隨機(jī)過程在金融中的應(yīng)用2隨機(jī)過程的基本概念分析課件

第二章隨機(jī)過程的基本概念

第一節(jié)隨機(jī)過程的定義及其分類第二節(jié)隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征第三節(jié)復(fù)隨機(jī)過程第四節(jié)幾種重要的隨機(jī)過程簡(jiǎn)介第二章隨機(jī)過程的基本概念第一節(jié)隨機(jī)過程的1第一節(jié)隨機(jī)過程的定義及其分類一、直觀背景及例電話站在時(shí)刻t時(shí)以前接到的呼叫次數(shù)例1一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X，并且依賴時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)X（t），t[0，24]。例2研究某一商品的銷售量一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X，并且依賴時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)X（t），t=1，2，…首頁第一節(jié)隨機(jī)過程的定義及其分類一、直觀背景及2例3國民收入問題表示依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。它雖然不能用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。隨著各種隨機(jī)因素的影響而隨機(jī)變化，一般地有其中C（t）、I（t）分別表示t年的消費(fèi)和積累隨機(jī)過程

首頁例3國民收入問題表示依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。它雖然3二、隨機(jī)過程的定義1．隨機(jī)過程設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，

{}是它的的樣本空間，T是一個(gè)參數(shù)集，若對(duì)于每一個(gè)都有隨機(jī)變量，與之對(duì)應(yīng)，則稱依賴于t的隨機(jī)變量為隨機(jī)過程，或稱為隨機(jī)函數(shù)，通常記作說明1參數(shù)集T在實(shí)際問題中，常常指的是時(shí)間參數(shù)，但有時(shí)也用其它物理量作為參數(shù)集。首頁二、隨機(jī)過程的定義1．隨機(jī)設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，{4說明2因?yàn)槭且粋€(gè)隨機(jī)變量，首頁說明2因?yàn)槭且粋€(gè)隨機(jī)變量，首頁52．貝努利過程設(shè)每隔單位時(shí)間擲一次硬幣，觀察它出現(xiàn)的結(jié)果。如果出現(xiàn)正面，記其結(jié)果為1；如果出現(xiàn)反面，記其結(jié)果為0。一直拋擲下去，便可得到一無窮序列因?yàn)槊看螔仈S的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量（1或0），所以無窮次拋擲的結(jié)果是一隨機(jī)變量的無窮序列，稱為隨機(jī)序列，也可稱為隨機(jī)過程。每次拋擲的結(jié)果與先后各次拋擲的結(jié)果是相互獨(dú)立的，并且出現(xiàn)1或0的概率與拋擲的時(shí)間n無關(guān)。

首頁2．貝努利過程設(shè)每隔單位時(shí)間擲一次硬幣，觀察它6設(shè)稱具有這種特性的隨機(jī)過程為貝努利型隨機(jī)過程。注如果固定觀測(cè)時(shí)刻t，則它的試驗(yàn)結(jié)果是屬于兩個(gè)樣本點(diǎn)（0，1）所組成的樣本空間則樣本空間出現(xiàn)的值為（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）首頁設(shè)稱具有這種特性的隨機(jī)過程為貝努利型隨機(jī)過程。注如果固定觀測(cè)7三、隨機(jī)過程的分類1、按參數(shù)集和狀態(tài)分類參數(shù)集T的是一個(gè)可列集T={0，1，2，…}離散參數(shù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)分類參數(shù)集T的是一個(gè)不可列集狀態(tài)分類離散狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)取值是離散的取值是連續(xù)的首頁三、隨機(jī)過程的分類1、按參數(shù)集和狀態(tài)分類參數(shù)集T的是8T離散、I離散 T離散、I非離散（連續(xù)）參數(shù)T狀態(tài)I分類概率結(jié)構(gòu)分類2．按過程的概率結(jié)構(gòu)分類T非離散（連續(xù)）、I離散T非離散（連續(xù)）、I非離散（連續(xù)）獨(dú)立隨機(jī)過程獨(dú)立增量隨機(jī)過程馬爾可夫過程平穩(wěn)隨機(jī)過程首頁T離散、I離散 T離散、I非離散（連續(xù)）參數(shù)T狀態(tài)I分類概率9（1）獨(dú)立隨機(jī)過程簡(jiǎn)稱獨(dú)立隨機(jī)過程。

首頁（1）獨(dú)立隨機(jī)過程簡(jiǎn)稱獨(dú)立隨機(jī)過程。首頁10（2）獨(dú)立增量隨機(jī)過程是相互獨(dú)立的，首頁（2）獨(dú)立增量隨機(jī)過程是相互獨(dú)立的，首頁11（3）馬爾可夫過程簡(jiǎn)稱馬氏過程。首頁（3）馬爾可夫過程簡(jiǎn)稱馬氏過程。首頁12馬氏過程的特點(diǎn)馬氏性實(shí)質(zhì)上是無后效性，所以也稱馬氏過程為無后效過程。稱這個(gè)特性為馬爾可夫性，簡(jiǎn)稱馬氏性。

首頁馬氏過程的特點(diǎn)馬氏性實(shí)質(zhì)上是無后效性，所以也稱馬氏過程為無后13（4）平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性與馬氏過程不同，它不隨時(shí)間的推移而變化，過程的“過去”可以對(duì)“未來”有不可忽視的影響。返回首頁（4）平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性與馬氏14第二節(jié)隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一維分布函數(shù)其分布函數(shù)為一維概率密度首頁第二節(jié)隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一15二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)二維概率密度首頁二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)二維概率密度首頁16n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)n維概率密度首頁n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)n維概率密度首頁17有限維分布族一維，二維，…，n維分布函數(shù)的全體：易知因此，一個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性可由其有限維分布函數(shù)族表達(dá)出來。首頁有限維分布族一維，二維，…，n維分布函數(shù)的全體：易知18聯(lián)合分布函數(shù)n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程和的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)首頁聯(lián)合分布函數(shù)n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程和的n19相互獨(dú)立n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)則稱隨機(jī)過程相互獨(dú)立首頁相互獨(dú)立n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)則稱隨機(jī)過程20例1袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的t對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量試求這個(gè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。分析先求概率密度首頁例1袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間21所以解P首頁所以解P首頁22二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1．均值函數(shù)或稱為數(shù)學(xué)期望說明首頁二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1．均值函數(shù)或稱為數(shù)學(xué)期望說明首頁232．方差函數(shù)說明均方差函數(shù)首頁2．方差函數(shù)說明均方差函數(shù)首頁243．協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩簡(jiǎn)稱協(xié)方差函數(shù)注首頁3．協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩簡(jiǎn)稱協(xié)方差函數(shù)注首頁254．互協(xié)方差函數(shù)其中首頁4．互協(xié)方差函數(shù)其中首頁265．相關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)注首頁5．相關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)注首頁276．互相關(guān)函數(shù)注則首頁6．互相關(guān)函數(shù)注則首頁287．互不相關(guān)注有則即若首頁7．互不相關(guān)注有則即若首頁29例2解求：（1）均值函數(shù)；（2）協(xié)方差函數(shù)；（3）方差函數(shù)。（1）（2）（3）首頁例2解求：（1）均值函數(shù)；（2）協(xié)方差函數(shù)；（3）方差函數(shù)。30例3解試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。所以首頁例3解試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。所以首頁31三、隨機(jī)過程的特征函數(shù)1．一維特征函數(shù)則注首頁三、隨機(jī)過程的特征函數(shù)1．一維特征函數(shù)則注首頁322．n維特征函數(shù)則3.有限維特征函數(shù)族注返回首頁2．n維特征函數(shù)則3.有限維特征函數(shù)族注返回首頁33第三節(jié)復(fù)隨機(jī)過程一、定義是兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程則稱為復(fù)隨機(jī)過程并稱首頁第三節(jié)復(fù)隨機(jī)過程一、定義是兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程則稱34二、數(shù)字特征1．均值函數(shù)2．自協(xié)方差函數(shù)其中記號(hào)“—”表示“共軛”首頁二、數(shù)字特征1．均值2．自協(xié)方差函數(shù)其中記號(hào)“—”表示“共軛353．自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4．方差函數(shù)它實(shí)際上等于自協(xié)方差函數(shù)且有首頁3．自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4．方差它實(shí)際上36證由于所以即首頁證由于所以即首頁375．互協(xié)方差函數(shù)6．互相關(guān)函數(shù)首頁5．互協(xié)方差函數(shù)6．互相關(guān)函數(shù)首頁38自相關(guān)關(guān)系即類似地互相關(guān)關(guān)系首頁自相關(guān)即類似地互相關(guān)首頁39例1已知復(fù)隨機(jī)過程解返回首頁例1已知復(fù)隨機(jī)過程解返回首頁40第四節(jié)幾種重要的隨機(jī)過程簡(jiǎn)介一、獨(dú)立增量過程1．定義隨機(jī)變量的增量是相互獨(dú)立的首頁第四節(jié)幾種重要的隨機(jī)過程簡(jiǎn)介一、獨(dú)立增量過程1．定義隨機(jī)412．齊次性或稱時(shí)齊的注首頁2．齊次性或稱時(shí)齊的注首頁42例1證的隨機(jī)變量序列，令則首頁例1證的隨機(jī)變量序列，令則首頁43二、泊松過程1．計(jì)數(shù)過程則且滿足：首頁二、泊松過程1．計(jì)數(shù)過程則且滿足：首頁44注如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)立的，則稱計(jì)數(shù)過程有獨(dú)立增量。2．泊松過程滿足若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，則稱計(jì)數(shù)過程有平穩(wěn)增量。首頁注如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)45則稱注意從條件（3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且并稱生起率或強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)）首頁則稱注意從條件（3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且并稱生起率或強(qiáng)46說明要確定計(jì)數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個(gè)條件：為此給出一個(gè)與泊松過程等價(jià)的定義滿足首頁說明要確定計(jì)數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足47則稱首頁則稱首頁48例2已知商店上午9：00開門，試求到9：30時(shí)僅到一位顧客，而到11：30時(shí)總計(jì)已達(dá)5位顧客的概率。解設(shè)表示在時(shí)間t時(shí)到達(dá)的顧客數(shù)首頁例2已知商店上午9：00開門，試求到9：30時(shí)僅到一位顧客，493．到達(dá)時(shí)間間隔和等待時(shí)間的分布定義則稱則稱首頁3．到達(dá)時(shí)間間隔和等待時(shí)間的分布定義則稱則稱首頁50定理1證或首頁定理1證或首頁51那么類似地有（增量的獨(dú)立性）（齊次獨(dú)立增量過程）首頁那么類似地有（增量的獨(dú)立性）（齊次獨(dú)立增量過程）首頁52可見一般地首頁可見一般地首頁53這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且都具有相同均值為的指數(shù)分布。例3甲、乙兩路公共汽車都通過某一車站，兩路汽車的到達(dá)分別服從10分鐘1輛（甲），15分鐘1輛（乙）的泊松分布。假定車總不會(huì)滿員，試問可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時(shí)間的概率分布及其期望。解反映甲、乙兩路公共汽車到達(dá)情況的泊松分布下面證明兩路車混合到達(dá)過程服從生起率為首頁這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列是54事實(shí)上且所以由泊松過程的定義可知因此由定理1知公共汽車的到達(dá)時(shí)間間隔服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。再由指數(shù)分布的無記憶性，這位乘客的等待時(shí)間也服從均值為6分鐘的指數(shù)分布。首頁事實(shí)上且所以由泊松過程的定義可知因此由定理1知公共汽車的到達(dá)55定理2其概率密度為證因?yàn)樗允醉摱ɡ?其概率密度為證因?yàn)樗允醉?6于是首頁于是首頁57三、維納過程1．定義則稱或布朗運(yùn)動(dòng)過程稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程特別首頁三、維納過程1．定義則稱或布朗運(yùn)動(dòng)過程稱為標(biāo)準(zhǔn)維納過程特別首582．均值、方差、協(xié)方差及相關(guān)函數(shù)均值協(xié)方差及相關(guān)函數(shù)證方差由定義可得均值、方差公式首頁2．均值、方差、協(xié)方差及相關(guān)函數(shù)均值協(xié)方差及相關(guān)函數(shù)證方差由59下證同理故顯然首頁下證同理故顯然首頁603．證由于增量是相互獨(dú)立的正態(tài)變量。所以首頁3．證由于增量是相互獨(dú)立的正態(tài)變量。所以首頁61首頁首頁624．具有馬氏性證因此所以所以維納過程是馬氏過程。首頁4．具有馬氏性證因此所以所以維納過程是馬氏過程。首頁63例4試求的協(xié)方差函數(shù)。且解首頁例4試求的協(xié)方差函數(shù)。且解首頁64可得所以首頁可得所以首頁65四、正態(tài)過程1．定義為n維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為也稱高斯過程則稱首頁四、正態(tài)過程1．定義為n維正態(tài)分布，其密度函數(shù)為也稱高斯過程66其中且K為協(xié)方差矩陣首頁其中且K為協(xié)方差矩陣首頁67注2．維納過程是正態(tài)過程由正態(tài)過程的n維概率密度表達(dá)式知，正態(tài)過程的統(tǒng)計(jì)特性，由它的均值函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)完全確定。由維納過程定義知服從n維正態(tài)分布首頁注2．維納過程是正態(tài)過程由正態(tài)過程的n維概率密度表達(dá)式知，正68故知所以又因首頁故知所以又因首頁69例5證可得注逆命題也成立返回首頁例5證可得注逆命題也成立返回首頁70第二章隨機(jī)過程的基本概念

第一節(jié)隨機(jī)過程的定義及其分類第二節(jié)隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征第三節(jié)復(fù)隨機(jī)過程第四節(jié)幾種重要的隨機(jī)過程簡(jiǎn)介第二章隨機(jī)過程的基本概念第一節(jié)隨機(jī)過程的71第一節(jié)隨機(jī)過程的定義及其分類一、直觀背景及例電話站在時(shí)刻t時(shí)以前接到的呼叫次數(shù)例1一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X，并且依賴時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)X（t），t[0，24]。例2研究某一商品的銷售量一般情況下它是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X，并且依賴時(shí)間t，即隨機(jī)變數(shù)X（t），t=1，2，…首頁第一節(jié)隨機(jī)過程的定義及其分類一、直觀背景及72例3國民收入問題表示依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。它雖然不能用一個(gè)確定的函數(shù)來描述，但也是有規(guī)律的。隨著各種隨機(jī)因素的影響而隨機(jī)變化，一般地有其中C（t）、I（t）分別表示t年的消費(fèi)和積累隨機(jī)過程

首頁例3國民收入問題表示依賴于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。它雖然73二、隨機(jī)過程的定義1．隨機(jī)過程設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，

{}是它的的樣本空間，T是一個(gè)參數(shù)集，若對(duì)于每一個(gè)都有隨機(jī)變量，與之對(duì)應(yīng)，則稱依賴于t的隨機(jī)變量為隨機(jī)過程，或稱為隨機(jī)函數(shù)，通常記作說明1參數(shù)集T在實(shí)際問題中，常常指的是時(shí)間參數(shù)，但有時(shí)也用其它物理量作為參數(shù)集。首頁二、隨機(jī)過程的定義1．隨機(jī)設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，{74說明2因?yàn)槭且粋€(gè)隨機(jī)變量，首頁說明2因?yàn)槭且粋€(gè)隨機(jī)變量，首頁752．貝努利過程設(shè)每隔單位時(shí)間擲一次硬幣，觀察它出現(xiàn)的結(jié)果。如果出現(xiàn)正面，記其結(jié)果為1；如果出現(xiàn)反面，記其結(jié)果為0。一直拋擲下去，便可得到一無窮序列因?yàn)槊看螔仈S的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量（1或0），所以無窮次拋擲的結(jié)果是一隨機(jī)變量的無窮序列，稱為隨機(jī)序列，也可稱為隨機(jī)過程。每次拋擲的結(jié)果與先后各次拋擲的結(jié)果是相互獨(dú)立的，并且出現(xiàn)1或0的概率與拋擲的時(shí)間n無關(guān)。

首頁2．貝努利過程設(shè)每隔單位時(shí)間擲一次硬幣，觀察它76設(shè)稱具有這種特性的隨機(jī)過程為貝努利型隨機(jī)過程。注如果固定觀測(cè)時(shí)刻t，則它的試驗(yàn)結(jié)果是屬于兩個(gè)樣本點(diǎn)（0，1）所組成的樣本空間則樣本空間出現(xiàn)的值為（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）首頁設(shè)稱具有這種特性的隨機(jī)過程為貝努利型隨機(jī)過程。注如果固定觀測(cè)77三、隨機(jī)過程的分類1、按參數(shù)集和狀態(tài)分類參數(shù)集T的是一個(gè)可列集T={0，1，2，…}離散參數(shù)連續(xù)參數(shù)參數(shù)分類參數(shù)集T的是一個(gè)不可列集狀態(tài)分類離散狀態(tài)連續(xù)狀態(tài)取值是離散的取值是連續(xù)的首頁三、隨機(jī)過程的分類1、按參數(shù)集和狀態(tài)分類參數(shù)集T的是78T離散、I離散 T離散、I非離散（連續(xù)）參數(shù)T狀態(tài)I分類概率結(jié)構(gòu)分類2．按過程的概率結(jié)構(gòu)分類T非離散（連續(xù)）、I離散T非離散（連續(xù)）、I非離散（連續(xù)）獨(dú)立隨機(jī)過程獨(dú)立增量隨機(jī)過程馬爾可夫過程平穩(wěn)隨機(jī)過程首頁T離散、I離散 T離散、I非離散（連續(xù)）參數(shù)T狀態(tài)I分類概率79（1）獨(dú)立隨機(jī)過程簡(jiǎn)稱獨(dú)立隨機(jī)過程。

首頁（1）獨(dú)立隨機(jī)過程簡(jiǎn)稱獨(dú)立隨機(jī)過程。首頁80（2）獨(dú)立增量隨機(jī)過程是相互獨(dú)立的，首頁（2）獨(dú)立增量隨機(jī)過程是相互獨(dú)立的，首頁81（3）馬爾可夫過程簡(jiǎn)稱馬氏過程。首頁（3）馬爾可夫過程簡(jiǎn)稱馬氏過程。首頁82馬氏過程的特點(diǎn)馬氏性實(shí)質(zhì)上是無后效性，所以也稱馬氏過程為無后效過程。稱這個(gè)特性為馬爾可夫性，簡(jiǎn)稱馬氏性。

首頁馬氏過程的特點(diǎn)馬氏性實(shí)質(zhì)上是無后效性，所以也稱馬氏過程為無后83（4）平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性與馬氏過程不同，它不隨時(shí)間的推移而變化，過程的“過去”可以對(duì)“未來”有不可忽視的影響。返回首頁（4）平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特性與馬氏84第二節(jié)隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一維分布函數(shù)其分布函數(shù)為一維概率密度首頁第二節(jié)隨機(jī)過程的分布及其數(shù)字特征一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)一85二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)二維概率密度首頁二維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)二維概率密度首頁86n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)n維概率密度首頁n維分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)n維概率密度首頁87有限維分布族一維，二維，…，n維分布函數(shù)的全體：易知因此，一個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性可由其有限維分布函數(shù)族表達(dá)出來。首頁有限維分布族一維，二維，…，n維分布函數(shù)的全體：易知88聯(lián)合分布函數(shù)n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程和的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)首頁聯(lián)合分布函數(shù)n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)稱為隨機(jī)過程和的n89相互獨(dú)立n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)則稱隨機(jī)過程相互獨(dú)立首頁相互獨(dú)立n+m維隨機(jī)向量分布函數(shù)則稱隨機(jī)過程90例1袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間從袋中任取一球，取后放回，對(duì)每一個(gè)確定的t對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量試求這個(gè)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)族。分析先求概率密度首頁例1袋中放有一個(gè)白球，兩個(gè)紅球，每隔單位時(shí)間91所以解P首頁所以解P首頁92二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1．均值函數(shù)或稱為數(shù)學(xué)期望說明首頁二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征1．均值函數(shù)或稱為數(shù)學(xué)期望說明首頁932．方差函數(shù)說明均方差函數(shù)首頁2．方差函數(shù)說明均方差函數(shù)首頁943．協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩簡(jiǎn)稱協(xié)方差函數(shù)注首頁3．協(xié)方差函數(shù)二階中心混合矩簡(jiǎn)稱協(xié)方差函數(shù)注首頁954．互協(xié)方差函數(shù)其中首頁4．互協(xié)方差函數(shù)其中首頁965．相關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)注首頁5．相關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)注首頁976．互相關(guān)函數(shù)注則首頁6．互相關(guān)函數(shù)注則首頁987．互不相關(guān)注有則即若首頁7．互不相關(guān)注有則即若首頁99例2解求：（1）均值函數(shù)；（2）協(xié)方差函數(shù)；（3）方差函數(shù)。（1）（2）（3）首頁例2解求：（1）均值函數(shù)；（2）協(xié)方差函數(shù)；（3）方差函數(shù)。100例3解試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。所以首頁例3解試求它們的互協(xié)方差函數(shù)。所以首頁101三、隨機(jī)過程的特征函數(shù)1．一維特征函數(shù)則注首頁三、隨機(jī)過程的特征函數(shù)1．一維特征函數(shù)則注首頁1022．n維特征函數(shù)則3.有限維特征函數(shù)族注返回首頁2．n維特征函數(shù)則3.有限維特征函數(shù)族注返回首頁103第三節(jié)復(fù)隨機(jī)過程一、定義是兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程則稱為復(fù)隨機(jī)過程并稱首頁第三節(jié)復(fù)隨機(jī)過程一、定義是兩個(gè)實(shí)隨機(jī)過程則稱104二、數(shù)字特征1．均值函數(shù)2．自協(xié)方差函數(shù)其中記號(hào)“—”表示“共軛”首頁二、數(shù)字特征1．均值2．自協(xié)方差函數(shù)其中記號(hào)“—”表示“共軛1053．自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4．方差函數(shù)它實(shí)際上等于自協(xié)方差函數(shù)且有首頁3．自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4．方差它實(shí)際上106證由于所以即首頁證由于所以即首頁1075．互協(xié)方差函數(shù)6．互相關(guān)函數(shù)首頁5．互協(xié)方差函數(shù)6．互相關(guān)函數(shù)首頁108自相關(guān)關(guān)系即類似地互相關(guān)關(guān)系首頁自相關(guān)即類似地互相關(guān)首頁109例1已知復(fù)隨機(jī)過程解返回首頁例1已知復(fù)隨機(jī)過程解返回首頁110第四節(jié)幾種重要的隨機(jī)過程簡(jiǎn)介一、獨(dú)立增量過程1．定義隨機(jī)變量的增量是相互獨(dú)立的首頁第四節(jié)幾種重要的隨機(jī)過程簡(jiǎn)介一、獨(dú)立增量過程1．定義隨機(jī)1112．齊次性或稱時(shí)齊的注首頁2．齊次性或稱時(shí)齊的注首頁112例1證的隨機(jī)變量序列，令則首頁例1證的隨機(jī)變量序列，令則首頁113二、泊松過程1．計(jì)數(shù)過程則且滿足：首頁二、泊松過程1．計(jì)數(shù)過程則且滿足：首頁114注如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)立的，則稱計(jì)數(shù)過程有獨(dú)立增量。2．泊松過程滿足若在任一時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)的分布只依賴于時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度，則稱計(jì)數(shù)過程有平穩(wěn)增量。首頁注如果在不相交的時(shí)間區(qū)間中發(fā)生的事件個(gè)數(shù)是獨(dú)115則稱注意從條件（3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且并稱生起率或強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個(gè)數(shù)）首頁則稱注意從條件（3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且并稱生起率或強(qiáng)116說明要確定計(jì)數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個(gè)條件：為此給出一個(gè)與泊松過程等價(jià)的定義滿足首頁說明要確定計(jì)數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足117則稱首頁則稱首頁118例2已知商店上午9：00開門，試求到9：30時(shí)僅到一位顧客，而到11：30時(shí)總計(jì)已達(dá)5位顧客的概率。解設(shè)表示在時(shí)間t時(shí)到達(dá)的顧客數(shù)首頁例2已知商店上午9：00開門，試求到9：30時(shí)僅到一位顧客，1193．到達(dá)時(shí)間間隔和等待時(shí)間的分布定義則稱則稱首頁3．到達(dá)時(shí)間間隔和等待時(shí)間的分布定義則稱則稱首頁120定理1證或首頁定理1證或首頁121那么類似地有（增量的獨(dú)立性）（齊次獨(dú)立增量過程）首頁那么類似地有（增量的獨(dú)立性）（齊次獨(dú)立增量過程）首頁122可見一般地首頁可見一般地首頁123這就證明了到達(dá)時(shí)間間隔序列是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且都具有相同均值為的指數(shù)分布。例3甲、乙兩路公共汽車都通過某一車