概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第3-5章

二維隨機(jī)變量及其分布第三章

二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布邊緣分布與獨(dú)立性兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量及其分布第三章二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布邊緣分布1例如

E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高X與體重Y,以研究當(dāng)前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。

前面我們討論的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中單獨(dú)的一個(gè)隨機(jī)變量，又稱為一維隨機(jī)變量；然而在許多實(shí)際問題中，常常需要同時(shí)研究一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)甚至更多個(gè)隨機(jī)變量。

不過此時(shí)我們需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質(zhì)，更需要了解這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互依賴和制約關(guān)系。因此，我們將二者作為一個(gè)整體來進(jìn)行研究，記為(X,Y),稱為二維隨機(jī)變（向）量。例如E：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高X與體重2

設(shè)X、Y為定義在同一樣本空間Ω上的隨機(jī)變量，則稱向量（X，Y）為Ω上的一個(gè)二維隨機(jī)變量。定義二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值可看作平面上的點(diǎn)（x，y）A設(shè)X、Y為定義在同一樣本空間Ω上的隨機(jī)變量，則稱向量3二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機(jī)變量，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y.定義稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)(3)(x,y)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)若（X，Y）是隨機(jī)變量，定義稱為二4x1x2y1y2P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)x1x2y1y2P（x1Xx2，y1Y5二維離散型隨機(jī)變量

若二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值只有限對(duì)或可列對(duì)，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。如何反映（X，Y）的取值規(guī)律呢？定義研究問題聯(lián)想一維離散型隨機(jī)變量的分布律。二維離散型隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量（X，Y6（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達(dá)式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常見形式）性質(zhì)（X，Y）的聯(lián)合概率分布（分布律）表達(dá)式形式。。。...。7

一個(gè)口袋中有三個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字1，2，2，從中任取一個(gè)，不放回袋中，再任取一個(gè)，設(shè)每次取球時(shí)，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求的聯(lián)合分布列.

的可能取值為(1，2)，(2，1)，(2，2).

Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例解一個(gè)口袋中有三個(gè)球，依次標(biāo)有數(shù)字1，2，8

見書P69，習(xí)題1的可能取值為例解(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）（X，Y）的聯(lián)合分布律為yX011/301/600-101/31/1225/1200見書P69，習(xí)題1的可能取值為例解(0，0)9

若存在非負(fù)函數(shù)f（x，y），使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，二元隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)可表示成如下形式

則稱(X,Y)是二元連續(xù)型隨機(jī)變量。f（x，y）稱為二元隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù).二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度定義若存在非負(fù)函數(shù)f（x，y），使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y10聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)非負(fù)性幾何解釋..隨機(jī)事件的概率=曲頂柱體的體積聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)非負(fù)性幾何解釋..隨機(jī)事件的概率=曲頂11設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為(1)確定常數(shù)k；

(2)求的分布函數(shù)；；

.

(4)求例設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為(1)確定常數(shù)k；(2)12(1)所以解

(1)所以解13(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，(2)當(dāng)14(3)41或解(3)41或解15(4)(4)16224例已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概率解

1224例已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概17續(xù)解……….x+y=3續(xù)解……….x+y=318思考已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概率2241解答

思考已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為求概率19二維均勻分布設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為

上服從均勻分布.在，則稱是平面上的有界區(qū)域，其面積為其中二維均勻分布設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為上服從均勻分布.20思考已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。求（1）分布函數(shù)；（2）解（X,Y）的密度函數(shù)為y=2x+1-1/2（1）當(dāng)時(shí)，分布函數(shù)為思考已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D21y=2x+1-1/2（2）當(dāng)時(shí)，y=2x+1-1/2（2）當(dāng)22y=2x+1-1/2（3）當(dāng)時(shí)，y=2x+1-1/2（3）當(dāng)23所以，所求的分布函數(shù)為所以，所求的分布函數(shù)為240.5y=2x+1-1/20.5y=2x+1-1/225二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為其中均為參數(shù)則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布

二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為其中均為參數(shù)則稱26邊緣分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性邊緣分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性27邊緣分布marginaldistribution二維隨機(jī)變量,是兩個(gè)隨機(jī)變量視為一個(gè)整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來描述其取值規(guī)律。

問題：能否由二維隨機(jī)變量的分布來確定兩個(gè)一維隨機(jī)變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？——邊緣分布問題邊緣分布marginaldistribution28邊緣分布marginaldistribution設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，依次稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)．邊緣分布marginaldistribution設(shè)二維29二維離散型R.v.的邊緣分布如果二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………二維離散型R.v.的邊緣分布如果二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）30二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布31二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布32二維離散型R.v.的邊緣分布例1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為YX011/3-101/31/1201/60025/1200求關(guān)于X、Y的邊緣分布二維離散型R.v.的邊緣分布例1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（33關(guān)于Y的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解關(guān)于X的邊緣分布為X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的聯(lián)合分布列關(guān)于Y的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解34二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布

關(guān)于X的邊緣概率密度為關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布關(guān)于X的邊緣概率密度為關(guān)35例2

設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為求k值和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)解由得當(dāng)時(shí)關(guān)于X的邊緣分布密度為113例2設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為求k值和兩個(gè)邊緣分布密度36113解所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)關(guān)于Y的邊緣分布密度為113解所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為所以，關(guān)于Y的邊37邊緣分布密度和概率的計(jì)算例3設(shè)（X,Y)的聯(lián)合分布密度為（1）求k值(2)求關(guān)于X和Y的邊緣密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)邊緣分布密度和概率的計(jì)算例3設(shè)（X,Y)的聯(lián)合分布密度為38(2)均勻分布解(1)由得當(dāng)時(shí)-11(2)均勻分布解(1)由得當(dāng)39當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù)為-11續(xù)解………..

當(dāng)時(shí)所以40-11解當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度函數(shù)為-11解當(dāng)時(shí)當(dāng)41解（3）

解（3）42見課本P59例3如果二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布則兩個(gè)邊緣分布分別服從正態(tài)分布與相關(guān)系數(shù)無關(guān)可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布見課本P59例3如果二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布43例4設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù)解關(guān)于X的分布密度函數(shù)為例4設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為求關(guān)于44所以，同理可得不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布。可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布所以，同理可得不同的聯(lián)合分布，可可見，45隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于★★定義設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，兩個(gè)邊緣分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，如果對(duì)于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，則稱隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。對(duì)任意i,j對(duì)任意x,y隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該46

在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用.在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說明在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，47設(shè)（X，Y）的概率分布（律）為證明：X、Y相互獨(dú)立。例1

2/5

1/5

2/5

p.j

2/44/202/204/202

1/42/201/202/2011/42/201/202/201/2

pi.20-1yx逐個(gè)驗(yàn)證等式設(shè)（X，Y）的概率分布（律）為證明：X、Y相互獨(dú)立。例148證

∵X與Y的邊緣分布律分別為∴X、Y相互獨(dú)立2/51/52/5p.i20-1

X2/41/41/4Pj.211/2

Y證∵X與Y的邊緣分布律分別為∴X、Y相互獨(dú)立2/549例2設(shè)（X，Y)的概率密度為求(1)P（0≤X≤1，0≤Y≤1）(2)(X,Y)的邊緣密度，（3）判斷X、Y是否獨(dú)立。解①設(shè)A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11例2設(shè)（X，Y)的概率密度為求(1)P（0≤X≤150②邊緣密度函數(shù)分別為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，同理可得②邊緣密度函數(shù)分別為當(dāng)時(shí)當(dāng)51③所以X與Y相互獨(dú)立。③所以X與Y相互獨(dú)立。52例3已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。判斷X，Y是否獨(dú)立。解（X,Y）的密度函數(shù)為例3已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分解53當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為關(guān)于X的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于X54當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為關(guān)于Y的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于Y55所以所以，X與Y不獨(dú)立。所以所以，X與Y不獨(dú)立。56設(shè)（X,Y)服從矩形域上的均勻分布，求證X與Y獨(dú)立。例4時(shí)解設(shè)（X,Y)服從矩形域上的均勻分布，求證X與Y獨(dú)57于是同理所以即X與Y獨(dú)立。時(shí)于是同理所以即X與Y獨(dú)立。時(shí)58二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布59二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)

是二維隨機(jī)變量,

其聯(lián)合分布函數(shù)為

是隨機(jī)變量

的二元函數(shù)

的分布函數(shù)問題：如何確定隨機(jī)變量Z的分布呢？二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布函數(shù)60二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)

是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布列為

則是一維的離散型隨機(jī)變量其分布列為二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其聯(lián)61例設(shè)的聯(lián)合分布列為

YX-2-10-11/121/123/12?2/121/12032/1202/12分別求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列例設(shè)的聯(lián)合分布列為62解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457解由（X，Y）的聯(lián)合分布列可得如下表格概率1/1263解得所求的各分布列為X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12解得所求的各分布列為X+Y-3-2-1-3/2-164二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)

是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布密度為

則是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量其分布函數(shù)為是二元連續(xù)函數(shù)，其分布密度函數(shù)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其聯(lián)65例

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布密度函數(shù)解例設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求隨機(jī)變量Z66例

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布函數(shù)解……………所求分布函數(shù)為分布密度函數(shù)為例設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求隨機(jī)變量Z67兩個(gè)隨機(jī)變量的和的分布見課本P67例1如果（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為f(x,y)，則Z=X+Y的分布密度函數(shù)為或特別，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，有卷積公式

或兩個(gè)隨機(jī)變量的和的分布見課本P67例1如果（X，68記住結(jié)論！兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布如果X與Y相互獨(dú)立記住結(jié)論！兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和的分布69例證明：如果X與Y相互獨(dú)立，且X~B（n,p），Y~B（m,p），則X+Y~B（n+m,p）證明X+Y所有可能取值為0，1，…,m+n.證畢例證明：如果X與Y相互獨(dú)立，且X~B（n,p），證明70第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差*協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律與中心極限定理第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差*協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)71數(shù)學(xué)期望的引例MathematicalExpectation例如：某7人的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)橐灶l率為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù)學(xué)期望的引例MathematicalExpectatio72數(shù)學(xué)期望E(X)MathematicalExpectation定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即數(shù)學(xué)期望E(X)MathematicalExpectati73XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的分布律：例求數(shù)學(xué)期望E（X）解XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的分74連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)連續(xù)型隨機(jī)變量定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則即連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)連續(xù)型隨機(jī)變量定義設(shè)連續(xù)型隨75數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例

求數(shù)學(xué)期望。解

數(shù)學(xué)期望的計(jì)算已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例求數(shù)學(xué)期望。76數(shù)學(xué)期望的意義試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，X的觀測(cè)值的算術(shù)平均值在E(X)附近擺動(dòng)數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(ExpectedValue)，均值(Mean)E(X)反映了隨機(jī)變量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均。數(shù)學(xué)期望的意義試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，X的觀測(cè)值的算術(shù)平均值數(shù)學(xué)77二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離78設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為例(1)求k(2)求X和Y的邊緣密度(3)求E(X),E(Y).設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為例(1)求k(2)求X和Y的79(1)由解所以所以得113時(shí)(2)(1)由解所以所以得113時(shí)(2)80（３）時(shí)113（３）時(shí)11381113（３）另解無需求邊緣分布密度函數(shù)113（３）另解無需求82隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：一維情形設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù),離散型連續(xù)型概率密度為隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：一維情形設(shè)是隨機(jī)變量X的83服從

已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)?/p>

所以

例解服從已知上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。因?yàn)樗岳?4隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2：二維情形聯(lián)合概率密度為設(shè)是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù),連續(xù)型離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2：二維情形聯(lián)合概率密度為設(shè)8515例設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為

求E（XY）解

15例設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為求E（86數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量.C為常數(shù)..數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量.C為常數(shù).87設(shè)（X,Y）在由4個(gè)點(diǎn)（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).302練一練答案：設(shè)（X,Y）在由4個(gè)點(diǎn)（0，0）（3，0），（3，2),30880-1分布的數(shù)學(xué)期望X服從0-1分布，其概率分布為P(X=1)=pP(X=0)=1-pXP011-pp若X服從參數(shù)為p的0-1分布，則E(X)=p分布律數(shù)學(xué)期望0-1分布的數(shù)學(xué)期望X服從0-1分布，其概率分布為P(X=189IfX~B(n,p),thenE(X)=np二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望分布律X服從二項(xiàng)分布，其概率分布為數(shù)學(xué)期望二項(xiàng)分布可表示為個(gè)０－１分布的和其中則IfX~B(n,p),thenE(X)=90泊松分布的數(shù)學(xué)期望If,then

分布律數(shù)學(xué)期望泊松分布的數(shù)學(xué)期望If91均勻分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望均勻分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望92X~N(μ，σ2）正態(tài)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望X~N(μ，σ2）正態(tài)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望93指數(shù)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望指數(shù)分布的期望分布密度數(shù)學(xué)期望94數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組，把這10個(gè)人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性，則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次；若結(jié)果為陽性，則需對(duì)10個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn)，總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問：這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比，是否能減少化驗(yàn)次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X我們需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用Anapplicationof95化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。(X=1)=“10人都是陰性”（X=11)=“至少1人陽性”結(jié)論：分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)注意求X期望值的步驟！化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律。(961、概率p對(duì)是否分組的影響問題的進(jìn)一步討論若p=0.2，則當(dāng)p>0.2057時(shí)，E(X)>102、概率p對(duì)每組人數(shù)n的影響當(dāng)p=0.2時(shí)，可得出n<10.32，才能保證EX<10.當(dāng)p=0.1時(shí)，為使1、概率p對(duì)是否分組的影響問題的進(jìn)一步討論若p=0.2，則97例獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1+

p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X則X的所有可能取值為0，1解所以例獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p298方差大數(shù)定律方差99方差的引入E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：

兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品2理想。方差的引入E(X1)=5X2P2100方差（Variance）的定義定義均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）與有相同的量綱設(shè)是一隨機(jī)變量，如果存在，則稱為的方差，記作或即方差（Variance）的定義定義均方101方差的計(jì)算公式Proof.方差的計(jì)算公式Proof.102一維隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為離散型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)其中一維隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為離散型連續(xù)型103方差的計(jì)算E(X1)=5X2P235781/81/81/21/81/8E(X2)=5X1P4561/41/21/4例設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：求D(X1),D(X2)解方差的計(jì)算E(X1)=5X2P21040-1分布的方差XP011-pp分布律方差其中0-1分布的方差XP011-pp分105二項(xiàng)分布的方差I(lǐng)fX~B(n,p),thenD(X)=np(1-p)分布律方差X~B(n,p)其中推導(dǎo)？二項(xiàng)分布的方差I(lǐng)fX~B(n,p),t106泊松分布的方差I(lǐng)fthen分布律方差推導(dǎo)？泊松分布的方差I(lǐng)fthen分布律方差推導(dǎo)？107均勻分布的方差分布密度方差均勻分布的方差分布密度方差108正態(tài)分布的方差分布密度方差正態(tài)分布的方差分布密度方差109指數(shù)分布的方差分布密度方差指數(shù)分布的方差分布密度方差110常見分布及其期望和方差列表P84分布名稱數(shù)學(xué)期望E（X）方差D（X）0-1分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布常見分布及其期望和方差列表P84分布名稱111方差的計(jì)算步驟Step1:計(jì)算期望E(X)Step2:計(jì)算E(X2)Step3:計(jì)算D(X)離散型連續(xù)型離散型連續(xù)型方差的計(jì)算步驟Step1:計(jì)算期望E(X)Step2112方差的性質(zhì)相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量C為常數(shù)

a為常數(shù)證明方差的性質(zhì)相互獨(dú)立時(shí)當(dāng)隨機(jī)變量C113二維隨機(jī)變量的方差(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量

二維隨機(jī)變量的方差(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量114二維隨機(jī)變量的方差

(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的方差(X,Y115是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為求.練一練解因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以而是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為求.練一練解因116所以所以117例

某地出產(chǎn)的某品種的蘋果的總量X服從正態(tài)分布。若E(X)=148,D(X)=162.寫出X的分布律和概率密度，并用積分表示解若隨機(jī)變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。練一練所以例某地出產(chǎn)的某品種的蘋果的總量X服從正態(tài)分布。若E(X)=118解若隨機(jī)變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。練一練所以得所以解若隨機(jī)變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)練一119例

已知一批玉米種子的發(fā)芽率是75％，播種時(shí)每穴種三粒，求每穴發(fā)芽種子粒數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差及均方差.,

,

.設(shè)發(fā)芽種子數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布，且解設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射擊命中的概率為0.4，求X的數(shù)學(xué)期望。練一練所以例已知一批玉米種子的發(fā)芽率是75％，播種時(shí)每穴種三粒，求120例某動(dòng)物的壽命X（年）服從指數(shù)分布，其中參數(shù)＝0.1，求這種動(dòng)物的平均壽命及標(biāo)準(zhǔn)差.所以這種動(dòng)物的平均壽命為10年，標(biāo)準(zhǔn)差為10年.解因?yàn)榉闹笖?shù)分布，且練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求例某動(dòng)物的壽命X（年）服從指數(shù)分布，其中參數(shù)＝0.121解X的密度函數(shù)為

練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求所以而所以解X的密度函數(shù)為練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的122解X的密度函數(shù)為

練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求所以解X的密度函數(shù)為練一練設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的123證畢證明

證畢證明124證畢證明

證畢證明125大數(shù)定律大數(shù)定律126大數(shù)定律在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性

大量的隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性

概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律（lawoflargenumber)大數(shù)定律在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事127切比雪夫（Chebyshev)不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有有限數(shù)學(xué)期望EX和方差DX，則對(duì)于任意正數(shù)，如下不等式成立?！斜妊┓虿坏仁?/p>

證明設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為則證畢切比雪夫（Chebyshev)不等式128切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對(duì)X的概率分布進(jìn)行估值。例已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率。解設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個(gè)數(shù)，則則切比雪夫（Chebyshev)不等式的應(yīng)用129而所以練一練設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率而所以練一練130

練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率解

練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2.5，利用131樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理

定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，且服從同一分布，并具有數(shù)學(xué)期望及方差，則對(duì)于任意正數(shù)，恒有觀測(cè)量X在相同的條件下重復(fù)觀測(cè)n次，當(dāng)n充分大時(shí)，“觀測(cè)值的算術(shù)平均值接近于期望”是一大概率事件。即依概率收斂于即n充分大時(shí)，——辛欽大數(shù)定理樣本平均數(shù)穩(wěn)定性定理定理設(shè)132伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）

定理設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)恒有

定理的應(yīng)用：可通過多次重復(fù)一個(gè)試驗(yàn)，確定事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）定理133中心極限定理（Centrallimittheoem)客觀背景：客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個(gè)微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。

概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。中心極限定理（Centrallimittheoem)134獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿足如下極限式獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1135定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，不管服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，不136例一部件包括10部分，每部分的長度是一個(gè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是0.05mm，規(guī)定總長度為20±0.1mm時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。解設(shè)部件的總長度為X，每部分的長度為Xi（i=1,2,…,10)，則由定理4.5可知：X近似地服從正態(tài)分布即例一部件包括10部分，每部分的長度是一個(gè)隨機(jī)變解設(shè)部137續(xù)解則產(chǎn)品合格的概率為續(xù)解則產(chǎn)品合格的概率為138棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理(DeMoivre-Laplace)

定理設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意區(qū)間，恒有二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布即如果，則棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理(DeMoivre-L139一般地，如果，則一般地，如果，則140例現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？解設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則所求概率為例現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選解141續(xù)例種子中良種占1/6，我們有99%的把握斷定在6000粒種子中良種所占的比例與1/6之差是多少？這時(shí)相應(yīng)的良種數(shù)落在哪個(gè)范圍？解設(shè)良種數(shù)為X，則設(shè)良種所占比例與1/6的差值為，則依題意有續(xù)例種子中良種占1/6，我們有99%的把握斷定在600142查表得此時(shí)有即查表得此時(shí)有即143解設(shè)100根木材中長度不短于3米的根數(shù)為X，則

有一大批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)從這批木材中任取100根，試求其中至少有30根短于3米的概率。練習(xí)所求概率為解設(shè)100根木材中長度不短于3米的根數(shù)為X，則144作業(yè)習(xí)題四

21、29、30預(yù)習(xí)第五章之1、2節(jié)作業(yè)習(xí)題四145數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)146第五章樣本與統(tǒng)計(jì)量第五章樣本與統(tǒng)計(jì)量147引言隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律。

概率論的許多問題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計(jì)算與推理都是在這已知是基礎(chǔ)上得出來的。但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。引言隨機(jī)變量及其所伴隨的概率148引言例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的；產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。引言例如：某公路上行駛車輛的速度149從第五章開始，我們學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性作出合理的推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)所包含的內(nèi)容十分豐富，本書介紹其中的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、回歸分析等內(nèi)容.第五章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本術(shù)語、基本概念、重要的統(tǒng)計(jì)量及其分布，它們是后面各章的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容從第五章開始，我們學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)理150樣本與統(tǒng)計(jì)量總體與樣本

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體（population)或母體，而把組成總體的每個(gè)單元稱為個(gè)體。抽樣

要了解總體的分布規(guī)律，在統(tǒng)計(jì)分析工作中，往往是從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)，這個(gè)過程稱為抽樣。樣本與統(tǒng)計(jì)量總體與樣本在數(shù)151樣本與統(tǒng)計(jì)量子樣

子樣是n個(gè)隨機(jī)變量，抽取之后的觀測(cè)數(shù)據(jù)稱為樣本值或子樣觀察值。在抽取過程中，每抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)總體X進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次抽取的n個(gè)個(gè)體，稱為總體X的一個(gè)容量為n的樣本（sample）或子樣；其中樣本中所包含的個(gè)體數(shù)量稱為樣本容量。樣本與統(tǒng)計(jì)量子樣子樣152隨機(jī)抽樣方法的基本要求獨(dú)立性——即每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。滿足上述兩點(diǎn)要求的子樣稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣.獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣的抽樣方法叫簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.代表性——即子樣()的每個(gè)分量與總體具有相同的概率分布。從簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣的含義可知，樣本是來自總體、與總體具有相同分布的隨機(jī)變量.隨機(jī)抽樣方法的基本要求獨(dú)立性——即每次抽樣的結(jié)果既153簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

例如：要通過隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測(cè)后放回原來的總量中，則這是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。但實(shí)際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量N很大時(shí)，可近似看成是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣例如：要通過隨機(jī)抽154統(tǒng)計(jì)量

定義設(shè)（）為總體X的一個(gè)樣本，為不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱為樣本（）的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。則例如：設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個(gè)樣本，其中為已知參數(shù),為未知參數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量定義設(shè)（155幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值（samplemean)設(shè)是總體的一個(gè)樣本，樣本方差(samplevariance)幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值（sample156樣本均方差或標(biāo)準(zhǔn)差它們的觀測(cè)值用相應(yīng)的小寫字母表示.反映總體X取值的平均，或反映總體X取值的離散程度。幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量設(shè)是總體的一個(gè)樣本，樣本均方差或標(biāo)準(zhǔn)差它們的觀測(cè)值用相應(yīng)的小寫字157子樣的K階（原點(diǎn)）矩幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量設(shè)是總體的一個(gè)樣本，子樣的K階中心矩子樣的K階（原點(diǎn)）矩幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量設(shè)158它包括兩個(gè)方面——數(shù)據(jù)整理計(jì)算樣本特征數(shù)數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，首要的工作是收集原始數(shù)據(jù).一般通過抽樣調(diào)查或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)往往是雜亂無章的，需要通過整理后才能顯示出它們的分布狀況。數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理是以一種直觀明了方式加工數(shù)據(jù)。它包括兩個(gè)方面——數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理159計(jì)算樣本特征數(shù)：數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理數(shù)據(jù)整理：將數(shù)據(jù)分組計(jì)算各組頻數(shù)作頻率分布表作頻率直方圖（1）反映趨勢(shì)的特征數(shù)樣本均值中位數(shù)：數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位置居中的那個(gè)數(shù)或居中的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。眾數(shù)：樣本中出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)。計(jì)算樣本特征數(shù)：數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理數(shù)據(jù)整160數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理（2）反映分散程度的特征數(shù)：極差、四分位差極差——樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，四分位數(shù)——將樣本數(shù)據(jù)依概率分為四等份的3個(gè)數(shù)椐，依次稱為第一、第二、第三四分位數(shù)。第一四分位數(shù)Q1：第二四分位數(shù)Q2：第三四分位數(shù)Q3：數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單處理（2）反映分散程度的特征數(shù)：161例1為對(duì)某小麥雜交組合F2代的株高X進(jìn)行研究，抽取容量為100的樣本，測(cè)試的原始數(shù)據(jù)記錄如下(單位：厘米)，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫出它的頻率直方圖，求隨機(jī)變量X的分布狀況。

87 88 111 91 73 70 92 98 105 9499 91 98 110 98 97 90 83 92 8886 94 102 99 89 104 94 94 92 9687 94 92 86 102 88 75 90 90 8084 91 82 94 99 102 91 96 94 9485 88 80 83 81 69 95 80 97 9296 109 91 80 80 94 102 80 86 9190 83 84 91 87 95 76 90 91 77103 89 88 85 95 92 104 92 95 8386 81 86 91 89 83 96 86 75 92例1為對(duì)某小麥雜交組合F2代的株高X進(jìn)行研究，抽取容162第一．整理原始數(shù)據(jù)，加工為分組資料，作出頻率分布表，畫直方圖，提取樣本分布特征的信息.步驟如下：1.找出數(shù)據(jù)中最小值m=69，最大值M=111，極差為M－m=422.數(shù)據(jù)分組，根據(jù)樣本容量n的大小，決定分組數(shù)k。一般規(guī)律30≤n≤405≤k≤640≤n≤606≤k≤860≤n≤1008≤k≤10100≤n≤50010≤k≤20第一．整理原始數(shù)據(jù)，加工為分組資料，作出頻率分布1.找出數(shù)據(jù)163數(shù)據(jù)分組數(shù)參考表數(shù)據(jù)數(shù)40~60100150200400600800100015002000500010000分組數(shù)6~87~910~15162024273035395674數(shù)據(jù)分組數(shù)參考表數(shù)據(jù)數(shù)40~6010015164一般采取等距分組（也可以不等距分組），組距等于比極差除以組數(shù)略大的測(cè)量單位的整數(shù)倍。本例取k=9.本例測(cè)量單位為1厘米，組距為一般采取等距分組（也可以不等距分組），組距等1653．確定組限和組中點(diǎn)值。注意：組的上限與下限應(yīng)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)。當(dāng)取a=67.5，b=112.49（a略小于m，b略大于M，且a和b都比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)），分組如下：一般根據(jù)算式：各組中點(diǎn)值

組距=組的上限或下限[67.5,72.5)[72.5,77.5)[77.5,82.5)[82.5,87.5)[87.5,92.5)[92.5,97.5)[97.5,102.5)[102.5,107.5)[107.5,112.5)組中值分別為：7075808590951001051103．確定組限和組中點(diǎn)值。注意：組的上限與下限應(yīng)比數(shù)據(jù)多一位小1664．將數(shù)據(jù)分組，計(jì)算出各組頻數(shù)，作頻數(shù)、頻率分布表組序區(qū)間范圍頻數(shù)fj頻率Wj=fj/n累計(jì)頻率Fj1[67.5,72.5)20.020.022[72.5，77.5）50.050.073[77.5，82.5）100.100.174[82.5，87.5）180.180.355[87.5，92.5）300.30.656[92.5，97.5）180.180.837[97.5，102.5）100.10.938[102.5，107.5）40.040.979[107.5，112.5）30.031.004．將數(shù)據(jù)分組，計(jì)算出各組頻數(shù)，作頻數(shù)、頻率分布表組序區(qū)間范167作頻率直方圖5.作出頻率直方圖以樣本值為橫坐標(biāo)，頻率/組距為縱坐標(biāo)；以分組區(qū)間為底，以為高作頻率直方圖5.作出頻率直方圖以樣本值為橫坐標(biāo)，頻168從頻率直方圖可看到：靠近兩個(gè)極端的數(shù)據(jù)出現(xiàn)比較少，而中間附近的數(shù)據(jù)比較多，即中間大兩頭小的分布趨勢(shì)，——隨機(jī)變量分布狀況的最粗略的信息。在頻率直方圖中，每個(gè)矩形面積恰好等于樣本值落在該矩形對(duì)應(yīng)的分組區(qū)間內(nèi)的頻率，即頻率直方圖中的小矩形的面積近似地反映了樣本數(shù)據(jù)落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的可能性大小，故它可近似描述X的分布狀況。從頻率直方圖可看到：靠近兩個(gè)極端的數(shù)據(jù)出現(xiàn)比較169樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差Q1Q3極差四分位差68.69098.28885.2595424.875第二．計(jì)算樣本特征數(shù)

1.反映集中趨勢(shì)的特征數(shù)：樣本均值、中位數(shù)、眾數(shù)等樣本均值MEAN中位數(shù)MEDIAN眾數(shù)2.反映分散程度的特征數(shù)：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、極差、四分位差等上述差異特征統(tǒng)計(jì)量的值越小，表示離散程度越小.樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差Q1Q3極差170MTB>setc1DATA>8788111917370929810594999198DATA>1109897839083928886941029989104DATA>94949296879492861028875909080DATA>84918294991029196949485888083DATA>8169958097929610991808094102DATA>80869190838491879576909177103DATA>8988859592104929583868186918983DATA>96867592MTB>endMTB>describec1例1DOS狀態(tài)下的MINITAB操作MTB>setc1例1DOS狀態(tài)下的MINITA171顯示：NMEANMEDIANTRMEANSTDEVC110090.30091.00090.3228.288SEMEANMINMAXQ1Q3C10.82969.000111.00085.25095.000中位數(shù)第一四分位數(shù)第三四分位數(shù)顯示：中位數(shù)第一四分位數(shù)第三四分位數(shù)172MTB>CODE(67.5:72.49)70(72.5:77.49)75(77.5:82.49)80(82.5:87.49)85(87.5:92.49)90(92.5:97.49)95(97.5:102.49)100(102.5:107.49)105(107.5:112.49)110C1C2MTB>TALLYC2;SUBC>ALL.將C1數(shù)據(jù)列重新編碼，并保存到C2數(shù)據(jù)列顯示各列數(shù)據(jù)的頻數(shù)、累計(jì)頻數(shù)、頻率、累計(jì)頻率MTB>CODE(67.5:72.49)70(72.173C2COUNTSCUMCNTSPERCENTSCUMPCENTS（頻數(shù)）（累計(jì)頻數(shù)）（頻率）（累計(jì)頻率）120.020.02570.050.0710170.100.1718350.180.3530650.300.6518830.180.8310930.100.934970.040.9731000.031.00顯示結(jié)果C2COUNTSCUMCNTSPERCEN174作業(yè)習(xí)題五P1112；3；4預(yù)習(xí)第三節(jié)統(tǒng)計(jì)量的分布作業(yè)習(xí)題五P111175統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量的分布176統(tǒng)計(jì)量是樣本的不含任何未知數(shù)的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。由于正態(tài)總體是最常見的總體，因此這里主要討論正態(tài)總體下的抽樣分布.由于這些抽樣分布的論證要用到較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，故在本節(jié)中，我們主要給出有關(guān)結(jié)論，以供應(yīng)用.統(tǒng)計(jì)量是樣本177正態(tài)總體樣本均值的分布設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布正態(tài)總體樣本均值的分布設(shè)總體178概率分布的分位數(shù)(分位點(diǎn))使P{X≥x}=，定義對(duì)總體X和給定的(0<<1)，若存在x，則稱x為X分布的上側(cè)分位數(shù)或上側(cè)臨界值.如圖.xoyxP{X≥x}=若存在數(shù)1、2，使P{X≥1}=P{X≤2}則稱1、2為X分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.oyx21概率分布的分位數(shù)(分位點(diǎn))使P{X≥x}=，定義對(duì)總體179雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值的特例當(dāng)X的分布關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，則稱為X分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.若存在使yxO雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值的特例當(dāng)X的分布關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，則180U—分布的上側(cè)分位數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U～N(0,1)和給定的，上側(cè)分位數(shù)是由：P{U≥u}=即P{U<u}=1-(u)=1-確定的點(diǎn)u.如圖.(x)xOu例如，=0.05，而P{U≥1.645}=0.05所以，u0.05=1.645.U—分布的上側(cè)分位數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量181U—分布的雙側(cè)分位數(shù)的點(diǎn)u/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)或雙側(cè)臨界值.如圖.u/2可由P{U≥u/2}=/2對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量U～N(0,1)和給定的，稱滿足條件P{|U|≥u/2}=即(u

/2)=1-

/2反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到，P{U≥1.96}=0.05

/2例如，求u0.05/2，得u0.05/2=1.96(x)Ou/2

/2-u/2

/2xU—分布的雙側(cè)分位數(shù)的點(diǎn)u/2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)182標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)在實(shí)際問題中，常取0.1、0.05、0.01.常用到下面幾個(gè)臨界值：u0.05=1.645，u0.01=2.326u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.575標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)在實(shí)際問題中，常取0.1、0.183

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即

2分布t

分布F分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布(都是連續(xù)型).它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系.！在本章中特別要求掌握對(duì)正態(tài)分布、

2分布、t分布、F分布的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用.它們是后面各章的基礎(chǔ).數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個(gè)非常有用的184——分布

定義設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，分布的密度函數(shù)為——分布定義設(shè)總體18501357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖5-4f(y)其圖形隨自由度的不同而有所改變.2分布表(附表3(P254)).分布密度函數(shù)的圖形01357911131186滿足的數(shù)為

2分布的上分位數(shù)或上側(cè)臨界值，其幾何意義見圖5-5所示.其中f(y)是

2-分布的概率密度.f(y)xO圖5-5顯然，在自由度n取定以后，