第1講幾何專題班教師版

教學(xué)目標(biāo)掌握五大模型的特征，會(huì)從復(fù)雜圖形中找出基本模型.靈活運(yùn)用五大模型求直線型圖形的面積和線段長度.教學(xué)隨筆本講主要掌握五大模型的特點(diǎn)，并會(huì)從各種復(fù)雜圖形中找出基本模型，有的題目不僅僅只包含一種模型，建議老師根據(jù)學(xué)生找到的模型，引導(dǎo)學(xué)生解題，還有不包含基本模型的就是我們第二講所要介紹的方法技巧.本講題目基本上是按所講模型順序設(shè)計(jì)的，可能和老師的觀點(diǎn)不統(tǒng)一，教師再講課時(shí)可以靈活分類經(jīng)典精講一、等積變換模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比;ABabCD如左圖S:S=a:b夾在一站平有線之間的等積變形，如右上圖S”=Sg；反之，如果5命=S『，則可知直線AB平行于CD"?正方形的面積等于對(duì)角線長度平方的一半；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；二、鳥頭定理（共角定理）模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比如圖在△ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖（1）（或D在BA的延長線上，E在AC上），則S冬abc:S冬ade=（ABxAC）:（ADxAE）推理過程連接BE，再利用等積變換模型即可三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理"）:①S::S=S::S或者SxS=SxS②AO::OC=（S+S）:（S+S）124313241243蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系.梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）:S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；梯形S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+b）2.四、相似模型相似三角形性質(zhì):O（金字塔模型）（沙漏模型）五、燕尾定理模型,（金字塔模型）（沙漏模型）五、燕尾定理模型ABACBCAG②S:S=AF2：AG2.所謂△的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；BECSAABG:SAAGC=SABGE:SAEGC=BE:EC；S^BGA:S4BGC=SAAGF:SAFGC=AF:FC；SAAGC:SMCG=S△ADG:SADGB=AD:^^B:BEC【例1】（第3屆華杯賽試題）一個(gè)長方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積是長方形面積的0.15倍，黃色三角形的面積是21平方厘米.問：長方形的面積平方厘米.【例2】【例3】【例4】（2007年六年級(jí)希望杯二試試題）如圖，三角形田地中有兩條小路AE和CF，交叉處為。，張大伯常走這兩條小路，他知道DF=DC,且AD=2DE.則兩塊地ACF和CFB的面積比是

［鞏固］兩條線段把三角形分為三個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖所示，三個(gè)三角形的面積分別是3,7,7,則陰影四邊形的面積是多少？［分析］方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點(diǎn)標(biāo)注字母，方便后面的計(jì)算.再看這道題，出現(xiàn)兩個(gè)面積相等且共底的三角形。設(shè)三角形為ABC,BE和CD交于F，則BF=FE,再連結(jié)DE。所以三角形DEF的面積為3.設(shè)三角形ADE的面積為x，則x（3+3）=AD:DB=（x+10）:10，所以x=15，四邊形的面積為18。方法二：連接AF，用燕尾定理解［拓展］如圖，已知長方形ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3,三角形ACF的面積是4,那么三角形ABC的面積是多少？CDBEAFCDBEAF■/ADEF是長方形【例5CDBEAFCDBEAF4|幾何專題班?第1講?教師版如圖.將三角形ABC的AB邊延長1倍到D,BC邊延長2倍到E，CA邊延長3倍到F.如果三4|幾何專題班?第1講?教師版［拓展］如圖，在^ABC中，延長AB至D，使BD=AB,延長BC至E，使CE=-BC,F是AC的中點(diǎn)，2若^ABC的面積是2，則ADEF的面積是多少？【例6】如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O,若AAOM、AABO和ABON的面積分別是3、2、1，則AMNC的面積是.［鋪墊］四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O（如圖所示）.如果?1角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的3，且AO=2，DO=3，那么CO的長度是DO的長度的倍.【例7】如右圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，AABC由這6部分組成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么AABC的面積是多少平方厘米？【例8】如右圖，長方形ABCD中，EF=16，F(xiàn)G=9，求AG的長.DA、GAABDDCECDAAGPBDBCDE,,,AGE//NF―\B6|幾何專題班?第1講?教師版BDEFCBDEFCF”一一OMCEC【例10】如右圖，三角形ABC中,BD:DC=4:9,CE:EA=4:3,求AF:FB.【例11】M［鋪墊］圖中四邊形ABCD是邊長為12cm的正方形，從G到正方形頂點(diǎn)C、D連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在AB上截得的EF長度為4cm，那么三角形GDC的面積是多少？G是AC的中點(diǎn)，D、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn)，AD與BG交于已知△ABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，則△ABC［拓展］如圖，三角形ABC的面積是1，BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，請(qǐng)寫出這9部分的面積口B各是多少？【例9】如圖，長方形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，AF與BE、BD分別交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG.如右圖，△ABC中AF與BG交于N,的面積是多少平方厘米?AG1【例10】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE=2BE，CF=2DF，連接BF，DE，相交于點(diǎn)G，過G作MN，PQ得到兩個(gè)正方形MGQA和正方形PCNG，設(shè)正方形MGQA的面積為5，正方形PCNG的面積為S，則S1：S2=n0□附加題2QADFMNQDFMN【例1】如下圖，在梯形ABCD中,【例2】如右圖面積為1的三角形ABC中，D、點(diǎn)，求陰影部分面積.G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分AEHNFFGGDIDIHHQCGBFGC（上圖中中心六邊形的面積）7I幾何專題班?第1【例1】如下圖，在梯形ABCD中,【例2】如右圖面積為1的三角形ABC中，D、點(diǎn)，求陰影部分面積.G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分AEHNFFGGDIDIHHQCGBFGC（上圖中中心六邊形的面積）7I幾何專題班?第1講?教師版CE是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么1.如圖，正方形ABCD的邊長為6,［拓展］如圖，CE是BC邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G是AC邊的三等分點(diǎn)，那么1.如圖，正方形ABCD的邊長為6,［分析］家庭作業(yè)AE=1.5,CF=2.長方形EFGH的面積為【分析】連接DE,DF,則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍.三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積.5622624刷以長方形EFGH面積為33【分析】本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)融合到一起，既可以看作是“當(dāng)兩個(gè)三角形這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的3種情況.最后求得Safgs的面積為.43211S=xxxx

△fgs543221.103.如圖，在長方形ABCD中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB，求陰影部分的面積.BC三角形DEF【分析】本題題目本身很簡單，但它把本講的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)融合到一起，既可以看作是“當(dāng)兩個(gè)三角形這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的3種情況.最后求得Safgs的面積為.43211S=xxxx

△fgs543221.103.如圖，在長方形ABCD中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB，求陰影部分的面積.，，.3SDE=Sad=2，所以SDEO=4x2=1.5，陰影部分的面積為2+1.5=3.5.4.如右圖，已知BD=DC,EC=2AE，三角形ABC的面積是30,求陰影部分面積.【分析】連接CF,因?yàn)锽D=DC，EC=2AE，三角形ABC的面積是30，ATOC\o"1-5"\h\z3一由于EF:DC1:3根據(jù)梯形蝴蝶定理，S*Sefo=3:1,所以SdeM4SD,而所以SMBE=3以BC=10，SAABD=2七BC=15.SAE1SBD,根據(jù)燕尾定理，AABF==—，UABF==1,ScbfEC2S^C^CD所以Sabf=4S^bc=