橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一講橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)要點(diǎn)一、橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、（）的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。【注意：】這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.【思考】定義中的常數(shù)不滿足時(shí)點(diǎn)的軌跡是什么？若，的軌跡存不存在？若存在，是什么？_______________若，的軌跡存不存在？若存在，是什么？_______________答案：(1)軌跡不存在.(2)P的軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的線段．【練習(xí)1】判斷：(1)已知F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓．()(2)已知F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓．()(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5，3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓．()(4)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓．()提示1：(1)×.因?yàn)?a＝|F1F2|＝8，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2，不是橢圓．(2)×.2a<|F1F2|，動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在．(3)√.符合橢圓的定義．(4)×.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．要點(diǎn)二、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：【仔細(xì)閱讀課本106頁推導(dǎo)過程，最好能夠自行推導(dǎo)一遍，了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的由來。上課時(shí)我們也會一起來看這個(gè)過程，有不理解的地方最好標(biāo)注?！?、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)焦距焦點(diǎn)在x軸上eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)2c(c>0)焦點(diǎn)在y軸上(a＞b＞0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)2c(c>0)待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，還是在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能．(2)設(shè)方程．①依據(jù)上述判斷設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)；②在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè)mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).(3)找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，c或m，n的方程組．(4)得方程：解方程組，將a，b，c或m，n代入所設(shè)方程即為所求．【練習(xí)2】已知a＝eq\r(13)，c＝2eq\r(3)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,12)＝1B．eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,25)＝1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,13)＝1C．eq\f(x2,13)＋y2＝1 D．eq\f(x2,13)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,13)＝1【解析2】Db2＝a2－c2＝1，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸，方程為eq\f(x2,13)＋y2＝1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸，方程為eq\f(y2,13)＋x2＝1.【練習(xí)3】已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)兩焦點(diǎn)間的距離為2eq\r(2)，且過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 C．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,3)＝1【解析3】由橢圓的定義得2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\r(2)))2＋2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\r(2)))2＋2)＝eq\r(7＋2\r(6))＋eq\r(7－2\r(6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－1))＝2eq\r(6)，所以a＝eq\r(6)，b＝eq\r(6－2)＝2.因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1.【練習(xí)4】方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是________【解析4】<m<25因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以16＋m>25－m，即m>，又因?yàn)閎2＝25－m>0，故m<25.要點(diǎn)二、橢圓的性質(zhì)1、橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|≤a，|y|≤b.2、橢圓的對稱性橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)對稱中心稱為橢圓的中心。3、橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。②橢圓（a＞b＞0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4、橢圓的離心率（重點(diǎn)★難點(diǎn)）離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）當(dāng)越接近1時(shí)，c越接近a，橢圓越______（扁/圓）；當(dāng)越接近0時(shí)，c越接近0，橢圓越______（扁/圓）；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，圖形為_______.【練習(xí)5】橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（）【答案5】D【練習(xí)6】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長軸分成長為的兩段，求其離心率；【解析6】由題意得，即，解得。經(jīng)典題型突破題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能．(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c(或m，n)的方程組．【例1】求與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，eq\r(15))的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．題型二利用橢圓定義求軌跡方程與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，1.定義法求軌跡方程如果能確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法．定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法．2．代入法(相關(guān)點(diǎn)法)若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與另一個(gè)已知曲線C：F(x，y)＝0上的動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x，y)＝0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法)．【例2】如圖所示，已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A(－3，0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．【例3】已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0)，Q為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一點(diǎn)，求線段AQ中點(diǎn)M的軌跡方程．題型三橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題(1)橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形．解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識求解．(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式①焦點(diǎn)三角形的周長L＝2a＋2c.②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③設(shè)P(xP，yP)，焦點(diǎn)三角形的面積＝c|yP|＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2).【例4】已知橢圓eq\f(x