電動(dòng)力學(xué)第8講22靜電勢(shì)的多極展開(kāi)課件

《電動(dòng)力學(xué)》第14講第二章靜電場(chǎng)(6)§2.6靜電勢(shì)的多極展開(kāi)教師姓名：宗福建單位：山東大學(xué)物理學(xué)院2015年10月30日《電動(dòng)力學(xué)》第14講第二章靜電場(chǎng)(6)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建2Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建2Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建3Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建3Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建4靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)

在靜電情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)，麥?zhǔn)戏匠探M的電場(chǎng)部分為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建4靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)在靜電情況下，電場(chǎng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建5靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)

定義電勢(shì)差因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)φ的負(fù)梯度

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建5靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)定義電勢(shì)差因此，電山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建6標(biāo)勢(shì)的Poisson方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建6標(biāo)勢(shì)的Poisson方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建7靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)

若電荷連續(xù)分布，電荷密度為ρ

，設(shè)r為由源點(diǎn)x'

到場(chǎng)點(diǎn)x的距離，則場(chǎng)點(diǎn)x處的電勢(shì)為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建7靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)若電荷連續(xù)分布，電山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建8本講主要內(nèi)容電勢(shì)的多極展開(kāi)電多極矩電荷體系在外電場(chǎng)中的能量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建8本講主要內(nèi)容山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建9泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建9泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建10泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建10泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建11泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建11泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建12電勢(shì)的多極展開(kāi)

真空中給定電荷密度

ρ(x?)

激發(fā)的電勢(shì)

式中體積分遍及電荷分布區(qū)域，r為源點(diǎn)x’

到場(chǎng)點(diǎn)x的距離。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建12電勢(shì)的多極展開(kāi)真空中給定電荷山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建13電勢(shì)的多極展開(kāi)

在許多物理問(wèn)題中，電荷只分布于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)，而需要求電場(chǎng)強(qiáng)度的地點(diǎn)x又距離電荷分布區(qū)域比較遠(yuǎn)，即r遠(yuǎn)大于區(qū)域V的線度l。在這種情況下，可以表示為

1/r

的展開(kāi)式，由此得出電勢(shì)φ

的各級(jí)近似值。例如原子核的電荷分布于~10

?15m線度的范圍內(nèi)，而原子內(nèi)電子到原子核的距離~10

?10m

，因此原子核作用到電子上的電場(chǎng)可以用本節(jié)方法求得各級(jí)近似值。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建13電勢(shì)的多極展開(kāi)在許多物理問(wèn)題山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建14電勢(shì)的多極展開(kāi)

在區(qū)域V內(nèi)取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以R表示由原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離x'

點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)變動(dòng)。由于區(qū)域線度遠(yuǎn)小于R，可以把x'

各分量看作小參量，把x?x'

的函數(shù)對(duì)x'

展開(kāi)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建14電勢(shì)的多極展開(kāi)在區(qū)域V內(nèi)取一山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建15電勢(shì)的多極展開(kāi)

在區(qū)域V內(nèi)取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以R表示由原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離，有

x'

點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)變動(dòng)。由于區(qū)域線度遠(yuǎn)小于R，可以把x'

各分量看作小參量，把x?x'

的函數(shù)對(duì)x'

展開(kāi)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建15電勢(shì)的多極展開(kāi)在區(qū)域V內(nèi)取一山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建16電勢(shì)的多極展開(kāi)

設(shè)f（x?x'）為x?x'

的任一函數(shù)，在x點(diǎn)附近f（x?x'）的展開(kāi)式為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建16電勢(shì)的多極展開(kāi)設(shè)f（x?山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建17電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建17電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建18電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建18電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建19電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建19電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建20電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建20電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建21電多極矩

展開(kāi)式的第一項(xiàng)是在原點(diǎn)的點(diǎn)電荷Q激發(fā)的電勢(shì)。因此作為第0級(jí)近似，可以把電荷體系看作集中于原點(diǎn)上。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建21電多極矩展開(kāi)式的第一項(xiàng)是在原山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建22電多極矩

展開(kāi)式的第二項(xiàng)是電偶極矩p產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建22電多極矩展開(kāi)式的第二項(xiàng)是電偶山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建23電多極矩

展開(kāi)式的第三項(xiàng)是電四極矩D產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建23電多極矩展開(kāi)式的第三項(xiàng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建24電偶極矩如果一個(gè)體系的電荷分布對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，它的電偶極矩為零。若點(diǎn)x’

和?x’

點(diǎn)有相同的電荷密度，則積分值為零。因此，只有對(duì)原點(diǎn)不對(duì)稱的電荷分布才有電偶極矩?？傠姾蔀榱愣娕紭O矩不為零的最簡(jiǎn)單的電荷體系是一對(duì)正負(fù)點(diǎn)電荷。設(shè)x’

點(diǎn)上有一點(diǎn)電荷+Q

，?

x’

點(diǎn)上有一點(diǎn)電荷?Q，這體系的電偶極矩為

l為由負(fù)電荷到正電荷的距離。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建24電偶極矩如果一個(gè)體系的電荷分布山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建25電偶極矩右圖具有偶極矩pz=Ql的電偶極子，它產(chǎn)生的電勢(shì)為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建25電偶極矩右圖具有偶極矩pz山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建26電偶極矩由圖，若l

<<

R

，有

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建26電偶極矩由圖，若l<<R山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建27電偶極矩由圖，若l

<<

R

，有

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建27電偶極矩由圖，若l<<R山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建28電偶極矩因此這電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)是

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建28電偶極矩因此這電偶極子產(chǎn)生的電山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建29電四極矩

展開(kāi)式的第三項(xiàng)

是電四極矩D產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建29電四極矩展開(kāi)式的第三項(xiàng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建30電四極矩

根據(jù)此式，電四極矩張量Dij

是對(duì)稱張量，它由6個(gè)分量D11,D

22,D

33,

D12=D

21,D

23=D

32,D

31=D13。

（下面將看出實(shí)際上只有5個(gè)獨(dú)立分量。）

現(xiàn)在我們來(lái)談?wù)撨@些分量的物理意義。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建30電四極矩根據(jù)此式，電四極矩張山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建31電四極矩

如右圖，z軸上一對(duì)正電荷和一對(duì)負(fù)電荷組成的體系。這體系可以看作由一對(duì)電偶極子+p和?p組成。設(shè)正電荷位于z=±b,負(fù)電荷位于z=±a。這體系的總電荷為零，總電偶極矩為零。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建31電四極矩如右圖，z軸上一對(duì)正山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建32電四極矩

它的電四極矩

其中p=Q（b?a）是其中一對(duì)電荷的電偶極矩，l=b+a是兩個(gè)電偶極子中心的距離。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建32電四極矩它的電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建33電四極矩

這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)是一對(duì)反向電偶極子所產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建33電四極矩這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建34電四極矩

這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)是一對(duì)反向電偶極子所產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建34電四極矩這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建35電四極矩

同理，具有D11

分量的最簡(jiǎn)單的電荷體系由x軸上兩對(duì)正負(fù)電荷組成，具有D

22

分量的體系由y軸上兩對(duì)正負(fù)電荷組成。具有D12分量的電荷體系由xy平面上兩對(duì)正負(fù)電荷組成，余類推。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建35電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建36教材第66頁(yè)，圖2-13，右上角D23應(yīng)改為D33。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建36教材第66頁(yè)，圖2-13，右上山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建37電四極矩下面我們證明電四極矩只有5個(gè)獨(dú)立分量。當(dāng)R≠0

時(shí)有

引入符號(hào)δij

，定義為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建37電四極矩下面我們證明電四極矩只山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建38電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建38電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建39山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建39山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建40山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建40山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建41電四極矩電四極矩D,有6個(gè)分量：D11,D22,D33,D12,D23,D31但是，只有5個(gè)獨(dú)立分量。以后我們將沿用如下定義式，此式用并矢形式寫為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建41電四極矩電四極矩D,有6個(gè)分量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建42電四極矩若電荷分布有球?qū)ΨQ性，則

因而D11=D22=D33=0，而且顯然有D12=D23=D31=0，因此球?qū)ΨQ電荷分布沒(méi)有電四極矩。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建42電四極矩若電荷分布有球?qū)ΨQ性，山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建43電四極矩球?qū)ΨQ電荷分布的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ的，由高斯定理可知，球外電場(chǎng)和集中于球心處的點(diǎn)電荷電場(chǎng)一致，因此球?qū)ΨQ電荷分布沒(méi)有各級(jí)電多極矩。反之，若電荷分布偏離球?qū)ΨQ性，一般就會(huì)出現(xiàn)電四極矩。例如沿z軸方向拉長(zhǎng)了的旋轉(zhuǎn)橢球體，若其內(nèi)電荷分布均勻，則

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建43電四極矩球?qū)ΨQ電荷分布的電場(chǎng)也山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建44電四極矩因而出現(xiàn)電四極矩電四極矩的出現(xiàn)標(biāo)志著對(duì)球?qū)ΨQ的偏離，因此我們測(cè)量遠(yuǎn)場(chǎng)的四極勢(shì)項(xiàng)，就可以對(duì)電荷分布形狀做出一定的推論。在原子核物理中，電四極矩是重要的物理量，它反映這原子核形變的大小。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建44電四極矩因而出現(xiàn)電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建45電四極矩八極矩和更高的多極矩實(shí)際上較少用到，這里不詳細(xì)討論。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建45電四極矩八極矩和更高的多極矩實(shí)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建46例題均勻帶電的長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球體半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，帶總電荷Q，求它的電四極矩和遠(yuǎn)處的電勢(shì)。

解

取z軸為旋轉(zhuǎn)軸，橢球方程為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建46例題均勻帶電的長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球體半山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建47例題橢球所帶電荷密度為

電四極矩為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建47例題橢球所帶電荷密度為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建48例題由對(duì)稱性

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建48例題由對(duì)稱性山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建49例題由對(duì)稱性

因此山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建49例題由對(duì)稱性山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建50例題令x2+y2=s2

，由對(duì)稱性山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建50例題令x2+y2=s2山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建51例題因此山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建51例題因此山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建52例題電四極矩產(chǎn)生的勢(shì)為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建52例題電四極矩產(chǎn)生的勢(shì)為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建53例題橢球的電偶極矩為零，總電荷為Q

。在遠(yuǎn)處的勢(shì)準(zhǔn)確至四極項(xiàng)為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建53例題橢球的電偶極矩為零，總電荷山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建54分析山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建54分析山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建55分析山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建55分析山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建56分析山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建56分析山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建57分析山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建57分析電荷體系在外電場(chǎng)中的能量電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能,就是外場(chǎng)對(duì)電荷的靜電作用能.若體積V內(nèi)電荷密度為ρ,外場(chǎng)對(duì)這帶電體的靜電作用能便為

當(dāng)電荷分布于小區(qū)域,可將外場(chǎng)電勢(shì)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)(選在V內(nèi))展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)電荷體系在外電場(chǎng)中的能量電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能,就是外場(chǎng)對(duì)電荷體系在外電場(chǎng)中的能量則，電荷體系在外電場(chǎng)中的能量則，電荷體系在外電場(chǎng)中的能量則，電荷體系在外電場(chǎng)中的能量則，電荷體系在外電場(chǎng)中的能量展開(kāi)式中第一項(xiàng)，為點(diǎn)電荷在外場(chǎng)中的能量電荷體系在外電場(chǎng)中的能量展開(kāi)式中第一項(xiàng)，為點(diǎn)電荷在外場(chǎng)中的能電荷體系在外電場(chǎng)中的能量展開(kāi)式中第二項(xiàng)，為電偶極子在外電場(chǎng)中的能量。電偶極子在外電場(chǎng)中受的力和力矩分別為：電荷體系在外電場(chǎng)中的能量展開(kāi)式中第二項(xiàng)，為電偶極子在外電場(chǎng)中電荷體系在外電場(chǎng)中的能量展開(kāi)式中第三項(xiàng)，為電四極子在外電場(chǎng)中的能量。許多介質(zhì)分子除了有電偶極矩,還有電四極矩,原子核也有一定的四極矩，因此它們?cè)诜蔷鶆螂妶?chǎng)中有一定的四極矩能量.電荷體系在外電場(chǎng)中的能量展開(kāi)式中第三項(xiàng)，為電四極子在外電場(chǎng)中山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建64本講總結(jié)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建64本講總結(jié)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建65本講總結(jié)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建65本講總結(jié)課下作業(yè)教材第73頁(yè)，第17題。課下作業(yè)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建67謝謝山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建67《電動(dòng)力學(xué)》第14講第二章靜電場(chǎng)(6)§2.6靜電勢(shì)的多極展開(kāi)教師姓名：宗福建單位：山東大學(xué)物理學(xué)院2015年10月30日《電動(dòng)力學(xué)》第14講第二章靜電場(chǎng)(6)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建69Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建2Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建70Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建3Maxwell方程組山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建71靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)

在靜電情況下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)，麥?zhǔn)戏匠探M的電場(chǎng)部分為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建4靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)在靜電情況下，電場(chǎng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建72靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)

定義電勢(shì)差因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)φ的負(fù)梯度

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建5靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)定義電勢(shì)差因此，電山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建73標(biāo)勢(shì)的Poisson方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建6標(biāo)勢(shì)的Poisson方程山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建74靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)

若電荷連續(xù)分布，電荷密度為ρ

，設(shè)r為由源點(diǎn)x'

到場(chǎng)點(diǎn)x的距離，則場(chǎng)點(diǎn)x處的電勢(shì)為山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建7靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)若電荷連續(xù)分布，電山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建75本講主要內(nèi)容電勢(shì)的多極展開(kāi)電多極矩電荷體系在外電場(chǎng)中的能量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建8本講主要內(nèi)容山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建76泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建9泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建77泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建10泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建78泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建11泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建79電勢(shì)的多極展開(kāi)

真空中給定電荷密度

ρ(x?)

激發(fā)的電勢(shì)

式中體積分遍及電荷分布區(qū)域，r為源點(diǎn)x’

到場(chǎng)點(diǎn)x的距離。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建12電勢(shì)的多極展開(kāi)真空中給定電荷山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建80電勢(shì)的多極展開(kāi)

在許多物理問(wèn)題中，電荷只分布于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)，而需要求電場(chǎng)強(qiáng)度的地點(diǎn)x又距離電荷分布區(qū)域比較遠(yuǎn)，即r遠(yuǎn)大于區(qū)域V的線度l。在這種情況下，可以表示為

1/r

的展開(kāi)式，由此得出電勢(shì)φ

的各級(jí)近似值。例如原子核的電荷分布于~10

?15m線度的范圍內(nèi)，而原子內(nèi)電子到原子核的距離~10

?10m

，因此原子核作用到電子上的電場(chǎng)可以用本節(jié)方法求得各級(jí)近似值。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建13電勢(shì)的多極展開(kāi)在許多物理問(wèn)題山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建81電勢(shì)的多極展開(kāi)

在區(qū)域V內(nèi)取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以R表示由原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離x'

點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)變動(dòng)。由于區(qū)域線度遠(yuǎn)小于R，可以把x'

各分量看作小參量，把x?x'

的函數(shù)對(duì)x'

展開(kāi)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建14電勢(shì)的多極展開(kāi)在區(qū)域V內(nèi)取一山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建82電勢(shì)的多極展開(kāi)

在區(qū)域V內(nèi)取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以R表示由原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)P的距離，有

x'

點(diǎn)在區(qū)域V內(nèi)變動(dòng)。由于區(qū)域線度遠(yuǎn)小于R，可以把x'

各分量看作小參量，把x?x'

的函數(shù)對(duì)x'

展開(kāi)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建15電勢(shì)的多極展開(kāi)在區(qū)域V內(nèi)取一山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建83電勢(shì)的多極展開(kāi)

設(shè)f（x?x'）為x?x'

的任一函數(shù)，在x點(diǎn)附近f（x?x'）的展開(kāi)式為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建16電勢(shì)的多極展開(kāi)設(shè)f（x?山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建84電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建17電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建85電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建18電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建86電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建19電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建87電勢(shì)的多極展開(kāi)

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建20電勢(shì)的多極展開(kāi)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建88電多極矩

展開(kāi)式的第一項(xiàng)是在原點(diǎn)的點(diǎn)電荷Q激發(fā)的電勢(shì)。因此作為第0級(jí)近似，可以把電荷體系看作集中于原點(diǎn)上。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建21電多極矩展開(kāi)式的第一項(xiàng)是在原山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建89電多極矩

展開(kāi)式的第二項(xiàng)是電偶極矩p產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建22電多極矩展開(kāi)式的第二項(xiàng)是電偶山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建90電多極矩

展開(kāi)式的第三項(xiàng)是電四極矩D產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建23電多極矩展開(kāi)式的第三項(xiàng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建91電偶極矩如果一個(gè)體系的電荷分布對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱，它的電偶極矩為零。若點(diǎn)x’

和?x’

點(diǎn)有相同的電荷密度，則積分值為零。因此，只有對(duì)原點(diǎn)不對(duì)稱的電荷分布才有電偶極矩?？傠姾蔀榱愣娕紭O矩不為零的最簡(jiǎn)單的電荷體系是一對(duì)正負(fù)點(diǎn)電荷。設(shè)x’

點(diǎn)上有一點(diǎn)電荷+Q

，?

x’

點(diǎn)上有一點(diǎn)電荷?Q，這體系的電偶極矩為

l為由負(fù)電荷到正電荷的距離。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建24電偶極矩如果一個(gè)體系的電荷分布山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建92電偶極矩右圖具有偶極矩pz=Ql的電偶極子，它產(chǎn)生的電勢(shì)為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建25電偶極矩右圖具有偶極矩pz山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建93電偶極矩由圖，若l

<<

R

，有

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建26電偶極矩由圖，若l<<R山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建94電偶極矩由圖，若l

<<

R

，有

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建27電偶極矩由圖，若l<<R山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建95電偶極矩因此這電偶極子產(chǎn)生的電勢(shì)是

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建28電偶極矩因此這電偶極子產(chǎn)生的電山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建96電四極矩

展開(kāi)式的第三項(xiàng)

是電四極矩D產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建29電四極矩展開(kāi)式的第三項(xiàng)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建97電四極矩

根據(jù)此式，電四極矩張量Dij

是對(duì)稱張量，它由6個(gè)分量D11,D

22,D

33,

D12=D

21,D

23=D

32,D

31=D13。

（下面將看出實(shí)際上只有5個(gè)獨(dú)立分量。）

現(xiàn)在我們來(lái)談?wù)撨@些分量的物理意義。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建30電四極矩根據(jù)此式，電四極矩張山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建98電四極矩

如右圖，z軸上一對(duì)正電荷和一對(duì)負(fù)電荷組成的體系。這體系可以看作由一對(duì)電偶極子+p和?p組成。設(shè)正電荷位于z=±b,負(fù)電荷位于z=±a。這體系的總電荷為零，總電偶極矩為零。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建31電四極矩如右圖，z軸上一對(duì)正山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建99電四極矩

它的電四極矩

其中p=Q（b?a）是其中一對(duì)電荷的電偶極矩，l=b+a是兩個(gè)電偶極子中心的距離。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建32電四極矩它的電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建100電四極矩

這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)是一對(duì)反向電偶極子所產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建33電四極矩這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建101電四極矩

這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)是一對(duì)反向電偶極子所產(chǎn)生的電勢(shì)。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建34電四極矩這電荷體系產(chǎn)生的電勢(shì)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建102電四極矩

同理，具有D11

分量的最簡(jiǎn)單的電荷體系由x軸上兩對(duì)正負(fù)電荷組成，具有D

22

分量的體系由y軸上兩對(duì)正負(fù)電荷組成。具有D12分量的電荷體系由xy平面上兩對(duì)正負(fù)電荷組成，余類推。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建35電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建103教材第66頁(yè)，圖2-13，右上角D23應(yīng)改為D33。山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建36教材第66頁(yè)，圖2-13，右上山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建104電四極矩下面我們證明電四極矩只有5個(gè)獨(dú)立分量。當(dāng)R≠0

時(shí)有

引入符號(hào)δij

，定義為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建37電四極矩下面我們證明電四極矩只山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建105電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建38電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建106山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建39山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建107山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建40山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建108電四極矩電四極矩D,有6個(gè)分量：D11,D22,D33,D12,D23,D31但是，只有5個(gè)獨(dú)立分量。以后我們將沿用如下定義式，此式用并矢形式寫為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建41電四極矩電四極矩D,有6個(gè)分量山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建109電四極矩若電荷分布有球?qū)ΨQ性，則

因而D11=D22=D33=0，而且顯然有D12=D23=D31=0，因此球?qū)ΨQ電荷分布沒(méi)有電四極矩。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建42電四極矩若電荷分布有球?qū)ΨQ性，山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建110電四極矩球?qū)ΨQ電荷分布的電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ的，由高斯定理可知，球外電場(chǎng)和集中于球心處的點(diǎn)電荷電場(chǎng)一致，因此球?qū)ΨQ電荷分布沒(méi)有各級(jí)電多極矩。反之，若電荷分布偏離球?qū)ΨQ性，一般就會(huì)出現(xiàn)電四極矩。例如沿z軸方向拉長(zhǎng)了的旋轉(zhuǎn)橢球體，若其內(nèi)電荷分布均勻，則

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建43電四極矩球?qū)ΨQ電荷分布的電場(chǎng)也山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建111電四極矩因而出現(xiàn)電四極矩電四極矩的出現(xiàn)標(biāo)志著對(duì)球?qū)ΨQ的偏離，因此我們測(cè)量遠(yuǎn)場(chǎng)的四極勢(shì)項(xiàng)，就可以對(duì)電荷分布形狀做出一定的推論。在原子核物理中，電四極矩是重要的物理量，它反映這原子核形變的大小。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建44電四極矩因而出現(xiàn)電四極矩山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建112電四極矩八極矩和更高的多極矩實(shí)際上較少用到，這里不詳細(xì)討論。

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建45電四極矩八極矩和更高的多極矩實(shí)山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建113例題均勻帶電的長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球體半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，帶總電荷Q，求它的電四極矩和遠(yuǎn)處的電勢(shì)。

解

取z軸為旋轉(zhuǎn)軸，橢球方程為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建46例題均勻帶電的長(zhǎng)形旋轉(zhuǎn)橢球體半山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建114例題橢球所帶電荷密度為

電四極矩為

山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建47例題橢球所帶