函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件2

1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(2)

1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件23函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件24函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件25函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件26函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件27函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件28函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件29函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件210函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件2112212函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件213函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件214設(shè)函數(shù)f(x)=x-

-alnx(a∈R).討論f(x)的單調(diào)性。練習(xí).設(shè)函數(shù)f(x)=x--alnx(a∈R).練習(xí).15【規(guī)范解答】f(x)的定義域為(0,+∞).f′(x)=令g(x)=x2-ax+1,其判別式Δ=a2-4.①當(dāng)|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.②當(dāng)a＜-2時，Δ＞0,g(x)=0的兩根都小于0，在(0,+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增【規(guī)范解答】f(x)的定義域為(0,+∞).16③當(dāng)a＞2時，Δ＞0,g(x)=0的兩根為當(dāng)0＜x＜x1時，f′(x)＞0；當(dāng)x1＜x＜x2時，f′(x)＜0；當(dāng)x＞x2時，f′(x)＞0，故f(x)分別在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減.③當(dāng)a＞2時，Δ＞0,g(x)=0的兩根為17函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件218函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件219函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件220函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件221函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件222函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件223函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件224函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件225函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件226函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件227函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件228函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件2291．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍是________．1．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)增函數(shù)，303.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,試確定a的取值范圍,并求其單調(diào)區(qū)間.解:若a>0,對一切實數(shù)恒成立,此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間,矛盾.若a=0,此時f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間,矛盾.若a<0,則,易知此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間.故a<0,其單調(diào)區(qū)間是:單調(diào)遞增區(qū)間:單調(diào)遞減區(qū)間:和3.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,試確定a的取值31[規(guī)范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，則f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依題意須對于任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.當(dāng)a>0時，因為二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a<0，所以須f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；[2012·江西高考]已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)＝1，f(1)＝0，求a的取值范圍．[規(guī)范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得[2012·江西32當(dāng)a＝1時，對于任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合條件；當(dāng)a＝0時，對于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合條件；當(dāng)a<0時，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合條件．故a的取值范圍為[0,1].

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件233函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件234若k＞0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－k)和(k，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－k，k)．若k＞0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：35若k＜0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k)和(－k，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(k，－k)．若k＜0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：36函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件237[例1](2012·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)試確定a的取值范圍，使得曲線y＝f(x)上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P.[自主解答](1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.此時f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.當(dāng)x∈(－∞，1)時，有f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，有f′(x)＞0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．[例1](2012·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax238(2)設(shè)點P(x0，f(x0))，曲線y＝f(x)在點P處的切線方程為y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲線y＝f(x)在點P處的切線與曲線y＝f(x)只有一個公共點P等價于函數(shù)g(x)有唯一零點．因為g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－＋2a(x－x0)．①若a≥0，當(dāng)x＞x0時，g′(x)＞0，則x＞x0時，g(x)＞g(x0)＝0；當(dāng)x＜x0時，g′(x)＜0，則x＜x0時，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零點x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合題意．(2)設(shè)點P(x0，f(x0))，曲線y＝f(x)在點P處的39②若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，則h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，記x*＝ln(－2a)，則當(dāng)x∈(－∞，x*)時，h′(x)＜0，從而h(x)在(－∞，x*)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x*，＋∞)時，h′(x)＞0，從而h(x)在(x*，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．a(chǎn)．若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)時，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0；由x∈(x*，＋∞)時，g′(x)＝h(x)＞h(x*)＝0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增．所以函數(shù)g(x)在R上有且只有一個零點x＝x*.②若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，則40b．若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且h(x0)＝0，則當(dāng)x∈(x*，x0)時，有g(shù)′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(shù)(x1)＞0.又當(dāng)x∈(－∞，x1)時，易知g(x)＝ex＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＜ex1＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，其中b＝－(e＋f′(x0))，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)．由于a＜0，則必存在x2＜x1，使得ax＋bx2＋c＜0.所以g(x2)<0，故g(x)在(x2，x1)內(nèi)存在零點，即g(x)在R上至少有兩個零點．22b．若x0＞x*，由于h(x)在(x*，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且41函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件242函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件243函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件2441.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(2)

1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用45運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題46函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件247函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件248函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件249函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件250函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件251函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件252函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件253函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件254函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件2552256函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件257函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件258設(shè)函數(shù)f(x)=x-

-alnx(a∈R).討論f(x)的單調(diào)性。練習(xí).設(shè)函數(shù)f(x)=x--alnx(a∈R).練習(xí).59【規(guī)范解答】f(x)的定義域為(0,+∞).f′(x)=令g(x)=x2-ax+1,其判別式Δ=a2-4.①當(dāng)|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.②當(dāng)a＜-2時，Δ＞0,g(x)=0的兩根都小于0，在(0,+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增【規(guī)范解答】f(x)的定義域為(0,+∞).60③當(dāng)a＞2時，Δ＞0,g(x)=0的兩根為當(dāng)0＜x＜x1時，f′(x)＞0；當(dāng)x1＜x＜x2時，f′(x)＜0；當(dāng)x＞x2時，f′(x)＞0，故f(x)分別在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減.③當(dāng)a＞2時，Δ＞0,g(x)=0的兩根為61函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件262函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件263函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件264函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件265函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件266函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件267函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件268函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件269函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件270函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件271函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件272函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件2731．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍是________．1．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)增函數(shù)，743.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,試確定a的取值范圍,并求其單調(diào)區(qū)間.解:若a>0,對一切實數(shù)恒成立,此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間,矛盾.若a=0,此時f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間,矛盾.若a<0,則,易知此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間.故a<0,其單調(diào)區(qū)間是:單調(diào)遞增區(qū)間:單調(diào)遞減區(qū)間:和3.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,試確定a的取值75[規(guī)范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，則f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依題意須對于任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.當(dāng)a>0時，因為二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x－a的圖象開口向上，而f′(0)＝－a<0，所以須f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；[2012·江西高考]已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)＝1，f(1)＝0，求a的取值范圍．[規(guī)范解答]由f(0)＝1，f(1)＝0得[2012·江西76當(dāng)a＝1時，對于任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合條件；當(dāng)a＝0時，對于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合條件；當(dāng)a<0時，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合條件．故a的取值范圍為[0,1].

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件277函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件278若k＞0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－k)和(k，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－k，k)．若k＞0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：79若k＜0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k)和(－k，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(k，－k)．若k＜0，當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：80函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)課件281[例1](2012·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R.(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)試確定a的取值范圍，使得曲線y＝f(x)上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P.[自主解答](1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率k＝2a＝0，所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.此時f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.當(dāng)x∈(－∞，1)時，有f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，有f′(x)＞0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．[例1](2012·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax282(2)設(shè)點P(x0，f(x0))，曲線y＝f(x)在點P處的切線方程為y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲線y＝f(x)在點P處的切線與曲線y＝f(x)只有一個公共點P等價于函數(shù)g(x)有唯一零點．因為g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－＋2a(x－x0)．①若a≥0，當(dāng)x＞x0時，g′(x)＞0，則x＞x0時，g(x)＞g(x0)＝0；當(dāng)x＜x0時，g′(x)＜0，則x＜x0時，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零點x＝x0.由P的任意性知，a≥0不合題意．(2)設(shè)點P(x0，f(x0))，曲線y＝f(x)在點P處的83②若a＜0，令h(x)＝ex－ex0＋2a(x－x0)，則h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，記x*＝ln(－2a)，則當(dāng)x∈(－∞，x*)時，h′(x)＜0，從而h(x)在(－∞，x*)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x*，＋∞)時，h′