高等代數(shù)-4.2矩陣運(yùn)算

三、數(shù)量乘法一、加法二、乘法四、轉(zhuǎn)置§4.2矩陣的運(yùn)算1．定義設(shè)則矩陣稱為矩陣A與B的和，記作．即一、加法說(shuō)明例如只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.(1)交換律(2)結(jié)合律(3)

(4)

定義2．性質(zhì)3．減法4．性質(zhì)設(shè)則矩陣其中

稱為與的積，記為．

1．定義二、乘法①乘積

有意義要求

A的列數(shù)＝

的行數(shù).②乘積

中第行第列的元素由的第行乘的第列相應(yīng)元素相加得到．注意如不存在.例1

線性方程組令則（1）可看成矩陣方程例2設(shè)例3故解例4．而無(wú)意義．例5．例6．注意③未必．若，稱A與B可交換．①一般地，即且時(shí)，有可能．②未必有或．2．矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(5)

(結(jié)合律)（分配律)證：1）設(shè)令其中

的第

i行第

l

列元素為

的第

i行第

l

列元素為

結(jié)合律得證.設(shè)為

級(jí)方陣．定義稱為的次冪.3．矩陣的方冪定義個(gè)(3)一般地,性質(zhì)解:例．設(shè)求由此歸納出用數(shù)學(xué)歸納法證明之.當(dāng)時(shí)，顯然成立.假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，故對(duì)于任意都有稱為矩陣

A與數(shù)

k的數(shù)量乘積．記作：三、數(shù)量乘法1．定義設(shè)則矩陣即2．性質(zhì)注:矩陣的加法與數(shù)量乘法合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的

線性運(yùn)算.(6)若

A為

n

級(jí)方陣，(數(shù)量矩陣與任意矩陣可交換)設(shè)的轉(zhuǎn)置矩陣是指矩陣記作或．

四、轉(zhuǎn)置1．定義2．性質(zhì)(5)若為方陣，則（3）證：設(shè)中

的元素為

從而中的元素為

中的元素為

又的第

i行元素為的第

j列元素為例9已知解法1解法2設(shè)

n

級(jí)方陣(1)若滿足即3．對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣定義則稱

A為對(duì)稱矩陣；(2)若滿足即則稱

A為反對(duì)稱矩陣.性質(zhì)(2)對(duì)稱，對(duì)稱

；

反對(duì)稱，反對(duì)稱．(1)

對(duì)稱對(duì)稱

;反對(duì)稱反對(duì)稱．(3)奇數(shù)級(jí)反對(duì)稱矩陣的行列式等于零．為奇數(shù)時(shí)，

i)對(duì)稱，積對(duì)稱嗎?

想一想ii)反對(duì)稱，積反對(duì)稱嗎?

皆為

n

級(jí)對(duì)稱矩陣，證明：例10

已知對(duì)稱證：若AB對(duì)稱，則有反過(guò)來(lái)，若AB=BA，則有所以AB對(duì)稱.例12

設(shè)E為

n

單位