2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修三人教A版全國(guó)通用版講義：第三章 概率3.3.1~3.3.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精§3.3幾何概型3.3.1幾何概型3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生學(xué)習(xí)目標(biāo)1。通過(guò)具體問(wèn)題感受幾何概型的概念，體會(huì)幾何概型的意義.2。會(huì)求一些簡(jiǎn)單的幾何概型的概率.3.會(huì)用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算某事件的概率。知識(shí)點(diǎn)一幾何概型的概念思考往一個(gè)方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點(diǎn)上。這個(gè)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，還是無(wú)限個(gè)？若沒(méi)有人為因素，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等?答案出現(xiàn)的結(jié)果是無(wú)限個(gè)；每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的。梳理(1）幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.(2)幾何概型的特點(diǎn)①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件)有無(wú)限多個(gè)。②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.知識(shí)點(diǎn)二幾何概型的概率公式思考既然幾何概型的基本事件有無(wú)限多個(gè)，難以像古典概型那樣計(jì)算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比？答案可以用事件A所占有的幾何量與總的基本事件所占有的幾何量之比來(lái)表示.梳理事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該事件的區(qū)域測(cè)度(如長(zhǎng)度、面積、體積)成比例，故可用區(qū)域的測(cè)度代替基本事件數(shù).P（A）＝eq\f（構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積)。知識(shí)點(diǎn)三均勻隨機(jī)數(shù)1。均勻隨機(jī)數(shù)的定義如果試驗(yàn)的結(jié)果是區(qū)間[a,b]內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù),而且出現(xiàn)任何一個(gè)實(shí)數(shù)是等可能的,則稱(chēng)這些實(shí)數(shù)為均勻隨機(jī)數(shù).2。均勻隨機(jī)數(shù)的特征(1)隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生的.(2)在這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)被取到的可能性相等.3.均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生（1)計(jì)算器產(chǎn)生區(qū)間［0，1］上的均勻隨機(jī)數(shù)的函數(shù)是RAND.（2）Excel軟件產(chǎn)生區(qū)間［0,1］上的均勻隨機(jī)數(shù)的函數(shù)為“rand（）”.(3）產(chǎn)生方法：①由幾何概型產(chǎn)生；②由轉(zhuǎn)盤(pán)產(chǎn)生;③由計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生.1。在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零。(√）2.與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)。（×）3.隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率。（√）類(lèi)型一幾何概型的識(shí)別例1下列關(guān)于幾何概型的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.幾何概型是古典概型的一種，基本事件都要具有等可能性B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與它的形狀或位置無(wú)關(guān)C。幾何概型在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)D.幾何概型中每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都具有等可能性考點(diǎn)幾何概型定義題點(diǎn)幾何概型的判斷答案A解析幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，幾何概型中的基本事件有無(wú)限多個(gè)，古典概型中的基本事件有有限個(gè).反思與感悟幾何概型特點(diǎn)的理解(1)無(wú)限性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中,不同的試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)窮多個(gè)，即基本事件有無(wú)限多個(gè)；(2）等可能性：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中,每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,即基本事件的發(fā)生是等可能的。跟蹤訓(xùn)練1判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型.(1）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率;（2)如圖所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲、乙玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝,求甲獲勝的概率。考點(diǎn)古典、幾何概型定義題點(diǎn)古典、幾何概型的判斷解（1）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果有6×6＝36（種），且它們的發(fā)生都是等可能的，因此屬于古典概型。（2)游戲中指針指向B區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，且它們的發(fā)生都是等可能的，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來(lái)衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型.類(lèi)型二幾何概型的計(jì)算eq\x(命題角度1與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型）例2取一根長(zhǎng)為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率為多少？考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型解如圖，記“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m”為事件A。把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段時(shí)，事件A發(fā)生，因?yàn)橹虚g一段的長(zhǎng)度為1m,所以事件A發(fā)生的概率為P（A)＝eq\f（1，3).反思與感悟在求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型時(shí)，首先找到試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d,在找區(qū)域d的過(guò)程中，確定邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事件A的概率.跟蹤訓(xùn)練2平面上畫(huà)了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑為r(r＜a)的硬幣任意擲在這個(gè)平面上,求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型解記“硬幣不與任何一條平行線相碰”為事件A，如圖，由圖可知:硬幣圓心在線段AB上的任意一點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的。圓心在線段CD（不含點(diǎn)C，D)上出現(xiàn)時(shí)硬幣不與平行線相碰，所以P(A)＝eq\f(線段CD的長(zhǎng)度，線段AB的長(zhǎng)度)＝eq\f（2a－2r,2a）＝eq\f(a－r,a）。eq\x(命題角度2與面積有關(guān)的幾何概型)例3設(shè)點(diǎn)M（x，y)在區(qū)域｛（x，y)||x｜≤1，|y｜≤1｝上均勻分布出現(xiàn)，求：（1)x＋y≥0的概率；（2）x＋y＜1的概率；（3)x2＋y2≥1的概率.考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型解如圖，滿足｜x｜≤1,|y｜≤1的點(diǎn)(x，y)組成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形（ABCD)區(qū)域(含邊界),S正方形ABCD＝4.（1）x＋y＝0的圖象是直線AC，滿足x＋y≥0的點(diǎn)在AC的右上方(含AC），即在△ACD內(nèi)（含邊界），而S△ACD＝eq\f（1，2)·S正方形ABCD＝2，所以P（x＋y≥0）＝eq\f（2,4)＝eq\f（1,2).(2)設(shè)E（0,1)，F(xiàn)(1,0)，則x＋y＝1的圖象是EF所在的直線,滿足x＋y＜1的點(diǎn)在直線EF的左下方，即在五邊形ABCFE內(nèi)(不含邊界EF）,而S五邊形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－eq\f(1,2)＝eq\f（7,2），所以P(x＋y＜1)＝eq\f(S五邊形ABCFE，S正方形ABCD)＝eq\f（\f（7，2)，4）＝eq\f（7,8）.(3）滿足x2＋y2＝1的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位圓O，S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1）＝eq\f（S正方形ABCD－S⊙O，S正方形ABCD）＝eq\f（4－π，4）。反思與感悟如果每個(gè)基本事件可以理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，某個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域的某個(gè)指定區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且該區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，這樣的概率模型就可以視為幾何概型,并且這里的區(qū)域可以用面積表示，利用幾何概型的概率公式求解.跟蹤訓(xùn)練3一只海豚在水池中自由游弋,水池為長(zhǎng)30m，寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率.考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型解如圖所示,區(qū)域Ω是長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形.圖中陰影部分表示事件A:“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m",問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.由于區(qū)域Ω的面積為30×20＝600（m2），陰影部分的面積為30×20－26×16＝184(m2)。所以P(A）＝eq\f(184,600）＝eq\f(23，75)≈0.31。即海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率約為0。31.eq\x(命題角度3與體積有關(guān)的幾何概型）例4已知正三棱錐S－ABC的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)M，試求點(diǎn)M到底面的距離小于eq\f（h,2)的概率?？键c(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與體積有關(guān)的幾何概型解如圖,分別在SA,SB，SC上取點(diǎn)A1,B1,C1，使A1，B1,C1分別為SA，SB,SC的中點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)M位于平面ABC和平面A1B1C1之間時(shí)，點(diǎn)M到底面的距離小于eq\f(h,2).設(shè)△ABC的面積為S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比為2，得△A1B1C1的面積為eq\f(S,4).由題意，知區(qū)域D（三棱錐S－ABC）的體積為eq\f(1,3)Sh，區(qū)域d（三棱臺(tái)ABC－A1B1C1)的體積為eq\f(1，3）Sh－eq\f(1,3）·eq\f（S，4)·eq\f（h,2)＝eq\f(1,3)Sh·eq\f(7,8）。所以點(diǎn)M到底面的距離小于eq\f(h,2)的概率為P＝eq\f(7,8）。反思與感悟如果試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來(lái)度量，我們要結(jié)合問(wèn)題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的區(qū)域體積及事件A所占的區(qū)域體積.其概率的計(jì)算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域體積，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積）。跟蹤訓(xùn)練4在一個(gè)球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng),則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為(）A。eq\f(6，π) B。eq\f（3,2)πC。eq\f(3，π) D。eq\f(2\r（3）,3π）考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與體積有關(guān)的幾何概型答案D解析由題意可知這是一個(gè)幾何概型，棱長(zhǎng)為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，故球的半徑R＝eq\f(\r(3)，2)，球的體積V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3）,2））)3＝eq\f（\r（3),2)π,則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率P＝eq\f（V1，V2）＝eq\f（2\r(3），3π）.類(lèi)型三均勻隨機(jī)數(shù)及隨機(jī)模擬方法例5在如圖所示的正方形中隨機(jī)撒一把豆子,計(jì)算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計(jì)圓周率的值?？键c(diǎn)均勻隨機(jī)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)均勻隨機(jī)數(shù)的運(yùn)用解隨機(jī)撒一把豆子，每個(gè)豆子落在正方形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比，即eq\f(圓的面積,正方形的面積)≈eq\f(落在圓中的豆子數(shù),落在正方形中的豆子數(shù)).設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則圓的半徑為1,則eq\f(圓的面積，正方形的面積)＝eq\f（π,2×2)＝eq\f（π，4），由于落在每個(gè)區(qū)域的豆子數(shù)是可以數(shù)出來(lái)的，所以π≈eq\f(落在圓中的豆子數(shù)，落在正方形中的豆子數(shù))×4。所以就得到了π的近似值。反思與感悟用隨機(jī)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題中事件A及基本事件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍。用轉(zhuǎn)盤(pán)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大.用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)。跟蹤訓(xùn)練5利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由y＝1和y＝x2所圍成的圖形的面積.考點(diǎn)均勻隨機(jī)數(shù)的運(yùn)用題點(diǎn)均勻隨機(jī)數(shù)的運(yùn)用解以直線x＝1，x＝－1,y＝0，y＝1為邊界作矩形，（1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0~1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b＝RAND；（2)進(jìn)行平移和伸縮變換，a＝2（a1－0.5)；（3）數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)N1，用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積.例如做1000次試驗(yàn)，即N＝1000，模擬得到N1＝698,所以P＝eq\f(N1，N)＝eq\f(陰影面積，矩形面積）＝eq\f（698,1000),即陰影部分的面積S＝矩形面積×eq\f（698，1000)＝2×eq\f（698，1000)＝1。396.1。在半徑為2的球O內(nèi)任取一點(diǎn)P，則|OP|＞1的概率為（）A.eq\f(7,8)B.eq\f(5，6）C.eq\f(3，4)D。eq\f（1，2）考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與體積有關(guān)的幾何概型答案A解析問(wèn)題相當(dāng)于在以O(shè)為球心,1為半徑的球外，且在以O(shè)為球心，2為半徑的球內(nèi)任取一點(diǎn),所以P＝eq\f（\f(4,3）π×23－\f（4,3）π×13，\f(4,3)π×23)＝eq\f（7，8）.2。如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域.在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是eq\f(1，3)，則陰影區(qū)域的面積是(）A。eq\f（1，3)B.eq\f(2,3）C。eq\f（4，3）D。無(wú)法計(jì)算考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型答案C解析在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,其結(jié)果有無(wú)限個(gè)，屬于幾何概型.設(shè)“落在陰影區(qū)域內(nèi)”為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域是陰影部分.設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是正方形的面積，則有P(A)＝eq\f（S,22)＝eq\f（S,4）＝eq\f（1,3)，解得S＝eq\f(4,3).3.當(dāng)你到一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，紅燈的時(shí)間為30秒,黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為45秒,那么你看到黃燈的概率是()A。eq\f(1，12)B。eq\f（3,8）C。eq\f(1,16）D。eq\f（5，6）考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型答案C解析由題意可知，在80秒內(nèi)路口的紅、黃、綠燈是隨機(jī)出現(xiàn)的,可以認(rèn)為是無(wú)限次等可能出現(xiàn)的,符合幾何概型的條件。事件“看到黃燈”的時(shí)間長(zhǎng)度為5秒，而整個(gè)燈的變換時(shí)間長(zhǎng)度為80秒,由幾何概型概率計(jì)算公式，得看到黃燈的概率為P＝eq\f(5,80)＝eq\f（1，16）.4。如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)。在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是.考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型答案eq\f(π，8）解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)，得S黑＝S白＝eq\f（1，2)S圓＝eq\f（π,2），所以由幾何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑，S正方形）＝eq\f（\f（π，2），4）＝eq\f（π,8）。5。在區(qū)間[0，3］內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為。答案eq\f(1,3）解析由于區(qū)間[0,3]的長(zhǎng)度為3，區(qū)間（2，3]的長(zhǎng)度為1，故所求概率為P＝eq\f（1,3)。1.幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型。2.幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的問(wèn)題。3.注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別。4.理解如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積）。一、選擇題1.在長(zhǎng)為10厘米的線段AB上任取一點(diǎn)G，用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是（)A。eq\f（9,25）B。eq\f(16，25）C。eq\f(3,10）D。eq\f（1，5)考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型答案D解析以AG為半徑作圓，面積介于36π平方厘米到64π平方厘米，則AG的長(zhǎng)度應(yīng)介于6厘米到8厘米之間(如圖)?！嗨蟾怕蔖＝eq\f(2，10）＝eq\f（1，5)。2。如圖所示，M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能的任取一點(diǎn)N,連接MN，則弦MN的長(zhǎng)度超過(guò)eq\r(2）R的概率是()A.eq\f(1，5） B。eq\f（1，4)C。eq\f（1,3） D.eq\f(1,2)考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與角度有關(guān)的幾何概型答案D解析當(dāng)MN＝eq\r(2）R時(shí)，∠NOM＝90°，若MN的長(zhǎng)度超過(guò)eq\r（2)R，則∠NOM在90°與180°之間，所以概率為eq\f（180°,360°）＝eq\f（1，2).3。在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC,CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32cm2的概率為()A.eq\f(1,6）B.eq\f（1，3)C.eq\f(2,3)D。eq\f（4，5)考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型答案C解析設(shè)AC＝xcm，則BC＝(12－x)cm(0＜x＜12），∴矩形面積為x(12－x)cm2，由x(12－x)＜32，解得x＞8或x＜4，∴0＜x＜4或8＜x＜12.∴所求概率為eq\f(4＋4,12）＝eq\f（2，3），故選C。4。如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b(a＞b＞0)的矩形內(nèi)畫(huà)一個(gè)梯形,梯形的上、下底邊長(zhǎng)分別為eq\f（a，3），eq\f(a,2），且高為b?，F(xiàn)向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率是(）A.eq\f（7，10）B.eq\f(5,7）C。eq\f(5,12）D。eq\f(5，8）考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型答案C解析S梯形＝eq\f（1，2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a,3）＋\f（a，2））)b＝eq\f（5，12）ab，S矩形＝ab.所以P＝eq\f(S梯形，S矩形)＝eq\f(5,12）.5。在［0，5]之間隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x的值,則使1〈log2（x－1)≤2成立的概率是()A.eq\f(1,5）B.eq\f（2,5)C.eq\f(3，5)D。eq\f(4,5）考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型答案B解析由1〈log2(x－1）≤2，得2〈x－1≤4,即3〈x≤5，則對(duì)應(yīng)的概率P＝eq\f(5－3，5－0）＝eq\f(2，5).故選B.6。如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站，假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源，基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是()A.1－eq\f（π，4) B。eq\f（π，2）－1C.2－eq\f(π,2) D.eq\f（π,4）考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型答案A解析由題意得，無(wú)信號(hào)的區(qū)域面積為2×1－2×eq\f(1，4）π×12＝2－eq\f(π,2）,由幾何概型的概率公式，得無(wú)信號(hào)的概率為P＝eq\f(2－\f(π,2）,2)＝1－eq\f（π,4)。7。如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，DA＝DC，過(guò)頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM<eq\f(\r（3)，3）AC的概率為（）A.eq\f(\r(3)，3) B。eq\f（3,4）C.eq\f(\r（3),2) D.eq\f(1,4)考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與角度有關(guān)的幾何概型答案D解析由題意，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°,DA＝DC，則AC＝eq\r(3）AD，即AD＝eq\f（\r（3），3)AC，AB＝eq\r(3)AC＝3AD，所以要使過(guò)頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，則AM<eq\f（\r（3),3)AC,只要AM<AD即可,由DA＝DC，得∠ACD＝∠CAD＝eq\f(180°－120°,2)＝30°,所以AM〈eq\f(\r(3)，3)AC的概率為eq\f（30°,120°)＝eq\f（1，4).故選D.8。函數(shù)f(x）＝x2－x－2，x∈[－5，5］,那么任取一點(diǎn)x0使f(x0）＞0的概率為()A。0.5B.0.6C.0.7D。0.8考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型答案C解析如圖，在[－5，5]上函數(shù)的圖象和x軸分別交于兩點(diǎn)(－1,0)，(2,0）,只有x0∈［－5，－1)∪(2，5]時(shí)，f（x0）＞0，由題意，知本題是幾何概型問(wèn)題.記事件A為“任取一點(diǎn)x0，使f（x0）＞0”，事件A的區(qū)域長(zhǎng)度是區(qū)間［－5，－1）與(2,5］的長(zhǎng)度和，全體基本事件的長(zhǎng)度是［－5,5]的區(qū)間長(zhǎng)度。由幾何概型的概率計(jì)算公式,得P(A）＝eq\f(4＋3,10)＝0。7.故選C.9.在閉區(qū)間［－4,6］上隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)x，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于39的概率為（）A.eq\f(1,5） B.eq\f(2,5）C.eq\f(3,5) D.eq\f(4，5)考點(diǎn)概率問(wèn)題的綜合題型題點(diǎn)概率與程序框圖的綜合答案A解析由程序框圖知，第一次循環(huán)，n＝1,滿足條件n≤3，x＝2x＋1，n＝2，第二次循環(huán)，n＝2，滿足條件n≤3，x＝2(2x＋1）＋1＝4x＋3,n＝3，第三次循環(huán)，n＝3,滿足條件n≤3,x＝2（4x＋3)＋1＝8x＋7，n＝4，此時(shí)不滿足條件n≤3，輸出8x＋7,由8x＋7≥39得x≥4,又因?yàn)閤∈[－4，6]，所以4≤x≤6,則輸出的x不小于39的概率P＝eq\f（6－4,6－－4)＝eq\f（2,10)＝eq\f（1,5）。故選A。二、填空題10。有一個(gè)圓面,圓面內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三角形，若隨機(jī)向圓面上投一鏢都中圓面，則鏢落在三角形內(nèi)的概率為?？键c(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型答案eq\f(3\r(3）,4π）解析設(shè)圓面半徑為R，如圖所示△ABC的面積S△ABC＝3·S△AOC＝3·eq\f(1，2)AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin60°·Rcos60°＝eq\f（3\r(3)R2，4)，∴P＝eq\f(S△ABC,πR2)＝eq\f(3\r(3）R2，4πR2）＝eq\f(3\r（3),4π)。11.射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色,靶心是金色,金色靶心叫“黃心”。奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12。2cm，運(yùn)動(dòng)員在距離靶面70m外射箭。假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點(diǎn)，那么射中黃心的概率是.考點(diǎn)幾何概型計(jì)算公式題點(diǎn)與面積有關(guān)的幾何概型答案0.01解析由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為eq\f(1,4）×π×1222cm2的大圓內(nèi),黃心的面積為eq\f(1，4）π×(12.2)2cm2,所以射中黃心的概率為＝eq\f(\f(1，4)×π×12。22，\f(1,4）×π×1222）＝0。01。12。在區(qū)間［－2,4］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足｜x｜≤m的概率為eq\f（5，6)，則m＝.考點(diǎn)幾何概型的綜合應(yīng)用題點(diǎn)幾何概型與不等式的綜合應(yīng)用答案3解析當(dāng)m≤2時(shí)，eq\f（2m,6）＝eq\f(5，6）無(wú)解.當(dāng)2＜m≤