一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)課件

13.2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)一一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)

二函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)13.2一致收斂函數(shù)列與一一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)二1問(wèn)題的提出問(wèn)題:問(wèn)題的提出問(wèn)題:2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問(wèn)題1.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題??函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問(wèn)題1.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算3??2.求導(dǎo)運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題??2.求導(dǎo)運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題4??3.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題??3.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題5

定理13.8

設(shè)函數(shù)列{fn}在(a,x0)∪(x0,b)上一致收斂于

f，且則即

一、一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)這表明在一致收斂的條件下，極限可以交換順序．定理13.8設(shè)函數(shù)列{fn}6

證

先證數(shù)列{an}收斂．因?yàn)閧fn}一致收斂，故對(duì)任給的ε>0,存在

N>0,當(dāng)

n>N

時(shí)，對(duì)任何正整數(shù)

p，對(duì)一切

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–fn+p(x)|<ε從而即由柯西準(zhǔn)則知數(shù)列{an}收斂．證先證數(shù)列{an}收斂．因7設(shè)下面證明：因?yàn)閧fn}一致收斂于

f，數(shù)列{an}收斂于

A，因此對(duì)任給的ε>0,存在

N>0,當(dāng)

n>N

時(shí)，對(duì)任何

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–f(x)|<ε/3和|an–A|<ε/3同時(shí)成立．特別取

n=N+1，有|fN+1(x)–f(x)|<ε/3和|aN+1–A|<ε/3設(shè)下面證明：因?yàn)閧fn}一致收斂于f，數(shù)列{a8又所以存在δ>0,當(dāng)0<|x–x0|<δ時(shí)，|fN+1(x)–aN+1|<ε/3這樣當(dāng)0<|x–x0|<δ時(shí)，所以又所以存在δ>0,當(dāng)0<|x–x0|9利用兩個(gè)極限交換定理可以得到下列判別法利用兩個(gè)極限交換定理可以得到下列判別法10

定理13.9（連續(xù)性）設(shè)函數(shù)列{fn}在區(qū)間

I

上一致收斂于

f，且

fn(n=1,2,...)在

I

上連續(xù)，則

f在

I

上也連續(xù)．證要證：對(duì)任何

x0

∈I,由定理13.8，定理13.9（連續(xù)性）設(shè)函數(shù)列{fn11注：若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上極限函數(shù)不連續(xù)，則此函數(shù)列在區(qū)間I上不一致收斂例如：函數(shù)列的各項(xiàng)在上都是連續(xù)的,但其極限函數(shù)在時(shí)不連續(xù)，從而推得在上不一致收斂

注：若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上極限函數(shù)不連續(xù)，則此函12

定理13.10（可積性）設(shè)函數(shù)列{fn}在[a,b]上一致收斂于

f，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上連續(xù)，則

f

在[a,b]上可積，且證由定理13.9，f

在[a,b]上連續(xù)，從而

f

在[a,b]上可積．定理13.10（可積性）設(shè)函數(shù)列{fn}13因?yàn)楹瘮?shù)列{fn}在[a,b]上一致收斂于

f，所以對(duì)任給的ε>0,存在

N>0,當(dāng)

n>N

時(shí)，對(duì)一切

x

∈[a,b]，都有|fn(x)－f(x)|<ε于是當(dāng)

n>N

時(shí)有證畢．注1：該定理指出：在一致收斂的條件下，極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換順序因?yàn)楹瘮?shù)列{fn}在[a,b]上一致收斂于f14注2：一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，而并非必要條件。如下面的注2：一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，15一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)課件16一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)課件17注3注318

定理13.11（可微性）設(shè)

x0∈[a,b]為{fn}的收斂點(diǎn)，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，{fn'}在[a,b]上一致收斂，則

證設(shè)由題設(shè)及定理13.9知，g

在[a,b]連續(xù)．定理13.11（可微性）設(shè)x0∈[a,b]19先證：{fn}在[a,b]收斂．對(duì)任何

x

∈[a,b]，由牛頓-萊布尼茲公式，總有因?yàn)?/p>

fn'(x)在[a,b]上連續(xù)，由定理13.10，得所以極限存在，設(shè)先證：{fn}在[a,b]收斂．對(duì)任何x20于是由于

g

在[a,b]上連續(xù)，再由微積分基本定理，得即證畢．于是由于g在[a,b]上連續(xù)，再由微積分基本定理21注1：在該定理的條件下可以證明在區(qū)間上一致收斂；注2：在導(dǎo)函數(shù)一致收斂的條件下，求導(dǎo)運(yùn)算與極限運(yùn)算可以交換順序；注3：導(dǎo)函數(shù)一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，而并非必要條件例2設(shè)函數(shù)列

注1：在該定理的條件下可以證明在區(qū)間上一致收斂；注2：在導(dǎo)函22Dini定理Dini定理23練習(xí)設(shè)有函數(shù)列證明：這兩個(gè)函數(shù)在[0,1]上都不一致收斂；逐項(xiàng)可積性對(duì)(1)不成立，但對(duì)(2)成立練習(xí)設(shè)有函數(shù)列證明：這兩個(gè)函數(shù)在[0,1]上都不一致收斂；逐24二函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.逐項(xiàng)求極限定理二函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.逐項(xiàng)求極限定理252.連續(xù)性定理定理13.12證2.連續(xù)性定理定理13.12證26(1)(2)同樣有(1)(2)同樣有27(3)由(1)、(2)、(3)可見(jiàn),(3)由(1)、(2)、(3)可見(jiàn),28定理13.13(4)3.逐項(xiàng)求積定理定理13.13(4)3.逐項(xiàng)求積定理29證證30根據(jù)極限定義，有即根據(jù)極限定義，有即31定理13.14(5)4.逐項(xiàng)求導(dǎo)定理定理13.14(5)4.逐項(xiàng)求導(dǎo)定理32注意:級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).例如，級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo)．注意:級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).例如，級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)33例3設(shè)證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)[0,1]上一致收斂，并討論其和函數(shù)在[0,1]上的連續(xù)性，可積性與可微性．證明：對(duì)每一個(gè)，易見(jiàn)

為上增函數(shù)，

故有

又當(dāng)時(shí)，有不等式所以[0,1]上一致收斂例3設(shè)證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)[0,1]上一致收斂34由于每一個(gè)在上連續(xù),根據(jù)定理13.12與定理13.13,的和函數(shù)

在上連續(xù)且可積.又由

推得也在上一致收斂.

由定理13.14,得在上可微.由于每一個(gè)在上連續(xù),根據(jù)定理13.12與定理13.13,35練習(xí)練習(xí)36一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)課件37一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)課件3813.2一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)一一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)

二函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)13.2一致收斂函數(shù)列與一一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)二39問(wèn)題的提出問(wèn)題:問(wèn)題的提出問(wèn)題:40函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問(wèn)題1.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題??函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（或函數(shù)序列）的基本問(wèn)題1.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算41??2.求導(dǎo)運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題??2.求導(dǎo)運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題42??3.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題??3.極限運(yùn)算與無(wú)限求和運(yùn)算交換次序問(wèn)題43

定理13.8

設(shè)函數(shù)列{fn}在(a,x0)∪(x0,b)上一致收斂于

f，且則即

一、一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)這表明在一致收斂的條件下，極限可以交換順序．定理13.8設(shè)函數(shù)列{fn}44

證

先證數(shù)列{an}收斂．因?yàn)閧fn}一致收斂，故對(duì)任給的ε>0,存在

N>0,當(dāng)

n>N

時(shí)，對(duì)任何正整數(shù)

p，對(duì)一切

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–fn+p(x)|<ε從而即由柯西準(zhǔn)則知數(shù)列{an}收斂．證先證數(shù)列{an}收斂．因45設(shè)下面證明：因?yàn)閧fn}一致收斂于

f，數(shù)列{an}收斂于

A，因此對(duì)任給的ε>0,存在

N>0,當(dāng)

n>N

時(shí)，對(duì)任何

x

∈(a,x0)∪(x0,b)有|fn(x)–f(x)|<ε/3和|an–A|<ε/3同時(shí)成立．特別取

n=N+1，有|fN+1(x)–f(x)|<ε/3和|aN+1–A|<ε/3設(shè)下面證明：因?yàn)閧fn}一致收斂于f，數(shù)列{a46又所以存在δ>0,當(dāng)0<|x–x0|<δ時(shí)，|fN+1(x)–aN+1|<ε/3這樣當(dāng)0<|x–x0|<δ時(shí)，所以又所以存在δ>0,當(dāng)0<|x–x0|47利用兩個(gè)極限交換定理可以得到下列判別法利用兩個(gè)極限交換定理可以得到下列判別法48

定理13.9（連續(xù)性）設(shè)函數(shù)列{fn}在區(qū)間

I

上一致收斂于

f，且

fn(n=1,2,...)在

I

上連續(xù)，則

f在

I

上也連續(xù)．證要證：對(duì)任何

x0

∈I,由定理13.8，定理13.9（連續(xù)性）設(shè)函數(shù)列{fn49注：若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上極限函數(shù)不連續(xù)，則此函數(shù)列在區(qū)間I上不一致收斂例如：函數(shù)列的各項(xiàng)在上都是連續(xù)的,但其極限函數(shù)在時(shí)不連續(xù)，從而推得在上不一致收斂

注：若各項(xiàng)為連續(xù)函數(shù)的函數(shù)列在區(qū)間I上極限函數(shù)不連續(xù)，則此函50

定理13.10（可積性）設(shè)函數(shù)列{fn}在[a,b]上一致收斂于

f，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上連續(xù)，則

f

在[a,b]上可積，且證由定理13.9，f

在[a,b]上連續(xù)，從而

f

在[a,b]上可積．定理13.10（可積性）設(shè)函數(shù)列{fn}51因?yàn)楹瘮?shù)列{fn}在[a,b]上一致收斂于

f，所以對(duì)任給的ε>0,存在

N>0,當(dāng)

n>N

時(shí)，對(duì)一切

x

∈[a,b]，都有|fn(x)－f(x)|<ε于是當(dāng)

n>N

時(shí)有證畢．注1：該定理指出：在一致收斂的條件下，極限運(yùn)算與積分運(yùn)算可以交換順序因?yàn)楹瘮?shù)列{fn}在[a,b]上一致收斂于f52注2：一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，而并非必要條件。如下面的注2：一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，53一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)課件54一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)課件55注3注356

定理13.11（可微性）設(shè)

x0∈[a,b]為{fn}的收斂點(diǎn)，且

fn(n=1,2,...)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，{fn'}在[a,b]上一致收斂，則

證設(shè)由題設(shè)及定理13.9知，g

在[a,b]連續(xù)．定理13.11（可微性）設(shè)x0∈[a,b]57先證：{fn}在[a,b]收斂．對(duì)任何

x

∈[a,b]，由牛頓-萊布尼茲公式，總有因?yàn)?/p>

fn'(x)在[a,b]上連續(xù)，由定理13.10，得所以極限存在，設(shè)先證：{fn}在[a,b]收斂．對(duì)任何x58于是由于

g

在[a,b]上連續(xù)，再由微積分基本定理，得即證畢．于是由于g在[a,b]上連續(xù)，再由微積分基本定理59注1：在該定理的條件下可以證明在區(qū)間上一致收斂；注2：在導(dǎo)函數(shù)一致收斂的條件下，求導(dǎo)運(yùn)算與極限運(yùn)算可以交換順序；注3：導(dǎo)函數(shù)一致收斂只是這兩種運(yùn)算換序的充分條件，而并非必要條件例2設(shè)函數(shù)列

注1：在該定理的條件下可以證明在區(qū)間上一致收斂；注2：在導(dǎo)函60Dini定理Dini定理61練習(xí)設(shè)有函數(shù)列證明：這兩個(gè)函數(shù)在[0,1]上都不一致收斂；逐項(xiàng)可積性對(duì)(1)不成