2023屆安徽省安慶市大聯(lián)考高三上學(xué)期階段性測試（三）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆安徽省安慶市大聯(lián)考高三上學(xué)期階段性測試（三）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出兩個集合中的不等式，再進(jìn)行集合的補集和并集運算.【詳解】不等式解得，∴，不等式解得，∴，，.故選：D2．已知條件，條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為逆否命題來判斷，在利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得結(jié)論【詳解】命題轉(zhuǎn)化為逆否命題：“”是“”的充分、必要問題因為，有，所以不一定為故充分性不成立當(dāng)時，則，所以必要性成立所以“”是“”的必要不充分條件由原命題與逆否命題等價性所以是的必要不充分條件故選：B.3．若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由，可得，進(jìn)而可得，代入中即可得答案.【詳解】解：因為，所以，所以.故選：C.4．已知向量滿足，則（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】解法一：設(shè)，由可得，由，可得,，則有，平方解得，由即可得答案；解法二：由及，可得，兩邊平方整理得，解得，即可得.【詳解】解法一：解：設(shè)，因為，所以，又因為，所以,設(shè)，則有，平方得，整理得，即，解得或(舍)，所以，又因為.故選：D.解法二：解：因為，所以因為，又因為，即，兩邊平方得：，整理得，即有，解得或(舍)，所以.故選：D.5．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】畫出約束條件表示的可行域，確定目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過的特殊點，即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】約束條件，表示的可行域如圖：由可得，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域內(nèi)的點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值9．故選：C．6．已知拋物線的焦點為為該拋物線上一點，且（點為坐標(biāo)原點），則（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】首先求出點坐標(biāo)，結(jié)合拋物線定義、余弦的定義以及誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】當(dāng)時，，解得，故，，，其鄰角的余弦值為，所以，化簡得，解得（負(fù)舍）故選：C.7．海上漁業(yè)生產(chǎn)發(fā)展迅猛，我國自主研發(fā)的大型海洋養(yǎng)殖船紛紛下海.網(wǎng)箱養(yǎng)殖人工創(chuàng)造適合魚類生長的環(huán)境，一段時間內(nèi)，研究人員發(fā)現(xiàn)網(wǎng)箱內(nèi)氧的含量（單位：與時間（單位：之間的關(guān)系為為網(wǎng)箱內(nèi)氧的初始含量且），且經(jīng)過后，網(wǎng)箱內(nèi)氧的含量減少.若當(dāng)網(wǎng)箱內(nèi)氧的含量低于初始含量的時需要人工增氧，則大約經(jīng)過（

）后需要人工增氧.參考數(shù)據(jù)：.A．39 B．33 C．31 D．27【答案】D【分析】由題意可得，得，設(shè)經(jīng)過后需要人工增氧，則可得，所以，化簡計算可得答案.【詳解】由題意可知，所以，則，得，設(shè)經(jīng)過后需要人工增氧，則，，所以，所以，，則，所以，所以，所以大約經(jīng)過27后需要人工增氧，故選：D8．已知在正方體中，分別是棱的中點，是棱上一點，則下列命題中正確的個數(shù)為（

）①異面直線與之間的距離為定值；②平面平面；③設(shè)平面平面，則；④直線與平面所成的角為.A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①中，異面直線之間的距離找公垂線段；②中，面面平行結(jié)合性質(zhì)定理驗證；③中，線面平行的性質(zhì)定理可證；④中，由線線角確定線面角，計算角的大小驗證.【詳解】如圖所示：對于①，過點作的平行線，與相交于點，則為異面直線與的公垂線段，且長度等于正方體棱長，所以異面直線與之間的距離為定值，①正確；對于②，平面平面，平面平面，若平面平面，則有，而不一定成立，②錯誤；對于③，平面平面，平面，所以平面，平面，平面平面，則，③正確；對于④，為的中點，連接，平面平面，平面平面，平面，，所以平面，直線與平面所成的角為，在中，，，直線與平面所成的角為，④正確.故選：B9．已知函數(shù),則在上的值域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性,再判斷時的單調(diào)性,進(jìn)而判斷在單調(diào)性,取端點處的函數(shù)值,及0處的極限即可判斷值域,選出選項.【詳解】解:由題知,定義域為,,在定義域上為偶函數(shù),則當(dāng)時,,,,,在單調(diào)遞減,在定義域上為偶函數(shù),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,,故在上的值域為.故選:D10．已知函數(shù)的圖象按向量平移后對應(yīng)的函數(shù)為，若在上單調(diào)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再按向量平移后得到，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為函數(shù)，函數(shù)圖象按向量平移后得到，當(dāng)，則，因為在上單調(diào)，由正弦函數(shù)的單調(diào)可知：或要使最小，則取0，故有或，解得：或，綜上，的最小值為，故選：A.11．已知雙曲線的離心率為，右焦點為，直線均過點且互相垂直，與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的左支交于點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)三點共線時，（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，由雙曲線的對稱性及雙曲線的定義，利用勾股定理建立方程求解可得.【詳解】設(shè)雙曲線另一焦點為，連接，如圖，因為三點共線，，所以由雙曲線的對稱性知，四邊形為矩形，設(shè)，則，，在中，，即，又，解得或（舍去），在中，，即，解得，即.故選：B12．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由所給數(shù)據(jù)可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性可比較，再由不等式性質(zhì)可比較，利用作商法比較大小.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，即，，，即，，，綜上，.故選：A二、填空題13．已知向量，，.若，則實數(shù)__________.【答案】##2.75【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示的減法原則，算出，若，則有，列出方程即可求得a.【詳解】解：已知，，，若，則，解得，故答案為：.14．已知圓的方程為，是圓上一動點，點，為線段的中點，則的最小值為__________.【答案】##【分析】點軌跡為以為圓心1為半徑的圓，的最小值為.【詳解】設(shè)，，點為線段的中點，有，得，在圓上，滿足圓的方程，則有，化簡得點軌跡方程為，點軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，如圖所示，，所以的最小值為.故答案為：15．如圖，有一半徑為1的球形燈泡，要為其做一個上窄下寬的圓臺形燈罩，要求燈罩對應(yīng)的圓臺的軸截面為球形燈泡對應(yīng)的大圓的外切等腰梯形，則燈罩的表面積（不含下底面）至少為__________.【答案】##【分析】軸截面為等腰梯形，設(shè)上底為，下底為，由幾何知識得間關(guān)系.后表示出燈罩表面積，可得最小值.【詳解】由題可得，軸截面為等腰梯形.如圖，E，F(xiàn)，P分別為圓在AD，BC，AB上切點.則，且三點共線.設(shè).其中.則由切線長定理得，.因，，，則，得平分.同理可得，平分，又，則.又，由射影定理得：，故.設(shè)燈罩的表面積為，燈罩上表面積為，燈罩側(cè)面面積為，則.又，（為圓臺母線長，為上下底面半徑）.則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及圓臺的表面積公式.解決本題的關(guān)鍵為能由幾何知識得到及能識記圓臺的側(cè)面積公式.16．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，若使不等式成立的最大整數(shù)為10，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】構(gòu)造得，利用累加法得到，分和討論，再結(jié)合等差數(shù)列前和公式及二次函數(shù)零點分布即可得到關(guān)于的不等式組，解出即可.【詳解】，兩邊同除得，，所以，即，化簡得，當(dāng)時，，，，，，故其無最大值，不合題意，舍去；當(dāng)時，，故是以為首項，公差為的等差數(shù)列，，，化簡得，,，故，即，令，顯然，且兩根之積為，設(shè)，則有，即，結(jié)合，解得，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題通過構(gòu)造得到，然后利用累加法才能得到，即得到表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列前和公式才能得到的表達(dá)式，最后解含參的一元二次不等式，，利用二次函數(shù)根的分布才能得到有關(guān)不等式組.三、解答題17．已知在中，角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)設(shè)點是邊的中點，若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡給定等式，再利用正弦定理邊化角即可求解作答.（2）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運算律及性質(zhì)，結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】（1）在中，依題意有，由正弦定理得：，而，即，則有，即，而，所以.（2）在中，由（1）知，，又，點是邊的中點，則,于是得，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，，即，所以的取值范圍是.18．已知函數(shù).(1)若的圖象在點處的切線斜率為，求的值；(2)當(dāng)時，判斷在內(nèi)有幾個零點，并證明.【答案】(1)(2)1個，證明見解析【分析】（1）利用在切點處的導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系即可求解；（2）轉(zhuǎn)化問題為當(dāng)時，與在內(nèi)的交點個數(shù)問題，利用導(dǎo)函數(shù)求得在內(nèi)的值域，即可求解.【詳解】（1）由題，，則，即，解得（2）當(dāng)時，在內(nèi)有1個零點，證明如下：由題，令，即，則，設(shè)，所以，因為當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，因為，當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)時，與在內(nèi)有一個交點，即當(dāng)時，在內(nèi)有1個零點.19．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）運用公式，求解的通項公式（2）解出的通項，運用錯位相減法求前項和為，代入中求解實數(shù)的最大值.【詳解】（1），由，當(dāng)時，，∴，，時，由，有，兩式相減，得，，時也成立，∴是以為首項為公比的等比數(shù)列，（2），，，，兩式相減，得，.，則對任意恒成立，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，則有，解得，∴，實數(shù)的最大值為3.20．如圖，在四棱錐中，平面平面，平面，，，，，動點在棱上運動.(1)求證：平面；(2)當(dāng)時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面，結(jié)合直線與平面平行的性質(zhì)可得到，結(jié)合可得到，過點作，垂足為，可得到.由平面平面，結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)可得到平面，可得到，進(jìn)而得到平面.（2）分別以為原點，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由可得點坐標(biāo)，從而結(jié)合空間向量與法向量可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）平面，且平面，平面平面，，，，，過點作，垂足為，如圖所示，四邊形為矩形，即，，，由，可得，即，又平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，平面，平面，且，平面.（2）分別以為原點，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，，由，則，解得，即，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，即，取，則，由（1）知平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為.21．已知橢圓的左?右頂點分別為，焦距為2，離心率為.(1)求橢圓的方程.(2)已知點的坐標(biāo)為，是否存在直線，使得對于上任意一點（不在橢圓上），若直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，恒有三點共線？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)直線存在，直線方程為.【分析】（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)建立方程組求解即可；（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)，得到直線的方程代入橢圓求出點坐標(biāo)，直線的方程代入橢圓求出點坐標(biāo)，由三點共線建立方程，等式恒成立，求t的值即可．【詳解】（1）由題意可知，，解得，，，∴橢圓的方程為.（2）由（1）可知，，，設(shè)，當(dāng)，點在軸上，則與重合，與重合，滿足有三點共線.當(dāng)，直線的方程為，代入橢圓方程消去得：，解得，則，同理，直線的方程為，代入橢圓方程可求得，，得，，若三點共線，的坐標(biāo)為，則有，可得，化簡得，點是上任意一點（不在橢圓上），等式恒成立，則有，解得,∴直線存在，直線方程為.【點睛】1.解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．2.注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．3.強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．已知函數(shù).(1)若時，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)，求使恒成立的實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)【分析】（1）首