考研數(shù)學(xué)一二微分中值定理(題)課件

第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:

可微函數(shù)在極值點(diǎn)處有水平切線

設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某個鄰域N(x0)內(nèi)有定義,f(x0)是

f(x)的一個極值,如果f(x)在x0處可導(dǎo),則有第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:可微函數(shù)在極值點(diǎn)1拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題

設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在,使得．設(shè)f(x)在[a,b]開區(qū)間連續(xù)閉區(qū)間可導(dǎo)，且ab均大于0，證明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得f'(ξ)=[f'(η)/2η]*(a+b)用兩次拉格朗日中值定理先由拉格朗日中值定理得：f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),ξ∈(a,b)。又由柯西中值定理有：[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η,η∈(a,b)。即[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=[f'(η)/2η](a+b),此即所證等式。拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題2,試證明:至少存在一點(diǎn),使例1

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

f(1)=1,

解因f(x)在[a,b]上連續(xù)，由積分中值定理，存在[0,1]使由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)內(nèi)取得f(x)在[0,1]的最大值，即存在ξ(0,1),使ξ為極大值點(diǎn)，據(jù)費(fèi)馬定理,試證明:至少存在一點(diǎn),32°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn),使說明:

2)羅爾定理涉及了方程根的問題1)幾何意義y0x2°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a4例2

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

則在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使解取輔助函數(shù)，則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使例2若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,5證明:對任意的λ>0,存在,使例3

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

解取輔助函數(shù),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使說明：輔助函數(shù)導(dǎo)數(shù)可以和原方程相差一非零因子證明:對任意的λ>0,存在6例4

設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實數(shù),則

f(x)的任意兩個零點(diǎn)之間,必有的零點(diǎn)解設(shè)x1<x2是f(x)的任意兩個零點(diǎn)，要證：存在

ξ(x1,x2)使取輔助函數(shù),則F(x)在[x1,x2上連續(xù)，在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x1)=F(x2)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(x1,x2)使例4設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實數(shù),則f(7例5

若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

試證明:存在,使解原問題取輔助函數(shù)，則F(x)在a,b

上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(a,b)使即例5若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,8例6

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得(k為正整數(shù))解原等式將ξ換成x,得積分得例6設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,9據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù),則F(x)在0,1

上連續(xù),(0

,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù)10例7

設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使得(找等高點(diǎn))解利用積分中值定理，存在使又f(x)在0,上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導(dǎo)，據(jù)羅爾定理，存在ξ0,(0,1)使例7設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(11例8

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得,其中0<<1.(找等高點(diǎn))解原等式設(shè)，則F(0)=0又據(jù)零值定理，存在使F()=0對F(x)在[0,]上利用羅爾定理,存在ξ(0,)(0,1)使例8設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(12例9

證明:方程的根不超過三個解反證法.假設(shè)方程有四個實根設(shè)，則有

在上分別利用羅爾定理在[x1,x4]上至少有三個零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有兩個零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有一個零點(diǎn)現(xiàn)矛盾例9證明:方程13,證明:至少存在一點(diǎn),使

例10

設(shè)f(x)在1,2上有二階導(dǎo)數(shù),且,又解因為由于F(x)在[1,2]上連續(xù),(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且據(jù)羅爾定理，存在(1,2)使在[1,]上,連續(xù)，可導(dǎo)，且利用羅爾定理，存在ξ(1,)(1,2)使,證明:至少存在一點(diǎn),使143°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:1)上式可以寫成:或者或者2)幾何意義3°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f15(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且則至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:幾何意義:AB弦的斜率切線的斜率(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在16(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對于滿足α+

=1的正數(shù)α,,在(0,1)內(nèi)存在設(shè)f(x)在0,1上可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1,例11相異兩點(diǎn)ξ,η,使解利用拉格朗日中值定理得兩式相加得(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對于滿足α+17且f(0)=0,f(1)=1,證明:已知f(x)在0,1上連續(xù),在

(0,1)內(nèi)可導(dǎo),例12(1)存在ξ

(0,1),使(2)存在兩個不同的點(diǎn),使得解（1）原等式設(shè)F(x)=f(x)+x

1,則F(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=1<0,F(1)=1>0據(jù)零值定理，存在ξ(0,1)使F(ξ)=0

且f(0)=0,f(1)=1,證明:已18(2)由于(2)由于19例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b),使解原等式設(shè)，在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b20若極限存在,證明:設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且例14(1)在(a,b)內(nèi),f(x)>0(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,使(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中ξ

不同的點(diǎn)η,使解(1)因為存在由f(x)在[a,b]上連續(xù)若極限21又因f(x)在[a,b]上單調(diào)增，故有

(2)根據(jù)等式，設(shè)在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

又因f(x)22(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在(a,ξ)使所以有(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在232)不等式的證明例15

證明不等式:解設(shè),在上利用拉格朗日中值定理存在使2)不等式的證明例15證明不等式:解設(shè)24設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)xa

時,例16證明:當(dāng)xa

時

解當(dāng)x=a時，不等式成立.下設(shè)x

>a由g(x)單調(diào)增g(x)g(a)>0,x>a

利用柯西中值定理。存在(a,x),使設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)x254°泰勒公式(1)定理(帶拉格朗日型余項的泰勒公式)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)有直到存在一點(diǎn)ξ介于x0與x之間,使n+1導(dǎo)數(shù),是任意兩點(diǎn),則至少說明:1)如果泰勒公式中的x0=0,則稱該公式為麥克勞林公式4°泰勒公式(1)定理(帶拉格朗日型余項的泰勒公式)設(shè)函262)具有拉格朗日余項的0階泰勒公式就是拉格朗日中值公式(2)定理(帶皮亞諾余項的泰勒公式)設(shè)f(x)在x0處具有n

階導(dǎo)數(shù),則存在x0點(diǎn)的鄰域N(x0),在此鄰域內(nèi)有說明:帶皮亞諾型余項的泰勒公式的表達(dá)形式是唯一的2)具有拉格朗日余項的0階泰勒公式就是拉格朗日中值27成立,則必有即若有(3)常用的幾個泰勒公式成立,則必有即若有(3)常用的幾個泰勒公式28考研數(shù)學(xué)一二微分中值定理(題)課件29說明:帶拉格朗日型余項的泰勒公式只需將以上公式中的皮亞諾型余項改變?yōu)槔窭嗜招陀囗椉纯烧f明:帶拉格朗日型余項的泰勒公式只需將以上公式中的皮亞諾型余30(4)應(yīng)用舉例1)函數(shù)的泰勒展開例17求函數(shù)的2n

階帶皮亞諾型的麥克勞林公式解因為，且在式中令x=2x有(4)應(yīng)用舉例1)函數(shù)的泰勒展開例17求函數(shù)31考研數(shù)學(xué)一二微分中值定理(題)課件322)利用泰勒公式計算極限求極限例18解原極限2)利用泰勒公式計算極限求極限例18解原極限333)利用泰勒公式證明等式例19設(shè)函數(shù)f(x)在-1,1上連續(xù),(-1,1)內(nèi)二階存在一點(diǎn)ξ(-1,1),使連續(xù)可導(dǎo),且試證明:至少解利用泰勒公式，有由在上連續(xù)，利用介值定理,存在使3)利用泰勒公式證明等式例19設(shè)函數(shù)f(x)在-1344)利用泰勒公式證明不等式f(0)=3,

試證明:存在設(shè)f(x)在0,2上連續(xù),(0,2)內(nèi)三階導(dǎo)數(shù),且

ξ(0,2),使例20解由x=1是極大值點(diǎn)其中兩式相減得4)利用泰勒公式證明不等式f(0)=3,試證明:存35例21設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù),且又x1=x0－h(huán),x2=x0+h(h>0)是該鄰域內(nèi)的兩點(diǎn),證明:解將f(x1),f(x2)分別在x0點(diǎn)處泰勒展開，有例21設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)36兩式相加得兩式相加得375)利用泰勒公式估計無窮小的階例22

求a,b,c的值,使時,有解解得此時5)利用泰勒公式估計無窮小的階例22求a,b,38第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:

可微函數(shù)在極值點(diǎn)處有水平切線

設(shè)f(x)在x0點(diǎn)的某個鄰域N(x0)內(nèi)有定義,f(x0)是

f(x)的一個極值,如果f(x)在x0處可導(dǎo),則有第四講微分中值定理1°費(fèi)馬定理說明:可微函數(shù)在極值點(diǎn)39拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題

設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在,使得．設(shè)f(x)在[a,b]開區(qū)間連續(xù)閉區(qū)間可導(dǎo)，且ab均大于0，證明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得f'(ξ)=[f'(η)/2η]*(a+b)用兩次拉格朗日中值定理先由拉格朗日中值定理得：f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),ξ∈(a,b)。又由柯西中值定理有：[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η,η∈(a,b)。即[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=[f'(η)/2η](a+b),此即所證等式。拉格朗日中值定理雙介質(zhì)問題40,試證明:至少存在一點(diǎn),使例1

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

f(1)=1,

解因f(x)在[a,b]上連續(xù)，由積分中值定理，存在[0,1]使由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)內(nèi)取得f(x)在[0,1]的最大值，即存在ξ(0,1),使ξ為極大值點(diǎn)，據(jù)費(fèi)馬定理,試證明:至少存在一點(diǎn),412°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn),使說明:

2)羅爾定理涉及了方程根的問題1)幾何意義y0x2°羅爾定理:設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),(a42例2

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

則在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使解取輔助函數(shù)，則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使例2若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,43證明:對任意的λ>0,存在,使例3

若f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0,

解取輔助函數(shù),則F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(0,1),使說明：輔助函數(shù)導(dǎo)數(shù)可以和原方程相差一非零因子證明:對任意的λ>0,存在44例4

設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實數(shù),則

f(x)的任意兩個零點(diǎn)之間,必有的零點(diǎn)解設(shè)x1<x2是f(x)的任意兩個零點(diǎn)，要證：存在

ξ(x1,x2)使取輔助函數(shù),則F(x)在[x1,x2上連續(xù)，在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)，且F(x1)=F(x2)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ(x1,x2)使例4設(shè)f(x)可導(dǎo),λ為任意實數(shù),則f(45例5

若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),

試證明:存在,使解原問題取輔助函數(shù)，則F(x)在a,b

上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(a,b)使即例5若f(x)在a,b上連續(xù),在(a,46例6

設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),f(0)=0,

證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得(k為正整數(shù))解原等式將ξ換成x,得積分得例6設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,47據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù),則F(x)在0,1

上連續(xù),(0

,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=F(1)=0，據(jù)羅爾定理，ξ(0,1)使即取輔助函數(shù)48例7

設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,

使得(找等高點(diǎn))解利用積分中值定理，存在使又f(x)在0,上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導(dǎo)，據(jù)羅爾定理，存在ξ0,(0,1)使例7設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),(49例8

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且,證明:在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,

使得,其中0<<1.(找等高點(diǎn))解原等式設(shè)，則F(0)=0又據(jù)零值定理，存在使F()=0對F(x)在[0,]上利用羅爾定理,存在ξ(0,)(0,1)使例8設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù),(50例9

證明:方程的根不超過三個解反證法.假設(shè)方程有四個實根設(shè)，則有

在上分別利用羅爾定理在[x1,x4]上至少有三個零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有兩個零點(diǎn)在[x1,x4]上至少有一個零點(diǎn)現(xiàn)矛盾例9證明:方程51,證明:至少存在一點(diǎn),使

例10

設(shè)f(x)在1,2上有二階導(dǎo)數(shù),且,又解因為由于F(x)在[1,2]上連續(xù),(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且據(jù)羅爾定理，存在(1,2)使在[1,]上,連續(xù)，可導(dǎo)，且利用羅爾定理，存在ξ(1,)(1,2)使,證明:至少存在一點(diǎn),使523°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:1)上式可以寫成:或者或者2)幾何意義3°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f53(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且則至少存在一點(diǎn)ξ(a,b)使說明:幾何意義:AB弦的斜率切線的斜率(2)柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在54(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對于滿足α+

=1的正數(shù)α,,在(0,1)內(nèi)存在設(shè)f(x)在0,1上可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1,例11相異兩點(diǎn)ξ,η,使解利用拉格朗日中值定理得兩式相加得(3)應(yīng)用舉例1)等式的證明證明:對于滿足α+55且f(0)=0,f(1)=1,證明:已知f(x)在0,1上連續(xù),在

(0,1)內(nèi)可導(dǎo),例12(1)存在ξ

(0,1),使(2)存在兩個不同的點(diǎn),使得解（1）原等式設(shè)F(x)=f(x)+x

1,則F(x)在[0,1]上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=1<0,F(1)=1>0據(jù)零值定理，存在ξ(0,1)使F(ξ)=0

且f(0)=0,f(1)=1,證明:已56(2)由于(2)由于57例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b),使解原等式設(shè)，在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

例13證明:存在ξ(a,b),(0<a<b58若極限存在,證明:設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且例14(1)在(a,b)內(nèi),f(x)>0(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)ξ,使(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中ξ

不同的點(diǎn)η,使解(1)因為存在由f(x)在[a,b]上連續(xù)若極限59又因f(x)在[a,b]上單調(diào)增，故有

(2)根據(jù)等式，設(shè)在[a,b]上利用柯西中值定理，存在ξ(a,b)使

又因f(x)60(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在(a,ξ)使所以有(3)原等式由結(jié)論(2),有利用拉格朗日中值定理，存在612)不等式的證明例15

證明不等式:解設(shè),在上利用拉格朗日中值定理存在使2)不等式的證明例15證明不等式:解設(shè)62設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)xa

時,例16證明:當(dāng)xa

時

解當(dāng)x=a時，不等式成立.下設(shè)x

>a由g(x)單調(diào)增g(x)g(a)>0,x>a

利用柯西中值定理。存在(a,x),使設(shè)f(x)與g(x)都是可微函數(shù),當(dāng)x634°泰勒公式(1)定理(帶拉格朗日型余項的泰勒公式)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)有直到存在一點(diǎn)ξ介于