現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)預(yù)備知識講義

本資料來源1統(tǒng)計學(xué)預(yù)備知識：回顧1概率2概率分布（正態(tài)分布等）3兩類錯誤4假設(shè)檢驗5置信區(qū)間、置信水平和顯著性水平6統(tǒng)計檢驗的功效2事件的概率

(probability)定義：事件A的概率是對事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值(介于0和1之間)事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計定義和主觀概率3古典概率(先驗概率)如果某一隨機試驗的結(jié)果有限，而且各個結(jié)果在每次試驗中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數(shù)m

與樣本空間中所包含的基本事件個數(shù)n的比值，記為4古典概率特點樣本空間的基本事件只有有限個；每個基本事件發(fā)生的可能性相等。例：一批產(chǎn)品共100件，其中有6件不合格品，隨機抽取一件不合格品的概率是：5概率的統(tǒng)計定義在相同條件下重復(fù)進行n次隨機試驗，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n

稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動，且波動的幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為優(yōu)點：不受古典概率的兩個特點的限制，容易理解。缺點：試驗不能無限制的進行下去。6主觀概率主觀概率：是指對一些無法重復(fù)的試驗，確定其結(jié)果的概率只能根據(jù)以往的經(jīng)驗，人為確定這個事件的概率。主觀概率是一個決策者對某個事件是否發(fā)生，根據(jù)個人掌握的信息對該事件發(fā)生可能性的判斷例如，企業(yè)投資新項目的成功和失敗的概率。例如天下雨的可能性多大？一種新產(chǎn)品暢銷的可能性多大？由于僅僅是經(jīng)驗的主觀判斷，因此可靠性就值得懷疑，不宜濫用。7概率的性質(zhì)非負(fù)性對任意事件A，有0P(A)1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P

(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)8參數(shù)估計的方法矩估計法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計量法估計方法點估計區(qū)間估計9點估計

(pointestimate)用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點估計的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量10點估計(pointestimate)點估計11區(qū)間估計的提提出12區(qū)間估計(intervalestimate)在點估計的基基礎(chǔ)上，給出出總體參數(shù)估估計的一個區(qū)區(qū)間范圍，該該區(qū)間由樣本本統(tǒng)計量加減減估計誤差而而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計計量的抽樣分分布能夠?qū)訕颖窘y(tǒng)計量與與總體參數(shù)的的接近程度給給出一個概率率度量比如，某班級級平均分?jǐn)?shù)在在75～85之間，置信水水平是95%樣本統(tǒng)計量

(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限13回顧：中心極限定定理(centrallimittheorem)中心極限定理理：設(shè)從均值為，方差為2的一個任意總總體中抽取容容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值值的抽樣分布布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布1415進一步解釋16置信區(qū)間（（confidenceinterval））17置信區(qū)間（（confidenceinterval））181920置信水平：將構(gòu)造置信信區(qū)間的步驟驟重復(fù)很多次次，置信區(qū)間間包含總體參參數(shù)真值的次次數(shù)所占的比比例稱為置信信水平置信水平表示示為(1-，為是總體參參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例例，稱為顯著性水平。。常用的置信水水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，，0.05，，0.10顯著性水平越小越好置信水平2122置信區(qū)間與置置信水平均值的抽樣分布(1-)區(qū)間包含了的區(qū)間未包含1–a

a/2a/223對置信區(qū)間的的幾點理解24總體均值的區(qū)區(qū)間估計對總體均值進進行區(qū)間估計計時，需要考考慮幾種情形形：1、總體是否否為正態(tài)分布布？2、總體方差差是否已知？？3、用于構(gòu)造造估計量的樣樣本是大樣本本（n>30）?還是小樣本（（n<30））呢？252627282930總體均值的區(qū)區(qū)間估計(大樣本)1. 假定條條件總體服從正態(tài)態(tài)分布,且方差(２)已知如果不是正態(tài)態(tài)分布，可由由正態(tài)分布來來近似(n30)使用正態(tài)分布布統(tǒng)計量z總體均值在1-置信水平下的的置信區(qū)間為3132總體均值的區(qū)區(qū)間估計(小樣本)1. 假定條條件總體服從正態(tài)態(tài)分布,但方差(２)未知小樣本(n<30)使用t分布統(tǒng)計量總體均值在1-置信水平下的的置信區(qū)間為33t分布t分布是類似正正態(tài)分布的一一種對稱分布布，它通常要要比正態(tài)分布布平坦和分散散。一個特定定的分布依賴賴于稱之為自自由度的參數(shù)數(shù)。隨著自由由度的增大，，分布也逐漸漸趨于正態(tài)分分布xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z3435不同情形下總體均值的區(qū)間估計

總體分布樣本量正態(tài)分布非正態(tài)分布36待估參數(shù)：總體均值大樣本小樣本分布正態(tài)總體正態(tài)總體37假設(shè)檢驗：先對總體的參參數(shù)(或分布布形式)提出出某種假設(shè)，，然后利用樣樣本信息判斷斷假設(shè)是否成成立的過程對總體參數(shù)(或分布形式式)提出假設(shè)假設(shè)檢驗抽取樣本，構(gòu)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計計量決策過程：根根據(jù)某種規(guī)則則判斷假設(shè)是是否成立38假設(shè)檢驗和區(qū)區(qū)間估計的區(qū)區(qū)別區(qū)間估計：用用給定的大概概率推斷出總總體參數(shù)所在的范圍。假設(shè)檢驗：是是以小概率為為標(biāo)準(zhǔn)，對總總體的狀況（總體參數(shù)或或總體分布））所做出的假設(shè)進行判斷斷。注：假設(shè)檢驗驗與區(qū)間估計計結(jié)合起來，，構(gòu)成完整的的統(tǒng)計推斷內(nèi)內(nèi)容。39區(qū)間估計與假假設(shè)檢驗的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換區(qū)間估計問題題：在一定的概概率（置信水水平）下，利利用樣本信息息來估計總體體的不合格率率假設(shè)檢驗問題題：以一定的概概率水平（顯顯著水平性）），通過樣本本資料來判斷斷該批產(chǎn)品是是否合格或合合格的程度注：對于同一一個實例，用用的是同一個個樣本，同一一個樣本統(tǒng)計計量，同一個個分布，因此此區(qū)間估計與與假設(shè)檢驗可可以相互轉(zhuǎn)換換。40置信區(qū)間是在在一定的概率率（置信水平平）保證程度度下利用樣本本數(shù)據(jù)計算得得到的關(guān)于總總體參數(shù)可能能所在的范圍圍。而進行假假設(shè)檢驗時，，我們事先對對總體參數(shù)的的假設(shè)值有可可能會落在這這個置信區(qū)間間外，這時我我們判定為具具有顯著性差差異，拒絕假假設(shè)；假設(shè)值值也可能會落落在置信區(qū)間間內(nèi)，不能拒拒絕。假設(shè)檢驗：我我們關(guān)心的是是檢驗總體參參數(shù)值有無變變化（即是否否存在顯著性性差異），而而檢驗過程就就是利用樣本本信息判斷差差異是否顯著著。區(qū)間估計：目目的在于通過過樣本資料推推斷總體參數(shù)數(shù)在一定的概概率水平下可可能的取值范范圍估計與檢驗的的聯(lián)系41提出假設(shè)構(gòu)造適當(dāng)?shù)臋z檢驗統(tǒng)計量，，并利用樣本本信息計算檢檢驗統(tǒng)計量的的值規(guī)定顯著性水水平，確定臨界界值作出統(tǒng)計決策策：拒絕假設(shè)還是是接受假設(shè)假設(shè)檢驗的步步驟42原假設(shè)與備擇擇假設(shè)原假設(shè)(nullhypothesis)：研究者想收集證證據(jù)予以反對的假設(shè)，待檢檢驗的假設(shè)。。表示為H0H0：=，或某一數(shù)值備擇假設(shè)(alternativehypothesis)：與原假設(shè)對立立，研究者想收集證據(jù)據(jù)予以支持的假設(shè)。表示示為H1H1：≠,或某一數(shù)值43原假設(shè)和備擇擇假設(shè)是一個個完備事件組，而且相互對立排斥在一項假設(shè)檢檢驗中，原假假設(shè)和備擇假假設(shè)必有一個個成立，而且且只有一個成成立接受原假設(shè)，，意味著拒絕絕備擇假設(shè)；；拒絕原假設(shè)，，意味著接受受備擇假設(shè)；；先確定備擇假假設(shè)，再確定定原假設(shè)等號“=”一般都是放放在原假設(shè)上因研究目的不不同，對同一一問題可能提提出不同的假假設(shè)(也可能能得出不同的的結(jié)論)(歸納與建議議)提出原假設(shè)與與備擇假設(shè)44假設(shè)檢驗中的的兩類錯誤1. 第Ⅰ類類錯誤(棄真真錯誤)原假設(shè)為真時時我們拒絕原原假設(shè)第Ⅰ類錯誤的的概率記為被稱為顯著性性水平2. 第Ⅱ類類錯誤(取偽偽錯誤)原假設(shè)為假時時我們沒有拒拒絕原假設(shè)第Ⅱ類錯誤的的概率記為(Beta)45兩類錯誤的進進一步解釋錯誤：錯誤46兩類錯誤的進進一步解釋原假設(shè)沒有拒絕H0拒絕H0H0為真1-（正確決策）H0為偽（取偽錯誤）1-（正確決策）47錯誤和錯誤的關(guān)系和的關(guān)系就像翹翹翹板，小就大，大就小你要同時減少少兩類錯誤的的惟一辦法是是增加樣本容容量!48檢驗功效(testpower)拒絕一個錯誤誤的原假設(shè)的的能力根據(jù)的定義，是指沒有拒絕絕一個錯誤的的原假設(shè)的概概率。這也就就是說，1-則是指拒絕一一個錯誤的原原假設(shè)的概率率，這個概率率被稱為檢驗驗?zāi)芰?也被被稱為檢驗的勢或檢檢驗的功效(power)可解釋為正確地拒絕一個錯誤的原假設(shè)設(shè)的概率49在犯第一類錯錯誤（）概率得到控控制的條件下下，犯取偽錯錯誤的概率（（）也要盡可能能地小，或者者說，不取偽偽的概率1-應(yīng)盡可能增大大。1-越大，意味著著當(dāng)原假設(shè)不不真實時，檢檢驗判斷出原原假設(shè)不真實實的概率越大大，檢驗的判判別能力就越越好；1-越小，意味著著當(dāng)原假設(shè)不不真實時，檢檢驗結(jié)論判斷斷出原假設(shè)不不真實的概率率越小，檢驗驗的判別能力力就越差?？煽梢?-是反映統(tǒng)計檢檢驗判別能力力大小的重要要標(biāo)志，我們們稱之為檢驗驗功效或檢驗驗勢。檢驗功效(poweroftest)50根據(jù)樣本觀測測數(shù)據(jù)計算得得到的，并據(jù)據(jù)以對原假設(shè)設(shè)和備擇假設(shè)設(shè)作出決策的的某個樣本統(tǒng)統(tǒng)計量對樣本估計量量的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)結(jié)果原假設(shè)H0為真點估計量的抽抽樣分布檢驗統(tǒng)計量(teststatistic)標(biāo)準(zhǔn)化的檢驗統(tǒng)計量51選擇檢驗統(tǒng)計計量時需要考考慮的要素檢驗的樣本容容量：大樣本本還是小樣本本？總體方差是否否已知？原因：因為總體方差差是否已知以以及檢驗的樣樣本大小決定定了抽樣分布布，也就決定定了檢驗統(tǒng)計計量的選擇與與構(gòu)造。52顯著性水平和和拒絕域(雙側(cè)檢驗示示意圖)抽樣分布0臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H01-置信水平53顯著性水平(significantlevel)1.原假設(shè)為真時時，拒絕原假假設(shè)的概率被稱為抽樣分分布的拒絕域域2.它是是事先指定的的犯第Ⅰ類錯誤概率的最大允許值值3. 常用的的值有0.01,0.05,0.104. 由研究究者事先確定定，也稱名義顯著性水水平5.拒拒絕原假設(shè)設(shè)，則表明檢檢驗的結(jié)果是是顯著的不拒絕原假設(shè)設(shè)，表明檢驗驗的結(jié)果是不不顯著的54對顯著性水平平的幾點說明明提前選擇一個個顯著性水平平，可以根據(jù)據(jù)分布表查出出在該顯著性性水平下的臨臨界值，進而而將計算的檢檢驗統(tǒng)計值與與臨界值做一一個比較，于于是在給定的的顯著性水平平下，原假設(shè)設(shè)要么被拒絕絕，要么未被被拒絕。不同的研究者者根據(jù)特定的的應(yīng)用，會偏偏好不同的顯顯著性水平，，具有任意性性。不存在一個““正確的”顯顯著性水平。。55假設(shè)檢驗的決決策規(guī)則給定顯著性水水平，查表得出相相應(yīng)的臨界值z或z/2，t或t/2將由樣本計算算得出的檢驗驗統(tǒng)計量的值值與水平下的臨界界值進行比較較作出決策雙側(cè)檢驗：│統(tǒng)計量│>│臨界值│，拒絕H0│統(tǒng)計量│<│臨界值│，接受H0左側(cè)檢驗：統(tǒng)統(tǒng)計量<臨臨界值，拒拒絕H0右側(cè)檢驗：統(tǒng)統(tǒng)計量>臨臨界值，拒拒絕H056顯著性水平和和拒絕域(雙側(cè)檢驗)0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-置信水平57顯著性水平和和拒絕域(雙側(cè)檢驗)0臨界值臨界值

a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-置信水平58顯著性水平和和拒絕域(雙側(cè)檢驗)0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-置信水平59利用P值進行決策策60什么是P值?(P-value)P值是一個概率率值，0<p<1在原假設(shè)為真的的條件下，檢驗驗統(tǒng)計量大于于、小于或等等于其計算值值的概率雙側(cè)檢驗為抽抽樣分布中兩兩側(cè)面積的總總和反映映實實際際觀觀測測到到的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)與與原原假假設(shè)設(shè)H0之間間不不一一致致的的程程度度，，被稱稱為為觀觀察察到到的的(或或?qū)崒崪y測的的)精精確確的的顯顯著著性性水水平平，，而是事事先先選選定定的的顯顯著著性性水水平平?jīng)Q策策規(guī)規(guī)則則：：若p值<,拒拒絕絕H061P值的的進進一一步步闡闡述述我們們用用Z統(tǒng)統(tǒng)計計量量來來進進行行假假設(shè)設(shè)檢檢驗驗62P值的的計計算算63P值應(yīng)應(yīng)用用的的歸歸納納小小結(jié)結(jié)64雙側(cè)側(cè)檢檢驗驗的的P值/

2

/

2

Z拒絕H0拒絕H00-1.96計算的-2.5計算的2.51.961/2P值1/2P值65假設(shè)設(shè)檢檢驗驗結(jié)結(jié)論論的的表表述述(““顯顯著著””與與““不不顯顯著著””)當(dāng)拒拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)時時，，我我們們稱稱樣樣本本結(jié)結(jié)果果是是統(tǒng)計計上上顯顯著著的的拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)時時結(jié)結(jié)論論是是清清楚楚的的當(dāng)不不拒拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)時時，，我我們們稱稱樣樣本本結(jié)結(jié)果果是是統(tǒng)計計上上不不顯顯著著的的不拒拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)時時，，并并未未給給出出明明確確的的結(jié)結(jié)論論，，不不能能說說原原假假設(shè)設(shè)是是正正確確的的，，也也不不能能說說它它不不是是正正確確的的66假設(shè)設(shè)檢檢驗驗結(jié)結(jié)論論的的表表述述(““接接受受””與與““不不拒拒絕絕””)假設(shè)設(shè)檢檢驗驗的的目目的的在在于于試試圖圖找找到到證證據(jù)據(jù)拒拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)，，而而不不在在于于證證明明什什么么是是正正確確的的當(dāng)沒沒有有足足夠夠證證據(jù)據(jù)拒拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)時時，，不不采采用用““接受受原原假假設(shè)設(shè)”的的表表述述，，而而采采用用““不拒拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)”的的表表述述。。““不不拒拒絕絕””的的表表述述實實際際上上意意味味著著并并未未給給出出明明確確的的結(jié)結(jié)論論，，我我們們沒沒有有說說原原假假設(shè)設(shè)正正確確，，也也沒沒有有說說它它不不正正確確“接接受受””的的說說法法有有時時會會產(chǎn)產(chǎn)生生誤誤導(dǎo)導(dǎo)，，因因為為這這種種說說法法似似乎乎暗暗示示著著原原假假設(shè)設(shè)已已經(jīng)經(jīng)被被證證明明是是正正確確的的了了。。但但事事實實上上，，H0的真真實實值值我我們們永永遠(yuǎn)遠(yuǎn)也也無無法法知知道道，，H0只是是對對總總體體真真實實值值的的一一個個假假定定值值，，由由樣樣本本提提供供的的信信息息也也就就自自然然無無法法證證明明它它是是否否正正確確67假設(shè)設(shè)檢檢驗驗步步驟驟的的總總結(jié)結(jié)根據(jù)據(jù)研研究究目目的的建建立立原原假假設(shè)設(shè)和和備備擇擇假假設(shè)設(shè)確定定一一個個適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡臋z檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量，，并并利利用用樣樣本本數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)計計算算出出檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的具具體體數(shù)數(shù)值值。。確定定一一個個適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡娘@顯著著性性水水平平，，并并查查出出其其臨臨界界值值，，指指定定拒拒絕絕域域。。將檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的實實際際值值與與臨臨界界值值進進行行比比較較，，作作出出拒拒絕絕或或不不拒拒絕絕原原假假設(shè)設(shè)的的決決策策統(tǒng)計計量量的的值值落落在在拒拒絕絕域域，，拒拒絕絕H0，否否則則不不拒拒絕絕H0也可可以以直直接接利利用用P值作作出出決決策策：：68備擇擇假設(shè)設(shè)沒有有特特定定的方方向向性性，，并并含含有有符符號號““”的的假假設(shè)設(shè)檢檢驗驗，，稱稱為為雙側(cè)側(cè)檢檢驗驗或或雙雙尾尾檢檢驗驗(two-tailedtest)備擇擇假設(shè)設(shè)具有有特特定定的方方向向性性，，并并含含有有符符號號““>”或或““<”的的假假設(shè)設(shè)檢檢驗驗，，稱稱為為單側(cè)側(cè)檢檢驗驗或或單單尾尾檢檢驗驗(one-tailedtest)備擇擇假假設(shè)設(shè)的的方方向向為為““<”，，稱稱為為左側(cè)側(cè)檢檢驗驗備擇擇假假設(shè)設(shè)的的方方向向為為““>”，，稱稱為為右側(cè)側(cè)檢檢驗驗雙側(cè)側(cè)檢檢驗驗與與單單側(cè)側(cè)檢檢驗驗69雙側(cè)側(cè)檢檢驗驗與與單單側(cè)側(cè)檢檢驗驗(假假設(shè)設(shè)的的形形式式)假設(shè)雙側(cè)檢驗單側(cè)檢驗左側(cè)(下限)檢驗右側(cè)(上限)檢驗原假設(shè)H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0備擇假設(shè)H1:m

≠m0H1:m

<

m0H1:m

>

m070雙側(cè)側(cè)檢檢驗驗：：假假設(shè)設(shè)的的建建立立所關(guān)關(guān)心心的的是是檢檢驗驗樣樣本本均均值值與與總總體體均均值值有沒沒有有明明顯顯差差異異，而而不不管管差差異異的的方方向向是是正正還還是是負(fù)負(fù)，，應(yīng)應(yīng)該該用用雙側(cè)側(cè)檢檢驗驗。71左側(cè)側(cè)檢檢驗驗：：假假設(shè)設(shè)的的建建立立所關(guān)關(guān)心心的的是是總總體體均均值值是否否低低于于某個個標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)，，則則應(yīng)應(yīng)該該用用左側(cè)側(cè)檢檢驗驗72右側(cè)側(cè)檢檢驗驗：：假假設(shè)設(shè)的的建建立立所關(guān)關(guān)心心的的是是總總體體均