23矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組講解課件

2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)二、線(xiàn)性方程組的性態(tài)三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)二、線(xiàn)12.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組例1方程組準(zhǔn)確解：若A及b作微小變化，考慮擾動(dòng)后的方程組：準(zhǔn)確解：方程組解的幾何解釋為：平面上兩條接近于平行的直線(xiàn)的交點(diǎn)，當(dāng)其中一條直線(xiàn)稍有變化時(shí)，新的交點(diǎn)與原交點(diǎn)相差很遠(yuǎn)。2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組例1方程組準(zhǔn)確解：若A2例2方程組準(zhǔn)確解為：（1）對(duì)右端b作微小擾動(dòng)：（2）對(duì)系數(shù)矩陣A作微小擾動(dòng)：4488倍15111倍例2方程組準(zhǔn)確解為：（1）對(duì)右端b作微小擾動(dòng)：（2）對(duì)系數(shù)32.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)★矩陣條件數(shù)的定義★矩陣條件數(shù)的性質(zhì)2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)★矩陣4一、矩陣的條件數(shù)改寫(xiě)（2.22）式：Proof一、矩陣的條件數(shù)改寫(xiě)（2.22）式：Proof5★矩陣條件數(shù)的定義：★矩陣條件數(shù)的性質(zhì)：★矩陣條件數(shù)的定義：★矩陣條件數(shù)的性質(zhì)：6（6）Cond(AB)≤

Cond(A)

Cond(B)

（6）Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)7二、線(xiàn)性方程組的性態(tài)二、線(xiàn)性方程組的性態(tài)8答案：答案：9希爾伯特（Hilbert）陣定義：-----最著名的病態(tài)矩陣對(duì)稱(chēng)正定矩陣在MATLAB中，函數(shù)hilb（）提供了Hilbert矩陣希爾伯特（Hilbert）陣定義：-----最著名的病態(tài)矩陣10希爾伯特（Hilbert）陣-----最著名的病態(tài)矩陣Hilbert矩陣的條件數(shù)：希爾伯特（Hilbert）陣-----最著名的病態(tài)矩陣Hil11求解病態(tài)方程組出現(xiàn)的問(wèn)題：例：用MATLAB求解線(xiàn)性方程組輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.99991.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000求解病態(tài)方程組出現(xiàn)的問(wèn)題：例：用MATLAB求解線(xiàn)性方程組輸12輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9991.000，0.999，1.000，0.999，1.000輸入：得：ans=1.000,1,000,1.001,0.9791.202-0.141,4.886,-6.842,9.446,-2.90716.4271,-19.1914,24.787,9.577,-50.545,65.566,-47.751,27.814,-9.191,2.883輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.013三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別

2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（1）采用高精度（2）（預(yù)處理）平衡法（3）殘差校正法（4）奇異值分解法三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別2、病態(tài)線(xiàn)14三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）15三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）16

2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（2）預(yù)處理設(shè)有預(yù)處理矩陣P，對(duì)方程組AX=b預(yù)處理PAX=Pb使2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（2）預(yù)處理設(shè)有預(yù)處理矩陣P，對(duì)方17

2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（1）采用高精度（2）預(yù)處理2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（1）采用高精度（2）預(yù)處理18例4（P49）方程組病態(tài)進(jìn)行行平衡:得同解方程組:例4（P49）方程組病態(tài)進(jìn)行行平衡:得同解方程組:19

(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）YN(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）YN20

(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）21（4）奇異值分解法U、V——正交陣，S——對(duì)角陣在MATLAB中，函數(shù)svd（）作矩陣的奇異值分解a)奇異值分解（Singular-ValueDecomposition）如：求H4的奇異值分解。輸入（4）奇異值分解法U、V——正交陣，S——對(duì)角陣在MATLA22如：求H4的奇異值分解。輸入得到：U=-0.79260.5821-0.1792-0.0292-0.4519-0.37050.74190.3287-0.3224-0.5096-0.1002-0.7914-0.2522-0.5140-0.63830.5146S=1.500200000.169100000.006700000.0001V=-0.79260.5821-0.1792-0.0292-0.4519-0.37050.74190.3287-0.3224-0.5096-0.1002-0.7914-0.2522-0.5140-0.63830.5146如：求H4的奇異值分解。輸入得到：U=-0.7926023b)用奇異值分解解線(xiàn)性方程組思考:這種方法有問(wèn)題嗎？令請(qǐng)大家自己查閱有關(guān)書(shū)籍《數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)，薛毅》b)用奇異值分解解線(xiàn)性方程組思考:這種方法有問(wèn)題嗎？令請(qǐng)大家24小結(jié)2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)二、線(xiàn)性方程組的性態(tài):病態(tài)和良態(tài)三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（1）采用高精度（2）（預(yù)處理）平衡法（3）殘差校正法（4）奇異值分解法小結(jié)2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件25證明(1)只要證明A+△A非奇(2)證明(1)只要證明A+△A非奇(2)26證畢證畢272.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)二、線(xiàn)性方程組的性態(tài)三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)二、線(xiàn)282.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組例1方程組準(zhǔn)確解：若A及b作微小變化，考慮擾動(dòng)后的方程組：準(zhǔn)確解：方程組解的幾何解釋為：平面上兩條接近于平行的直線(xiàn)的交點(diǎn)，當(dāng)其中一條直線(xiàn)稍有變化時(shí)，新的交點(diǎn)與原交點(diǎn)相差很遠(yuǎn)。2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組例1方程組準(zhǔn)確解：若A29例2方程組準(zhǔn)確解為：（1）對(duì)右端b作微小擾動(dòng)：（2）對(duì)系數(shù)矩陣A作微小擾動(dòng)：4488倍15111倍例2方程組準(zhǔn)確解為：（1）對(duì)右端b作微小擾動(dòng)：（2）對(duì)系數(shù)302.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)★矩陣條件數(shù)的定義★矩陣條件數(shù)的性質(zhì)2.3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)方程組一、矩陣的條件數(shù)★矩陣31一、矩陣的條件數(shù)改寫(xiě)（2.22）式：Proof一、矩陣的條件數(shù)改寫(xiě)（2.22）式：Proof32★矩陣條件數(shù)的定義：★矩陣條件數(shù)的性質(zhì)：★矩陣條件數(shù)的定義：★矩陣條件數(shù)的性質(zhì)：33（6）Cond(AB)≤

Cond(A)

Cond(B)

（6）Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)34二、線(xiàn)性方程組的性態(tài)二、線(xiàn)性方程組的性態(tài)35答案：答案：36希爾伯特（Hilbert）陣定義：-----最著名的病態(tài)矩陣對(duì)稱(chēng)正定矩陣在MATLAB中，函數(shù)hilb（）提供了Hilbert矩陣希爾伯特（Hilbert）陣定義：-----最著名的病態(tài)矩陣37希爾伯特（Hilbert）陣-----最著名的病態(tài)矩陣Hilbert矩陣的條件數(shù)：希爾伯特（Hilbert）陣-----最著名的病態(tài)矩陣Hil38求解病態(tài)方程組出現(xiàn)的問(wèn)題：例：用MATLAB求解線(xiàn)性方程組輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.99991.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000求解病態(tài)方程組出現(xiàn)的問(wèn)題：例：用MATLAB求解線(xiàn)性方程組輸39輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9991.000，0.999，1.000，0.999，1.000輸入：得：ans=1.000,1,000,1.001,0.9791.202-0.141,4.886,-6.842,9.446,-2.90716.4271,-19.1914,24.787,9.577,-50.545,65.566,-47.751,27.814,-9.191,2.883輸入：得：ans=1.000,1,000,1.000,1.040三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別

2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（1）采用高精度（2）（預(yù)處理）平衡法（3）殘差校正法（4）奇異值分解法三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別2、病態(tài)線(xiàn)41三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）42三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）三、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解1、病態(tài)線(xiàn)性方程組的判別例（P49）43

2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（2）預(yù)處理設(shè)有預(yù)處理矩陣P，對(duì)方程組AX=b預(yù)處理PAX=Pb使2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（2）預(yù)處理設(shè)有預(yù)處理矩陣P，對(duì)方44

2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（1）采用高精度（2）預(yù)處理2、病態(tài)線(xiàn)性方程組的求解（1）采用高精度（2）預(yù)處理45例4（P49）方程組病態(tài)進(jìn)行行平衡:得同解方程組:例4（P49）方程組病態(tài)進(jìn)行行平衡:得同解方程組:46

(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）YN(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）YN47

(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）(3)殘差校正法（迭代求精法，迭代改善法）48（4）奇異值分解法U、V——正交陣，S——對(duì)角陣在MATLAB中，函數(shù)svd（）作矩陣的奇異值分解a)奇異值分解（Singular-ValueDecomposition）如：求H4的奇異值分解。輸入（4）奇異值分解法U、V——正交陣，S——對(duì)角陣在MATLA49如：求H4的奇異值分解。輸入得到：U=-0.79260.5821-0.1792-0.0292-0.4519-0.37050.74190.3287-0.3224-0.5096-0.1002-0.7914-0.2522-0.5140-0.63830.5146S=1.500200000.1691000