考研數(shù)學(xué)一二微分中值定理(題)課件

第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:

可微函數(shù)在極值點(diǎn)處有水平切線

設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某個(gè)鄰域N(x0)內(nèi)有定義,f(x0)是

f(x)的一個(gè)極值,如果f(x)在x0處可導(dǎo),則有第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:可微函數(shù)在極值點(diǎn)1拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題

設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在,使得．設(shè)f(x)在[a,b]開區(qū)間連續(xù)閉區(qū)間可導(dǎo)，且ab均大于0，證明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得f'(ξ)=[f'(η)/2η]*(a+b)用兩次拉格朗日中值定理先由拉格朗日中值定理得：f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),ξ∈(a,b)。又由柯西中值定理有：[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η,η∈(a,b)。即[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=[f'(η)/2η](a+b),此即所證等式。拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題2,試證明:至少存在一點(diǎn),使例1

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

f(1)=1,

解因f(x)在[a,b]上連續(xù)，由積分中值定理，存在[0,1]使由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)內(nèi)取得f(x)在[0,1]的最大值，即存在ξ(0,1),使ξ為極大值點(diǎn)，據(jù)費(fèi)馬定理,試證明:至少存在一點(diǎn),32°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn),使說明:

2)羅爾定理涉及了方程根的問題1)幾何意義y0x2°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a4例2

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

則在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使解取輔助函數(shù)，則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使例2若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,5證明:對(duì)任意的λ>0,存在,使例3

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

解取輔助函數(shù),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使說明：輔助函數(shù)導(dǎo)數(shù)可以和原方程相差一非零因子證明:對(duì)任意的λ>0,存在6例4

設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實(shí)數(shù),則

f(x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間,必有的零點(diǎn)解設(shè)x1<x2是f(x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)，要證：存在

ξ(x1,x2)使取輔助函數(shù),則F(x)在[x1,x2上連續(xù)，在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x1)=F(x2)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(x1,x2)使例4設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實(shí)數(shù),則f(7例5

若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

試證明:存在,使解原問題取輔助函數(shù)，則F(x)在a,b

上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(a,b)使即例5若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,8例6

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得(k為正整數(shù))解原等式將ξ換成x,得積分得例6設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,9據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù),則F(x)在0,1

上連續(xù),(0

,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù)10例7

設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使得(找等高點(diǎn))解利用積分中值定理，存在使又f(x)在0,上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導(dǎo)，據(jù)羅爾定理，存在ξ0,(0,1)使例7設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(11例8

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得,其中0<<1.(找等高點(diǎn))解原等式設(shè)，則F(0)=0又據(jù)零值定理，存在使F()=0對(duì)F(x)在[0,]上利用羅爾定理,存在ξ(0,)(0,1)使例8設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(12例9

證明:方程的根不超過三個(gè)解反證法.假設(shè)方程有四個(gè)實(shí)根設(shè)，則有

在上分別利用羅爾定理在[x1,x4]上至少有三個(gè)零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有兩個(gè)零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)現(xiàn)矛盾例9證明:方程13,證明:至少存在一點(diǎn),使

例10

設(shè)f(x)在1,2上有二階導(dǎo)數(shù),且,又解因?yàn)橛捎贔(x)在[1,2]上連續(xù),(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且據(jù)羅爾定理，存在(1,2)使在[1,]上,連續(xù)，可導(dǎo)，且利用羅爾定理，存在ξ(1,)(1,2)使,證明:至少存在一點(diǎn),使143°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:1)上式可以寫成:或者或者2)幾何意義3°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f15(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且則至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:幾何意義:AB弦的斜率切線的斜率(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在16(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對(duì)于滿足α+

=1的正數(shù)α,,在(0,1)內(nèi)存在設(shè)f(x)在0,1上可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1,例11相異兩點(diǎn)ξ,η,使解利用拉格朗日中值定理得兩式相加得(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對(duì)于滿足α+17且f(0)=0,f(1)=1,證明:已知f(x)在0,1上連續(xù),在

(0,1)內(nèi)可導(dǎo),例12(1)存在ξ

(0,1),使(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得解（1）原等式設(shè)F(x)=f(x)+x

1,則F(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=1<0,F(1)=1>0據(jù)零值定理，存在ξ(0,1)使F(ξ)=0

且f(0)=0,f(1)=1,證明:已18(2)由于(2)由于19例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b),使解原等式設(shè)，在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b20若極限存在,證明:設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且例14(1)在(a,b)內(nèi),f(x)>0(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,使(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中ξ

不同的點(diǎn)η,使解(1)因?yàn)榇嬖谟蒮(x)在[a,b]上連續(xù)若極限21又因f(x)在[a,b]上單調(diào)增，故有

(2)根據(jù)等式，設(shè)在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

又因f(x)22(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在(a,ξ)使所以有(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在232)不等式的證明例15

證明不等式:解設(shè),在上利用拉格朗日中值定理存在使2)不等式的證明例15證明不等式:解設(shè)24設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)xa

時(shí),例16證明:當(dāng)xa

時(shí)

解當(dāng)x=a時(shí)，不等式成立.下設(shè)x

>a由g(x)單調(diào)增g(x)g(a)>0,x>a

利用柯西中值定理。存在(a,x),使設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)x254°泰勒公式(1)定理(帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)有直到存在一點(diǎn)ξ介于x0與x之間,使n+1導(dǎo)數(shù),是任意兩點(diǎn),則至少說明:1)如果泰勒公式中的x0=0,則稱該公式為麥克勞林公式4°泰勒公式(1)定理(帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)函262)具有拉格朗日余項(xiàng)的0階泰勒公式就是拉格朗日中值公式(2)定理(帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)f(x)在x0處具有n

階導(dǎo)數(shù),則存在x0點(diǎn)的鄰域N(x0),在此鄰域內(nèi)有說明:帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式的表達(dá)形式是唯一的2)具有拉格朗日余項(xiàng)的0階泰勒公式就是拉格朗日中值27成立,則必有即若有(3)常用的幾個(gè)泰勒公式成立,則必有即若有(3)常用的幾個(gè)泰勒公式28考研數(shù)學(xué)一二微分中值定理(題)課件29說明:帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式只需將以上公式中的皮亞諾型余項(xiàng)改變?yōu)槔窭嗜招陀囗?xiàng)即可說明:帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式只需將以上公式中的皮亞諾型余30(4)應(yīng)用舉例1)函數(shù)的泰勒展開例17求函數(shù)的2n

階帶皮亞諾型的麥克勞林公式解因?yàn)?，且在式中令x=2x有(4)應(yīng)用舉例1)函數(shù)的泰勒展開例17求函數(shù)31考研數(shù)學(xué)一二微分中值定理(題)課件322)利用泰勒公式計(jì)算極限求極限例18解原極限2)利用泰勒公式計(jì)算極限求極限例18解原極限333)利用泰勒公式證明等式例19設(shè)函數(shù)f(x)在-1,1上連續(xù),(-1,1)內(nèi)二階存在一點(diǎn)ξ(-1,1),使連續(xù)可導(dǎo),且試證明:至少解利用泰勒公式，有由在上連續(xù)，利用介值定理,存在使3)利用泰勒公式證明等式例19設(shè)函數(shù)f(x)在-1344)利用泰勒公式證明不等式f(0)=3,

試證明:存在設(shè)f(x)在0,2上連續(xù),(0,2)內(nèi)三階導(dǎo)數(shù),且

ξ(0,2),使例20解由x=1是極大值點(diǎn)其中兩式相減得4)利用泰勒公式證明不等式f(0)=3,試證明:存35例21設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù),且又x1=x0－h(huán),x2=x0+h(h>0)是該鄰域內(nèi)的兩點(diǎn),證明:解將f(x1),f(x2)分別在x0點(diǎn)處泰勒展開，有例21設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)36兩式相加得兩式相加得375)利用泰勒公式估計(jì)無窮小的階例22

求a,b,c的值,使時(shí),有解解得此時(shí)5)利用泰勒公式估計(jì)無窮小的階例22求a,b,38第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:

可微函數(shù)在極值點(diǎn)處有水平切線

設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某個(gè)鄰域N(x0)內(nèi)有定義,f(x0)是

f(x)的一個(gè)極值,如果f(x)在x0處可導(dǎo),則有第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:可微函數(shù)在極值點(diǎn)39拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題

設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在,使得．設(shè)f(x)在[a,b]開區(qū)間連續(xù)閉區(qū)間可導(dǎo)，且ab均大于0，證明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得f'(ξ)=[f'(η)/2η]*(a+b)用兩次拉格朗日中值定理先由拉格朗日中值定理得：f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),ξ∈(a,b)。又由柯西中值定理有：[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η,η∈(a,b)。即[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=[f'(η)/2η](a+b),此即所證等式。拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題40,試證明:至少存在一點(diǎn),使例1

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

f(1)=1,

解因f(x)在[a,b]上連續(xù)，由積分中值定理，存在[0,1]使由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)內(nèi)取得f(x)在[0,1]的最大值，即存在ξ(0,1),使ξ為極大值點(diǎn)，據(jù)費(fèi)馬定理,試證明:至少存在一點(diǎn),412°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn),使說明:

2)羅爾定理涉及了方程根的問題1)幾何意義y0x2°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a42例2

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

則在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使解取輔助函數(shù)，則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使例2若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,43證明:對(duì)任意的λ>0,存在,使例3

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

解取輔助函數(shù),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使說明：輔助函數(shù)導(dǎo)數(shù)可以和原方程相差一非零因子證明:對(duì)任意的λ>0,存在44例4

設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實(shí)數(shù),則

f(x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間,必有的零點(diǎn)解設(shè)x1<x2是f(x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)，要證：存在

ξ(x1,x2)使取輔助函數(shù),則F(x)在[x1,x2上連續(xù)，在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x1)=F(x2)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(x1,x2)使例4設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實(shí)數(shù),則f(45例5

若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

試證明:存在,使解原問題取輔助函數(shù)，則F(x)在a,b

上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(a,b)使即例5若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,46例6

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得(k為正整數(shù))解原等式將ξ換成x,得積分得例6設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,47據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù),則F(x)在0,1

上連續(xù),(0

,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù)48例7

設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使得(找等高點(diǎn))解利用積分中值定理，存在使又f(x)在0,上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導(dǎo)，據(jù)羅爾定理，存在ξ0,(0,1)使例7設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(49例8

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得,其中0<<1.(找等高點(diǎn))解原等式設(shè)，則F(0)=0又據(jù)零值定理，存在使F()=0對(duì)F(x)在[0,]上利用羅爾定理,存在ξ(0,)(0,1)使例8設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(50例9

證明:方程的根不超過三個(gè)解反證法.假設(shè)方程有四個(gè)實(shí)根設(shè)，則有

在上分別利用羅爾定理在[x1,x4]上至少有三個(gè)零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有兩個(gè)零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)現(xiàn)矛盾例9證明:方程51,證明:至少存在一點(diǎn),使

例10

設(shè)f(x)在1,2上有二階導(dǎo)數(shù),且,又解因?yàn)橛捎贔(x)在[1,2]上連續(xù),(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且據(jù)羅爾定理，存在(1,2)使在[1,]上,連續(xù)，可導(dǎo)，且利用羅爾定理，存在ξ(1,)(1,2)使,證明:至少存在一點(diǎn),使523°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:1)上式可以寫成:或者或者2)幾何意義3°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f53(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且則至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:幾何意義:AB弦的斜率切線的斜率(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在54(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對(duì)于滿足α+

=1的正數(shù)α,,在(0,1)內(nèi)存在設(shè)f(x)在0,1上可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1,例11相異兩點(diǎn)ξ,η,使解利用拉格朗日中值定理得兩式相加得(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對(duì)于滿足α+55且f(0)=0,f(1)=1,證明:已知f(x)在0,1上連續(xù),在

(0,1)內(nèi)可導(dǎo),例12(1)存在ξ

(0,1),使(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得解（1）原等式設(shè)F(x)=f(x)+x

1,則F(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=1<0,F(1)=1>0據(jù)零值定理，存在ξ(0,1)使F(ξ)=0

且f(0)=0,f(1)=1,證明:已56(2)由于(2)由于57例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b),使解原等式設(shè)，在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b58若極限存在,證明:設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且例14(1)在(a,b)內(nèi),f(x)>0(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,使(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中ξ

不同的點(diǎn)η,使解(1)因?yàn)榇嬖谟蒮(x)在[a,b]上連續(xù)若極限59又因f(x)在[a,b]上單調(diào)增，故有

(2)根據(jù)等式，設(shè)在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

又因f(x)60(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在(a,ξ)使所以有(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在612)不等式的證明例15

證明不等式:解設(shè),在上利用拉格朗日中值定理存在使2)不等式的證明例15證明不等式:解設(shè)62設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)xa

時(shí),例16證明:當(dāng)xa

時(shí)

解當(dāng)x=a時(shí)，不等式成立.下設(shè)x

>a由g(x)單調(diào)增g(x)g(a)>0,x>a

利用柯西中值定理。存在(a,x),使設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)x634°泰勒公式(1)定理(帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)有直到存在一點(diǎn)ξ介于