線性方程組課件

18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖:

對線性方程組理論進行了一系列研究證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零

19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森:

前者引進了方程組的增廣矩陣的概念后者證明了n個未知數(shù)m個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖:第三章線性方程組§1第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法一.線性方程組的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齊次線性方程組(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齊次線性方程組(nonhomogeneous~)第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法2第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法設(shè)A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),

則解集(solutionset),

同解(havingthesamesetofsolutions)

vectorofunknownsvectorofconstants第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法3§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為(3.1)的系數(shù)矩陣

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm為(3.1)的增廣矩陣

第三章線性方程組(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a114§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21對換變換(swapping)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)

階梯形方程組(echelonform)

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消5§3.1線性方程組和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0階梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最簡形(reducedechelonform)

或?qū)懗上蛄啃问接纱丝傻迷匠探M的通解(generalsolution)

x=5c+12c2c

,其中c為任意數(shù).第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法x16§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的初等變換

第三章線性方程組

對換變換(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)注:倍乘變換必須用非零的數(shù)去乘某一個方程(multiplyingbya

nonzeroscalar).§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的7§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方程組的有三中基本類型.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第三章線性方程組例如:leadingvariablesfreevariables§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方8§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀與線性方程組的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0無解有唯一解有無數(shù)解2

3

11

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的數(shù)目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀9§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設(shè)有線性方程組問為何值時,此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時求其通解.解:對其增廣矩陣[A,b]作初等行變換,化為階梯形.第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設(shè)有線性方10§3.1線性方程組和Gauss消元法1+

11011+13111+

[A,b]=111+

11+131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1+111§3.1線性方程組和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)當(dāng)0且3時,方程組有唯一解;(2)當(dāng)

=0時,方程組無解;(3)當(dāng)

=3時,方程組有無窮多解.此時111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1112§3.1線性方程組和Gauss消元法101

101120000令x3=c,則x1x2x3(c為任意實數(shù)).1

11=c120+由此可得原方程組的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程組化為x1

x3=1x2

x3

=

2第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1013§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊次線性方程組齊次線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(3.2)零/平凡解(trivialsolution),非零/平凡解(non-~)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1

+x2

+…+xn

=0§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊14§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線性方程組有非零解的條件

定理3.1.Amnx=0有非零解r(A)<n.例2.當(dāng)

=______時,齊次線性方程組推論3.1.m<n

Amnx=0有非零解.推論3.2.Annx=0有非零解|A|=0.有非零解?x1+

x2+x3

=0x1+x2+x3=0

x1+x2

+

x3=01或2§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線15§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線性方程組的解的性質(zhì)

A

=0A(k)=k(A)=0.性質(zhì)1.若,都是Ax=0的解向量,則+也是Ax=0的解向量.A

=0,A

=0A(+)=A+A=0.性質(zhì)2.若是Ax=0的解向量,kR,則k也是Ax=0的解向量.綜上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,則k1

+k2也是Ax=0的解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線16§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={Rn|A

=0}Ax=0的解集構(gòu)成一個向量空間——Ax=0的解空間.三.基礎(chǔ)解系

齊次線性方程組Ax=0的解空間的基稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.若1,2,…,s是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系,則Ax=0的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks為常數(shù).結(jié)構(gòu)式通解(spaceofsolutions)§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={17§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.18§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=19§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.20§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.21§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方程組Amn

x=0的一般步驟A初等行變換行階梯形秩(A)<n?行最簡形

解最簡方程只有零解N初等行變換Y§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方22§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的基礎(chǔ)解系與通解.解:初等行變換該方程組的基礎(chǔ)解系可取為通解為§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的23§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次取則于是得基礎(chǔ)解系通解容易驗證1,2與1,2等價.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次24§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=0的基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)向量組也是Ax=0的基礎(chǔ)解系.定理3.3.若ARmn,秩(A)=

r,則Ax=0的任意

nr個線性無關(guān)的解向量都是Ax=0的基礎(chǔ)解系.例4.證明:(1)Ax=0與(ATA)x=0同解;(2)秩(ATA)=秩(A).§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=25§3.3非齊次線性方程組第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組一.非齊次線性方程組的相容性

定理3.4.設(shè)ARmn,bRm,則(3)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)<n時,Ax=b有無窮多解,且通解中含有n秩(A)

個自由未知量.(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);(2)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)=n時,Ax=b有唯一解;§3.3非齊次線性方程組第三章線性方程組§3.326第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組二.非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

1.齊次線性方程組Ax

=0

稱為非齊次線性方程組Ax

=b

的導(dǎo)出組.性質(zhì)1.設(shè)1,2都是Ax

=b的解,則1–2是

Ax

=0

的解.性質(zhì)2.是Ax

=b的解,是Ax

=0

的解,則

+是Ax

=b的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組二.非齊27第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組定理3.5.*——是Ax

=b的一個解1,…,nr——Ax

=0

的基礎(chǔ)解系A(chǔ)x

=b的結(jié)構(gòu)式通解為x=k11

+…+knrnr

+*.特解

(particularsolution)(unrestrictedcombination)第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組定理3.528第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組3.解非齊次線性方程組Amnx=b的一般步驟[Ab]初等行變換行階梯形秩(A)=秩([Ab])?行最簡形

解最簡方程無解N初等行變換Y第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組3.解非29第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組解:初等行變換可見原方程組有解,且例5.求方程組的通解.第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組解:初等行30第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組由此可得原方程組的結(jié)構(gòu)式通解可見原方程組有解,且第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組由此可得原31《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種。該書系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就。它在數(shù)學(xué)上還有其獨到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題。該書經(jīng)多次增補,成書時間已不可考,但據(jù)估算最遲在公元一世紀(jì)已有了現(xiàn)傳本。許多人曾為它作過注釋，其中不乏歷史上的數(shù)學(xué)名人，最著名的有劉徽(公元263年)、李淳風(fēng)(公元656年)等人。共九章:方田,粟米,衰分,少廣,商功,均輸,盈不足,方程,勾股《九章算術(shù)》是中國古代問題，也首先記錄了盈不足等問題。共九章32Born:31March1730inNemours,France

Died:27Sept1783in

Basses-Loges(nearFontainbleau),FranceétienneBézout

Born:31March1730inNemours33Born:31July1704inGeneva,SwitzerlandDied:4Jan1752inBagnols-sur-Ceze,FranceGabrielCramerBorn:31July1704inGeneva,34CharlesLutwidge

Dodgson

Born:27Jan1832inDaresbury,England

Died:14Jan1898inGuilford,England

CharlesLutwidgeDodgsonBorn:35GottfriedWilhelmvonLeibnizBorn:1July1646inLeipzig,Saxony(nowGermany)Died:14Nov1716inHannover,Hanover(nowGermany)GottfriedWilhelmvonLeibniz36ColinMaclaurinBorn:Feb1698inKilmodan(12kmNofTighnabruaich),Cowal,Argyllshire,ScotlandDied:14June1746inEdinburgh,ScotlandColinMaclaurinBorn:Feb169837HenryJohnStephenSmith

Born:2Nov1826inDublin,Ireland

Died:9Feb1883inOxford,England

HenryJohnStephenSmithBorn:3818世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖:

對線性方程組理論進行了一系列研究證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零

19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森:

前者引進了方程組的增廣矩陣的概念后者證明了n個未知數(shù)m個方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家貝祖:第三章線性方程組§39第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法一.線性方程組的概念一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)齊次線性方程組(homogeneous~)(systemoflinearequations)解(tosolve,solution)相容(consistent)非齊次線性方程組(nonhomogeneous~)第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法40第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法設(shè)A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmAx=b.x=x1x2…xn,解向量(solutionvector),

則解集(solutionset),

同解(havingthesamesetofsolutions)

vectorofunknownsvectorofconstants第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法41§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為(3.1)的系數(shù)矩陣

[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm為(3.1)的增廣矩陣

第三章線性方程組(coefficientmatrix),(augmentedmatrix).§3.1線性方程組和Gauss消元法稱A=a1142§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消元法(Gauss’method)

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21對換變換(swapping)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)

階梯形方程組(echelonform)

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法二.Gauss消43§3.1線性方程組和Gauss消元法x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0階梯形(echelonform)(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最簡形(reducedechelonform)

或?qū)懗上蛄啃问接纱丝傻迷匠探M的通解(generalsolution)

x=5c+12c2c

,其中c為任意數(shù).第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法x144§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的初等變換

第三章線性方程組

對換變換(swapping)(elementaryreductionoperations/rowoperations/Gaussianoperations)

倍乘變換(rescaling)

倍加變換(pivoting)注:倍乘變換必須用非零的數(shù)去乘某一個方程(multiplyingbya

nonzeroscalar).§3.1線性方程組和Gauss消元法1.線性方程組的45§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方程組的有三中基本類型.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第三章線性方程組例如:leadingvariablesfreevariables§3.1線性方程組和Gauss消元法2.階梯形線性方46§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀與線性方程組的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0無解有唯一解有無數(shù)解2

3

11

021

200012

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的數(shù)目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法3.階梯陣的形狀47§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設(shè)有線性方程組問為何值時,此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時求其通解.解:對其增廣矩陣[A,b]作初等行變換,化為階梯形.第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法例1.設(shè)有線性方48§3.1線性方程組和Gauss消元法1+

11011+13111+

[A,b]=111+

11+131+

110(1)111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1+149§3.1線性方程組和Gauss消元法111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)當(dāng)0且3時,方程組有唯一解;(2)當(dāng)

=0時,方程組無解;(3)當(dāng)

=3時,方程組有無窮多解.此時111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1150§3.1線性方程組和Gauss消元法101

101120000令x3=c,則x1x2x3(c為任意實數(shù)).1

11=c120+由此可得原方程組的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程組化為x1

x3=1x2

x3

=

2第三章線性方程組§3.1線性方程組和Gauss消元法1051§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊次線性方程組齊次線性方程組a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(3.2)零/平凡解(trivialsolution),非零/平凡解(non-~)a11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amnx1

+x2

+…+xn

=0§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組§3.2齊52§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線性方程組有非零解的條件

定理3.1.Amnx=0有非零解r(A)<n.例2.當(dāng)

=______時,齊次線性方程組推論3.1.m<n

Amnx=0有非零解.推論3.2.Annx=0有非零解|A|=0.有非零解?x1+

x2+x3

=0x1+x2+x3=0

x1+x2

+

x3=01或2§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組一.齊次線53§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線性方程組的解的性質(zhì)

A

=0A(k)=k(A)=0.性質(zhì)1.若,都是Ax=0的解向量,則+也是Ax=0的解向量.A

=0,A

=0A(+)=A+A=0.性質(zhì)2.若是Ax=0的解向量,kR,則k也是Ax=0的解向量.綜上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,則k1

+k2也是Ax=0的解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組二.齊次線54§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={Rn|A

=0}Ax=0的解集構(gòu)成一個向量空間——Ax=0的解空間.三.基礎(chǔ)解系

齊次線性方程組Ax=0的解空間的基稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.若1,2,…,s是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系,則Ax=0的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,ks為常數(shù).結(jié)構(gòu)式通解(spaceofsolutions)§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組V={55§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.56§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組=57§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.58§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=0沒有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=0確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組定理3.2.59§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方程組Amn

x=0的一般步驟A初等行變換行階梯形秩(A)<n?行最簡形

解最簡方程只有零解N初等行變換Y§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組解齊次線性方60§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的基礎(chǔ)解系與通解.解:初等行變換該方程組的基礎(chǔ)解系可取為通解為§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組例3.求的61§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次取則于是得基礎(chǔ)解系通解容易驗證1,2與1,2等價.§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組注:若依次62§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=0的基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)向量組也是Ax=0的基礎(chǔ)解系.定理3.3.若ARmn,秩(A)=

r,則Ax=0的任意

nr個線性無關(guān)的解向量都是Ax=0的基礎(chǔ)解系.例4.證明:(1)Ax=0與(ATA)x=0同解;(2)秩(ATA)=秩(A).§3.2齊次線性方程組第三章線性方程組與Ax=63§3.3非齊次線性方程組第三章線性方程組§3.3非齊次線性方程組一.非齊次線性方程組的相容性

定理3.4.設(shè)ARmn,bRm,則(3)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)<n時,Ax=b有無窮多解,且通解中含有n秩(A)

個自由未知量.