙兩臺機床在相同的技術(shù)條件下,同時生產(chǎn)一種零件,現(xiàn)在從中抽測10個,它們的尺寸分別如下（單位:mm）甲機床：10.110.09.89.99.710.09.910.1

乙機床:10.49.69.910.110.98.99.710.210.0分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)和方差如圖紙規(guī)定零件的尺寸為10mm,從計算的結(jié)果來看哪臺機床加工這種零件較合適？-11-11X田=一(10.2+10.1+A10?l)=—x100二10,甲1010—1/、1*—x10=10

10%=(10.3+10.4+A+10)=乙10「s2=丄+10.2-10)+(10.1—10)+A(10.1-10)=003mm2甲10=丄[10.3-10)+(10.4-10)+A(10-10)Lo06mm210???用甲機床比乙機床穩(wěn)定，即用甲機床加工較合適類型四：莖葉圖例5?某中學高二（2）班甲、乙兩名學生自進入高中以來，每次數(shù)學考試成績情況如下:甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107;乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.畫出兩人數(shù)學成績的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進行比較.【思路點撥】莖葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù).【答案】乙同學的成績比較穩(wěn)定【解析】甲、乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如圖所示.--可編輯修改---可編輯修改-H甲5661579B89?]83?84159398B7■d3610H4從這個莖葉圖上可以看出，乙同學的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是98；甲同學的得分情況，也大致對