數(shù)學分析第三章-函數(shù)極限課件

§1函數(shù)極限概念第三章函數(shù)極限§1函數(shù)極限概念第三章函數(shù)極限1一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件3數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件4數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件5定義１設(shè)

為定義在上的函數(shù)，Ａ為定數(shù)。若對任給的,存在正數(shù)Ｍ

,使得當時有

則稱函數(shù)當時以Ａ為極限。記作.

定義１設(shè)為定義在上的函數(shù)，Ａ為定數(shù)。若對任給的,存在正數(shù)Ｍ6幾點注記而不僅僅是某些表示比Ｍ大的所有實數(shù),(1)正整數(shù)n。的鄰域描述：當時，(3)(2)的幾何意義：對中心線，以為寬的帶形區(qū)域;，就有以Ａ為的右方，曲線全部落在這個帶形區(qū)域內(nèi)。在直線幾點注記而不僅僅是某些表示比Ｍ大的所有實數(shù),(1)正整數(shù)7數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件82.另兩種情形:

2.另兩種情形:93.幾何解釋:3.幾何解釋:10例1例111證例2證例212證左半部分成立，只考察右半部分x的范圍，，則有：分析證左半部分成立，只考察右半部分x的范圍，13二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限14數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件15時函數(shù)極限的定義

1定義２設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，Ａ為定數(shù)，若對，當時，有則稱函數(shù)當

（或稱Ａ為時的極限），記作:

時以Ａ為極限趨于時函數(shù)極限的定義1定義２設(shè)函數(shù)在點的某個16數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件172.幾何解釋:注意：2.幾何解釋:注意：18例3例319證例4證例420證例5證明

證例5證明21.例6.例622證證23幾點注釋1定義中的相當于數(shù)列極限中的，它與有關(guān)，但不是唯一確定。2定義中只考慮在空心鄰域內(nèi)有定義的情形，一般不考慮函數(shù)在有無定義。3以上的定義可以用鄰域的形式簡單給出。幾點注釋1定義中的相當于數(shù)列極限中的24三.單側(cè)極限:例如,三.單側(cè)極限:例如,25數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件26左極限

右極限左極限右極限27例6例628證左右極限存在但不相等,例7討論函數(shù)在處的單側(cè)極限。證左右極限存在但不相等,例7討論函數(shù)在處的單側(cè)極限。29數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件30作業(yè)P471(3)(4);3;4;6(3);8作業(yè)P471(3)(4);3;4;6(3);831§２函數(shù)極限的性質(zhì)教學目的：使學生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。教學要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一

性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等?！欤埠瘮?shù)極限的性質(zhì)教學目的：使學生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。32六種極限

六種極限33一函數(shù)極限的性質(zhì)

2.局部有界性1.唯一性一函數(shù)極限的性質(zhì)2.局部有界性1.唯一性34推論3.局部保號性

；推論3.局部保號性；354.局部保不等性定理3.54.局部保不等性定理3.536本定理既給出了判別函數(shù)極限存在的方法；又提供了一個計算函數(shù)極限的方法。5.逼斂性定理3.5本定理既給出了判別函數(shù)極限存在的方法；又提供了一個計算函數(shù)極376、極限運算法則

6、極限運算法則38二、求極限方法舉例

例5求二、求極限方法舉例例5求39數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件40例3求例3求41解(消去零因子法).例4證明解(消去零因子法).例4證明42數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件43數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件44解左右極限存在且相等,解左右極限存在且相等,45作業(yè)P511(3)(5)(8),2(2),5,7

作業(yè)P511(3)(5)(8),2(2),5,746

§３函數(shù)極限存在的條件教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，其實質(zhì)以及證明的基本思路?！欤澈瘮?shù)極限存在的條件教學目的：理解并運用海涅定理與柯西47定理3.8注：本定理有如下幾點注釋：

1本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的存在性。

2本定理通常用來證明函數(shù)極限的不存在性。一、歸結(jié)原則(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(海涅定理))1海涅(Heine)定理定理3.8注：本定理有如下幾點注釋：一、歸結(jié)原則(函數(shù)極限48證明:(必要性)

證明:(必要性)49數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件50例如,例如,51注１

這個定理把函數(shù)

的極限歸結(jié)為數(shù)列

的極限問題來討論，所以稱之為“歸結(jié)原則”。由此，可由數(shù)列極限的性質(zhì)來推斷函數(shù)極限性質(zhì)。注１這個定理把函數(shù)的極限歸結(jié)為數(shù)列的極限問題來討論，所52不存在注２．從Heine定理可以得到一個說明的方法，即(1)“若可找到一個數(shù)列

，使得不存在；”或(2)“找到兩個都以為極限的數(shù)列，使都存在但不相等，則不存在。，不存在注２．從Heine定理可以得到一個說明的方法，即(1)53例1例154二者不相等,證二者不相等,證552其它類型極限的歸結(jié)原則(單調(diào)有界準則)：以上4種極限有相互對應的單調(diào)有界準則。2其它類型極限的歸結(jié)原則(單調(diào)有界準則)：以上4種極限有相互56數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件57注：定理３.10可更具體地敘述如下：為定義在上的函數(shù)，若（１）在上遞增有下界，則存在，且；（２）在有上界，則存在，且

上遞減注：定理３.10可更具體地敘述如下：為定義在上的函數(shù)，若（１58二Cauchy收斂準則：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義。存在的充要條件為：收斂函數(shù)的函數(shù)值在幾乎“擠”在了一起。通常用Cauchy收斂準則證明函數(shù)的極限不存在。1定理3.11

二Cauchy收斂準則：設(shè)函數(shù)在59數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件60數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件61注：按照Cauchy準則，可以寫出不存在的充要條件：存在，對任意，存在使得.注：按照Cauchy準則，可以寫出不存在的充要條件：存在，對62數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件63作業(yè)P551,3(1),4綜上所述：Heine定理和Cauchy準則是說明極限不存在的很方便的工具。作業(yè)P551,3(1),4綜上所述：Heine定理和64§４兩個重要極限教學目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應用。教學要求：掌握兩個重要極限，牢記結(jié)論；掌握證明的基本思路和方法，并能靈活運用?！欤磧蓚€重要極限教學目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應用。65一一66數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件67例1

例168解解69數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件70數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件71數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件72數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件73例4例474例5解例5解75解解76數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件77三、小結(jié)

1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調(diào)有界準則

.三、小結(jié)1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調(diào)有界78作業(yè)P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(1)作業(yè)P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(79§５無窮小量和無窮大量教學目的：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會利用它們求某些函數(shù)的極限。教學要求：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限?！欤禑o窮小量和無窮大量教學目的：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的80一、無窮小量

一、無窮小量81例如,注5:無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;例如,注5:無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;822.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:83意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):

兩個(或有限個)無窮小量（相同類型的）之和、差、積仍為無窮小量。

意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮84注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.85(2)有界量與無窮小的乘積是無窮小.(2)有界量與無窮小的乘積是無窮小.86證證87結(jié)論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.結(jié)論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.結(jié)論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小結(jié)論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的結(jié)論2常數(shù)88二、無窮小量階的比較

例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.二、無窮小量階的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“89定義:

定義:90數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件91數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件92例1

例193例2解例2解94解解95常用等價無窮小:

常用等價無窮小:96數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件97(4)等價無窮小替換定理(4)等價無窮小替換定理98例3

例399解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意例4

解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.100解解錯解解錯101三、無窮大

絕對值無限增大的變量稱為無窮大.1．非正常極限三、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.1．非正常極限102數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件1032．無窮大量的定義

定義３．對于自變量的某種趨向（或所有以（包括數(shù)列），都稱為無窮大量。），為非正常極限的函數(shù)1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;2.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.注意2．無窮大量的定義定義３．對于自變量的某種趨向（或所有以（104不是無窮大．無界，不是無窮大．無界，105數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件106數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件107證證108數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件1093、無窮小與無窮大的關(guān)系

意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.3、無窮小與無窮大的關(guān)系意義關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為110證證111數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件112四、曲線的漸近線1．曲線的漸近線定義定義４若曲線Ｃ上的動點沿著曲線無限地遠離原點時，點與某直線Ｌ的距離趨于零，則稱直線Ｌ為曲線Ｃ的漸近線。四、曲線的漸近線1．曲線的漸近線定義定義４若曲線Ｃ上的動點113數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件1142.曲線的漸近線何時存在？存在時如何求出其方程?

假設(shè)曲線有斜漸近線，曲線上到漸近線的距離為

（１）斜漸近線動點依漸近線定義，當時（類似），，即有，——③或2.曲線的漸近線何時存在？存在時如何求出其方程?假設(shè)曲線有115又由—④又由—④116由上面的討論知，若曲線有斜漸近線，則常數(shù)與反之，若由④和③求得與，則可知（），從而為曲線的漸近線?？上嗬^由④和③式求出；由上面的討論知，若曲線有斜漸近線，則常數(shù)與反之，若由④和③求117（２）垂直漸近線若函數(shù)滿足），則按漸近線定義可知有垂直于x軸的漸近線，稱為垂直漸近線。（２）垂直漸近線若函數(shù)滿足），則按漸近線定義可知有垂直于x軸118數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件119數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件120五、小結(jié)

幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）

無窮?。?/p>

大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）

無界變量未必是無窮大.作業(yè)

P661(3)(4),2(2),4(3),5(4),6(1)五、小結(jié)幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）121

§1函數(shù)極限概念第三章函數(shù)極限§1函數(shù)極限概念第三章函數(shù)極限122一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限123數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件124數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件125數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件126定義１設(shè)

為定義在上的函數(shù)，Ａ為定數(shù)。若對任給的,存在正數(shù)Ｍ

,使得當時有

則稱函數(shù)當時以Ａ為極限。記作.

定義１設(shè)為定義在上的函數(shù)，Ａ為定數(shù)。若對任給的,存在正數(shù)Ｍ127幾點注記而不僅僅是某些表示比Ｍ大的所有實數(shù),(1)正整數(shù)n。的鄰域描述：當時，(3)(2)的幾何意義：對中心線，以為寬的帶形區(qū)域;，就有以Ａ為的右方，曲線全部落在這個帶形區(qū)域內(nèi)。在直線幾點注記而不僅僅是某些表示比Ｍ大的所有實數(shù),(1)正整數(shù)128數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件1292.另兩種情形:

2.另兩種情形:1303.幾何解釋:3.幾何解釋:131例1例1132證例2證例2133證左半部分成立，只考察右半部分x的范圍，，則有：分析證左半部分成立，只考察右半部分x的范圍，134二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限135數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件136時函數(shù)極限的定義

1定義２設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，Ａ為定數(shù)，若對，當時，有則稱函數(shù)當

（或稱Ａ為時的極限），記作:

時以Ａ為極限趨于時函數(shù)極限的定義1定義２設(shè)函數(shù)在點的某個137數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件1382.幾何解釋:注意：2.幾何解釋:注意：139例3例3140證例4證例4141證例5證明

證例5證明142.例6.例6143證證144幾點注釋1定義中的相當于數(shù)列極限中的，它與有關(guān)，但不是唯一確定。2定義中只考慮在空心鄰域內(nèi)有定義的情形，一般不考慮函數(shù)在有無定義。3以上的定義可以用鄰域的形式簡單給出。幾點注釋1定義中的相當于數(shù)列極限中的145三.單側(cè)極限:例如,三.單側(cè)極限:例如,146數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件147左極限

右極限左極限右極限148例6例6149證左右極限存在但不相等,例7討論函數(shù)在處的單側(cè)極限。證左右極限存在但不相等,例7討論函數(shù)在處的單側(cè)極限。150數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件151作業(yè)P471(3)(4);3;4;6(3);8作業(yè)P471(3)(4);3;4;6(3);8152§２函數(shù)極限的性質(zhì)教學目的：使學生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。教學要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一

性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等?！欤埠瘮?shù)極限的性質(zhì)教學目的：使學生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。153六種極限

六種極限154一函數(shù)極限的性質(zhì)

2.局部有界性1.唯一性一函數(shù)極限的性質(zhì)2.局部有界性1.唯一性155推論3.局部保號性

；推論3.局部保號性；1564.局部保不等性定理3.54.局部保不等性定理3.5157本定理既給出了判別函數(shù)極限存在的方法；又提供了一個計算函數(shù)極限的方法。5.逼斂性定理3.5本定理既給出了判別函數(shù)極限存在的方法；又提供了一個計算函數(shù)極1586、極限運算法則

6、極限運算法則159二、求極限方法舉例

例5求二、求極限方法舉例例5求160數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件161例3求例3求162解(消去零因子法).例4證明解(消去零因子法).例4證明163數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件164數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件165解左右極限存在且相等,解左右極限存在且相等,166作業(yè)P511(3)(5)(8),2(2),5,7

作業(yè)P511(3)(5)(8),2(2),5,7167

§３函數(shù)極限存在的條件教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，其實質(zhì)以及證明的基本思路?！欤澈瘮?shù)極限存在的條件教學目的：理解并運用海涅定理與柯西168定理3.8注：本定理有如下幾點注釋：

1本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的存在性。

2本定理通常用來證明函數(shù)極限的不存在性。一、歸結(jié)原則(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(海涅定理))1海涅(Heine)定理定理3.8注：本定理有如下幾點注釋：一、歸結(jié)原則(函數(shù)極限169證明:(必要性)

證明:(必要性)170數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件171例如,例如,172注１

這個定理把函數(shù)

的極限歸結(jié)為數(shù)列

的極限問題來討論，所以稱之為“歸結(jié)原則”。由此，可由數(shù)列極限的性質(zhì)來推斷函數(shù)極限性質(zhì)。注１這個定理把函數(shù)的極限歸結(jié)為數(shù)列的極限問題來討論，所173不存在注２．從Heine定理可以得到一個說明的方法，即(1)“若可找到一個數(shù)列

，使得不存在；”或(2)“找到兩個都以為極限的數(shù)列，使都存在但不相等，則不存在。，不存在注２．從Heine定理可以得到一個說明的方法，即(1)174例1例1175二者不相等,證二者不相等,證1762其它類型極限的歸結(jié)原則(單調(diào)有界準則)：以上4種極限有相互對應的單調(diào)有界準則。2其它類型極限的歸結(jié)原則(單調(diào)有界準則)：以上4種極限有相互177數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件178注：定理３.10可更具體地敘述如下：為定義在上的函數(shù)，若（１）在上遞增有下界，則存在，且；（２）在有上界，則存在，且

上遞減注：定理３.10可更具體地敘述如下：為定義在上的函數(shù)，若（１179二Cauchy收斂準則：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義。存在的充要條件為：收斂函數(shù)的函數(shù)值在幾乎“擠”在了一起。通常用Cauchy收斂準則證明函數(shù)的極限不存在。1定理3.11

二Cauchy收斂準則：設(shè)函數(shù)在180數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件181數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件182注：按照Cauchy準則，可以寫出不存在的充要條件：存在，對任意，存在使得.注：按照Cauchy準則，可以寫出不存在的充要條件：存在，對183數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件184作業(yè)P551,3(1),4綜上所述：Heine定理和Cauchy準則是說明極限不存在的很方便的工具。作業(yè)P551,3(1),4綜上所述：Heine定理和185§４兩個重要極限教學目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應用。教學要求：掌握兩個重要極限，牢記結(jié)論；掌握證明的基本思路和方法，并能靈活運用?！欤磧蓚€重要極限教學目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應用。186一一187數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件188例1

例1189解解190數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件191數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件192數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件193數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件194例4例4195例5解例5解196解解197數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件198三、小結(jié)

1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調(diào)有界準則

.三、小結(jié)1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調(diào)有界199作業(yè)P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(1)作業(yè)P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(200§５無窮小量和無窮大量教學目的：理解無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會利用它們求某些函數(shù)的極限。教學要求：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限?！欤禑o窮小量和無窮大量教學目的：理解無窮小（大）量及其階的201一、無窮小量

一、無窮小量202例如,注5:無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;例如,注5:無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2032.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:204意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):

兩個(或有限個)無窮小量（相同類型的）之和、差、積仍為無窮小量。

意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮205注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.206(2)有界量與無窮小的乘積是無窮小.(2)有界量與無窮小的乘積是無窮小.207證證208結(jié)論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.結(jié)論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.結(jié)論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小結(jié)論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的結(jié)論2常數(shù)209二、無窮小量階的比較

例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.二、無窮小量階的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“210定義:

定義:211數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件212數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件213例1

例1214例2解例2解215解解216常用等價無窮小:

常用等價無窮小:217數(shù)學分析第三章--函數(shù)極限課件218(4)等價無窮小替換定理(4)等價無窮小替換定理219例3

例3220解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意例4

解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.221解解錯解解錯222三、無窮大

絕對值無限增大的變量稱為無窮大.1．非正常極限三、無窮大絕對值無限增大的變量