2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步精致講義選修1-1北師大版：第二章 圓錐曲線與方程3.1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3雙曲線3．1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的問題．知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義思考若取一條拉鏈,拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點(diǎn)M處,拉開或閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點(diǎn)可畫出一條曲線，那么曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足怎樣的幾何條件?答案如圖，曲線上的點(diǎn)滿足條件:｜MF1|－|MF2|＝常數(shù)（小于|F1F2｜)；如果改變一下筆尖位置，使|MF2｜－｜MF1｜＝常數(shù)（小于｜F1F2｜)，可得到另一條曲線．梳理（1）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2｜）的點(diǎn)的集合叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距．（2）關(guān)于“小于|F1F2|"：①若將“小于|F1F2｜”改為“等于｜F1F2|”，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))；②若將“小于|F1F2|”改為“大于｜F1F2|",其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．(3)若將“絕對(duì)值"去掉,其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡只有雙曲線的一支．(4)若常數(shù)為零，其余條件不變,則點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線．知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程思考雙曲線中a，b，c的關(guān)系如何?與橢圓中a,b，c的關(guān)系有何不同？答案雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件,這里b2＝c2－a2,即c2＝a2＋b2,其中c〉a,c>b，a與b的大小關(guān)系不確定;而在橢圓中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b〉0，a>c，c與b大小不確定．梳理(1)雙曲線兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f（x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝1(a〉0，b>0)eq\f(y2，a2)－eq\f（x2，b2)＝1(a〉0,b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2（c，0）F1(0，－c),F2(0，c）a,b，c的關(guān)系式a2＋b2＝c2(2)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型．“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在y軸上．(3）雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2＋By2＝1（AB〈0)．（4）標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，注意這里的b2＝c2－a2與橢圓中的b2＝a2－c2相區(qū)別．1．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的集合是雙曲線．(×）2．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(×）3．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2,b2）－eq\f（x2，a2）＝1（a>0，b〉0）．（×)4．在雙曲線方程eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1(a〉0，b>0）中，a2＝b2＋c2。(×）類型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1）a＝4,經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－\f（4\r（10)，3)))；(2）經(jīng)過點(diǎn)（3,0），(－6，－3）．考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2,16)－eq\f（y2,b2)＝1(b〉0），把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝－eq\f(16，15)×eq\f(160,9)<0，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2，16）－eq\f（x2，b2)＝1（b>0)，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得b2＝9，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2，16）－eq\f(x2，9）＝1。（2）設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1（mn<0），∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3，0）,(－6，－3），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（9m＋0＝1，,36m＋9n＝1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝\f(1，9)，，n＝－\f(1，3)，)）∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2，3）＝1.反思與感悟求雙曲線方程的方法(1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程類似，也是“先定型，后定量”,利用待定系數(shù)法求解．（2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)按焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行分類討論．（3)當(dāng)已知雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),把雙曲線方程設(shè)成mx2＋ny2＝1（mn<0)的形式求解．跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1)c＝eq\r(6)，經(jīng)過點(diǎn)(－5,2),焦點(diǎn)在x軸上;(2)與橢圓eq\f(x2，27）＋eq\f(y2，36)＝1有共同的焦點(diǎn)，它們的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4。考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)∵焦點(diǎn)在x軸上,c＝eq\r(6），∴設(shè)所求雙曲線方程為eq\f（x2，λ）－eq\f（y2,6－λ)＝1（其中0<λ〈6）．∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(－5,2),∴eq\f(25,λ)－eq\f（4，6－λ）＝1,∴λ＝5或λ＝30（舍去)．∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,5）－y2＝1。（2）橢圓eq\f（x2，27)＋eq\f(y2，36）＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，－3）,F2(0，3)，雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（eq\r（15），4）或（－eq\r(15),4）．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f（x2,b2)＝1(a〉0，b〉0),則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（42，a2）－\f(\r(15)2，b2)＝1，,a2＋b2＝32，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝4,,b2＝5.））故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.類型二由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)例2方程eq\f（x2，2＋m）＋eq\f(y2，m＋1）＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是（)A．(－2，－1) B．（－2，＋∞)C．（－∞，－1) D．(－∞，－2）∪(－1，＋∞）考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)已知方程判斷曲線的類型答案A解析由題意可知,(2＋m)（m＋1）<0，∴－2<m<－1.反思與感悟?qū)㈦p曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，假如雙曲線的方程為eq\f(x2,m）＋eq\f(y2，n）＝1,則當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示雙曲線．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，，n<0，)）則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m〈0，，n〉0，））則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．跟蹤訓(xùn)練2若k〉1，則關(guān)于x，y的方程（1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲線是（)A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)已知方程判斷曲線的類型答案C解析原方程化為eq\f(y2,k2－1）－eq\f（x2，k＋1)＝1，∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.∴方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．類型三雙曲線的定義及應(yīng)用命題角度1雙曲線中的焦點(diǎn)三角形例3（1)如圖,已知雙曲線的方程為eq\f（x2，a2）－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0，b〉0),點(diǎn)A，B均在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|＝m，F(xiàn)1為雙曲線的左焦點(diǎn),則△ABF1的周長(zhǎng)為________．考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)三角形答案4a＋2m解析由雙曲線的定義，知｜AF1|－｜AF2｜＝2a,|BF1|－|BF2|＝2a.又｜AF2|＋｜BF2|＝｜AB|，所以△ABF1的周長(zhǎng)為｜AF1｜＋|BF1｜＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m。（2)設(shè)P為雙曲線x2－eq\f（y2，12)＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1｜∶|PF2|＝3∶2，則△PF1F2的面積為________．考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)三角形答案12解析由已知得2a＝2，又由雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2，因?yàn)閨PF1|∶｜PF2|＝3∶2，所以|PF1｜＝6，｜PF2|＝4。又|F1F2｜＝2c＝2eq\r（13），由余弦定理,得cos∠F1PF2＝eq\f（62＋42－52,2×6×4）＝0，所以△F1PF2為直角三角形．＝eq\f（1，2)×｜PF1|·｜PF2｜＝eq\f(1，2)×6×4＝12。引申探究本例(2)中，若將“|PF1｜∶|PF2｜＝3∶2”改為“|PF1|·｜PF2|＝24”，求△PF1F2的面積．解由雙曲線方程為x2－eq\f(y2，12）＝1，可知a＝1,b＝2eq\r（3)，c＝eq\r(1＋12）＝eq\r（13).因?yàn)閨PF1|·|PF2|＝24,所以cos∠F1PF2＝eq\f（｜PF1|2＋|PF2|2－｜F1F2|2,2|PF1|·|PF2｜)＝eq\f（|PF1|－｜PF2｜2＋2|PF1｜·｜PF2|－4c2，2×24)＝eq\f（4＋2×24－4×13，48）＝0，所以△PF1F2為直角三角形．所以＝eq\f（1,2)｜PF1|·|PF2｜＝12.反思與感悟求雙曲線eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1中焦點(diǎn)三角形面積的方法（1)方法一：①根據(jù)雙曲線的定義求出｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a；②利用余弦定理表示出｜PF1｜，|PF2|，|F1F2｜之間滿足的關(guān)系式；③通過配方，利用整體的思想求出|PF1｜·|PF2|的值；④利用公式＝eq\f(1,2)｜PF1｜·｜PF2|sin∠F1PF2求得面積．（2）方法二：利用公式＝eq\f（1，2）｜F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積．同理可求得雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2，b2)＝1中焦點(diǎn)三角形的面積．特別提醒:利用雙曲線的定義解決與焦點(diǎn)有關(guān)的問題，一是要注意定義條件｜｜PF1｜－｜PF2||＝2a的變形使用，特別是與|PF1｜2＋｜PF2|2，|PF1｜·｜PF2｜之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練3已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,∠F1PF2＝60°，則｜PF1｜·|PF2|等于（）A．1B．4C．6D．8考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)三角形答案B解析設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理得|F1F2｜2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2,即m2＋n2－mn＝8，∴(m－n）2＋mn＝8，∴mn＝4,即｜PF1|·｜PF2|＝4。命題角度2由雙曲線定義求軌跡方程例4已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2:（x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為________________．考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案x2－eq\f(y2，8)＝1(x≤－1)解析如圖，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B，根據(jù)兩圓外切的條件｜MC1｜－|AC1｜＝|MA｜，｜MC2｜－|BC2|＝｜MB｜,因?yàn)閨MA｜＝｜MB|,所以|MC1|－|AC1|＝｜MC2｜－｜BC2|，即｜MC2|－｜MC1｜＝2，這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2,C1的距離的差是常數(shù)2且2<6＝|C1C2｜.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M與C2的距離大,與C1的距離?。?，這里a＝1，c＝3，則b2＝8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y),其軌跡方程為x2－eq\f(y2,8）＝1（x≤－1)．反思與感悟定義法求雙曲線方程的注意點(diǎn)（1）注意條件中是到定點(diǎn)距離之差,還是差的絕對(duì)值．（2)當(dāng)差的絕對(duì)值為常數(shù)時(shí)要注意常數(shù)與兩定點(diǎn)間距離的大小問題．（3)求出方程后要注意表示滿足方程的解的坐標(biāo)是否都在所給的曲線上．跟蹤訓(xùn)練4已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4）2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（)A。eq\f(x2，2)－eq\f（y2，14）＝1(x≥eq\r(2）) B.eq\f（x2,2)－eq\f（y2，14)＝1C.eq\f(x2，14)－eq\f（y2，2)＝1 D。eq\f（x2，2）＋eq\f(y2,14)＝1考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案A解析設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知得｜MC1|＝r＋eq\r（2）,｜MC2｜＝r－eq\r（2),所以|MC1|－｜MC2|＝2eq\r(2).又C1(－4,0),C2（4，0）,所以|C1C2|＝8，所以2eq\r(2）<｜C1C2|,根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1(－4,0)，C2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,因?yàn)閍＝eq\r（2),c＝4，所以b2＝c2－a2＝14,所以點(diǎn)M的軌跡方程是eq\f(x2，2)－eq\f（y2,14)＝1（x≥eq\r（2））．1．已知F1(3，3），F(xiàn)2(－3,3），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1｜－|PF2｜＝4，則P點(diǎn)的軌跡是（)A．雙曲線 B．雙曲線的一支C．不存在 D．一條射線考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案B解析因?yàn)閨PF1｜－|PF2｜＝4，且4〈｜F1F2|，由雙曲線定義知,P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．2．若k∈R,方程eq\f(x2,k＋3)＋eq\f（y2，k＋2）＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍是()A．－3〈k<－2 B．k〈－3C．k〈－3或k〉－2 D．k>－2考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)已知方程判斷曲線的類型答案A解析由題意知，k＋3〉0且k＋2<0，∴－3<k<－2.3．設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2－eq\f（y2，24）＝1的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|PF1｜＝4｜PF2｜，則△PF1F2的面積等于()A．4eq\r（2)B．8eq\r（3）C．24D．48考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)三角形答案C解析由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(｜PF1|－｜PF2｜＝2,,3｜PF1|＝4｜PF2｜，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(｜PF1｜＝8，，|PF2｜＝6.））又由｜F1F2｜＝10，可得△PF1F2是直角三角形,且PF1⊥PF2，則＝eq\f(1，2）｜PF1|·｜PF2｜＝24。4．橢圓eq\f（x2，4)＋eq\f(y2,a2）＝1與雙曲線eq\f（x2，a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是________．考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)雙曲線與橢圓結(jié)合的有關(guān)問題答案1解析由a>0，0〈a2〈4，且4－a2＝a＋2，可解得a＝1.5．P是雙曲線x2－y2＝16的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點(diǎn)，則|PF1｜－|PF2|＝________.答案－8解析將x2－y2＝16化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,16)－eq\f（y2，16)＝1，所以a2＝16,2a＝8，因?yàn)镻點(diǎn)在雙曲線左支上，所以｜PF1|－|PF2|＝－8。1．雙曲線定義中||PF1|－｜PF2｜|＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了絕對(duì)值符號(hào),當(dāng)2a＝｜F1F2｜時(shí)表示兩條射線．2．在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a>b不一定成立,要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別．在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2。3．用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先判斷焦點(diǎn)所在的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，由條件列出a,b，c的方程組．如果焦點(diǎn)不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2＋ny2＝1（mn〈0）的形式求解．一、選擇題1．已知雙曲線方程為x2－2y2＝1,則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r(2）,2),0）） B.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(5),2）,0））C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6），2)，0）） D．（eq\r(3),0）考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案C解析將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2,1)－eq\f（y2，\f(1,2)）＝1，所以a2＝1,b2＝eq\f（1，2)，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f（\r（6）,2),故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（6)，2），0))。2．雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2，9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2,若雙曲線上一點(diǎn)P到F1的距離為12，則P到F2的距離為(）A．17 B．22C．2或22 D．7或17考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案C解析由雙曲線的定義,得|｜PF1｜－|PF2｜｜＝10，又|PF1｜＝12，則P到F2的距離為2或22,經(jīng)檢驗(yàn),均符合題意．故選C。3．過點(diǎn)(1，1)且eq\f（b，a)＝eq\r(2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.eq\f（x2,\f(1，2))－y2＝1 B.eq\f（y2,\f（1,2））－x2＝1C．x2－eq\f(y2，\f（1，2)）＝1 D.eq\f(x2，\f(1,2））－y2＝1或eq\f(y2，\f（1，2）)－x2＝1考點(diǎn)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案D解析由于eq\f（b，a）＝eq\r(2)，∴b2＝2a2。當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,2a2)＝1，代入(1,1)點(diǎn)，得a2＝eq\f(1,2).此時(shí)雙曲線方程為eq\f(x2,\f（1，2））－y2＝1。同理求得焦點(diǎn)在y軸上時(shí),雙曲線方程為eq\f（y2，\f(1，2））－x2＝1。4．若方程eq\f(y2，4）－eq\f（x2，m＋1）＝1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．－1〈m<3 B．m〉－1C．m>3 D．m〈－1答案B解析依題意應(yīng)有m＋1>0，即m〉－1。5．雙曲線8kx2－ky2＝8的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3),則k的值是()A．1 B．－1C。eq\f(\r（65）,3) D．－eq\f(\r(65），3)考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)由雙曲線方程求參數(shù)答案B解析原方程可化為eq\f（x2,\f（1,k))－eq\f(y2,\f(8,k)）＝1，由焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)可知c＝3，且焦點(diǎn)在y軸上，∴k〈0。c2＝－eq\f（1，k)－eq\f(8，k）＝－eq\f（9，k）＝9，∴k＝－1，故選B。6．若雙曲線C:2x2－y2＝m（m〉0）與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn)，且｜AB|＝4eq\r（3），則m的值是（）A．116B．80C．52D．20考點(diǎn)雙曲線與其他曲線的綜合應(yīng)用題點(diǎn)雙曲線與其他曲線的綜合應(yīng)用答案D解析由拋物線y2＝16x可知其準(zhǔn)線方程為x＝－4。因?yàn)殡p曲線是軸對(duì)稱圖形,所以點(diǎn)A，B到x軸的距離均為2eq\r(3)。不妨設(shè)點(diǎn)A(－4,2eq\r（3)）．又點(diǎn)A在雙曲線上，將其坐標(biāo)代入雙曲線方程2x2－y2＝m，得m＝20，故選D。7．已知雙曲線eq\f（x2，m）－eq\f（y2，7)＝1，直線l過其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為20，則m的值為()A．9B．10C．16D．20考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)三角形答案A解析△ABF2的周長(zhǎng)＝|AB|＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝20,∵|AB｜＝4,∴|AF2|＋｜BF2|＝16.根據(jù)雙曲線定義知，2a＝|AF2｜－｜AF1|＝|BF2|－|BF1|，∴4a＝（｜AF2｜＋|BF2|)－(|AF1｜＋|BF1|)＝16－4＝12，∴a＝3，∴m＝a2＝9.8．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（－eq\r（5）,0)，點(diǎn)P在雙曲線上，且線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2),則此雙曲線的方程是(）A.eq\f（x2，4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4）＝1C。eq\f(x2，2）－eq\f（y2,3)＝1 D。eq\f(x2,3)－eq\f(y2，2)＝1考點(diǎn)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案B解析據(jù)已知條件得焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0），則a2＋b2＝5.①∵線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2）,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（eq\r(5），4），將其代入雙曲線的方程,得eq\f(5，a2）－eq\f(16,b2)＝1。②由①②解得a2＝1，b2＝4，∴雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1。二、填空題9．已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)B(－4,0)，且和定圓（x－4)2＋y2＝16相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為________．考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線定義的應(yīng)用答案eq\f(x2,4）－eq\f(y2，12)＝1解析設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,依題意有|MB｜＝r，另設(shè)A（4，0)，則有|MA｜＝r±4，即|MA｜－｜MB|＝±4。亦即動(dòng)圓圓心M到兩定點(diǎn)A、B的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)4，又4<8＝｜AB｜，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，且c＝4，2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12,故點(diǎn)M的軌跡方程是eq\f(x2，4)－eq\f（y2，12)＝1.10．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(4eq\r(2），－3），且Q(0,5）與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．考點(diǎn)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題點(diǎn)待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案eq\f(x2，16)－eq\f(y2,9)＝1解析設(shè)焦點(diǎn)F1（－c,0),F2（c，0）（c〉0),則由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1,∴eq\f(5,c）·eq\f（5,－c）＝－1,∴c＝5.設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0，b>0)，∵雙曲線過(4eq\r(2)，－3)，∴eq\f（32,a2）－eq\f(9,b2）＝1，又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9?！嚯p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2,16）－eq\f（y2,9)＝1。11．已知雙曲線x2－y2＝1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋｜PF2｜的值為________．答案2eq\r(3)解析設(shè)P在雙曲線的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因?yàn)镻F1⊥PF2，所以|PF1｜2＋｜PF2|2＝｜F1F2｜2，所以（x＋2）2＋x2＝4c2＝8,所以x＝eq\r(3)－1，x＋2＝eq\r（3）＋1,所以｜PF2|＋|PF1｜＝eq\r(3)－1＋eq\r（3)＋1＝2eq\r（3）.三、解答題12．已知點(diǎn)A（－7，0)，B（7,0)，C(2，－12），橢圓過A,B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn),求橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡方程．考點(diǎn)橢圓與雙曲線的綜合應(yīng)用題點(diǎn)橢圓與雙曲線的綜合應(yīng)用解設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為P（x，y)，則由題意知｜AC|＋｜AP｜＝｜BC|＋｜BP｜,∴｜BP|－｜AP|＝｜AC|－｜BC|＝2〈|AB｜＝14,∴點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的左支，且c＝7，a＝1，∴b2＝c2－a2＝48?！嗨蟮能壽E方程為x2－eq\f（y2,48)＝1(x≤－1)．13．已知拋物線y2＝2px(p>0）的焦點(diǎn)為雙曲線eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝1（a>0，b〉0)的一個(gè)焦點(diǎn)，且兩條曲線都經(jīng)過點(diǎn)M（2，4)．(1)求這兩條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，且它與雙曲線的左、右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)雙曲線的定義題點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn)三角形解（1)∵拋物線y2＝2px(p>0）經(jīng)過點(diǎn)M(2,4)，∴42＝2p×2，解得p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0)，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（－2,0)，F(xiàn)2（2，0），則a2＋b2＝c2＝4?！唠p曲線經(jīng)過點(diǎn)M(2,4），∴eq\f(4,a2)－eq\f（16，b2）＝1,解得a2＝12－8eq\r（2),b2＝8eq\r(2)－8?！嚯p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\