2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二浙江專(zhuān)用版講義：第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精§2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解直線與平面垂直的定義；了解直線與平面所成角的概念。2.掌握直線與平面垂直的判定定理。3。會(huì)用直線與平面垂直的判定定理解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識(shí)點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）．如圖，觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定．思考2當(dāng)折痕AD滿(mǎn)足什么條件時(shí),AD與桌面垂直？答案當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí)，折痕AD與桌面垂直．梳理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α,b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言知識(shí)點(diǎn)三直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線與平面α相交，但不和平面α垂直,圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn),圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行．(×）2．若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α。(×）3．若a⊥b，b⊥α，則a∥α.(×)類(lèi)型一線面垂直的定義及判定定理的理解例1下列命題中,正確的序號(hào)是________．①若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α;③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；⑤過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條．考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案④⑤解析當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直時(shí),l與α不一定垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí),l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確;過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確．反思與感悟(1）對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不是一回事,后者說(shuō)法是不正確的，它可以使直線與平面斜交．(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．跟蹤訓(xùn)練1(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC（2）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．（填序號(hào)）考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案(1）C（2）①③④解析（1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O,OB,OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC。(2）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的,①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿(mǎn)足定理?xiàng)l件．類(lèi)型二線面垂直的判定例2如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC。（1）求證:SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明證明（1）因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC,BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC。(2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由（1）知SD⊥BD.又因?yàn)镾D∩AC＝D，SD，AC?平面SAC,所以BD⊥平面SAC.反思與感悟(1)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線,使它們和這條直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．（2)平行轉(zhuǎn)化法（利用推論):①a∥b,a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C點(diǎn)到AB1的距離為CE，D為AB的中點(diǎn)．求證：(1）CD⊥AA1;(2）AB1⊥平面CED。考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明證明（1)由題意知AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,所以CD⊥AA1。(2)因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A?平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA。因?yàn)锳B1?平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1,CD∩CE＝C，CD，CE?平面CED,所以AB1⊥平面CED.類(lèi)型三直線與平面所成的角例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；（2）求A1B與平面BB1D1D所成的角．考點(diǎn)直線與平面所成的角題點(diǎn)直線與平面所成的角解（1）∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°。(2）連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O，連接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O,BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A1B＝eq\r(2)，A1O＝eq\f(\r(2），2).又∵∠A1OB＝90°,∴sin∠A1BO＝eq\f(A1O，A1B)＝eq\f（1，2）,又∠A1BO∈［0°,90°］,∴∠A1BO＝30°,∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.反思與感悟求直線與平面所成角的步驟：（1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線．（2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角．(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，AB是圓柱的母線，BD是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上一點(diǎn)，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直線BD與平面ACD所成角的大?。键c(diǎn)直線與平面所成的角題點(diǎn)直線與平面所成的角解取AC的中點(diǎn)E，連接BE，DE。由題意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.又BD是底面圓的直徑，∴∠BCD＝90°，即CD⊥BC?！逜B∩BC＝B,AB，BC?平面ABC，∴CD⊥平面ABC,又∵BE?平面ABC,∴CD⊥BE。∵AB＝BC＝2,AB⊥BC，∴BE⊥AC且BE＝eq\r（2）,又AC∩CD＝C，AC,CD?平面ACD，∴BE⊥平面ACD,∴∠BDE即為BD與平面ACD所成的角,又BD＝eq\r(2)BC＝2eq\r（2）,∴sin∠BDE＝eq\f（BE，BD）＝eq\f（\r（2）,2\r（2))＝eq\f（1,2）,∴∠BDE＝30°，即BD與平面ACD所成的角為30°。1．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是(）A．平行 B．垂直C．相交 D．不確定考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案B解析由于直線l和三角形的兩邊AC,BC同時(shí)垂直,而這兩邊相交于點(diǎn)C,所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個(gè)平面內(nèi),所以l⊥AB。2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面,那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是（）A．α∥β，且m?αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n,且n?βD．m⊥n，且n∥β考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案B解析A中，由α∥β,且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C，D中,m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意,故選B。A．60°B．45°C．30°D．120°考點(diǎn)直線與平面所成的角題點(diǎn)直線與平面所成的角答案A解析∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO,所以cos∠ABO＝eq\f（1，2）,即∠ABO＝60°.故選A。4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于________．考點(diǎn)直線與平面所成的角題點(diǎn)直線與平面所成的角答案45°5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r（2），E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明：PC⊥平面BEF?？键c(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明證明如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點(diǎn)，所以EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2）＝2eq\r(2）＝BC，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，所以PC⊥平面BEF.1．直線和平面垂直的判定方法:(1)利用線面垂直的定義．（2)利用線面垂直的判定定理．(3）利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α,則b⊥α;②若α∥β,a⊥α,則a⊥β。2．線線垂直的判定方法：(1)異面直線所成的角是90°.(2）線面垂直，則線線垂直．3．求線面角的常用方法：(1）直接法(一作(或找）二證(或說(shuō)）三計(jì)算）．（2)轉(zhuǎn)移法(找過(guò)點(diǎn)與面平行的線或面）．（3)等積法(三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法).一、選擇題1．如圖，在正方形ABCD中,E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么,在這個(gè)空間圖形中必有(）A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案B解析根據(jù)折疊前、后AH⊥HE,AH⊥HF不變，∴AH⊥平面EFH，B正確;2．正方體ABCD－A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DBC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB1考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案D解析∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.故選D.3．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是（）A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案C解析連接AC。因?yàn)锳BCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC。因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．異面直線AD與CB1所成的角為45°考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案C解析由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，且BD?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正確;因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正確；異面直線AD與CB1所成的角即為AD與DA1所成的角，故為45°,所以D正確．5．下列說(shuō)法中,正確的有()①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直；②過(guò)直線l外一點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)平面與l垂直;③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面；④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面；⑤過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)．A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案B解析①④不正確，其他三項(xiàng)均正確．6．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有(）①BC⊥平面PAB;②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB,故①正確；由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,又PA＝AB，D是PB的中點(diǎn)，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC,∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②正確;由AD⊥平面PBC，∴③正確．故選D。7．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A．90°B．60°C．45°D．30°考點(diǎn)直線與平面所成的角題點(diǎn)直線與平面所成的角答案C解析如圖，當(dāng)DO⊥平面ABC時(shí)，三棱錐D－ABC的體積最大．∴∠DBO為直線BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直線BD和平面ABC所成的角大小為45°.二、填空題8．如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD，則圖中共有直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直答案4解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB?！郆C⊥PB，同理得CD⊥PD,故共有4個(gè)直角三角形．9．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為_(kāi)_______．考點(diǎn)直線與平面所成的角題點(diǎn)直線與平面所成的角答案2解析因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在Rt△PAC中，AC＝eq\f(1,2）AB＝eq\f（1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC）＝2.10．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿(mǎn)足條件________時(shí)，有AB1⊥BC1。(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案∠A1C1B1＝90°解析如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知,只要證AC⊥BC即可．因?yàn)锳1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在三棱錐P－ABC中，PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB，則定點(diǎn)P在底面上的投影是底面△ABC________心．考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)三角形的四心答案垂解析設(shè)O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥PA,PB⊥PC,PA∩PC＝P，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO。同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．三、解答題12．如圖所示，直角△ABC所在的平面外一點(diǎn)S,SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．求證:SD⊥平面ABC.考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明證明因?yàn)镾A＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.連接BD，在Rt△ABC中，因?yàn)镈為斜邊AC的中點(diǎn)，所以AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC。13．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.（1)求證：AC⊥B1D；（2)求三棱錐C－BDB1的體積．考點(diǎn)直線與平面垂直的性質(zhì)題點(diǎn)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定線線垂直(1）證明∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴BB1⊥平面ABCD?！哂諥C?平面ABCD,∴BB1⊥AC。又∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD?！連B1∩BD＝B，BB1,BD?平面BB1D,∴AC⊥平面BB1D?！連1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D。(2)解＝.∵B1B⊥平面ABCD,∴B1B是三棱錐B1－BDC的高．∵＝eq\f(1,3）S△BDC·BB1＝eq\f（1,3）×eq\f（1，2）×2×2×2＝eq\f（4，3），∴三棱錐C－BDB1的體積為eq\f(4，3).四、探究與拓展14．如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面為