第4章離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與濾波器設(shè)計3fir

1、寫出帕塞瓦爾定理2、給出hd(n)3、求W(ejw)124.4

FIR濾波器設(shè)計方法無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器存在明顯的缺點(diǎn)：相位的非線性。日常生活中，像圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸?shù)榷家笮诺谰哂芯€性相位特性。若要逼近線性相位，則需采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，又將大大增加系統(tǒng)的復(fù)雜度。3優(yōu)點(diǎn)：可以具有嚴(yán)格的線性相位，同時具有任意的幅度特性。FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)是有限長序列，因而濾波器一定是穩(wěn)定的。對于任何非因果有限長序列，只要經(jīng)過一定的延時都能變成因果的有限長序列，因而總能用因果系統(tǒng)來實現(xiàn)。可以用快速傅里葉變換(FFT)算法來實現(xiàn)，提高運(yùn)算效率。缺點(diǎn)：取得很好的幅度衰減特性，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)的階次比IIR濾波器高。FIR濾波器特點(diǎn)4最感興趣的是具有線性相位的FIR濾波器。對相位不作特殊要求的FIR濾波器，一般可以用IIR濾波器來代替IIR濾波器設(shè)計中的各種變換法對FIR濾波器設(shè)計是不適用的，這是因為IIR濾波器是利用有理分式的系統(tǒng)函數(shù)，而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是多項式。注意：5一、FIR濾波器最優(yōu)化準(zhǔn)則設(shè)計FIR濾波器主要有兩種最優(yōu)化準(zhǔn)則均方誤差最小準(zhǔn)則最大誤差最小化準(zhǔn)則此處我們主要介紹均方誤差最小準(zhǔn)則下的濾波器設(shè)計。6均方誤差最小準(zhǔn)則誤差能量最小若用，表示要求的頻率響應(yīng)，用表示實際得到的濾波器頻率響應(yīng)，以表示頻率響應(yīng)誤差，即則均方誤差為：設(shè)計目的選擇一組，便均方誤差最小。7由于：用FIR濾波器來逼近，故長度是有限長的，可得：8按照帕塞瓦公式有：要使e2最小，就必須使第一項求和式最小，即希望有：即：9結(jié)論:最小均方誤差準(zhǔn)則所要求的設(shè)計結(jié)果為矩形窗設(shè)計法。矩形窗設(shè)計的濾波器過渡帶最窄由于吉布斯（Gibbs）效應(yīng)，窗譜的肩峰過大，造成所設(shè)計出的濾波器:通帶起伏不均勻且過大，阻帶衰減不夠小，不能滿足某些工程要求。10設(shè)計具有有限長單位沖激響應(yīng)h(n)的濾波器來逼近理想濾波器頻率響應(yīng)。指標(biāo)是在頻域提出的設(shè)計是在時域進(jìn)行的二、

窗函數(shù)設(shè)計法11我們以一個截止頻率為的線性相位的理想低通濾波器為例來加以討論。設(shè)濾波器的群延時為,即：12hd(n)是中心點(diǎn)在α的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的h(n)，一種最簡單的辦法就是取矩形窗RN(n)，即：若有線性相位的約束，窗函數(shù)的選擇必須保證所截取h(n)是對稱的。13為分析方便，選取，所以有：14Hd(n)及W(n)的頻譜特性15窗函數(shù)的頻率特性為：對矩形窗，則有：可表示成幅度函數(shù)與相位函數(shù)：加窗對濾波器頻率響應(yīng)的影響16

在之內(nèi)為一個主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣17如果將理想頻率響應(yīng)也寫成：其中：因此，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)為：顯然，F(xiàn)IR濾波器的頻率響應(yīng)也是線性相位的。

矩形窗所設(shè)計濾波器的頻率特性18FIR數(shù)字濾波器的幅度函數(shù)19總結(jié):(1)理想幅度特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)的主瓣寬度此處過渡帶是指兩個肩峰之間的寬度，與濾波器的真正過渡帶有一些區(qū)別濾波器的過渡帶比這個數(shù)值要小(2)在截止頻率的兩邊的地方出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對面積20主瓣帶寬和過渡帶寬的關(guān)系21（3）增加截取長度N，則在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為改變N只能：改變幅度絕對值大小改變窗譜的主瓣寬度、濾波器過度帶寬不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，最大肩峰則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。22矩形窗截斷造成肩峰為8.95%，則阻帶最小衰減為這個衰減量在工程上常常是不夠的。為了加大阻帶衰減，需要改善窗函數(shù)。（二）、各種常用窗函數(shù)23通常希望窗函數(shù)滿足兩項要求:窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶;盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對面積，使肩峰和波紋減小，增大阻帶的衰減。在濾波器階數(shù)給定的情況下，這兩項要求往往不能同時得到滿足的通常采用增加主瓣寬度（犧牲過渡帶寬）以換取對旁瓣的抑制，為了得到平坦的通帶幅度響應(yīng)和較小的阻帶波紋。24若窗函數(shù)在邊沿處(n=0和n=N-l附近)比矩形窗變化要平滑而緩慢：窗邊沿不再陡峭，則高頻分量減小，阻帶衰減增大。但窗譜的主瓣寬度卻比矩形窗的要寬，造成濾波器幅度函數(shù)過渡帶的加寬。251、矩形窗2、三角形（Bartlett）窗

“

”在時成立；此時主瓣寬度為,阻帶最小衰減為25db。常用的窗函數(shù)26

3、漢寧（Henning）窗（升余弦窗）2728當(dāng)時，，窗譜的幅度函數(shù)為：主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為，但是阻帶最小衰減變?yōu)?4db。29對升余弦改進(jìn)，可得到旁瓣更小的效果：

99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，主瓣寬度相同為，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%，此時阻帶最小衰減為53db

。4、海明（Hamming）窗（改進(jìn)的升余弦窗）30為抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為，此時，阻帶最小衰減為74db

。5、布拉克曼窗（Blackman）31一種適應(yīng)性強(qiáng)的窗，其窗函數(shù)的表示式為是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是一個可自由選擇的參數(shù)，它可以同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣電平越大，則窗越尖銳，而頻譜的旁瓣相對越小，但主辯寬度也相應(yīng)增加。主瓣寬度同時也可以由窗口長度調(diào)節(jié)6、凱澤窗（Kaiser）32

過渡帶通帶紋波阻帶最小衰減/dB2.1203.3844.5385.6586.7647.8658.96010.0563.00/N4.46/N5.86/N7.24/N8.64/N10.0/N11.4/N12.8/N0.270.08680.02740.008680.002750.0008680.0002750.000087-30-40-50-60-70-80-90-100

凱澤窗性能一覽表33當(dāng)=0時，相當(dāng)于矩形窗，這是因為。當(dāng)=5.44時，相當(dāng)于海明窗，但凱澤窗旁瓣頻譜收斂得更快。海明窗主瓣之外的能量為0.037%

，凱澤窗主瓣之外的能量為0.012%，因而能量更加集中在主瓣中。當(dāng)=8.5時，相當(dāng)于布拉克曼窗。凱澤窗函數(shù)是以n=（N-1）/2為對稱中心呈偶對稱的，即從n=（N-1）/2這一中點(diǎn)向兩邊變化時逐漸減小，最邊上兩點(diǎn)34

窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值/Db主瓣寬度/過渡帶寬度/（阻帶最小衰減/dB矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-25-31-41-57-572444650.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80

六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較3536給定過渡帶寬，阻帶衰減，則可求得凱澤窗FIR濾波器的階數(shù)N（M=N-1)和形狀參數(shù)

，即最小阻帶衰減只由窗形狀決定，不受N的影響而過渡帶的寬度則隨窗寬N的增加而減小。凱澤窗經(jīng)驗設(shè)計法37（1）首先是給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)；（2）其次，求（3）再次，由過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，選定窗的形狀及N的大小，一般N要通過幾次試探而最后確定；（4）求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)（5）求，檢驗是否滿足設(shè)計要求，否則需重新設(shè)計。（三）、窗函數(shù)法的設(shè)計步驟38窗函數(shù)設(shè)計舉例低通濾波器所要求設(shè)計的低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：39關(guān)鍵參數(shù)確定由于窗函數(shù)設(shè)計法的通帶波紋與阻帶波紋相同，因此為達(dá)到預(yù)期指標(biāo)，需要以阻帶波紋指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計。由于窗函數(shù)設(shè)計法在幅度間斷點(diǎn)處逼近的對稱性，因此所對應(yīng)的理想低通濾波器的截止頻率為：40由凱澤窗的設(shè)計公式可以得到：因此，濾波器的單位沖激響應(yīng)為：41第II類線性相位系統(tǒng)421、四大類FIR線性相位濾波器的長度，對稱特性，及特殊零點(diǎn)2、求h(n)3、求h(n)4344高通濾波器和多通帶濾波器1G2G3G4w1w2w3πG3wcπ45具有廣義線性相位的理想高通濾波器的頻率響應(yīng)為：其單位沖激響應(yīng)為：高通濾波器46所要求設(shè)計的高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：根據(jù)凱澤窗設(shè)計公式可得到：由窗函數(shù)設(shè)計法的對稱性可得：47第I類線性相位高通濾波器4849通過驗證計算可得此時的通帶逼近誤差為0.0213，高于預(yù)定指標(biāo)0.021，可以通過增大β的方法而達(dá)到預(yù)定指標(biāo)；也可以保持β不變將M增大至25，調(diào)整過渡帶變窄而滿足指標(biāo)，但是此時為II類線性相位系統(tǒng)，在ω=π處為零，不適合高通系統(tǒng)，因此可以將M增大至26就會解決此問題。5051關(guān)于高通濾波器設(shè)計的討論可以推廣到多通帶和多阻帶的情況。G1G2G3G4w1w2w3π52如果令多頻帶濾波器的相位為線性則相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為：注意：逼近誤差與跳變幅度成正比，在設(shè)計時需要進(jìn)行指標(biāo)的歸一化，利用最苛刻的指標(biāo)進(jìn)行凱澤窗設(shè)計53離散時間微分器理想的連續(xù)時間微分器的頻率響應(yīng)為：其理想沖激響應(yīng)為：54零相微分器55M=10,b=2.456M=5,b=2.457頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejw)加以等間隔抽樣，即：然后以此作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即令：三、

頻率抽樣法 58有限長序列的頻域重構(gòu)596061頻率抽樣點(diǎn)上濾波器實際頻率響應(yīng)嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等。抽樣點(diǎn)之間的頻率響應(yīng)則是由各抽樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成的，有一定的逼近誤差。逼近誤差取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀和采樣的點(diǎn)數(shù).62如果設(shè)計的是線性相位的FIR數(shù)字濾波器，則其抽樣值的幅度和相位一定要滿足對稱的約束條件。第I類線性相位FIR濾波器：幅度函數(shù)應(yīng)為偶對稱的：如果抽樣值也用幅值與相角表示，則：必須滿足：線性相位的約束63對于第二類,第三類及第四類線性相位FIR濾波器，幅度和相位同樣應(yīng)滿足相應(yīng)的約束關(guān)系（幅度要滿足奇偶對稱，相位為廣義線性相位）。64對進(jìn)行頻率抽樣，就是在z平面單位圓上的N個等間隔點(diǎn)上抽取出頻率響應(yīng)值。為保證線性相位特性，在單位圓上可以有兩種抽樣方式：第一種是第一個抽樣點(diǎn)在處(或)第二種是第一個抽樣點(diǎn)在處(或)每種方式可分為N是偶數(shù)、奇數(shù)兩種頻率抽樣的兩種方法6566第一種頻率抽樣(I型)為：其內(nèi)插公式保持不變。67第二種頻率抽樣(Ⅱ型)為：H(z)??

69求離散傅里葉反變換，可得由此得出：求z變換，可得：70過渡帶抽樣優(yōu)化設(shè)計為使逼近誤差更小，也就是減小在通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的陡然變化而引起的起伏振蕩。與窗函數(shù)法的平滑截斷類似使理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)的邊緣加上一些過渡的抽樣點(diǎn)；從而增加過渡帶，減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。過渡抽樣點(diǎn)上的取值不同，效果也就不同。7172一般過渡帶取二、三點(diǎn)抽樣值即可得到滿意結(jié)果。在低通設(shè)計中，不加過渡抽樣點(diǎn)時，阻帶最小衰減為-2OdB，一點(diǎn)過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計，阻帶最小衰減可提高到-4O到-54dB左右，二點(diǎn)過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計可達(dá)-6OdB到-75dB左右，三點(diǎn)過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計則可達(dá)-80dB到-95dB左右。頻率抽樣法的優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接設(shè)計，并且適合于最優(yōu)化設(shè)計

734.5

IIR與FIR濾波器特性比較1、在相同的技術(shù)指標(biāo)下，IIR濾波器可用比FIR濾波器較少的階數(shù)來滿足指標(biāo)的要求，所用的存儲單元少，運(yùn)算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)。例如，用頻率抽樣法設(shè)計