假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及方法

第七章假設(shè)檢驗(yàn)

§7.1

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想與概念§7.2

正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)§7.3

其它分布參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)§7.4

分布擬合檢驗(yàn)§7.1

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想與概念

7.1.1假設(shè)檢驗(yàn)問題

例7.1.1

某廠生產(chǎn)的合金強(qiáng)度服從，其中的設(shè)計(jì)值為不低于110(Pa)。為保證質(zhì)量，該廠每天都要對(duì)生產(chǎn)情況做例行檢查，以判斷生產(chǎn)是否正常進(jìn)行,即該合金的平均強(qiáng)度不低于

110(Pa)。某天從生產(chǎn)中隨機(jī)抽取25塊合金，

測得強(qiáng)度值為x1,x2

,

…,x25，其均值為

(Pa)，問當(dāng)日生產(chǎn)是否正常？

(1)是參數(shù)估計(jì)問題嗎？(2)回答“是”還是“否”

，假設(shè)檢驗(yàn)問題。(3)命題“合金平均強(qiáng)度不低于110Pa”正確與否僅涉及如下兩個(gè)參數(shù)集合：

這兩個(gè)非空參數(shù)集合都稱作統(tǒng)計(jì)假設(shè)，簡稱假設(shè)。

(4)我們的任務(wù)是利用樣本去判斷假設(shè)（命題）“”是否成立。這里的“判斷”在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為檢驗(yàn)或檢驗(yàn)法則。

7.1.2假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟

一、建立假設(shè)

在假設(shè)檢驗(yàn)中，常把一個(gè)被檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)，用

表示，通常將不應(yīng)輕易加以否定的假設(shè)作為原假設(shè)。當(dāng)

被拒絕時(shí)而接收的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用

表示，它們常常成對(duì)出現(xiàn)。在例7.1.1中，我們可建立如下兩個(gè)假設(shè)：

二、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕域形式由樣本對(duì)原假設(shè)進(jìn)行判斷總是通過一個(gè)統(tǒng)計(jì)量完成的，該統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。使原假設(shè)被拒絕的樣本觀測值所在區(qū)域稱為拒絕域，一般用W表示，在例7.1.1中，樣本均值愈大，意味著總體均值

也大，因此，合理的拒絕域形如正如在數(shù)學(xué)上我們不能用一個(gè)例子去證明一個(gè)結(jié)論一樣，用一個(gè)樣本（例子）不能證明一個(gè)命題（假設(shè)）是成立的，但可以用一個(gè)例子（樣本）推翻一個(gè)命題。因此，從邏輯上看，注重拒絕域是適當(dāng)?shù)摹Ｊ聦?shí)上，在“拒絕原假設(shè)”和“拒絕備擇假設(shè)（從而接收原假設(shè)）”之間還有一個(gè)模糊域，如今我們把它并入接收域，所以接收域是復(fù)雜的，將之稱為保留域也許更恰當(dāng)，但習(xí)慣上已把它稱為接收域，沒有必要再進(jìn)行改變，只是應(yīng)注意它的含義。三、選擇顯著性水平檢驗(yàn)可能犯以下兩類錯(cuò)誤：

其一是

為真但樣本觀測值落在拒絕域中，從而拒絕原假設(shè)

，這種錯(cuò)誤稱為第一類錯(cuò)誤，其發(fā)生的概率稱為犯第一類錯(cuò)誤的概率，或稱拒真概率，通常記為

其二是

不真（即

為真）但樣本觀測值落在接受域中，從而接受原假設(shè)

，這種錯(cuò)誤稱為第二類錯(cuò)誤，其發(fā)生的概率稱為犯第二類錯(cuò)誤的概率,或稱受偽概率，通常記為

。觀測數(shù)據(jù)情況總體情況犯第一類錯(cuò)誤正確正確犯第二類錯(cuò)誤為真為真犯第一類錯(cuò)誤的概率

和犯第二類錯(cuò)誤的概率

可以用同一個(gè)函數(shù)表示，即所謂的勢函數(shù)。勢函數(shù)是假設(shè)檢驗(yàn)中最重要的概念之一，定義如下：

定義7.1.1

設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)閃，則樣本觀測值落在拒絕域內(nèi)的概率稱為該檢驗(yàn)的勢函數(shù)，記為(7.1.3)勢函數(shù)

是定義在參數(shù)空間

上的一個(gè)函數(shù)。犯兩類錯(cuò)誤的概率都是參數(shù)的函數(shù)，并可由勢函數(shù)算得，即：對(duì)例7.1.1，其拒絕域?yàn)椋?7.1.3)可以算出該檢驗(yàn)的勢函數(shù)這個(gè)勢函函數(shù)是的減函數(shù)由此可得得如下結(jié)結(jié)論：利用這個(gè)個(gè)勢函數(shù)數(shù)容易寫寫出犯兩類錯(cuò)誤的的概率分分別為和當(dāng)減小時(shí)，，c也隨之減減小，必必導(dǎo)致的增大；；當(dāng)減小時(shí)，，c會(huì)增大，，必導(dǎo)致致的增大；；說明：在在樣本量量一定的的條件下下不可能能找到一一個(gè)使和都小的檢檢驗(yàn)。英國統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)家Neyman和Pearson提出水平平為的顯著性檢檢驗(yàn)的概念。。則稱該檢檢驗(yàn)是顯著性水水平為的顯著性性檢驗(yàn)，簡稱水平為的檢驗(yàn)。定義7.1.2對(duì)檢驗(yàn)問問題對(duì)如果一個(gè)個(gè)檢驗(yàn)滿滿足對(duì)任任意的，都有四、給出出拒絕域域確定顯著著性水平平后，可可以定出出檢驗(yàn)的的拒絕域域W。在例7.1.1中，若取取=0.05,由于g()關(guān)于單調(diào)減，，只需要要成立即可可。這給給出c的值為=108.684檢驗(yàn)的拒拒絕域?yàn)闉槿袅顒t拒絕域域有另一一種表示示:五、作出出判斷在有了明明確的拒拒絕域后后，根據(jù)據(jù)樣本觀觀測值我我們可以以做出判判斷：當(dāng)或時(shí)時(shí)，，則拒絕即接收；當(dāng)或時(shí)，則接接收在例7.1.1中，由于于因此拒絕絕原假設(shè)設(shè)，即認(rèn)認(rèn)為該日日生產(chǎn)不不正常。?！?.2正態(tài)總體體參數(shù)假假設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)參數(shù)假設(shè)設(shè)檢驗(yàn)常常見的有有三種基基本形式式(1)(2)(3)當(dāng)備擇假假設(shè)在原假設(shè)設(shè)一側(cè)時(shí)的的檢驗(yàn)稱稱為單側(cè)檢驗(yàn)驗(yàn)；當(dāng)備擇假假設(shè)分散在原原假設(shè)兩側(cè)時(shí)的的檢驗(yàn)稱為雙側(cè)檢驗(yàn)驗(yàn)。7.2.1單個(gè)正態(tài)態(tài)總體均均值的檢檢驗(yàn)一、已知知時(shí)的u檢驗(yàn)設(shè)是來自的樣本，，考慮關(guān)關(guān)于的檢驗(yàn)問問題。檢檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)量可選選為三種假設(shè)設(shè)的拒絕絕域形式式分別見見下圖：：(a)(b)(c)該檢驗(yàn)用u檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量量，故稱為為u檢驗(yàn)。下面以為為例說說明：由可可推出具具體的拒絕絕域?yàn)樵摍z驗(yàn)的勢勢函數(shù)是的函數(shù)，它可可用正態(tài)分分布寫出，，具體為勢函數(shù)是的增函數(shù)（（見圖），，只要就可保證在在時(shí)有7.2.1(a)的圖形對(duì)單側(cè)檢驗(yàn)驗(yàn)是是類似似的，只是拒絕域域變?yōu)?其勢函數(shù)為為對(duì)雙側(cè)檢驗(yàn)驗(yàn)問題(7.2.3)，拒絕域?yàn)闉槠鋭莺瘮?shù)為為7.2.1(b)(c)的圖形例7.2.1從甲地發(fā)送送一個(gè)訊號(hào)號(hào)到乙地。。設(shè)乙地接接受到的訊號(hào)號(hào)值服從正正態(tài)分布其中為甲地發(fā)送送的真實(shí)訊訊號(hào)值?，F(xiàn)現(xiàn)甲地重復(fù)復(fù)發(fā)送同一訊號(hào)5次，乙地接接收到的訊訊號(hào)值為8.058.158.28.18.25設(shè)接受方有有理由猜測測甲地發(fā)送送的訊號(hào)值值為8，問能否接接受這猜測測？解：這是一個(gè)假假設(shè)檢驗(yàn)的的問題，總總體X~N(,0.22),檢驗(yàn)假設(shè):這個(gè)雙側(cè)檢檢驗(yàn)問題的的拒絕域?yàn)闉槿≈眯潘狡?0.05，則查表知u0.975=1.96。用觀測值可可計(jì)算得u值未落入拒拒絕域內(nèi)，，故不能拒拒絕原假設(shè)設(shè)，即接受原假假設(shè)，可認(rèn)認(rèn)為猜測成成立。二、未知時(shí)的t檢驗(yàn)由于于未知知，，一一個(gè)個(gè)自自然然的的想想法法是是將將（7.2.4））中未未知知的的替換換成成樣樣本本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差s，這這就就形形成成t檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量(7.2.9)三種種假假設(shè)設(shè)的的檢檢驗(yàn)驗(yàn)拒拒絕絕域域分分別別為為例7.2.2某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)的的某某種種鋁鋁材材的的長長度度服服從從正正態(tài)態(tài)分分布，，其其均均值值設(shè)設(shè)定定為為240厘米米?！，F(xiàn)現(xiàn)從從該該廠廠抽抽取取5件產(chǎn)品品，，測測得得其其長長度度為為（（單單位位：：厘厘米米））239.7239.6239240239.2試判判斷斷該該廠廠此此類類鋁鋁材材的的長長度度是是否否滿滿足足設(shè)設(shè)定定要要求求？？解：：這是是一一個(gè)個(gè)關(guān)關(guān)于于正正態(tài)態(tài)均均值值的的雙雙側(cè)側(cè)假假設(shè)設(shè)檢檢驗(yàn)驗(yàn)問問題題。。采用用t檢驗(yàn)驗(yàn)，，拒拒絕絕域域?yàn)闉?現(xiàn)由由樣樣本本計(jì)算算得得到到:t==2.7951由于2.7951>2.776，故拒拒絕原原假設(shè)設(shè)，認(rèn)為該該廠生生產(chǎn)的的鋁材材的長長度不不滿足足設(shè)定定要求求。若取=0.05，則t0.975(4)=2.776.故檢驗(yàn)法條件檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域u

檢驗(yàn)已知t

檢驗(yàn)未知原假設(shè)備擇假設(shè)表7.2.1單個(gè)正正態(tài)總總體的的均值值的檢檢驗(yàn)問問題三、假假設(shè)檢檢驗(yàn)與與置信信區(qū)間間的關(guān)關(guān)系這里用用的檢檢驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量與6.5.5節(jié)中置置信區(qū)區(qū)間所所用的的樞軸軸量是是相似似的。。這不不是偶偶然的的，兩兩者之之間存存在非非常密密切的的關(guān)系系。設(shè)是來自自正態(tài)態(tài)總體體的樣本本，現(xiàn)現(xiàn)在未知場場合討討論關(guān)關(guān)于均均值的檢驗(yàn)驗(yàn)問題題?？紤]雙雙側(cè)檢檢驗(yàn)問問題:它可以以改寫寫為并且有有若讓0在(-)內(nèi)取值值，就就可得得到的1-置信區(qū)間間：這里0并無限限制.則水平平為的檢驗(yàn)驗(yàn)接收收域?yàn)闉殛P(guān)于的的水平平為的顯著著性檢檢驗(yàn)。。是一一一對(duì)應(yīng)應(yīng)的。。類似地地，“參數(shù)的1-置信上上限”與“關(guān)于的單側(cè)側(cè)檢驗(yàn)驗(yàn)問題題的水水平的檢驗(yàn)驗(yàn)”反之若若有一一個(gè)如如上的的1-置信區(qū)區(qū)間，，也可可獲得得所以:“正態(tài)均均值的1-置信區(qū)區(qū)間”與“關(guān)于的雙側(cè)側(cè)檢驗(yàn)驗(yàn)問題題的水水平的檢驗(yàn)驗(yàn)”參數(shù)的1-置信下下限與與另一一個(gè)單單側(cè)檢檢驗(yàn)也也是一一一對(duì)對(duì)應(yīng)的的。是一一一對(duì)應(yīng)應(yīng)的。。7.2.2兩個(gè)正正態(tài)總總體均均值差差的檢檢驗(yàn)檢驗(yàn)法條件原假設(shè)備擇假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域u檢驗(yàn)已知t檢驗(yàn)未知大樣本檢u

驗(yàn)

未知m,n充分大近似t

檢驗(yàn)未知m,n不很大例7.2.3某廠鑄鑄造車車間為為提高高鑄件件的耐耐磨性性而試制了了一種種鎳合合金鑄鑄件以以取代代銅合合金鑄鑄件，，為此，，從兩兩種鑄鑄件中中各抽抽取一一個(gè)容容量分分別為為8和9的樣本本，測測得其其硬度度為鎳合金金：76.4376.2173.5869.6965.2970.8382.7572.34銅合金金：73.6664.2769.3471.3769.7768.1267.2768.0762.61根據(jù)經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，，硬度度服從從正態(tài)態(tài)分布布，且且方差差保持持不變變。試在顯顯著性性水平平下判斷斷鎳合合金的的硬度度是否否有明明顯提提高。。解：用X表示鎳鎳合金金的硬硬度，，Y表示銅銅合金金的硬硬度，則則由假假定，，要檢驗(yàn)驗(yàn)的假假設(shè)是是：經(jīng)計(jì)算算，從而查表知知由于故拒絕絕原假假設(shè)，，可判判斷鎳鎳合金金硬度度有顯顯著提提高。。7.2.3正態(tài)總總體方方差的的檢驗(yàn)驗(yàn)一、單單個(gè)正正態(tài)總總體方方差的的檢驗(yàn)驗(yàn)設(shè)是來自自的樣本本，對(duì)對(duì)方差差亦可可考慮慮如下下三個(gè)個(gè)檢驗(yàn)驗(yàn)問題題：通常假假定未知，，它們們采用用的檢檢驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量是相同的，均為

若取顯著性水平為，則對(duì)應(yīng)三個(gè)檢驗(yàn)問題的拒絕域依次分別為例7.2.4某類鋼鋼板每每塊的的重量量X服從正正態(tài)分分布，，其一項(xiàng)項(xiàng)質(zhì)量量指標(biāo)標(biāo)是鋼鋼板重重量的的方差差不得得超過過0.016(kg2)。現(xiàn)從從某天天生產(chǎn)產(chǎn)的鋼鋼板中中隨機(jī)機(jī)抽取取25塊，得得其樣樣本方方差S2=0.025(kg2)，問該該天生生產(chǎn)的鋼鋼板重重量的的方差差是否否滿足足要求求。解：原假設(shè)設(shè)為備擇假假設(shè)為為此處n=25，若取取=0.05，則查查表知知由此，，在顯顯著性性水平平0.05下，我們們拒絕絕原假假設(shè)，，認(rèn)為為該天天生產(chǎn)產(chǎn)的鋼鋼板重重量不不符合合要求求?，F(xiàn)計(jì)算算可得得二、兩兩個(gè)正正態(tài)總總體方方差比比的F檢驗(yàn)設(shè)

是來自

的樣本，

是來自

的樣本。考慮如下三個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題

通常,均未知，記,分別是由算得的

的無偏估計(jì)和由

算得的

的無偏估計(jì).可建立立檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)量:三種檢檢驗(yàn)問問題對(duì)對(duì)應(yīng)的的拒絕絕域依依次為為}。

或例7.2.5甲、乙乙兩臺(tái)臺(tái)機(jī)床床加工工某種種零件件，零零件的直徑徑服從從正態(tài)態(tài)分布布，總總體方方差反反映了了加工工精度，，為比比較兩兩臺(tái)機(jī)機(jī)床的的加工工精度度有無無差別別，現(xiàn)從各各自加加工的的零件件中分分別抽抽取7件產(chǎn)品品和8件產(chǎn)品品，測測得其其直徑徑為X(機(jī)床甲)16.216.415.815.516.715.615.8Y(機(jī)床乙)15.916.016.416.116.515.815.715.0這就形形成了了一個(gè)個(gè)雙側(cè)側(cè)假設(shè)設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)問題題，原原假設(shè)設(shè)是備擇假假設(shè)為為此處m=7，n=8，經(jīng)計(jì)計(jì)算查表知知于是，若取取=0.05，其拒絕絕域?yàn)闉橛纱丝煽梢?，，樣本本未落落入拒拒絕域域，即即在0.05水平下下可以以認(rèn)為為兩臺(tái)臺(tái)機(jī)床床的加加工精精度一一致。?！?.3其他分分布參參數(shù)的的假設(shè)設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)7.3.1指數(shù)分分布參參數(shù)的的假設(shè)設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)設(shè)x1,x2,…,xn是來自自指數(shù)數(shù)分布布的樣樣本，，關(guān)于于的如下下檢驗(yàn)驗(yàn)問題題：(7.3.1)拒絕域域的形形式是是，由于于在=0時(shí)，所以拒拒絕域域?yàn)槔?.3.1設(shè)我們們要檢檢驗(yàn)?zāi)衬撤N元元件的的平均均壽命命不小小于6000小時(shí)，，假定定元件件壽命命為指指數(shù)分分布，，現(xiàn)取取5個(gè)元件件投入入試驗(yàn)驗(yàn)，觀觀測到到如下下5個(gè)失效效時(shí)間間:395,4094,119,11572,6133。解：由于待待檢驗(yàn)驗(yàn)的假假設(shè)為為若取=0.05，則檢驗(yàn)驗(yàn)拒絕域域?yàn)?故接受原原假設(shè)，，可以認(rèn)為為平均壽壽命不低低于6000小時(shí).經(jīng)計(jì)算得得7.3.2比例的檢檢驗(yàn)比例p可看作某某事件發(fā)發(fā)生的概概率。作作n次獨(dú)立試試驗(yàn)，以以x記該事件件發(fā)生的的次數(shù)，，則。我們可可以根據(jù)據(jù)x檢驗(yàn)關(guān)于于p的一些假假設(shè):(1)直觀上看看拒絕域域?yàn)?，由于x只取整數(shù)值值，故c可限制在在非負(fù)整整數(shù)中。。這是在對(duì)對(duì)離散總總體作假假設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)中普遍遍會(huì)遇到到的問題題.一般情況況下，對(duì)對(duì)給定的的，不一定定能正好取到一個(gè)個(gè)正整數(shù)數(shù)c使下式成成立:一般較常常見的是是找一個(gè)個(gè)c0，使得(2)檢驗(yàn)的拒拒絕域?yàn)闉?c為滿足的最大正整數(shù)。。(3)檢驗(yàn)的拒拒絕域?yàn)闉?或其中c1為滿足下下式的最大正整數(shù):c2為滿足下下式的最小正整數(shù):例7.3.2某廠生產(chǎn)產(chǎn)的產(chǎn)品品優(yōu)質(zhì)品品率一直直保持在在40%，，近期對(duì)該該廠生產(chǎn)產(chǎn)的該類類產(chǎn)品抽抽檢20件，其中中優(yōu)質(zhì)品品7件，在下下能否認(rèn)為為優(yōu)質(zhì)品率率仍保持持在40%？解：以p表示優(yōu)質(zhì)質(zhì)品率，，x表示20件產(chǎn)品中中的優(yōu)質(zhì)質(zhì)品件數(shù)，，則，待檢驗(yàn)驗(yàn)的假設(shè)設(shè)為拒絕域?yàn)闉榛蛴捎谙虑骳1與c2:故取c1=3，又因?yàn)闉閺亩鴆2=12，拒絕域域?yàn)楦綆е赋龀?，該拒拒絕域的的顯著性性水平實(shí)實(shí)際上不不是0.05，而是0.0160+0.021=0.0370。由于于觀觀測測值值沒沒有有落落入入拒拒絕絕域域，，故故接接受受原原假假設(shè)設(shè)。。或7.3.3大樣樣本本檢檢驗(yàn)驗(yàn)在二二點(diǎn)點(diǎn)分分布布參參數(shù)數(shù)p的檢檢驗(yàn)驗(yàn)問問題題中中，，臨臨界界值值的的確確定定比比較較繁繁瑣瑣，，使使用用不不太太方方便便。。如如果果樣樣本本量量較較大大，，我我們們可可用用近近似似的的檢檢驗(yàn)驗(yàn)方方法法———大樣樣本本檢檢驗(yàn)驗(yàn)。。大樣樣本本檢檢驗(yàn)驗(yàn)一一般般思思路路如如下下：：設(shè)設(shè)是來來自自某某總體體的的樣樣本本，，又又設(shè)設(shè)該該總總體體均均值值為為，方方差差為為的函函數(shù)數(shù)，，記記為為，譬譬如如，，對(duì)對(duì)二二點(diǎn)點(diǎn)分分布布b(1,)，其方方差差(1-)是均均值值的函函數(shù)數(shù)，，則則在在樣樣本本容容量量n充分大時(shí)，，故可采用如如下檢驗(yàn):由此近似地地確定拒絕絕域。統(tǒng)計(jì)量例7.3.3某廠產(chǎn)品的的不合格品品率為10%，在一次例行檢檢查中，隨隨機(jī)抽取80件，發(fā)現(xiàn)有有11件不合格品品，在=0.05下能否認(rèn)為為不合格品率仍為為10%？解：這是關(guān)于不不合格品率率的檢驗(yàn)，，假設(shè)為:若取=0.05，則u0.975=1.96,故拒絕域?yàn)闉楣什荒芫芙^絕原假設(shè)。。因?yàn)閚=80比較大，可可采用大樣樣本檢驗(yàn)方方法。檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為為例7.3.4某建筑公司司宣稱其麾麾下建筑工工地平均每每天發(fā)生事故故數(shù)不超過過0.6起，現(xiàn)記錄錄了該公司司麾下建筑工工地200天的安全生生產(chǎn)情況，，事故數(shù)記錄如下：：天數(shù)10259308010200一天發(fā)生的事故數(shù)012345合計(jì)6試檢驗(yàn)該建建筑公司的的宣稱是否否成立(取=0.05)。解：以X記建筑工地地一天發(fā)生生的事故數(shù)數(shù)，可認(rèn)為，要檢驗(yàn)的的假設(shè)是：：由于n=200很大，可以以采用大樣樣本檢驗(yàn)，，泊松分布布的均值和和方差都是是，這里，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)量為若取=0.05，則u0.95=1.645，拒絕域?yàn)闉槿缃駏=2.556已落入拒絕絕域，故拒拒絕原假設(shè)設(shè)，認(rèn)為該建筑筑公司的宣宣稱明顯不不成立。大樣本檢驗(yàn)驗(yàn)是近似的的:近似的含義義是指檢驗(yàn)的實(shí)際際顯著性水水平與原先先設(shè)定的顯著性性水平有差差距，這是由于諸諸如(7.3.12)中u的分布與N(0,1)有距離。。如果n很大，，則這這種差差異就很很小。。實(shí)用用中我我們一一般并并不清清楚對(duì)對(duì)一定定的n,u的分布布與N(0,1)的的差異異有多多大，，因而而也就就不能能確定檢檢驗(yàn)的的實(shí)際際水平平與設(shè)設(shè)定水水平究究竟差差多少少。在在區(qū)間估估計(jì)中中也有有類似似問題題。因因此，，大樣樣本方方法是是一個(gè)“不得得已而而為之之”的方法法。只只要有有基于于精確確分布的方方法一一般總總是首首先要要加以以考慮慮的。。7.3.4檢驗(yàn)的的p值假設(shè)檢檢驗(yàn)的的結(jié)論論通常常是簡簡單的的:在在給給定的的顯著著水平平下，，不是是拒絕絕原假假設(shè)就就是保保留原原假設(shè)設(shè)。然然而有有時(shí)也也會(huì)出出現(xiàn)這這樣的的情況況：在在一個(gè)個(gè)較大大的顯顯著水水平（（=0.05）下得到到拒絕絕原假假設(shè)的的結(jié)論論，而而在一一個(gè)較較小的的顯著著水平平（=0.01）下卻卻會(huì)得得到相相反的的結(jié)論論。這種情情況在在理論論上很很容易易解釋釋：因?yàn)轱@顯著水水平變變小后后會(huì)導(dǎo)導(dǎo)致檢檢驗(yàn)的的拒絕絕域變變小，，于是是原來來落在在拒絕絕域中中的觀觀測值值就可可能落落入接接受域域。但這種種情況況在應(yīng)應(yīng)用中中會(huì)帶帶來一一些麻麻煩：：假如如這時(shí)時(shí)一個(gè)個(gè)人主主張選選擇顯顯著水水平=0.05，而另另一個(gè)個(gè)人主主張選選=0.01，則第第一個(gè)個(gè)人的的結(jié)論論是拒拒絕H0，而后后一個(gè)個(gè)人的的結(jié)論論是接接受H0，我們?cè)撛撊绾魏翁幚砝磉@一一問題題呢？？例7.3.5一支香香煙中中的尼尼古丁丁含量量X服從正正態(tài)分布N(,1)，質(zhì)量量標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)規(guī)定不不能超超過1.5毫克。現(xiàn)現(xiàn)從某某廠生生產(chǎn)的的香煙煙中隨隨機(jī)抽抽取20支測得其中中平均均每支支香煙煙的尼尼古丁丁含量量為毫克，，試問問該廠廠生產(chǎn)產(chǎn)的香香煙尼尼古丁丁含量量是否否符合質(zhì)質(zhì)量標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)的的規(guī)定定。這是一一個(gè)假假設(shè)檢檢驗(yàn)問問題：：H0:1.5,H1:>1.5,采用u檢驗(yàn)，，計(jì)算算得:對(duì)一些些的顯顯著性性水平平，表表7.3.1列出了了相應(yīng)應(yīng)的拒拒絕域域和檢檢驗(yàn)結(jié)結(jié)論。。表7.3.1例7.3.5中的拒拒絕域域顯著性水平拒絕域u=2.10對(duì)應(yīng)的結(jié)論=0.05u1.645拒絕H0=0.025u1.96拒絕H0=0.01u2.33接受H0=0.005u2.58接受H0我們看看到，，不同同的有不同同的結(jié)結(jié)論。?，F(xiàn)在換換一個(gè)個(gè)角度度來看看，在在=1.5時(shí)，u的分布布是N(0,1)。此時(shí)時(shí)可算算得，，P(u2.10)=0.0179，若以以0.0179為基準(zhǔn)準(zhǔn)來看看上述述檢驗(yàn)驗(yàn)問題題，可可得當(dāng)<0.0179時(shí)，>2.10。于是是2.10就不在在中，此此時(shí)應(yīng)應(yīng)接受受原假假設(shè)H0;當(dāng)0.0179時(shí)，2.10。于是是2.10就落在在中，此此時(shí)應(yīng)應(yīng)拒絕絕H0。u由此可可以看看出，，0.0179是能用用觀測測值2.10做出“拒絕絕H0”的最小小的顯顯著性性水平平，這就是是p值。u定義7.3.1在一個(gè)個(gè)假設(shè)設(shè)檢驗(yàn)驗(yàn)問題題中，，利用用觀測測值能夠做做出拒絕絕原假設(shè)設(shè)的最小小顯著性性水平稱稱為檢驗(yàn)的p值。引進(jìn)檢驗(yàn)驗(yàn)的p值的概念念有明顯顯的好處處:第一，它它比較客客觀，避避免了事事先確定定顯著水平平；其次，由由檢驗(yàn)的的p值與人們們心目中中的顯著性水平平進(jìn)行比較較可以很很容易作出檢驗(yàn)驗(yàn)的結(jié)論論：如果p，則在顯顯著性水水平下拒絕H0；如果<p，則在顯顯著性水水平下保留H0.p值在應(yīng)用用中很方方便，如如今的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)軟件件中對(duì)檢檢驗(yàn)問題題一般都都會(huì)給出出檢驗(yàn)的的p值。例7.3.6設(shè)是來自b(1,)的樣本，，要檢驗(yàn)如如下假設(shè)設(shè)：若取顯著著性水平平為，則在得得到觀測測值后，我們們只需要要計(jì)算概概率:這就是檢檢驗(yàn)的p值。譬如如若取=0.05，由于p<，則應(yīng)拒拒絕原假假設(shè)。例7.3.7某工廠兩兩位化驗(yàn)驗(yàn)員甲、、乙分別別獨(dú)立地地用相同方法法對(duì)某種種聚合物物的含氯氯量進(jìn)行行測定。。甲測9次，樣本本方差為為0.7292；乙測11次，樣本本方差為0.2114。假定測測量數(shù)據(jù)據(jù)服從正正態(tài)分布布，試對(duì)兩總體體方差作作一致性性檢驗(yàn):檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，在原假設(shè)成立下，

F

F(8,10)，拒絕域?yàn)?/p>

如今我們們不是把把拒絕域域具體化化，而是是由觀測測值算得得F=0.7292/0.2114=3.4494,再去計(jì)計(jì)算該檢檢驗(yàn)的p值?；蚴紫?，我我們用F分布算得得其次考慮慮到雙側(cè)側(cè)檢驗(yàn)的的拒絕域域W分散在兩兩端，且且兩端尾尾部概率率相等（（見圖7.3.2），據(jù)據(jù)此可可定出出p值為此p值不算很很小，，若=0.05，則接接收兩兩方差差相等等的假假設(shè)。。在這種種雙側(cè)側(cè)檢驗(yàn)驗(yàn)情況況下，，如何由由觀測測值F=3.4494算得p值呢？？圖7.3.2觀測值值F=3.4494對(duì)應(yīng)的的p值由兩端端尾部部概率率之和和確定定§7.4分布擬合檢檢驗(yàn)7.4.1總體分布只只取有限個(gè)個(gè)值的情況況設(shè)總體X可以分成k類，記為，現(xiàn)對(duì)該總總體作了n次觀測，k個(gè)類出現(xiàn)的的頻數(shù)分別別為:檢驗(yàn)如下假假設(shè):n1,…,nk,且其中諸且一、諸pi均已知如果H0成立，則對(duì)對(duì)每一類Ai，其頻率ni/n與概率pi應(yīng)較接近。。即觀測頻頻數(shù)ni與理論頻數(shù)數(shù)npi應(yīng)相差不大大。據(jù)此，，英國統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)家K.Pearson提出如下檢檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量量:(7.4.2)并證明在H0成立時(shí)對(duì)充充分大的n,(7.4.2)給出的檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量近近似服從自自由度為k-1的分布布。拒絕域?yàn)?例7.4.1為募集社會(huì)會(huì)福利基金金，某地方方政府發(fā)行福利彩票票，中彩者者用搖大轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的方法法確定最后中獎(jiǎng)金金額。大轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤均分為為20份，其中金金額為5萬、10萬、20萬、30萬、50萬、100萬的分別占2份、4份、6份、4份、2份、2份。假定大轉(zhuǎn)盤盤是均勻的的，則每一一點(diǎn)朝下是是等可能的，于是是搖出各個(gè)個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)的概概率如下：：概率0.10.20.30.20.10.1額度5萬10萬20萬30萬50萬100萬現(xiàn)20人參加搖獎(jiǎng)獎(jiǎng)，搖得5萬、10萬萬、20萬、30萬、50萬和100萬的人數(shù)分分別為2、6、6、3、3、0，由于沒有有一個(gè)人搖搖到100萬，于是有有人懷疑大大轉(zhuǎn)盤是不不均勻的，，那么該懷懷疑是否成成立呢？這這就需要對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)盤的均均勻性作檢檢驗(yàn)。解：這是一個(gè)典典型的分布布擬合優(yōu)度度檢驗(yàn)，總總體共有6類，其發(fā)生生概率分別別為0.1、0.2、0.3、0.2、0.1和0.1，這里k=6，檢驗(yàn)拒絕絕域?yàn)?由本例數(shù)據(jù)據(jù)可以算出出若取=0.05，則查附表表3知=由于未未落入入拒絕域，，故接受原原假設(shè)，沒有理由認(rèn)認(rèn)為轉(zhuǎn)盤不不均勻。在分布擬合合檢驗(yàn)中使使用p值也是方便便的。本例中，以以T記服從(5)的隨機(jī)變量量，則使用用統(tǒng)計(jì)軟件件可以算出出這個(gè)p值就反映了了數(shù)據(jù)與假假設(shè)的分布布擬合程度度的高低，，p值越大，擬擬合越好。。二、諸pi不完全已知知若諸由r(r<k)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)確定定，，即即首先先給給出出的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)然后后給給出出諸諸的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)Fisher證明明了了在H0成立立時(shí)時(shí)近近似似服服從從自自由由度度為k-r-1的分布布，，于于是是檢檢驗(yàn)驗(yàn)拒拒絕絕域域?yàn)闉槔?.4.2盧瑟瑟福福在在2608個(gè)等等時(shí)時(shí)間間間間隔隔內(nèi)內(nèi)觀觀測測一一枚放放射射性性物物質(zhì)質(zhì)放放射射的的粒粒子子數(shù)數(shù)X，表表7.4.1是觀觀測測結(jié)果果的的匯匯總總，，其其中中ni表示示2608次觀觀測測中中放放射射粒粒子數(shù)數(shù)為為i的次次數(shù)數(shù)。。ni572033835255324082731394527106i012345678910

11試?yán)糜迷撛摻M組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)檢檢驗(yàn)驗(yàn)該該放放射射物物質(zhì)質(zhì)在在單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)放放射射出出的的粒粒子子數(shù)數(shù)是是否否服服從從泊泊松松分分布布。。解：：本例例中中，，要要檢檢驗(yàn)驗(yàn)總總體體是是否否服服從從泊泊松松分分布布。。觀測測到到0,1,……,11共12個(gè)不不同同取取值值，，這這相相當(dāng)當(dāng)于于把把總總體體分分成成12類。。這這里里有有一一個(gè)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)，采采用用極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)，，=將代入入可可以以估估計(jì)計(jì)出出諸諸。于是是可可計(jì)計(jì)算算出出列表表如如下下。。012345678910115720338352553240827313945271060.02090.08070.15620.20150.19500.15090.09730.05380.02600.01120.00430.002254.5210.5407.4525.5508.6393.5253.8140.367.829.211.25.70.11470.26721.46140.00051.07660.53431.45250.01207.66730.16580.12580.0158合計(jì)26081.00002068=12.8967i本例例中中=12.8967<18.307，故故接接受受原原假假設(shè)設(shè)。。使使用用統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)軟軟件件可可以以計(jì)計(jì)算算出出此此處處檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的p值是是0.2295。若取取=0.05，則則列聯(lián)聯(lián)表表是是將將觀觀測測數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)按按兩兩個(gè)個(gè)或或更更多多屬屬性性(定性性變變量量)分類類時(shí)時(shí)所所列列出出的的頻頻數(shù)數(shù)表表。。例例如如，，對(duì)對(duì)隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取的的1000人按按性性別別（（男男或或女女））及及色色覺覺(正常?；蚧蛏っ?兩個(gè)個(gè)屬屬性性分分類類,得得到到如如下下二二維維列列聯(lián)聯(lián)表表，，又又稱稱2××2表或或四四格格表表。。7.4.2列聯(lián)表表的獨(dú)獨(dú)立性性檢驗(yàn)驗(yàn)?zāi)?3565女38218性別視覺正常色盲一般,若總體中的個(gè)體可按兩個(gè)屬性A與B分類，A有r個(gè)類，B有c個(gè)類從總體中抽取大小為n的樣本，設(shè)其中有個(gè)個(gè)體既屬于類又屬于類，稱為頻數(shù)，將rc個(gè)排列為一個(gè)r行c列的二維列聯(lián)表，簡稱rc表(表7.4.3)。

表7.4.3rc列聯(lián)表表列聯(lián)表分析的基本問題是:考察各屬性之間有無關(guān)聯(lián)，即判別兩屬性是否獨(dú)立。如在前例中，問題是：一個(gè)人是否色盲與其性別是否有關(guān)？在rc表中，若以

和

分別表示總體中的個(gè)體僅屬于

，僅屬于

和同時(shí)屬于

與

的概率,可得一個(gè)二維離散分布表（表7.4.4），則“A、B兩屬性獨(dú)立”的假設(shè)可以表述為表7.4.4二維離離散分分布表表這就變?yōu)樯弦恍」?jié)中諸

不完全已知時(shí)的分布擬合檢驗(yàn)。這里諸

共有rc個(gè)參數(shù)，在原假設(shè)H0成立時(shí)，這rc個(gè)參數(shù)

由r+c個(gè)參數(shù)

和

決定。在這r+c后個(gè)參數(shù)中存在兩個(gè)約束條件：

所以，此時(shí)

實(shí)際上由r+c-2個(gè)獨(dú)立參數(shù)所確定。據(jù)此，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

在H0成立時(shí)時(shí)，上上式服服從自自由度度為rc-(r+c-2)-1的分布。。其中諸諸是在H0成立下下得到到的的極大大似然然估計(jì)計(jì)，其其表達(dá)達(dá)式為為對(duì)給定定的顯顯著性性水平平，檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的拒拒絕絕域域?yàn)闉?例7.4.3為研研究究兒兒童童智智力力發(fā)發(fā)展展與與營營養(yǎng)養(yǎng)的的關(guān)關(guān)系系，，某某研究究機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)調(diào)調(diào)查查了了1436名兒兒童童，，得得到到如如表表7.4.5的數(shù)據(jù)據(jù)，，試試在在顯顯著著性性水水平平0.05下判判斷斷智智力力發(fā)發(fā)展展與與營養(yǎng)養(yǎng)有有無無關(guān)關(guān)系系。。表7.4.5兒童童智智力力與與營營養(yǎng)養(yǎng)的的調(diào)調(diào)查查數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)營養(yǎng)良好營養(yǎng)不良合計(jì)

智商合計(jì)3423672663291304564020132164233822863451436<8080909099100解：用A表示營養(yǎng)狀況，它有兩個(gè)水平：表示

營養(yǎng)良好，

表示營養(yǎng)不良；B表示兒童智商,它有四個(gè)水平，

分別表示表中四種情況。沿用前面的記號(hào)，首先建立假設(shè)

H0：營養(yǎng)狀況與智商無關(guān)聯(lián)，即A與B獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)表示如下：

在原原假假設(shè)設(shè)H0成立立下下，，我我們們可可以以計(jì)計(jì)算算諸諸參參數(shù)數(shù)的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值:進(jìn)而可給出諸

，如其它結(jié)果見見表7.4.6表7.4.6

諸

的計(jì)算結(jié)果

營養(yǎng)良好384.1677346.8724259.7631313.35880.90810.29460.26600.19920.2403營養(yǎng)不良38.877935.103626.288131.71200.0919<8080909099100由表7.4.5和表7.4.6可以計(jì)算檢檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量量的值此處r=2，c=4，(r-1)(c-1)=3,若取=0.05，查表有，由于19.2785>7.815，故拒絕原原假設(shè)，認(rèn)認(rèn)為營養(yǎng)狀狀況對(duì)智商商有影響。。本例中檢驗(yàn)驗(yàn)的p值為0.0002。7.4.3正態(tài)性檢驗(yàn)驗(yàn)正態(tài)分布是是最常用的的分布，用用來判斷總總體分布是是否為正態(tài)態(tài)分布的檢檢驗(yàn)方法稱稱為正態(tài)性性檢驗(yàn)，它它在實(shí)際問問題中大量量使用。一、正態(tài)態(tài)概率紙正態(tài)概率紙紙可用來作作正態(tài)性檢檢驗(yàn)，方法法如下：利利用樣本數(shù)數(shù)據(jù)在概率率紙上描點(diǎn)點(diǎn)，用目測測方法看這這些點(diǎn)是否否在一條直直線附近，，若是的話話，可以認(rèn)認(rèn)為該數(shù)據(jù)據(jù)來自正態(tài)態(tài)總體，若若明顯不在在一條直線線附近，則則認(rèn)為該數(shù)數(shù)據(jù)來自非非正態(tài)總體體。例7.4.4隨機(jī)選取10個(gè)零件，測測得其直徑徑與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的偏偏差如下：：（單位：：絲）9.48.89.610.210.17.211.18.28.69.6在正態(tài)概率率紙上作圖圖步驟如下下：(1)首先將數(shù)據(jù)據(jù)排序：7.28.28.68.89.49.69.810.110.211.1;(2)對(duì)每一個(gè)i，計(jì)算修正正頻率(i-0.375)/(n+0.25),i=1,2,…,n,(3)將點(diǎn)逐一點(diǎn)在正正態(tài)概率紙紙上,(4)觀察上述n個(gè)點(diǎn)的分布布:若諸點(diǎn)在一一條直線附附近,則認(rèn)認(rèn)為該批數(shù)數(shù)據(jù)來自正態(tài)態(tài)總體；若諸點(diǎn)明顯顯不在一條條直線附近近，則認(rèn)為為該批數(shù)據(jù)的的總體不是是正態(tài)分布布。從圖7.4.2可以看到，，10個(gè)點(diǎn)基本在在一條直線線附近，故故可認(rèn)為直直徑與標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)尺寸的偏偏差服從正正態(tài)分布。。如果從正態(tài)概率紙上確認(rèn)總體是非正態(tài)分布時(shí)，可對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行變換后再在正態(tài)概率紙上描點(diǎn)，若變換后的點(diǎn)在正態(tài)概率紙上近似在一條直線附近，則可以認(rèn)為變換后的數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布，這樣的變換稱為正態(tài)性變換。常用的正態(tài)性變換有如下三個(gè)：對(duì)數(shù)變換

、倒數(shù)變換

和根號(hào)變換

。

圖7.4.3給出這10個(gè)點(diǎn)在正態(tài)態(tài)概率紙上上的圖形，，這10個(gè)點(diǎn)明顯不不在一條直直線附近，，所以可以以認(rèn)為該電電子元件的的壽命的分分布不是正正態(tài)分布。。例7.4.5隨機(jī)抽取某某種電子元元件10個(gè),測得其其壽命數(shù)據(jù)如下下:110.47,99.16,97.04,77.60,4269.82,539.35,179.49,782.93,561.10,286.80.圖7.4.3例7.4.5的正態(tài)概率率紙對(duì)該10個(gè)壽命數(shù)據(jù)據(jù)作對(duì)數(shù)變變換,結(jié)果果見表7.4.8表7.4.8對(duì)數(shù)變換后后的數(shù)據(jù)132.623.48490.0616286.805.65880.549297.044.57520.1597539.356.29040.646399.164.59670.2568561.106.32990.7434110.474.70480.3549782.936.66300.8415179.495.19010.451102269.827.72750.939ii利用表7.4.8中最后兩列列上的數(shù)據(jù)據(jù)在正態(tài)概概率紙上描描點(diǎn)，結(jié)果果見圖7.4.4，從圖上可可以看到10個(gè)點(diǎn)近似在在一條直線線附近，說說明對(duì)數(shù)變變換后的數(shù)數(shù)據(jù)可以看看成來自正正態(tài)分布。。這也意味味著，原始始數(shù)據(jù)服從從對(duì)數(shù)正態(tài)態(tài)分布圖7.4.4變換后數(shù)據(jù)據(jù)的正態(tài)概概率紙二、夏皮洛洛－威爾克克(Shapiro-Wilk)檢驗(yàn)夏皮洛－威威爾克檢驗(yàn)驗(yàn)也簡稱W檢驗(yàn)。這個(gè)檢驗(yàn)當(dāng)當(dāng)8n50時(shí)可以利用用。過小樣樣本(n<8)對(duì)偏離正態(tài)態(tài)分布的檢檢驗(yàn)不太有有效。W檢驗(yàn)是建立立在次序統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量的基基礎(chǔ)上。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量量為:(7.4.5)其中系數(shù)ai可查附表6。拒絕域?yàn)?{WW}。其中分位數(shù)可查附表7.系數(shù)還具有如下下幾條性質(zhì)質(zhì)：據(jù)此可將(7.4.5)簡化為例7.4.6某氣象站收收集了44個(gè)獨(dú)立的年年降雨量數(shù)數(shù)據(jù)，資料如如下（已排排序）：52055656161663566968669270470771171371471972773574074474575077677778678679179482182282683483785186287387988990090492292695296310561074我們要根據(jù)據(jù)這批數(shù)據(jù)據(jù)作正態(tài)性性檢驗(yàn)。首先由這批批數(shù)據(jù)可算算得:我們將計(jì)算算W的過程列于于表7.4.9中。為便于計(jì)算算，值，和安排在同一一行。表7.4.9某一氣象站站收集的年年降雨量152010745540.3872255610565000.266735619634020.232346169523360.207256359262910.186866699222530.169576869042180.1542kk86929002080.140597048891850.1278107078791720.1160117118731620.1049127138621490.0943137148511370.0842147198371180.0745157278341070.0651k16735826910.056017740822820.047118744821770.038319745794490.029620750791410.021121776786100.01262277778690.0042從表7.4.9可以計(jì)算出出W的值：由于計(jì)算得得到的W值大于該值值，所以在在顯著性水水平=0.05上不拒絕零零假設(shè)，即即可以認(rèn)為為該批數(shù)據(jù)據(jù)服從正態(tài)態(tài)分布。若取=0.05，查附表7，在n=44時(shí)給出:9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。12月月-2212月月-22Thursday,December29,202210、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。03:49:5303:49:5303:4912/29/20223:49:53AM11、以我我獨(dú)沈沈久，，愧君君相見見頻。。。12月月-2203:49:5303:49Dec-2229-Dec-2212、故人江江海別，，幾度隔隔山川。。。03:49:5303:49:5303:49Thursday,December29,202213、乍乍見見翻翻疑疑夢夢，，相相悲悲各各問問年年。。。。12月月-2212月月-2203:49:5303:49:53Dece