高斯投影和換帶計(jì)算專題培訓(xùn)課件

高斯投影和換帶計(jì)算高斯投影和換帶計(jì)算1本章提要

本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。本章提要本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直2[知識點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求]1．高斯投影的基本概念；2．正形投影的一般條件；3．高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換

—高斯投影的正算與反算4．橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上的計(jì)算；5．高斯投影的鄰帶換算；6．工程測量投影面與投影帶的選擇。[難點(diǎn)]在對本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計(jì)算；方向改化和距離改化計(jì)算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用；工程測量中投影面與投影帶的選擇。[知識點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求][難點(diǎn)]在對本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌36.1地圖投影概述1.投影與變形

所謂地圖投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面，若將這個曲面上的元素（比如一段距離、一個角度、一個圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱作投影的變形

6.1地圖投影概述1.投影與變形所謂地圖投影，簡略說來4

投影面上的邊長與原面上的相應(yīng)長度之比，稱為長度比。

長度比:投影面上的邊長與原面上的相應(yīng)長度之比，稱為長度比。長52、地圖投影的分類1）按變形性質(zhì)分類（1）等角投影又稱為正形投影。投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零。等角投影在一點(diǎn)上任意方向的長度比都相等，但在不同地點(diǎn)長度比是不同的。（2）等積投影在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應(yīng)的面積相等，即面積變形等于零。（3）等距投影定義為沿某一特定方向的距離，投影前后保持不變，即沿著該特定方向長度比為1。在這種投影圖上并不是不存在長度變形，它只是在特定方向上沒有長度變形。2、地圖投影的分類1）按變形性質(zhì)分類62）按投影面的形狀分類（1）方位投影：以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。（2）圓柱投影：以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。（3）圓錐投影：以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。2）按投影面的形狀分類7高斯投影和換帶計(jì)算專題培訓(xùn)課件83、中國各種地圖投影：

1）中國全國地圖投影：斜軸等面積方位投影、斜軸等角方位投影、偽方位投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角割圓錐投影。2）中國分省（區(qū)）地圖的投影：正軸等角割圓錐投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角圓柱投影、高斯-克呂格投影（寬帶）。3）中國大比例尺地圖的投影：多面體投影（北洋軍閥時期）、等角割圓錐投影（蘭勃特投影）（解放前）、高斯-克呂格投影（解放以后）。3、中國各種地圖投影：

1）中國全國地圖投影：斜軸等面積方位9

從世界范圍看，各國大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)一，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)有十幾種之多，最常用的有橫軸等角橢圓柱投影等。中華人民共和國成立后，我國大中比例尺地形圖一律規(guī)定采用以克拉索夫斯基橢球體元素計(jì)算的高斯-克呂格投影。我國新編1:100萬地形圖，采用的則是邊緯與中緯變形絕對值相等的正軸等角圓錐投影。4、常用的幾種地圖投影從世界范圍看，各國大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)101、控制測量對地圖投影的要求1）等角投影（又稱正形投影）

2）長度和面積變形不大，并能用簡單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù)。3）能很方便地按分帶進(jìn)行，并能按高精度的、簡單的、同樣的計(jì)算公式和用表把各帶聯(lián)成整體。6.2高斯投影概述（重點(diǎn)）1、控制測量對地圖投影的要求1）等角投影（又稱正形投影）11高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。高斯投影是一種等角投影。它是由德國數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777～1855)提出，后經(jīng)德國大地測量學(xué)家克呂格(Kruger，1857～1923)加以補(bǔ)充完善，故又稱“高斯—克呂格投影”，簡稱“高斯投影”。2、高斯投影的基本概念高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。2、高斯投影的基本概念12NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線1).高斯投影的原理:

高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進(jìn)行投影。NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線1).高斯投影132)、高斯投影必須滿足：（1）高斯投影為正形投影，即等角投影；（2）中央子午線投影后為直線，且為投影的對稱軸；（3）中央子午線投影后長度不變。2)、高斯投影必須滿足：143)、高斯投影的特點(diǎn):（1）中央子午線投影后為直線，且長度不變。（2）除中央子午線外，其余子午線的投影均為凹向中央子午線的曲線，并以中央子午線為對稱軸。投影后有長度變形。（3）赤道線投影后為直線，但有長度變形。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy3)、高斯投影的特點(diǎn):（1）中央子午線投影后為直線，且長度不15（4）除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道為對稱軸。（5）經(jīng)線與緯線投影后仍然保持正交。（6）所有長度變形的線段，其長度變形比均大于l。（7）離中央子午線愈遠(yuǎn)，長度變形愈大。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy（4）除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道164)、投影帶的劃分

我國規(guī)定按經(jīng)差6o和3o進(jìn)行投影分帶。

6o帶自首子午線開始，按6o的經(jīng)差自西向東分成60個帶。

3o帶自1.5o開始，按3o的經(jīng)差自西向東分成120個帶。高斯投影帶劃分4)、投影帶的劃分我國規(guī)定按經(jīng)差6o和3o進(jìn)行投17

6o帶與3o帶中央子午線之間的關(guān)系如圖:

3o帶的中央子午線與6o帶中央子午線及分帶子午線重合，減少了換帶計(jì)算。

工程測量采用3o帶，特殊工程可采用1.5o帶或任意帶6o帶與3o帶中央子午線之間的關(guān)系如圖:3o帶的中央子18

按照6o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是：

L。=6oN－3o

（N為6o帶的帶號）例：20帶中央子午線的經(jīng)度為：

L。＝6o×20－3o＝117o

按照3o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是：

L。=3on

（n為3o帶的帶號）例：120帶中央子午線的經(jīng)度為

L。＝3o×120＝360o按照6o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為319

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)的6o帶的帶號N由下式計(jì)算：

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)所在3o帶的帶號按下式計(jì)算：

（四舍五入）若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)的6o帶的帶號N由下20高斯平面直角坐標(biāo)系的建立：x軸

—中央子午線的投影y軸

—赤道的投影原點(diǎn)O

—兩軸的交點(diǎn)OxyP（X，Y）高斯自然坐標(biāo)注：X軸向北為正，

y軸向東為正。赤道中央子午線高斯平面直角坐標(biāo)系的建立：x軸—中央子午線的投影OxyP21

由于我國的位于北半球，東西橫跨12個6o帶，各帶又獨(dú)自構(gòu)成直角坐標(biāo)系。

故：X值均為正，而Y值則有正有負(fù)。世界地圖赤道由于我國的位于北半球，東西橫跨12個6o帶，各帶又22xyo500km=500000+=636780.360m=

500000+=227559.720m國家統(tǒng)一坐標(biāo)：

（帶號）（帶號）xyo500km國家統(tǒng)一坐標(biāo)：（帶號）（帶號）23例：有一國家控制點(diǎn)的坐標(biāo):x=3102467.280m,y=19367622．380m，（1）該點(diǎn)位于6?帶的第幾帶？（2）該帶中央子午線經(jīng)度是多少？（3）該點(diǎn)在中央子午線的哪一側(cè)？（4）該點(diǎn)距中央子午線和赤道的距離為多少？（第19帶）

（L。=6o×19-3o=111?）（先去掉帶號，原來橫坐標(biāo)y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西側(cè)）（距中央子午線132377.620m，距赤道3102467.280m）例：（第19帶）（L。=6o×19-3o=111?）（24不同點(diǎn)：1、x，y軸互異。2、坐標(biāo)象限不同。3、表示直線方向的方位角定義不同。相同點(diǎn)：數(shù)學(xué)計(jì)算公式相同。

高斯平面直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)上的笛卡爾平面直角坐標(biāo)系的異同點(diǎn)：高斯平面直角坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系ααooyyxxⅠⅠⅢⅡⅡⅣⅣⅢppx=Dcosαy=Dsinαx=Dcosαy=DsinαDD不同點(diǎn)：高斯平面直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)上的笛卡爾平面直角坐253、橢球面三角系化算到高斯平面

3、橢球面三角系化算到高斯平面26將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)B，L歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x，y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x，y反算B，L。通過計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。通過計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。通過計(jì)算距離改正，將橢球面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫?，需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐276.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式（了解）1、高斯投影坐標(biāo)正算公式：B,l

x,y高斯投影必須滿足以下三個條件：①中央子午線投影后為直線；②中央子午線投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。對于任何一種投影：①坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系是最主要的；②如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外，還有它本身的特殊條件。6.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式（了解）1、高斯投影坐標(biāo)正算公式28自赤道量起的到所求點(diǎn)的子午線弧長所求點(diǎn)的大地經(jīng)度與該點(diǎn)所在帶的中央子午線的大地經(jīng)度之差自赤道量起的到所求點(diǎn)的子午線弧長所求點(diǎn)的大地經(jīng)度與該點(diǎn)所在帶292、高斯投影坐標(biāo)反算公式：x,yB,l

滿足以下三個條件：①x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸；②x坐標(biāo)軸投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。過所求點(diǎn)P作中央子午線的垂線，該垂線與中央子午線的交點(diǎn)的緯度，稱垂足緯度。其值由子午線弧長計(jì)算公式反算求得。2、高斯投影坐標(biāo)反算公式：x,yB,l滿足以下三個條件30①當(dāng)B=0時x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為y軸。當(dāng)l=0時,則y=0,x=X,這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。②當(dāng)l=常數(shù)時(經(jīng)線),隨著B值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當(dāng)用-B代替B時，y值不變，而x值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。③當(dāng)B=常數(shù)時(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當(dāng)用-l代替l時，x值不變，而y值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。④距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。3、高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋：①當(dāng)B=0時x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道31練習(xí)1.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405.3373L=1211033.2012

計(jì)算：1).該點(diǎn)的3帶和6帶帶號；

2).該點(diǎn)的3帶高斯投影坐標(biāo)并反

算檢核；n=int(L/6)+1L０

=n×6°－3°n=int((L-1.5)/3)+1L０

=n×3°練習(xí)1.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405.337332子午線收斂角的概念如右圖所示，、及分別為橢球面點(diǎn)、過點(diǎn)的子午線及平行圈在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點(diǎn)子午線收斂角就是在上的切線與坐標(biāo)北之間的夾角，用表示。在橢球面上，因?yàn)樽游缇€同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫線及也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于在點(diǎn)上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸的傾角。6.4.1平面子午線收斂角公式（了解）6.4橢球面上的方向和長度歸算至高斯平面子午線收斂角的概念6.4.1平面子午線收斂角公式（了解）633①在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，r的絕對值也愈大，在極點(diǎn)處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))，經(jīng)差l的絕對值愈大，r的絕對值也愈大。②r為奇函數(shù)，有正負(fù)，當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時，經(jīng)差為正，r也為正；當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以西時，經(jīng)差為負(fù)，r也為負(fù)。1、求γ的公式

①在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在342.由高斯平面坐標(biāo)x，y計(jì)算：2.由高斯平面坐標(biāo)x，y計(jì)算：356.4.2方向改化公式（重點(diǎn)）

方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點(diǎn)的弦之夾角。6.4.2方向改化公式（重點(diǎn)）方向改正數(shù)就是指大地線的投36我國二等三角網(wǎng)平均邊長為13KM，當(dāng)ym＜250km時，上式精確至0.01″，故通常用于二等三角測量計(jì)算。

方向改化數(shù)計(jì)算公式：我國三四等三角網(wǎng)平均邊長為10KM范圍內(nèi)，可對上式簡化，該式精確為0.1″。

我國二等三角網(wǎng)平均邊長為13KM，當(dāng)ym＜250km時，上式376.4.3距離改化公式（重點(diǎn)）由S化至D所加的△S改正稱為距離改正

當(dāng)S<70km,ym<350km(6°帶的邊緣)計(jì)算精度小于0.001m，對于一等邊長的歸算完全可滿足要求，對于二等邊長的歸算可略去項(xiàng)，對于三四等邊長的歸算又可再略去項(xiàng)。1距離改換公式6.4.3距離改化公式（重點(diǎn)）由S化至D所加的△S改正稱為382、距離改化的實(shí)用計(jì)算公式一等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：二等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實(shí)用公式：2、距離改化的實(shí)用計(jì)算公式一等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：二39→產(chǎn)生換帶的原因高斯投影為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時工程測量中要求采用帶、帶或任意帶，而國家控制點(diǎn)通常只有帶坐標(biāo)，這時就產(chǎn)生了帶同帶（或帶、任意帶）之間的相互坐標(biāo)換算問題，如下圖所示：6.5高斯投影的鄰帶換算（了解）→產(chǎn)生換帶的原因6.5高斯投影的鄰帶換算（了解）40需要進(jìn)行坐標(biāo)鄰帶換算的情況：

1、控制網(wǎng)跨越兩個投影帶；

2、在分界子午線附近地區(qū)測圖，需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制點(diǎn)時；

3、6°帶、3°帶、1.5°帶之間的換算。坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法：把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過渡坐標(biāo)，首先把某投影帶（如21帶）內(nèi)的有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)x，y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)B，L。然后再由大地坐標(biāo)B，L利用投影正算公式換算成相鄰帶的（如22帶）的平面坐標(biāo)。需要進(jìn)行坐標(biāo)鄰帶換算的情況：坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法：41計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到，。采用已求得的,，并顧及到第Ⅱ帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第Ⅱ帶的直角坐標(biāo),。為了檢核計(jì)算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算算例在中央子午線的Ⅰ帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線的第Ⅱ帶的平面直角坐標(biāo)。計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到算例421、地圖投影的概念

在數(shù)學(xué)中，投影（Project）的含義是指建立兩個點(diǎn)集間一一對應(yīng)的映射關(guān)系。同樣，在地圖學(xué)中，地圖投影就是指建立地球表面上的點(diǎn)與投影平面上點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。地圖投影的基本問題就是利用一定的數(shù)學(xué)法則把地球表面上的經(jīng)緯線網(wǎng)表示到平面上。由于地球橢球體表面是曲面，而地圖通常是要繪制在平面圖紙上，因此制圖時首先要把曲面展為平面，然而球面是個不可展的曲面，即把它直接展為平面時，不可能不發(fā)生破裂或褶皺。若用這種具有破裂或褶皺的平面繪制地圖，顯然是不實(shí)際的，所以必須采用特殊的方法將曲面展開，使其成為沒有破裂或褶皺的平面。6.6有關(guān)投影的基本知識（了解）1、地圖投影的概念6.6有關(guān)投影的基本知識（了解）432、地圖投影的變形

1）長度變形

2）面積變形

3）角度變形

2、地圖投影的變形441．墨卡托(Mercator)投影墨卡托投影為正軸等角切圓柱投影，是由墨卡托于1569年專門為航海目的設(shè)計(jì)的。其設(shè)計(jì)思想是令一個與地軸方向一致的圓柱切于或割于地球，將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按等角條件投影于圓柱表面上，然后將圓柱面沿一條母線剪開展成平面，即得墨卡托投影。該投影的經(jīng)緯線是互為垂直的平行直線，經(jīng)線間隔相等，緯線間隔由由赤道向兩極逐漸擴(kuò)大。圖上任取一點(diǎn)，由該點(diǎn)向各方向長度比皆相等，即角度變形為零。在正軸等角切圓柱投影中，赤道為沒有變形的線，隨緯度增高面積變形增大。1．墨卡托(Mercator)投影墨卡托投影為正軸等角切圓45UTM投影全稱為“通用橫軸墨卡托投影”（UniversalTransverseMercatorProjection

），是一種“等角橫軸割圓柱投影”，橢圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經(jīng)線上沒有變形，而中央經(jīng)線上長度比0.9996。UTM投影是為了全球戰(zhàn)爭需要創(chuàng)建的，美國于1948年完成這種通用投影系統(tǒng)的計(jì)算。UTM投影分帶方法與高斯-克呂格投影相似，是自西經(jīng)180°起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶，將地球劃分為60個投影帶。

NSUTM投影全稱為“通用橫軸墨卡托投影”（Universal46（1）UTM是對高斯投影的改進(jìn)，改進(jìn)的目的是為了減少投影變形。

（2）UTM投影的投影變形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影變形規(guī)律比高斯要復(fù)雜一點(diǎn)，因?yàn)樗玫氖歉顖A柱，所以，它的m＝1的地方是在割線上，實(shí)際上是一個圓，處在正負(fù)1°40′的位置，距離中央經(jīng)線大約180km。

（3）UTM投影在中央經(jīng)線上，投影變形系數(shù)m＝0.9996，而高斯投影的中央經(jīng)線投影的變形系數(shù)m＝1。

（4）UTM為了減少投影變形也采用分帶，它采用6°分帶。但起始的1帶是（e174°－e180°），所以，UTM的6°分帶的帶號比高斯的大30。

（5）很重要的一點(diǎn)，高斯投影與UTM投影可近似計(jì)算。計(jì)算公式是：

XUTM=0.9996*X高斯

YUTM=0.9996*Y高斯

這個公式的誤差在1米范圍內(nèi)，完全可以接受。UTM與高斯投影的異同：（1）UTM是對高斯投影的改進(jìn)，改進(jìn)的目的是為了減少投影變形472、蘭勃特投影（等角圓錐投影）

設(shè)有一個圓錐，其軸與地軸一致，套在地球橢球體上，然后將橢球體面的經(jīng)緯線網(wǎng)按照等角的條件投影到圓錐面上，再把圓錐面沿母線切開展平，即得到正軸等角圓錐投影的經(jīng)緯網(wǎng)圖形。其中緯線投影成為同心圓弧，經(jīng)線投影成為向一點(diǎn)收斂的直線束。當(dāng)圓錐面與橢球體上的一條緯圈相切時，稱切圓錐投影，見圖（a）；當(dāng)圓錐面相割于橢球面兩條緯圈時，稱割圓錐投影，見圖（b）。（a）（b）2、蘭勃特投影（等角圓錐投影）設(shè)有一個圓錐，其軸與地軸一致48高斯投影和換帶計(jì)算專題培訓(xùn)課件49

相切或相割緯圈稱為標(biāo)準(zhǔn)緯圈，顯然，標(biāo)準(zhǔn)緯圈在圓錐展開后不變。兩條緯線間的經(jīng)線長度處處相等。投影的不同變形性質(zhì)，只是反映在緯線間隔的變化上。也就是說，圓錐投影的各種變形都是緯度φ的的函數(shù)，而與經(jīng)度λ無關(guān)。對某一個具體的變形性質(zhì)而言，在同一條緯線上，其變形值相等。在同一條經(jīng)線上，標(biāo)準(zhǔn)緯線外側(cè)為正變形，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間為負(fù)變形。因此切圓錐投影只有正變形，割圓錐投影既有正變形又有負(fù)變形。由于圓錐投影具有上述的變形分布規(guī)律，因此該投影適于編制處于中緯地區(qū)沿緯線方向東西延伸地域的地圖。由于地球上廣大陸地均位于中緯地區(qū)，同時圓錐投影的經(jīng)緯網(wǎng)又比較簡單，該投影得到了廣泛應(yīng)用。尤其是正軸割圓錐投影，使用非常普遍。

我國新編1:100萬地形圖，使用的便是邊緯與中緯變形絕對值相等的等角割圓錐投影。等角割圓錐投影還廣泛應(yīng)用于我國編制出版的全國1:400萬、1:600萬掛圖，以及全國性的普通地圖和專題地圖等。相切或相割緯圈稱為標(biāo)準(zhǔn)緯圈，顯然，標(biāo)準(zhǔn)緯圈在圓50高斯投影和換帶計(jì)算高斯投影和換帶計(jì)算51本章提要

本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直角坐標(biāo)系的正形投影過程。研究如何將大地坐標(biāo)、大地線長度和方向以及大地方位角等向平面轉(zhuǎn)化的問題。重點(diǎn)講述高斯投影的原理和方法，解決由球面到平面的換算問題，解決相鄰帶的坐標(biāo)坐標(biāo)換算。本章提要本章介紹從橢球面上大地坐標(biāo)系到平面上直52[知識點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求]1．高斯投影的基本概念；2．正形投影的一般條件；3．高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換

—高斯投影的正算與反算4．橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上的計(jì)算；5．高斯投影的鄰帶換算；6．工程測量投影面與投影帶的選擇。[難點(diǎn)]在對本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計(jì)算；方向改化和距離改化計(jì)算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用；工程測量中投影面與投影帶的選擇。[知識點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求][難點(diǎn)]在對本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌536.1地圖投影概述1.投影與變形

所謂地圖投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面，若將這個曲面上的元素（比如一段距離、一個角度、一個圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱作投影的變形

6.1地圖投影概述1.投影與變形所謂地圖投影，簡略說來54

投影面上的邊長與原面上的相應(yīng)長度之比，稱為長度比。

長度比:投影面上的邊長與原面上的相應(yīng)長度之比，稱為長度比。長552、地圖投影的分類1）按變形性質(zhì)分類（1）等角投影又稱為正形投影。投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零。等角投影在一點(diǎn)上任意方向的長度比都相等，但在不同地點(diǎn)長度比是不同的。（2）等積投影在投影平面上任意一塊面積與橢球面上相應(yīng)的面積相等，即面積變形等于零。（3）等距投影定義為沿某一特定方向的距離，投影前后保持不變，即沿著該特定方向長度比為1。在這種投影圖上并不是不存在長度變形，它只是在特定方向上沒有長度變形。2、地圖投影的分類1）按變形性質(zhì)分類562）按投影面的形狀分類（1）方位投影：以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。（2）圓柱投影：以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。（3）圓錐投影：以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。2）按投影面的形狀分類57高斯投影和換帶計(jì)算專題培訓(xùn)課件583、中國各種地圖投影：

1）中國全國地圖投影：斜軸等面積方位投影、斜軸等角方位投影、偽方位投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角割圓錐投影。2）中國分?。▍^(qū)）地圖的投影：正軸等角割圓錐投影、正軸等面積割圓錐投影、正軸等角圓柱投影、高斯-克呂格投影（寬帶）。3）中國大比例尺地圖的投影：多面體投影（北洋軍閥時期）、等角割圓錐投影（蘭勃特投影）（解放前）、高斯-克呂格投影（解放以后）。3、中國各種地圖投影：

1）中國全國地圖投影：斜軸等面積方位59

從世界范圍看，各國大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)一，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)有十幾種之多，最常用的有橫軸等角橢圓柱投影等。中華人民共和國成立后，我國大中比例尺地形圖一律規(guī)定采用以克拉索夫斯基橢球體元素計(jì)算的高斯-克呂格投影。我國新編1:100萬地形圖，采用的則是邊緯與中緯變形絕對值相等的正軸等角圓錐投影。4、常用的幾種地圖投影從世界范圍看，各國大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)601、控制測量對地圖投影的要求1）等角投影（又稱正形投影）

2）長度和面積變形不大，并能用簡單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù)。3）能很方便地按分帶進(jìn)行，并能按高精度的、簡單的、同樣的計(jì)算公式和用表把各帶聯(lián)成整體。6.2高斯投影概述（重點(diǎn)）1、控制測量對地圖投影的要求1）等角投影（又稱正形投影）61高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。高斯投影是一種等角投影。它是由德國數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777～1855)提出，后經(jīng)德國大地測量學(xué)家克呂格(Kruger，1857～1923)加以補(bǔ)充完善，故又稱“高斯—克呂格投影”，簡稱“高斯投影”。2、高斯投影的基本概念高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。2、高斯投影的基本概念62NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線1).高斯投影的原理:

高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進(jìn)行投影。NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線1).高斯投影632)、高斯投影必須滿足：（1）高斯投影為正形投影，即等角投影；（2）中央子午線投影后為直線，且為投影的對稱軸；（3）中央子午線投影后長度不變。2)、高斯投影必須滿足：643)、高斯投影的特點(diǎn):（1）中央子午線投影后為直線，且長度不變。（2）除中央子午線外，其余子午線的投影均為凹向中央子午線的曲線，并以中央子午線為對稱軸。投影后有長度變形。（3）赤道線投影后為直線，但有長度變形。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy3)、高斯投影的特點(diǎn):（1）中央子午線投影后為直線，且長度不65（4）除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道為對稱軸。（5）經(jīng)線與緯線投影后仍然保持正交。（6）所有長度變形的線段，其長度變形比均大于l。（7）離中央子午線愈遠(yuǎn)，長度變形愈大。赤道中央子午線平行圈子午線Oxy（4）除赤道外的其余緯線，投影后為凸向赤道的曲線，并以赤道664)、投影帶的劃分

我國規(guī)定按經(jīng)差6o和3o進(jìn)行投影分帶。

6o帶自首子午線開始，按6o的經(jīng)差自西向東分成60個帶。

3o帶自1.5o開始，按3o的經(jīng)差自西向東分成120個帶。高斯投影帶劃分4)、投影帶的劃分我國規(guī)定按經(jīng)差6o和3o進(jìn)行投67

6o帶與3o帶中央子午線之間的關(guān)系如圖:

3o帶的中央子午線與6o帶中央子午線及分帶子午線重合，減少了換帶計(jì)算。

工程測量采用3o帶，特殊工程可采用1.5o帶或任意帶6o帶與3o帶中央子午線之間的關(guān)系如圖:3o帶的中央子68

按照6o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是：

L。=6oN－3o

（N為6o帶的帶號）例：20帶中央子午線的經(jīng)度為：

L。＝6o×20－3o＝117o

按照3o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是：

L。=3on

（n為3o帶的帶號）例：120帶中央子午線的經(jīng)度為

L。＝3o×120＝360o按照6o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為369

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)的6o帶的帶號N由下式計(jì)算：

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)所在3o帶的帶號按下式計(jì)算：

（四舍五入）若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)的6o帶的帶號N由下70高斯平面直角坐標(biāo)系的建立：x軸

—中央子午線的投影y軸

—赤道的投影原點(diǎn)O

—兩軸的交點(diǎn)OxyP（X，Y）高斯自然坐標(biāo)注：X軸向北為正，

y軸向東為正。赤道中央子午線高斯平面直角坐標(biāo)系的建立：x軸—中央子午線的投影OxyP71

由于我國的位于北半球，東西橫跨12個6o帶，各帶又獨(dú)自構(gòu)成直角坐標(biāo)系。

故：X值均為正，而Y值則有正有負(fù)。世界地圖赤道由于我國的位于北半球，東西橫跨12個6o帶，各帶又72xyo500km=500000+=636780.360m=

500000+=227559.720m國家統(tǒng)一坐標(biāo)：

（帶號）（帶號）xyo500km國家統(tǒng)一坐標(biāo)：（帶號）（帶號）73例：有一國家控制點(diǎn)的坐標(biāo):x=3102467.280m,y=19367622．380m，（1）該點(diǎn)位于6?帶的第幾帶？（2）該帶中央子午線經(jīng)度是多少？（3）該點(diǎn)在中央子午線的哪一側(cè)？（4）該點(diǎn)距中央子午線和赤道的距離為多少？（第19帶）

（L。=6o×19-3o=111?）（先去掉帶號，原來橫坐標(biāo)y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西側(cè)）（距中央子午線132377.620m，距赤道3102467.280m）例：（第19帶）（L。=6o×19-3o=111?）（74不同點(diǎn)：1、x，y軸互異。2、坐標(biāo)象限不同。3、表示直線方向的方位角定義不同。相同點(diǎn)：數(shù)學(xué)計(jì)算公式相同。

高斯平面直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)上的笛卡爾平面直角坐標(biāo)系的異同點(diǎn)：高斯平面直角坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系ααooyyxxⅠⅠⅢⅡⅡⅣⅣⅢppx=Dcosαy=Dsinαx=Dcosαy=DsinαDD不同點(diǎn)：高斯平面直角坐標(biāo)系與數(shù)學(xué)上的笛卡爾平面直角坐753、橢球面三角系化算到高斯平面

3、橢球面三角系化算到高斯平面76將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐標(biāo)B，L歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x，y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x，y反算B，L。通過計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正，將橢球面上起算邊大地方位角歸算到高斯平面上相應(yīng)邊的坐標(biāo)方位角。通過計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。通過計(jì)算距離改正，將橢球面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫?，需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是：將起始點(diǎn)的大地坐776.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式（了解）1、高斯投影坐標(biāo)正算公式：B,l

x,y高斯投影必須滿足以下三個條件：①中央子午線投影后為直線；②中央子午線投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。對于任何一種投影：①坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系是最主要的；②如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外，還有它本身的特殊條件。6.3高斯投影坐標(biāo)正反算公式（了解）1、高斯投影坐標(biāo)正算公式78自赤道量起的到所求點(diǎn)的子午線弧長所求點(diǎn)的大地經(jīng)度與該點(diǎn)所在帶的中央子午線的大地經(jīng)度之差自赤道量起的到所求點(diǎn)的子午線弧長所求點(diǎn)的大地經(jīng)度與該點(diǎn)所在帶792、高斯投影坐標(biāo)反算公式：x,yB,l

滿足以下三個條件：①x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸；②x坐標(biāo)軸投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。過所求點(diǎn)P作中央子午線的垂線，該垂線與中央子午線的交點(diǎn)的緯度，稱垂足緯度。其值由子午線弧長計(jì)算公式反算求得。2、高斯投影坐標(biāo)反算公式：x,yB,l滿足以下三個條件80①當(dāng)B=0時x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為y軸。當(dāng)l=0時,則y=0,x=X,這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。②當(dāng)l=常數(shù)時(經(jīng)線),隨著B值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當(dāng)用-B代替B時，y值不變，而x值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。③當(dāng)B=常數(shù)時(緯線)，隨著的l增加，x值和y值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當(dāng)用-l代替l時，x值不變，而y值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。④距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。3、高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋：①當(dāng)B=0時x=X=0，y則隨l的變化而變化，這就是說，赤道81練習(xí)1.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405.3373L=1211033.2012

計(jì)算：1).該點(diǎn)的3帶和6帶帶號；

2).該點(diǎn)的3帶高斯投影坐標(biāo)并反

算檢核；n=int(L/6)+1L０

=n×6°－3°n=int((L-1.5)/3)+1L０

=n×3°練習(xí)1.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405.337382子午線收斂角的概念如右圖所示，、及分別為橢球面點(diǎn)、過點(diǎn)的子午線及平行圈在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點(diǎn)子午線收斂角就是在上的切線與坐標(biāo)北之間的夾角，用表示。在橢球面上，因?yàn)樽游缇€同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫線及也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于在點(diǎn)上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸的傾角。6.4.1平面子午線收斂角公式（了解）6.4橢球面上的方向和長度歸算至高斯平面子午線收斂角的概念6.4.1平面子午線收斂角公式（了解）683①在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，r的絕對值也愈大，在極點(diǎn)處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))，經(jīng)差l的絕對值愈大，r的絕對值也愈大。②r為奇函數(shù)，有正負(fù)，當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時，經(jīng)差為正，r也為正；當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以西時，經(jīng)差為負(fù)，r也為負(fù)。1、求γ的公式

①在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在842.由高斯平面坐標(biāo)x，y計(jì)算：2.由高斯平面坐標(biāo)x，y計(jì)算：856.4.2方向改化公式（重點(diǎn)）

方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點(diǎn)的弦之夾角。6.4.2方向改化公式（重點(diǎn)）方向改正數(shù)就是指大地線的投86我國二等三角網(wǎng)平均邊長為13KM，當(dāng)ym＜250km時，上式精確至0.01″，故通常用于二等三角測量計(jì)算。

方向改化數(shù)計(jì)算公式：我國三四等三角網(wǎng)平均邊長為10KM范圍內(nèi)，可對上式簡化，該式精確為0.1″。

我國二等三角網(wǎng)平均邊長為13KM，當(dāng)ym＜250km時，上式876.4.3距離改化公式（重點(diǎn)）由S化至D所加的△S改正稱為距離改正

當(dāng)S<70km,ym<350km(6°帶的邊緣)計(jì)算精度小于0.001m，對于一等邊長的歸算完全可滿足要求，對于二等邊長的歸算可略去項(xiàng)，對于三四等邊長的歸算又可再略去項(xiàng)。1距離改換公式6.4.3距離改化公式（重點(diǎn)）由S化至D所加的△S改正稱為882、距離改化的實(shí)用計(jì)算公式一等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：二等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實(shí)用公式：2、距離改化的實(shí)用計(jì)算公式一等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：二89→產(chǎn)生換帶的原因高斯投影為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標(biāo)系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時工程測量中要求采用帶、帶或任意帶，而國家控制點(diǎn)通常只有帶坐標(biāo)，這時就產(chǎn)生了帶同帶（或帶、任意帶）之間的相互坐標(biāo)換算問題，如下圖所示：6.5高斯投影的鄰帶換算（了解）→產(chǎn)生換帶的原因6.5高斯投影的鄰帶換算（了解）90需要進(jìn)行坐標(biāo)鄰帶換算的情況：

1、控制網(wǎng)跨越兩個投影帶；

2、在分界子午線附近地區(qū)測圖，需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制點(diǎn)時；

3、6°帶、3°帶、1.5°帶之間的換算。坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法：把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過渡坐標(biāo)，首先把某投影帶（如21帶）內(nèi)的有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)x，y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)B，L。然后再由大地坐標(biāo)B，L利用投影正算公式換算成相鄰帶的（如22帶）的平面坐標(biāo)。需要進(jìn)行坐標(biāo)鄰帶換算的情況：坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法：91計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到，。采用已求得的,，并顧及到第Ⅱ帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第Ⅱ帶的直角坐標(biāo),。為了檢核計(jì)算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算算例在中央子午線的Ⅰ帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線的第Ⅱ帶的平面直角坐標(biāo)。計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到算例921、地圖投影的概念

在數(shù)學(xué)中，投影（Project）的含義是指建立兩個點(diǎn)集間一一對應(yīng)的映射關(guān)系。同樣，在地圖學(xué)中，地圖投影就是指建立地球表面上的點(diǎn)與投影平面上點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系。地圖投影的基本問題就是利用一定的數(shù)學(xué)法則把地球表面上的