地震預(yù)測問題數(shù)學(xué)建模論文

2015年北京交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T(打印并簽名)：1.2.3.日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：目錄一、摘要 2二、問題的重述 3三、模型的假設(shè)與符號說明 6（1）、模型的假設(shè) 6（2）、符號說明 6四、模型的建立 2（1）.由原始數(shù)據(jù)計算一次累加數(shù)據(jù) 2（2）.建立矩陣 2（3）.求u和a 2（4）.時間響應(yīng)方程 2五、模型的求解 3（1）.矩陣求解 3（2）.求u和a 3（3）.時間響應(yīng)方程 4六、模型檢驗或誤差分析 6（1）、殘差檢驗： 6（2）、后驗差檢驗： 6（3）、結(jié)論 7（4）、誤差分析 7七、模型評價 7八、參考文獻(xiàn) 7

地震預(yù)報問題一、摘要本文通過建立模型，解決了地震預(yù)報問題，簡述如何利用正確的建模，從幾組數(shù)據(jù)中預(yù)測下一次地震的時間與地點(diǎn)。20世紀(jì)以來發(fā)生在中國8級以上大地震共四次，數(shù)據(jù)較少，很難找到規(guī)律，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等建模形式來“訓(xùn)練數(shù)據(jù)”較為困難，且到目前為止，地震的發(fā)生尚無規(guī)律可言，即使是相鄰的兩次地震，彼此之間也很難說有什么影響。對于地震來說，篩選出的四個數(shù)據(jù)，它們的時間地點(diǎn)沒有必然的聯(lián)系，所以可以將時間和地點(diǎn)的預(yù)測分開進(jìn)行建模。在時間上，由于數(shù)據(jù)較少，內(nèi)部數(shù)據(jù)規(guī)律不能很好地表示出來，可以選擇灰色預(yù)測，它是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法，可以彌補(bǔ)地震事件中的不確定性。通過關(guān)聯(lián)分析幾次地震時間，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。最終運(yùn)用matlab進(jìn)行編程得出結(jié)果。在地點(diǎn)上，根據(jù)板塊漂移假說和地震帶理論，發(fā)生在地震帶上的可能性較高。對于地點(diǎn)，主要通過經(jīng)緯度來確定，假設(shè)經(jīng)度和緯度之間沒有關(guān)系，通過分別建模預(yù)測下次地震的經(jīng)度和緯度。由于數(shù)據(jù)較少，可以運(yùn)用曲線擬合法，通過圖像的類比得到近似的函數(shù)。最小化問題的精度，依賴于所選擇的函數(shù)模型，用q個相關(guān)變量或p個附加的相關(guān)變量去擬和。通常人們將一個可能的、對不相關(guān)變量的構(gòu)成都無困難的函數(shù)類型充作函數(shù)模型(本題中運(yùn)用正弦函數(shù))。求出參數(shù)后，用參數(shù)使所選擇的函數(shù)模型同觀測值Y相匹配。最終得到可預(yù)測下次地震地點(diǎn)的函數(shù)。在求解方面，利用了mathematica軟件求解。經(jīng)過建模求解，并進(jìn)行誤差分析之后，預(yù)測下次8級及以上的地震時間是2087年10月15日，地點(diǎn)是N36.55?,E106.76?（甘肅省內(nèi)）論文的末尾給出了模型優(yōu)缺點(diǎn)的分析和評價，并提出了改進(jìn)方向，如果數(shù)據(jù)再多一些，或者是要進(jìn)行7級以上地震預(yù)測的話，會更準(zhǔn)確一些。關(guān)鍵詞：地震預(yù)報時間地點(diǎn)灰色理論模型非線性回歸模型二、問題的重述大地震的破壞性是眾所周知的，為了減少大地震帶來的災(zāi)難，人們提出了各種預(yù)報地震的方法，以求減少大地震產(chǎn)生的破壞。本賽題請大家用數(shù)學(xué)建模的方式預(yù)報下一次大地震發(fā)生的時間和地點(diǎn)。為了減少問題的復(fù)雜性，請根據(jù)20世紀(jì)以來我國發(fā)生8級及以上大地震的時間和地點(diǎn)預(yù)報下一次我國發(fā)生8級及以上大地震的時間和地點(diǎn)。根據(jù)20世紀(jì)以來發(fā)生在我國八級以上地震的時間和地點(diǎn)，抓住主要因素，建立適當(dāng)?shù)姆系卣鸢l(fā)展規(guī)律的模型，從而預(yù)測下一次發(fā)生的時間和地點(diǎn)。以下是20世紀(jì)以來發(fā)生在中國的大地震：1920年12月16日，中國寧夏海原縣（北緯36.7度，東經(jīng)105.7度）1927年05月23日，中國甘肅古浪（北緯37.6度，東經(jīng)102.6度）1950年08月15日，中國西藏察隅縣（北緯28.5度，東經(jīng)96.0度）2008年05月12日，中國四川汶川縣（北緯31.0度、東經(jīng)103.4度）對于每個數(shù)據(jù)來說，假設(shè)他們的時間和地點(diǎn)之間沒有聯(lián)系，對時間地點(diǎn)分開建模。三、模型的假設(shè)與符號說明（1）、模型的假設(shè)1.忽略地形和人為的影響；2.年月日的處理：日除以365換算成月，月除以12換算成年，年作為x，輸入到模型中運(yùn)算，得出結(jié)果后換算成年月日；3.由于使用“灰色理論預(yù)測”模型，年份作為x值過大，求出的a為0，所以假設(shè)時間倒退1900年，輸入的x值減小，并且地質(zhì)條件不變，預(yù)測出下一次地震時間后再加上1900年；4.假設(shè)經(jīng)緯度數(shù)據(jù)的變化趨勢遵循函數(shù)，可通過曲線擬合法找出該函數(shù)。（2）、符號說明對于時間預(yù)測模型所涉及：X(0)：實際時間X(1)：累加之后的時間u、a:時間響應(yīng)方程中的常量X’(1)（K+1）：時間預(yù)測值E（k）：模型計算值與實際值之間的殘差E(k)：殘差與實際值之間的相對誤差X:實際時間的平均值S1：實際時間的標(biāo)準(zhǔn)差E：殘差的平均值S2：殘差的標(biāo)準(zhǔn)差C：后驗差比值P：小誤差概率對于地點(diǎn)預(yù)測模型所涉及：xi：存放擬合基點(diǎn)yi：存放對應(yīng)函數(shù)值m1:存放擬合基函數(shù)組m：存放擬合基函數(shù)組個數(shù)a：存放正規(guī)方程組系數(shù)矩陣b：存放正規(guī)方程組常數(shù)項p:存放擬合基函數(shù)組在擬合基點(diǎn)的函數(shù)值pp：存放求出的線性模型擬合函數(shù)h：存放散點(diǎn)圖p1：存放擬合函數(shù)圖形xx：交叉正規(guī)方程組變量，存放線性模型擬合函數(shù)四、模型的建立（1）.由原始數(shù)據(jù)計算一次累加數(shù)據(jù)問題1：對于時間預(yù)測：（1）.由原始數(shù)據(jù)計算一次累加數(shù)據(jù)一次累加數(shù)據(jù)一次累加數(shù)據(jù)表序號1234X(0)20.94827.39250.616108.362X(1)20.94848.34098.956207.318（2）.建立矩陣（2）.建立矩陣-1/2[X(1)（2）+X(1)（1）]1-1/2[X-1/2[X(1)（2）+X(1)（1）]1-1/2[X(1)（3）+X(1)（2）]1-1/2[X(1)（4）+X(1)（3）]1B=yy=[X(0)（2）+X(0)（3）+X(0)（3）]T（3）.求u和a（3）.求u和aUU=[a]=(BTB)-1Byuu（4）.時間響應(yīng)方程（4）.時間響應(yīng)方程XX(1)（K+1）=[X(1)（1）-u/a]e^-ak+u/a問題2：對于地點(diǎn)預(yù)測(略寫建模過程)：令所求的擬合函數(shù)y（x）=a0y0(x)+a1y1(x)+……amym(x)為確定系數(shù)a，考慮平方和，求解歸結(jié)為m+1元函數(shù)的極值問題，由多元函數(shù)極值的必要條件，引進(jìn)函數(shù)內(nèi)積符號得到如下線性方程組（f,y0）（f,y1）（f,ym）（y0,y0）（y0,y1）……（y0,ym）a0（（y0,y0）（y0,y1）……（y0,ym）a0（y1,y0）（y1,y1）……（y1,ym）（ym,y0）（ym,y1）……（ym,ym）a1am1==方程有唯一解。設(shè)此解為a’0，a’1，…，a’m，則函數(shù)y’（x）=a’0y0(x)+a’1y1(x)+……a’mym(x)即為所求的線性模型擬合。五、模型的求解（1）.矩陣求解求解1：對于時間預(yù)測：（1）.矩陣求解uu（2）.求u和a（2）.求u和aUU=[a]=(BTB)-1Byuu如圖：如圖：u=2.20229a=-0.6897（3）.時間響應(yīng)方程（3）.時間響應(yīng)方程XX’(1)（K+1）=[X(1)（1）-u/a]e^-ak+u/a代入數(shù)值：X’(1)（K+1）=23.881e^0.6897k-2.933=373.9305=X(1)（5）所以，X’(0)（5）=187.781；由于建模前方便灰色理論預(yù)測，時間減掉了1900年，所以1900+187.781=2087年10月15日。求解2：對于地點(diǎn)預(yù)測對于緯度，根據(jù)所給的四個緯度值首先畫出折線圖如下：根據(jù)該折線圖，首先進(jìn)行m次多項式擬合，由于只有四個數(shù)據(jù)，所以選擇二次和三次多項式，分別得到擬合圖及擬合函數(shù)：Y(x)=42-4.62t+0.4t2Y(x)=4.2+55.5t-26.6t2+3.6t3根據(jù)圖像與函數(shù)代入數(shù)值所求的結(jié)果，并根據(jù)二三次函數(shù)的缺陷即存在遞增遞減，發(fā)現(xiàn)該類擬合誤差較大。重新對折線圖進(jìn)行判斷，與已知函數(shù)對應(yīng)，預(yù)測函數(shù)約為正弦函數(shù)，通過改變Sin[kx]的系數(shù)k進(jìn)行線性模型擬合，得圖及所求擬合函數(shù)Y(x)=33.6609+4.6655Sin[1.39x]可以大體滿足對地震緯度的預(yù)測。對于經(jīng)度，根據(jù)所給的四個經(jīng)度值首先畫出折線圖如下：根據(jù)該折線圖，首先進(jìn)行m次多項式擬合，由于只有四個數(shù)據(jù)，所以選擇二次和三次多項式，分別得到擬合圖及擬合函數(shù)：Y(x)=118.425-14.475t+2.625t2Y(x)=87.8+34.2333t-19.25t2+2.91667t3根據(jù)圖像與函數(shù)代入數(shù)值所求的結(jié)果，并根據(jù)二三次函數(shù)的缺陷即存在遞增遞減，發(fā)現(xiàn)該類擬合誤差較大。重新對折線圖進(jìn)行判斷，與已知函數(shù)對應(yīng)，預(yù)測函數(shù)約為正弦函數(shù)，通過改變Sin[kx]的系數(shù)k進(jìn)行線性模型擬合，得圖及所求擬合函數(shù)Y(x)=101.95+4.82124Sin[1.56x]可以大體滿足對地震經(jīng)度的預(yù)測。六、模型檢驗或誤差分析精度檢驗：（1）、殘差檢驗：殘差：E（k）=X(0)（k）-X’(0)（k）相對殘差：e(k)=[X(0)（k）-X’(0)（k）]/X(0)（k）模型計算值^x0（k）實際值殘差E（k）相對誤差e(k)^x0（2）=23.7166x0（2）=27.39203.675413.42%^x0（3）=47.2701x0（3）=50.61603.34596.61%^x0（4）=94.2148x0（4）=108.362014.147213.06%（2）、后驗差檢驗：計算X(0)均值、標(biāo)準(zhǔn)差；均值：X=1/N