恒成立問題-公開課教學(xué)設(shè)計

恒成立問題新課標(biāo)下的高考越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點(diǎn)為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識密不可分．解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題常用以下幾種方法：①函數(shù)性質(zhì)法；②主參換位法；③分離參數(shù)法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤消元轉(zhuǎn)化法．一、判別式法設(shè)（1）上恒成立；?（2）上恒成立．例1．已知不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立．則取值范圍是_______.【分析】由不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，知或由此能求出的取值范圍．【解析】∵不等式對任意實(shí)數(shù)，或解得．【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．二、主參換位法例2．若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍．【分析】我們可以用改變主元的辦法，將視為主變元，即將元不等式化為：來求解．【解析】【點(diǎn)評】有些問題，如果采取反客為主（即改變主元）的策略，可產(chǎn)生意想不到的效果．給定一次函數(shù)，若在內(nèi)恒有，則根據(jù)函數(shù)的圖像（線段）（如右下圖）可得上述結(jié)論等價于（1）或（2）可合并定成圖1（1）圖1（1）同理，若在內(nèi)恒有，則有nnmOxy圖1（2）圖1（2）三、分離參數(shù)法例3．設(shè)函數(shù)，對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。四、數(shù)形結(jié)合法例4．已知當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：本題若直接求解則比較繁難，但若在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象，借助圖形可以直觀、簡捷求解．解：在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象（如右），從圖象中容易知道：當(dāng)且時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)上方，不合題意；當(dāng)且時，欲使函數(shù)的圖象恒在函數(shù)下方或部分點(diǎn)重合，就必須滿足，即．故所求的的取值范圍為．評注：對不等式兩邊巧妙構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，直觀形象，是解決不等式恒成立問題的一種快捷方法．練習(xí)：1．已知，不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出的圖象可知為減函數(shù)，∴等價于在恒成立，即，解得．2．若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】恒成立不等式變形為，即的圖象在圖象的上方，先作出的圖象，對于，可看作經(jīng)過平移得到，而平移的距離與的取值有關(guān)．通過觀察圖象，可得只需，解得．3．已知函數(shù)，對任意的，都有，則最大的正整數(shù)為_____【答案】【解析】，即，作出函數(shù)和的圖象，可知，，，∴，即的最大整數(shù)值為．4．若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________【答案】5．已知定義在上的奇函數(shù)滿足:當(dāng)時,,若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時,在上是增函數(shù)對任意實(shí)數(shù)恒成立對任意實(shí)數(shù)恒成立,結(jié)合二次函數(shù)圖象可得,6.當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是．7.若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.OO圖5圖5【解析】對，不等式恒成立，則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即．8.若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．圖6圖6綜上得：．9．若不等式對于任意恒成立．實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：此不等式是否為一元二次不等式，應(yīng)該先進(jìn)行分類討論；一元二次不等式任意恒成立，可以選擇判別式法．解：當(dāng)時，不等式化為，顯然對一切實(shí)數(shù)恒成立；當(dāng)時，要使不等式一切實(shí)數(shù)恒成立，須有，解得．綜上可知，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是．10．關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。分析：題目中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解。解法1（利用韋達(dá)定理）：設(shè)3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。即解得a-8.解法2（利用根與系數(shù)的分布知識）：即要求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)=t2+(4+a)t+4.10.=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8.4oxya=0時，f(x)=(t+2)2=0,4oxya=-8時，f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合題意?！郺=-8.20.>0,即a<-8或a>0時，∵f(0)=4>0,故只需對稱軸，即a<-4.∴a<-8綜合可得a-8.11．若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由得，即，即存在正數(shù)使成立即可，，所以只要，，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)時，，所以，即的取值范圍是．12．已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】13．若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由已知可得，即恒成立，即恒成立，又解得即，所以解得或14.若函數(shù)對任意的恒成立，則．【答案】．15.若函數(shù)，滿足對任意實(shí)數(shù)、，當(dāng)時，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】．【解析】由對任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時，，得到在上是增函數(shù)，而在上是增函數(shù)，所以有：16若對滿足條件的正實(shí)數(shù)都有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】．【解析】設(shè)，則，∴，∴或（舍），不等式化為：（），∴.17.設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．【答案】【解析】恒成立不等式為，只需，令，則對稱軸為．①當(dāng)時，在單調(diào)遞增，∴，∴，即；②當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∴，即．綜上，．18．對于滿足不等式的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的值恒大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：若審題不清，按習(xí)慣以為主元，則求解將非常煩瑣．應(yīng)該注意到：函數(shù)值大于對一定取值范圍的誰恒成立，則誰就是主元．解：設(shè)，，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題．故應(yīng)該有，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．評注：在某些特定的條件下，若能變更主元，轉(zhuǎn)換思考問題的角度，不僅可以避免分類討論，而且可以輕松解決恒成立問題．19．若定義在的函數(shù)滿足，且時不等式成立，若不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．解：設(shè)，則，有．這樣，，則，函數(shù)在為減函數(shù)．因此；而（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又，所以的取值范圍是．20．已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若，若對于所有的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【點(diǎn)評】對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題，可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決．上述例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)的不同，但其實(shí)質(zhì)卻都與求函數(shù)的最值是等價的，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)一美”．21.當(dāng)x(1,2)時，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。xyxyo12y1=(x-1)2y2=logax解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對一切x(1,2),y1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1,a>1,1<a2.22.已知關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。xyl1l2l-20o分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y=x2+20x及一次函數(shù)xyl1l2l-20o解：令y1=x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,則如圖所示，y1的圖象為一個定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2當(dāng)直線為l1時，直線過點(diǎn)（-20，0）此時縱截距為-6a-3=1