第3章 剛體力學(xué)

第三章剛體力學(xué)3.0引從定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能說起：先看怎樣求定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能：對于剛體內(nèi)任一點P，其動能為i11E——mv2—m(mxr)22TOC\o"1-5"\h\zii2i i11——m?2r2sin20——m?2p22ii i2i i其中P為各點到轉(zhuǎn)軸的距離(注意，這里P不是代表各點的位矢的大小r)。i i i對于整個剛體，其動能為E—工—m?2p22iimp2)?2mp2)?2ii1——I?22其中I—Ymp2，稱為轉(zhuǎn)動慣量。ii與平動對比：將剛才所求的轉(zhuǎn)動動能公式與平動動能公式對比刀1E——mv2

2E—1I?2

2可見只要將I換成m，二者形式完全一樣。受此啟發(fā)，做理論系統(tǒng)的對比：mFvJ

MtE——J

MtE——I?22轉(zhuǎn)動定理PFt口1E——mv2

2牛頓定律于是我們認(rèn)識到：丄“平動質(zhì)量”=“平動慣量”；“轉(zhuǎn)動慣量”=“轉(zhuǎn)動質(zhì)量。

丄“力矩M”=“轉(zhuǎn)動力”:“角速度”=“轉(zhuǎn)動速度。丄“角動量”=“轉(zhuǎn)動動量。丄“轉(zhuǎn)動定理”=“轉(zhuǎn)動的牛頓定律”動量定理的微分形式:角動量定理的微分形式:動量定理的積分形式:角動量定理的積分形式:動能定理的微分形式:轉(zhuǎn)動動能定理的微分形式:動能定理的積分形式:轉(zhuǎn)動動能定理的積分形式:剛體運動的分析轉(zhuǎn)動動能定理的積分形式:1、剛體定義：剛體是一類特別的質(zhì)點系，其中任何兩個質(zhì)點間的距離，恒定不變(哪怕受到力的作用)。描述剛體位置的獨立變量：獨立變量又稱為自由度。確定一個質(zhì)點在空間的位置，需3個獨立變量。如x,y,z；或r,0,申。確定n個質(zhì)點組成的剛體在空間的位置，似乎需3n個獨立變量。其實不然，因為剛體定義為其內(nèi)任何兩個質(zhì)點的距離恒定不變，因此每兩個質(zhì)點間有一個約束(可設(shè)想為一根不計質(zhì)量的剛桿)。不妨設(shè)想n個質(zhì)點組成一空間桁架：先用3根剛桿環(huán)連3個質(zhì)點。以后每增加1個質(zhì)點需3根剛桿，故所需剛桿總數(shù)為3+(n-3)x3=3n-6。再由“自由度=3n-獨立約束數(shù)”得：3n-(3n-6)=6。還可以把一般的剛體的機械運動看作是平動與轉(zhuǎn)動的組合：在剛體中選取一點O，然后

通過O點選取任一直線作為轉(zhuǎn)動軸（轉(zhuǎn)動軸的長度并不是我們要考慮的，極短都行）。于是要確定O點的位置，需要3個獨立變量（即坐標(biāo)）；要確定軸在空間的取向，又需要2個變量（即軸線的方向余弦，注意雖存在3個方向余弦，但3者是不互相獨立的，因為它們的平方和等于1。所以只有選其中2個方向余弦才是獨立的）；要確定剛體繞軸轉(zhuǎn)了的角度，又需要一個變量。所以總共需要6個獨立變量。描述剛體的常用坐標(biāo)系：剛體上的固著坐標(biāo)系---即坐標(biāo)軸畫在剛體上，這是一種特殊的動坐標(biāo)系。剛體運動分類：上面已說，對于一般的剛體運動需要6個獨立變量，但在某些條件限制下（也即存在約束或說已知一些獨立變量取了定值時），剛體運動可以少于6個獨立變量，分類如下：｛平動（自由度：3）定軸轉(zhuǎn)動（自由度：1）平面運動（平面平行運動）（自由度：3）定點轉(zhuǎn)動（自由度：3）一般運動：平動+定點轉(zhuǎn)動（自由度：6）1.角速度矢量1.剛體的角位移：記為An，其模|An|=A9，其方向在轉(zhuǎn)動軸上遵守右手螺旋法則。有限角位移不遵守平行四邊形加法的交換律，所以不屬于矢量。無窮小角位移才是矢量。i；j伽*;g 問迫卿軋型滬則'i；j伽*;g 問迫卿軋型滬則',門伽汀茁I心汕創(chuàng)曲過卄旳"I'■I--線位移與角位移的關(guān)系：AnPOA線位移與角位移的關(guān)系：AnPOAr=Anxr2.剛體的角速度矢量：Andn?=lim=一

AttOAt dt定點轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動軸的空間取向隨時間而變，其在每一時刻被稱為該時刻的轉(zhuǎn)動瞬軸。角dQ速度矢量其方向就沿著該時刻的轉(zhuǎn)動瞬軸，其大小則為 。dt線速度與角速度的關(guān)系：歐拉角1．歐拉角2．歐拉運動學(xué)方程剛體定點轉(zhuǎn)動可看作是由自轉(zhuǎn)、章動和進動三個獨立轉(zhuǎn)動的合成，因此剛體定點轉(zhuǎn)動的角速度可以表為自轉(zhuǎn)角速度、章動角速度和進動角速度的合成：a=w+0+<p剛體定點轉(zhuǎn)動的角速度a在靜止坐標(biāo)系Oxyz中的表示：OOO? =屮sinQsinq+Qcosq? sinQcosq+Qsinq?=屮cosQ+qOz剛體定點轉(zhuǎn)動的角速度a在固著坐標(biāo)系Oxyz中的表示：｛①=qsinQsin屮+Qcos屮x .?=qsinQcos屮-Qsin屮e=qcosQ+<|iz

此兩組方程即剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉運動學(xué)方程?！?.4剛體運動方程與平衡方程力系的簡化：1.1兩個等價的原理:?平衡力不改變剛體運動狀態(tài)的原理實踐證明：剛體上施以一平衡力（等值反向且作用在同一直線上），剛體的運動狀態(tài)不變。?力的可傳性原理實踐證明：力可沿它的作用線向前或向后移動，而剛體運動狀態(tài)不因力沿力的作用線前后移動而變,亦即作用在剛體上的力產(chǎn)生的力學(xué)效果，僅由力的量值與作用線的地位與方向決定，而與力的作用點無關(guān)。這一結(jié)論叫力的可傳性原理.［注］：一般而言，力對物體的作用效果取決于三要素：大小、方向、作用點。稱為力的三要素。但根據(jù)所討論的對象的不同，這些要素有所變動。如對質(zhì)點而言，其受力是不必談?wù)撟饔命c的自由矢量；但對剛體而言，所受的力是作用點有所限制（即把作用點改成作用線）的滑移矢量；而對變形體而言，就是必須講究作用點的定位矢量。2.2力系的簡化:依據(jù)上述兩條原理可以進行力系的簡化。（1）.共點力系的簡化：采用平行四邊形法則，簡化為一個合力。（2）.共面非平行力的簡化：利用力的可傳性原理，將兩力沿力的作用線滑移匯集于一點,再用平行四邊形法則簡化為一合力（見圖3.4.1）（3）.平行力的簡化：（這時不能直接應(yīng)用平行四邊形法則）其合力的值及方向就是按分力的指向求代數(shù)和且合力的方位平行于各分力。其作用點求法之一就是按如圖3.4.2規(guī)則簡化為一力矩M=rF=rxF+rxF，i1122由此確定力的作用點。力偶：等值反向的一對平行力（不在同一直線上）。力偶臂：力偶的兩個力之間的垂直距離。力偶矩：其大小是力偶臂與力偶中的其中任意一個力的大小的乘積，其方向符合右手螺旋法則。即M=rxF。力偶矩的特性：其合力的大小為0，但對任一點的合力矩不為0；力偶矩是自由矢量，故可看成作用于力偶面上的任一點（注：前面我們指出，作用于剛體的力矢量是滑移矢量，但并不是說作用于剛體的一切矢量都是滑移矢量，如力偶矩就不是滑移矢量）（4）.空間力系的簡化：F1P2F1P2簡化原理為：A點上的力A點上的力FP點上的力F2及P點上的由F和耳組成的力偶矩簡化步驟為：確定力的簡化中心，將力F,F，…,F依次平移至力的作用點，然后按平行四邊形矢12n量合成，即乙F=F（稱F為主矢）。i在簡化中心處依次畫出力F,F，…,F相應(yīng)的力偶矩M,M，…,M，再由矢量合成1 n 1 2 n平行四邊形法則，得到合力偶矩，即乙M=M（稱M為主矩）。i這樣就將力系簡化為一主矩和主矢。（通常取質(zhì)心為簡化中心）例：如圖3.4.3,將力系F1與F2簡化為主矢F和主矩M。簡化步驟：選取0為簡化中心，則F，F(xiàn)平移至0,再將F，F(xiàn)合成得主矢F=F+F121.212.在0點作F的力矩M=OAXF，作F的力矩M=OBxF1112--再將M，M合成，得到主矩M。12總之，作用于剛體上的任意力系均可簡化為一主矢F和主矩M。剛體是距離不變的質(zhì)點組，由剛體的質(zhì)心運動定理,有剛體運動微分方程剛體是距離不變的質(zhì)點組，由剛體的質(zhì)心運動定理,有1)=工F(e)=F1)i同樣，由相對質(zhì)心的角動量（動量矩）定理，有dJf

dtdJf

dt=M‘2)（1）、（2）兩式即為剛體運動的基本方程。此外，還有剛體運動的動能定理（剛體中各點之間距離不變，內(nèi)力作功為零）：剛體動能的微分等于各外力所作元功之和，即3)dT=￡F（e）?dr3)iii=1若為保守力系，則能得能量積分：T+V=E剛體平衡方程剛體的平衡條件是所受的主矢和主矩同時為零，即F=0]M=0j若主矢F=0，而主矩M豐0，則剛體有轉(zhuǎn)動；若主矢F豐o,而主矩M=o,貝y剛體有平動。應(yīng)用剛體的平衡條件解題，一般步驟為：1畫草圖，分析受力，選取坐標(biāo)系；2、 寫出YF=0的分量形式；i3、 選取力矩的參考點，對該點取矩，寫出工M=0分量形式;i4、 解方程組，求出平衡條件?！?.5轉(zhuǎn)動慣量1）剛體的動量矩（即角動量）設(shè)剛體在某一時刻以角速度3作定點轉(zhuǎn)動。取剛體中任一質(zhì)點P,其質(zhì)量為m,速度為iiv,定點O到質(zhì)點P的位矢為r。iii?求剛體動量矩（角動量）的矢量表達式:質(zhì)點P對定點O的動量矩（角動量）為：rxmv；iiii3.5.1)3.5.2)整個剛體對定點O的動量矩(角動量)為：J=Y(rxmv)。3.5.1)3.5.2)iiii=1因為v=3xr，所以iiJ=Ynm[rx(3xr)]iiii=1J=工m[3r2-r(3?r)]iii i i=1 (根據(jù)二重外積公式ax(bxc)=(c?a)b-(b?a)c得)?求剛體動量矩(角動量)分量表達式(并引出轉(zhuǎn)動慣量張量概念)：(3.5.2)式：J=Ym[3r2-r(3?r)]^=>iii iJ=厶m[①(x2+y2+z2)-x(①xyz)]x ixi ii ixiyizi=Ym[①(y2+z2)-?xy-?xz]ixii yiiziiJ=Ym[①(x2+y2+z2)-y(①xyz)]y iyiii ixiyizi<Y=厶m[①(x2+z2)-?xy-?yz]iyii xiiziiJ=Ym[①(x2+y2+z2)-z(①x yz)]z iziii ixiyizi=Ym[①(x2+y2)-?xz-?yz]izi i xiiyiiI=ym(y2+z2)xxI=ym(xI=ym(y2+z2)xxI=ym(x2+z2)yyI=ym(x2+y2)zz iiiiI=I=yxy Iyx=yiIzy=yizxxz3.5.5)xyyxmxyiii<yzzymyziii3.5.6)mzxiiiiI、I、I分別稱為繞x軸、y軸、z軸的軸轉(zhuǎn)動慣量；I、I、I等稱為慣量積xxyyzz于是xyyzzx上式還可寫成矩陣形式若令J=Ico-1①一I①xxxxxJ=-Io+IJyyxx=-1o-1zxxzyyyxzz&-1&yyy yzz&-1&y zzz3.5.7a)TxJ=TyJ丿z務(wù)、xy3丿3.5.7b)(Ixx-1yx(-1(Ixx-1yx(-1zxxz-1Iyzzz（注意I是黑體字）稱為轉(zhuǎn)動慣量矩陣或轉(zhuǎn)動慣量張量，它是一個實對稱矩陣，貝y（3.5.7）式可寫成J=血 （3.5.7c）轉(zhuǎn)動慣量矩陣（轉(zhuǎn)動慣量張量）的每個元素（軸轉(zhuǎn)動慣量及慣量積）稱為轉(zhuǎn)動慣量張量的組元，也叫慣量系數(shù)。（3.5.7a）、（3.5.7b）、（3.5.7c）式就是剛體定點轉(zhuǎn)動時的角動量的三種形式。2）剛體的轉(zhuǎn)動動能現(xiàn)在求剛體對定點0的轉(zhuǎn)動動能。T=丄工mr22iiy= mv?viii=—ymv?(們xr)2iii

將（3.5.7）式代入上式得1=—將（3.5.7）式代入上式得1=—&?厶(rxmv)2iii1T二一&?J21T二一(I①2+1①2+1①2一21①①-21①①-21①①2xxxyyyzzz yzyz zxzx xyxy(3.5.8)3）轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動動能也可寫為1=_Ym(?xr)?(?xr)2iii二—工m①2r2sin202iiimp2ii二—①2工mp2ii(3.5.9)2

—丁(3.5.9)式中0為P的位矢r與角速度矢量?的夾角，p為P到轉(zhuǎn)動瞬軸的垂直距離，I=Ymp2iiiiiii（注意這里I不是黑體字）稱為剛體繞轉(zhuǎn)動瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量回轉(zhuǎn)半徑：設(shè)剛體繞軸S的轉(zhuǎn)動慣量為I，若有一質(zhì)點的質(zhì)量等于剛體的質(zhì)量m，它到軸的距離K滿足：I=mk2=fp2dm，則k就稱為該剛體繞軸S的回轉(zhuǎn)半徑。由定義，有計算轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑的步驟：一般步驟是：選取坐標(biāo)系和質(zhì)量元dm由公式I=Jp2dm和m=idm求出I以及剛體的總質(zhì)量m③由I=mk2求出k計算的關(guān)鍵是確定dm和p平行軸定理：I=I+md2（其證明在普通物理-力學(xué)中已講過）c4）慣量張量和慣量橢球

對質(zhì)量均勻分布（或按一定規(guī)律分布），且形狀規(guī)則的剛體，可把（3.5.5）和（3.5.6）兩式改寫為定積分形式（一般是重積分），即I=J（y2+z2）dmxx+x2)dm3.5.13)I=J（z2+x2)dm3.5.13)yyI=J（x2+y2）dmzz=I=Jyzdmyzzy==I=Jyzdmyzzy=I=Jzxdmxz=I=Jxydmxyyx以上是對三個特殊的軸（也是基本的軸）x、y、z的轉(zhuǎn)動慣量和慣量積,向為（a,卩,Y）的轉(zhuǎn)動瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量，則是I=Ia2+1p2+1y2—21py-21ya-21apxx yy zz yz zx xy（注意這里I不是黑體字，它是標(biāo)量。它與（3.5.9式中定義的I，即I=丫其中a，p，y是任一轉(zhuǎn)動瞬軸相對于坐標(biāo)軸的方向余弦。該式的證明只要將（3.5.8）和（3.5.9）聯(lián)立并考慮方向余弦概念o=yozco=a?,xzxxz3.5.14)而對于任一方3.5.15a)mp2，是一致的）ii即可。上式寫成矩陣形式即、丫丿yy-1、丫丿yy-1zy-Ixz-Iyzzz3.5.15b)?因慣量系數(shù)都是點坐標(biāo)的函數(shù)，故若取用靜止坐標(biāo)系，那么剛體定點轉(zhuǎn)動時，慣量系數(shù)也隨之而變。若選固連的動坐標(biāo)系，則在固連坐標(biāo)中慣量系數(shù)都將是常數(shù)。（換言之，一般說來，轉(zhuǎn)動慣量矩陣中的各個元素是時間的函數(shù)，但若取固連坐標(biāo)系，則它們將是與時間無關(guān)的常量）慣量橢球：定點轉(zhuǎn)動時，在轉(zhuǎn)動瞬軸選一點Q，使OQ=+（其中I為剛體繞該轉(zhuǎn)動瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量），則Q點的坐標(biāo)為x=丄avIy=占卩1z=7T丫Q點的軌跡呈一橢球，稱為慣量橢球。慣量橢球方程為Ix2+1y2+1z2一2Iyz一21zy一2Ixy=1xxyyzz yz zx xy（5）慣量主軸及其求法慣量主軸：即慣量橢球的主軸。主轉(zhuǎn)動慣量：對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量。若以慣量主軸為坐標(biāo)系，則慣量橢球方程簡化為（標(biāo)準(zhǔn)形式）x2+1y2+1z2=1123其中I,I,I為主轉(zhuǎn)動慣量。123與此相應(yīng)，此時剛體角動量和轉(zhuǎn)動動能分別簡化為J=I①i+1①1x2y3z1T=一（I①2+I①2+I①2）1x2y3z【注】：從線性代數(shù)知道，進行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，在這里也就是適當(dāng)轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，可以使實對稱矩陣化為對角矩陣。這在線性代數(shù)另一個角度看就是求本征值問題，在解析幾何里就是求二次曲面主軸的問題。對角化后的轉(zhuǎn)動慣量張量寫為（I 0 0、0I0I06 13剛體的平動與繞固定軸的轉(zhuǎn)動（1）平動平動：剛體運動時，剛體中任一直線始終彼此平行。平動的性質(zhì)：平動時，剛體內(nèi)各點都有相同的速度和加速度；自由度為3（2）定軸轉(zhuǎn)動1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：（1）剛體中任一點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動；（2） 各點的角位移o，角速度?，角加速度a均相同，且方向都在轉(zhuǎn)軸上;（3） 自由度為1,用角位移o能描述剛體的運動狀態(tài)。2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)：剛體中任一點的線速度： V=coxr（標(biāo)量形式為：v=?rsin°iiiii剛體中任一點的線加速度：

3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)：動量矩定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)：動量矩定理：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能：a二v=Rco二RaiT i i iv2a— —Ro2=ovinRiizdt（因為JIa=Mzzz—Io—Io令I(lǐng)為常量）zzzzzzz21?2+V二E（當(dāng)外力為保守力時）2zz剛體的平面平行運動1）平面平行運動運動學(xué)剛體平面平行運動是指剛體運動時，任一點始終在平行于某一固定平面內(nèi)作運動，因此，只須研究任一和固定平面平行的平面運動就行，也就是說，可用一薄片來表示剛體的運動。剛體平面平行運動的處理方法：剛體平面平行運動可視為在剛體上取一點（稱為基點，而且常取質(zhì)心）的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動這兩種運動的合成。如圖3.7.1,選取固定坐標(biāo)系Oxyz和動系A(chǔ)x'y'z'，其中動系固定在剛體平面上并隨剛體一起運動，原點A（x,y）為基點，剛體繞過A（x,y）點，且垂直于平面的軸轉(zhuǎn)動（與定軸轉(zhuǎn)0000動不同，此處轉(zhuǎn)軸不固定，稱為瞬時軸），剛體中任一點P在Oxyz系位置矢量為r，在動系中位置矢量為r'，基點對定系的位矢為r，滿足r-r+r' （1）AA設(shè)剛體繞瞬時軸的轉(zhuǎn)動角速度為3（方向垂直于紙面向外），則P點的速度v—v+3Xr' （2）Ad3P點的加速度a—a+ Xr—O2r（3）Adt（2）式表明：P點的速度等于基點的速度v與繞基點的速度3xr'的矢量和。A

（3）式的等式右邊第一項為基點加速度，第二項為因轉(zhuǎn)動角速度變化引起的加速度，稱為相對切向加速度，第三項叫相對向心加速度。（3）式表明：剛體中任一點的加速度為基點的加速度、相對切向加速度、相對向心加速度的矢量和。2）轉(zhuǎn)動瞬心轉(zhuǎn)動瞬心的定義和性質(zhì)剛體平面平行運動時，任一時刻剛體薄片上或其延伸平面上速度為零的點叫轉(zhuǎn)動瞬心也稱為極點，記為C。轉(zhuǎn)動瞬心的性質(zhì)是：瞬心是唯一的，不同時刻有不同的瞬心；瞬心的速度為零，但它加速度并不為零?否則剛體為定軸轉(zhuǎn)動.瞬心可以在剛體上、也可以在剛體外。對瞬心而言，剛體上任一點P的速度VP都垂直于瞬心C與該點P的連線CP。2.瞬心的確定方法一：觀察法：凡滾而不滑的剛體與另一物體的接觸點就是瞬心。例如：車輪沿地面滾而不滑的沿直線運動，接觸點就是瞬心C,輪子運動時，接觸點C在地面上留下的軌跡叫定瞬心曲線（或叫空間極跡），而在運動物體（輪子）上留下的軌跡叫動瞬心曲線（或叫本體極跡）（見圖3.7.2）。極跡）（見圖3.7.2）。其交點C其交點C方法二：作圖法：已知剛體中兩點A、B的速度V,V,AB即瞬心（如圖3.7.3）。方法三：數(shù)學(xué)方法：已知&和基點的位置A（x,y），則可解方程式［書P197的（3.7.6）式］求出瞬心在定系00中的坐標(biāo)x二x—v/w，y二y+v/w，或解方程［書P197的3.7.7］式］求出瞬心在C0Ay C0Ax動系中坐標(biāo)：x'二—v/w，y'二v/wC Ay' C Ax'瞬心法求解剛體平面平行運動運動學(xué)的一般步驟。一般步驟：求出（或確定）瞬心C；確定角速度?；（i>xAP圖工？.斗由公式（2）、（3）求出任一點的速度V和加速度（i>xAP圖工？.斗［例1］半徑為R的圓輪沿直線滾而不滑的運動，輪心的速度為％（常量）（見圖3.7.4）。求：（1）瞬心曲線；（2）角速度；（3）輪心和接觸點的加速度；（4）輪上任一點的速度加速度。解：（1）接觸點速度為零，故為瞬心，顯然，運動時，定瞬心曲線為直線，方程為：yc=0。動瞬心曲線為圓周，方程為rC=R；（2） 由v=3XAC,且3丄AC,.°.v=3AC,.：?二v/AC二v/R二常量（方向垂直紙面向0000內(nèi)）d① ， . ?。?）取輪心A為基點，由a二a+ xr'—①2”，輪心加速度a人=0，又?=常量,pAdt A所以啤xr'二0,r'二AC,dt???接觸點C的加速度a二0+0―?2AC，大小為a 2R，方向為指向圓心。CC（4） 輪緣上任一點P的速度V和加速度a，PP方向如圖）廿j+g號其中心「gx盜二窗（方向如圖）方向如圖）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"?v=、‘v2+(①R)2+2v①Rcos6=2vpx0 0 1d①a=a+xr一①2r

pAdt\o"CurrentDocument"d① ,將a=0, =0,r=AP代入得a=—?2AP，大小為a2R，方向由P點指向A點。\o"CurrentDocument"Adt p p3）平面平行運動動力學(xué)在運動學(xué)中，基點是可以任意選取的。但在動力學(xué)中，通常都取質(zhì)心作為基點，以便利用質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理來寫出平面平行運動的動力學(xué)方程。也就是說，在平面平行運動動力學(xué)中，我們把剛體的運動分解為質(zhì)心的純平動和剛體相對于質(zhì)心的定軸純轉(zhuǎn)動。1.剛體平面平行運動方程：設(shè)一靜坐標(biāo)系oxy和一以剛體質(zhì)心c為原點、坐標(biāo)軸始終平行靜止坐標(biāo)軸的動坐標(biāo)系mx=Fcx；my=F

cymx=Fcx；my=F

cyIco=Ia=Mzzzzz3.7.8)3.7.9)質(zhì)心運動方程：剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的運動方程：約束方程：（視具體平面而定）。注】：如果沒有③，就屬于自由剛體，而不是平面平行運動剛體。此外，如果僅有①和②，由于外力Fx及Fy中包含約束反力’而約束反力是未知的’這樣未知量就多于三個’這樣僅由

①和②中的三個方程無法求解（剛體作平面平行運動時，是三個獨立變量的問題），因此，需要加入約束方程。剛體平面平行運動時的動能及機械能守恒律：對于上述所選的動靜坐標(biāo)系，正好可以應(yīng)用柯尼希定理，將這時剛體的動能表為兩部分為質(zhì)心運動動能，另一為剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能：11T=mv2+I&22c2zz此外，如果作用在剛體上的外力只有其中的保守力作功，則有機械能守恒式：1mv21mv2+2c11O2+V二E2zz3.7.10)注】：也可以用（3.7.10）式代替（3.7.8）和（3.7.9）三式中的任何一式來給出并求解運動方程。剛體平面平行運動動力學(xué)問題的解答步驟：已知條件為：作用于剛體的力和初始情況。求：剛體的運動規(guī)律。方法一：解微分方程的方法。步驟：①建立坐標(biāo)系，分析力；②列方程：包括質(zhì)心運動定理、動量矩定理、約束方程；③解微分方程；④討論結(jié)果。方法二：利用機械能守恒定律（只適用于保守力）步驟：①建立坐標(biāo)系；②計算動能T和勢能V；③由能量守恒和約束條件求出運動規(guī)律。［例］見書P202。圓柱體半徑◎、質(zhì)量m，滾而不滑地下滾（見圖3.7.5）。求質(zhì)心的速度、約束反力N、摩擦力f。方法一：用機械能守恒求。11剛體的動能為：T=怎mx2 mk2^2 （k為回轉(zhuǎn)半徑）2C2勢能為：V二—mgxsin? （取靜止時的位置為零勢能的位置）C約束方程為：x=a9（滾而不滑條件）C由以上三式求得質(zhì)心加速度為：x_gsinaC1+k2/a2（用此方法求不出N和f）方法二：解微分方程的方法由質(zhì)心運動定理：mr_mg+N+f （1）

和對質(zhì)心的角動量定理：M二I9" (2)zzz其中：M=fa,I二mk2以及約束方程：x二aQ (3)zzzC將(1)投影于x，y方向，解(1)、(2)、(3)求出gsina ”mgk2sinax= ，f= ，N=mgcosac1+k2/a2丿 a2+k2(附注：分別將圓柱體、球體、球殼、圓盤等的回轉(zhuǎn)半徑的值代入上述結(jié)果，就可以得

到相同質(zhì)量、相同半徑的這幾種剛體的相應(yīng)值，請讀者自己具體計算并從中總結(jié)出一些規(guī)律。)剛體繞固定點的轉(zhuǎn)動1)定點轉(zhuǎn)動運動學(xué).定點轉(zhuǎn)動特征：轉(zhuǎn)動軸通過一個定點，軸的取向隨時間而變；需兩個獨立變量描述轉(zhuǎn)動軸的取向(也即角速度矢量?的取向)，還一個獨立變量描述剛體繞轉(zhuǎn)動軸的運動，所以定點轉(zhuǎn)動是三個獨立變量的問題。常用三個歐勒角來描述：即用常用三個歐勒角來描述：即用9(章動角)、9(進動角)、屮(自轉(zhuǎn)角)來確定剛體的位置