導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.板塊三.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3-最值.教師版 普通高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Wo版

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.板塊三.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3-最值.教師版普通高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Word版

典例分析題型四：函數(shù)的最值【例1】函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值分別是（

）A．

B．

C．

D．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2004，江蘇，高考【解析】，令得，又，，，，故選C．【答案】C【例2】已知（是常數(shù)）在上有最大值，那么在上的最小值是（

）A．

B．

C．

D．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】，令，解得或；當(dāng)時(shí)，；于是在上單調(diào)增，在上單調(diào)減；于是在上的最大值為．故；，故在的最小值為．【答案】D【例3】設(shè)函數(shù)則的最大值為．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】，∵，令，解得；令，解得，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在時(shí)取極大值，也即最大值．故．運(yùn)用均值不等式也可以求解．【答案】【例4】函數(shù)的最大值是（

）A．

B．

C．

D．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】1星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又此函數(shù)的圖象為一條連續(xù)的曲線，故最大值為．【答案】A【例5】設(shè)函數(shù)，則（

）A．有最大值

B．有最小值

C．是增函數(shù)

D．是減函數(shù)【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】1星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】，又，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值．當(dāng)然也可以通過(guò)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得到．【答案】A【例6】對(duì)于函數(shù)，在使恒成立的所有常數(shù)中，我們把中的最大值稱為函數(shù)的“下確界”，則函數(shù)的下確界為．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】1【解析】先求函數(shù)的最小值，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，從而對(duì)，有；又，故的最小值為，由下確界定義知函數(shù)的下確界也為．【答案】【例7】設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義．對(duì)于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，取函數(shù)，若對(duì)任意的，恒有，則（）A．的最大值為

B．的最小值為C．的最大值為

D．的最小值為【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2009，湖南，高考【解析】由，知，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即的值域是，而要使在上恒成立，只有D符合，此時(shí)．【答案】D【例8】下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大B．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值C．滿足的點(diǎn)可能不是函數(shù)的極值點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間上一定存在最值【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】1星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】【答案】C【例9】函數(shù)在區(qū)間上的最大值是；最小值是．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極值有，端點(diǎn)的函數(shù)值有，從而所求最大值為，最小值為．【答案】最大值為，最小值為．【例10】對(duì)于函數(shù)，有下列命題：①過(guò)該函數(shù)圖象上一點(diǎn)的切線的斜率為；②函數(shù)的最小值為；③該函數(shù)圖象與軸有個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)在上為減函數(shù)，在上也為減函數(shù)．其中正確命題的序號(hào)是．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】1【解析】時(shí)，，從而，①正確；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，為此時(shí)的最小值；當(dāng)時(shí)，先減后增，在時(shí)取到極小值，故②正確；易知③正確（一負(fù)根，一零根，兩正根，對(duì)應(yīng)四個(gè)交點(diǎn)）；④也正確．【答案】①②③④【例11】已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①對(duì)于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；②對(duì)于任意，函數(shù)存在最小值；③存在，使得對(duì)于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是_____．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2010，西城，二模，題141【解析】對(duì)求導(dǎo)，有．①當(dāng)時(shí)，對(duì)有恒成立，因此函數(shù)是上的增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，有解，設(shè)解為，則區(qū)間左側(cè)右側(cè)單調(diào)減最小值單調(diào)增因此，對(duì)于任意，函數(shù)存在最小值；③對(duì)于，，?。ā?，∴這樣的一定存在），則，因此③不成立；④若該命題不成立，則意味著對(duì)于任何，對(duì)于恒成立．事實(shí)上，取，，則，矛盾．因此該命題成立．【答案】②、④【例12】已知在區(qū)間上是減函數(shù)，那么（

）A．有最大值

B．有最大值

C．有最小值

D．有最小值【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】，由題意，因此，相加化簡(jiǎn)得，即有最大值．【答案】A【例13】求在上的最大值和最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】，令得，，結(jié)合的圖象知：在處有極大值；在處有極小值；在區(qū)間端點(diǎn)處，，比較上述結(jié)果得：在上的最大值為，最小值為．【答案】最大值為，最小值為．【例14】已知函數(shù)．⑴求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；⑵當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴，令，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．⑵列表

－＋

5極小值∴．【答案】⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為．⑵．【例15】已知函數(shù)的最大值為，最小值為，求、的值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】，顯然，否則為常數(shù)，矛盾，∴為在上唯一可能的極值點(diǎn)．⑴若，列表如下：增函數(shù)最大值減函數(shù)由表可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴，又，，有，從而有；⑵若，同理有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，∴；綜上知：，或，．【答案】，或，．【例16】已知函數(shù)，其中．若在區(qū)間上的最小值為，求的值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】，令，解得．當(dāng)時(shí)，最小值只能在處取到，而，與最小值為不符；當(dāng)時(shí)，最小值只能在時(shí)取到，，因此只可能．經(jīng)驗(yàn)證符合要求．【答案】【例17】已知，函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2005，全國(guó)，高考【解析】，令，解得，的單調(diào)區(qū)間如下表所示：極大值極小值∴在=處取得極大值，在=處取得極小值，于是由單調(diào)區(qū)間知在上的最小值為．只需要證明當(dāng)時(shí)，，則為的最小值．當(dāng)時(shí)，，即．注意到，而當(dāng)時(shí)=，所以時(shí)，．由的單調(diào)性知因此時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．【答案】【例18】設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為．⑴求，，的值；⑵求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴∵為奇函數(shù)，∴，即，∴∵的最小值為，∴又直線的斜率為，因此，．∴，，．⑵．，列表如下：極大極小所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和∵，，∴在上的最大值是，最小值是．【答案】⑴，，．⑵最大值是，最小值是．【例19】設(shè)，函數(shù)．⑴若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；⑵若函數(shù)在處取得最大值，求的取值范圍．⑶若函數(shù)在時(shí)的最大值為，求的值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008，全國(guó)Ⅱ，高考，題212【解析】⑴．因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)．⑵由題設(shè)，．當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，，即．故得．反之，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，而，故在區(qū)間上的最大值為．綜上，的取值范圍為．⑶∵，故不在時(shí)取到最大值，故．此時(shí)，有兩個(gè)相異的實(shí)根，記為（），∵，故在（）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又在上的最大值不在時(shí)取到，故必有，且在最大值在時(shí)取到，即．【答案】⑴；⑵的取值范圍為．⑶．【例20】已知函數(shù)，⑴求的單調(diào)遞減區(qū)間；⑵若在區(qū)間上的最大值為，求它在該區(qū)間上的最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2005，北京，高考，題15【解析】⑴．令，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．⑵因?yàn)?，，所以．因?yàn)樵谏?，所以在上單調(diào)遞增，又由于在上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值，于是有，解得．故，因此，即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．【答案】⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為．⑵最小值為．【例21】已知．⑴當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性、極值；⑵是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是，如果存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴∵，，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增．∴的極小值為．⑵假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值，．①當(dāng)時(shí)，由于，則．∴函數(shù)是上的增函數(shù)，∴，解得（舍去）．②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù)．∴，解得．由①、②知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值．【答案】⑴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；有極小值．⑵存在實(shí)數(shù)．【例22】設(shè)，函數(shù)．⑴當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；⑵當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性；⑶當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴當(dāng)時(shí)，．令，易得，，所以切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以曲線在處的切線方程為：．⑵當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上，在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增．⑶①當(dāng)時(shí)，，∴恒成立，在上為增函數(shù)．故當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，．【答案】⑴；⑵在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增．⑶．【例23】設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．⑴求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)，．若存在使得成立，求的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2006，湖北，高考3【解析】⑴，由，得，得，則．令，得，，由于是極值點(diǎn)，，那么．當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上，，為減函數(shù)；在區(qū)間上，，為增函數(shù)；在區(qū)間上，，為減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上，，為減函數(shù)；在區(qū)間上，，為增函數(shù)；在區(qū)間上，，為減函數(shù)．⑵由⑴知，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上的值域是，而，，，那么在區(qū)間上的值域是．又在區(qū)間上是增函數(shù)，且它在區(qū)間上的值域是，由于，所以只須僅須且，解得．故的取值范圍是．【答案】⑴，單調(diào)區(qū)間見(jiàn)解析；⑵．【例24】已知函數(shù)，．⑴求的單調(diào)區(qū)間和值域；⑵設(shè)，函數(shù)，．若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2005，全國(guó)，高考4【解析】⑴對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，解得或．當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下：0極小值所以，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋茖?duì)函數(shù)求導(dǎo)，得．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，．因此當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)有．又，，即當(dāng)時(shí)有．任給，，存在使得，則，即解式①得或；解式②得．又，故的取值范圍為．【答案】⑴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，值域?yàn)?；⑵．【?5】已知函數(shù)，，且有極值．⑴求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑵求函數(shù)的值域；⑶函數(shù)，證明：，，使得成立．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴由求導(dǎo)可得，令，可得．∵，∴，∴又因?yàn)闃O大值所以，有極值，實(shí)數(shù)的取值范圍為．⑵由⑴可知的極大值為．又∵，，由，解得，又∵∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋怯汕髮?dǎo)可得．令，解得．令，解得或．又∵，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)．∵，，∴在的值域?yàn)椋?，，∴，．∴，，使得成立．【答案】⑴；⑵?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋且?jiàn)解析．【例26】已知函數(shù)．⑴當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；⑵設(shè)．當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，山東，高考22【解析】⑴因?yàn)?，所以，令，，（?。┊?dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即，解得，．①當(dāng)時(shí)，，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，由于，時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；⑵因?yàn)?，由⑴知，，，?dāng)時(shí)，．函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上的最小值為．由于“對(duì)任意，存在，使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”．又，，所以①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)與矛盾；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，同樣與矛盾；③當(dāng)時(shí)，．解不等式，可得．綜上，的取值范圍是．【答案】⑴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；⑵的取值范圍是．【例27】設(shè)函數(shù)⑴當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若在上的最大值為，求的值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，江西，高考191【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，⑴?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；⑵當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為，因此．【答案】⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；⑵．【例28】已知函數(shù)．⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵若函數(shù)在上的最小值是求的值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，豐臺(tái)，一模，題181【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，⑴∵，∴故函?shù)在其定義域上是單調(diào)遞增的．⑵在上，發(fā)如下情況討論：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，其最小值為，這與函數(shù)在上的最小值是相矛盾；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，其最小值為，同樣與最小值是相矛盾；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有，單調(diào)遞減，在上有，單調(diào)遞增，所以函數(shù)滿足最小值為由，得．④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有，單調(diào)遞減，其最小值為，還與最小值是相矛盾；⑤當(dāng)時(shí)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，其最小值為，仍與最小值是相矛盾；綜上所述，的值為．【答案】⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為；⑵．【例29】已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)．⑴若，求的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；⑵求的極值．⑶求在區(qū)間上的最大值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008，浙江，高考，題215【解析】⑴，因?yàn)?，所以．又?dāng)時(shí)，，，所以曲線在處的切線方程為．⑵令，解得，．①時(shí)，，無(wú)極值；②時(shí)，或，故在與上單調(diào)增，在上單調(diào)減，故在處有極大值；在處有極小值．③時(shí)，或，故在與上單調(diào)增，在上單調(diào)減，故在處有極大值；在處有極小值．⑶，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，從而；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而．綜上所述，．【答案】⑴；⑵見(jiàn)解析；⑶．【例30】已知函數(shù)，．⑴討論的單調(diào)性；⑵設(shè)，求在區(qū)間上的值域，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009，安徽，高考【解析】⑴的定義域是，導(dǎo)函數(shù)．設(shè)，二次方程的判別式．①當(dāng)即時(shí)，對(duì)一切都有．此時(shí)是上的單調(diào)遞增函數(shù)．②當(dāng)即時(shí)，僅對(duì)有，對(duì)其余的都有．此時(shí)也是上的單調(diào)遞增函數(shù)．③當(dāng)即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，．極大值極小值此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．⑵當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根．由⑴知，在內(nèi)，當(dāng)時(shí)取得極值，，，．因?yàn)?，所以在區(qū)間上的值域?yàn)椋敬鸢浮竣乓?jiàn)解析；⑵．【例31】已知為實(shí)數(shù)，．⑴求導(dǎo)數(shù)；⑵若，求在上的最大值和最小值；⑶若在和上都是遞增的，求的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴由原式得，∴；⑵由得，此時(shí)有，．令得或，又，所以在上的最大值為，最小值為；⑶法一：的圖象為開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)的拋物線，由條件得，即

∴．所以的取值范圍為．法二：令即，由求根公式得：所以在和上非負(fù)．由題意可知，當(dāng)或時(shí)，，從而，，即，解不等式組得．∴的取值范圍是．【答案】⑴；⑵的最大值為，最小值為；⑶的取值范圍是．【例32】已知函數(shù)，⑴若在上是減函數(shù)，求的最大值；⑵若的單調(diào)遞減區(qū)間是，求函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴，由題意可知，在上恒有則且，得，所以的最大值為．⑵∵的單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的兩個(gè)根為和1，可求得，∴，①若不是切點(diǎn)，則設(shè)切線的切點(diǎn)為，，則有，，解得（舍），，∴，②若是切點(diǎn)，則，綜上，切線方程為，∴這兩條切線方程與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形，為直角梯形，它的面積．【答案】⑴；⑵．【例33】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸，軸所圍成的三角形的面積為，⑴求切線的方程；⑵求的最大值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2004，浙江，高考【解析】⑴，，故切線的方程為，即．⑵令得：；令得：；故，求導(dǎo)得：，又，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．∴在極大值，也即最大值在處取到，．【答案】⑴；⑵．【例34】已知函數(shù)，，⑴若在區(qū)間上的最大值為1，最小值為，求、的值；⑵在⑴的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；⑶設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出相應(yīng)實(shí)數(shù)的范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008，朝陽(yáng)，二?！窘馕觥竣拧撸嘤?，得，．又，，∴當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．∴在區(qū)間上的最大值為，∴．又，，∴．由題意得，即，得．故，為所求．⑵由⑴得，易知點(diǎn)在曲線上．又，∴當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率，∴的方程為，即．當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，∴的方程為．又點(diǎn)在上，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴切線的方程為．故所求切線的方程為或．（或者：由⑴知點(diǎn)為極大值點(diǎn)，所以曲線的點(diǎn)處的切線為，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，符合題意．）⑶由已知得，∴．∴．∵，二次函數(shù)的判別式為，整理，得．又，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．【答案】⑴，；⑵或．⑶當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．【例35】在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算，若，，若．⑴求的解析式；⑵若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑶若，的曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直，若存在，求出切線方程；若不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】⑴=；⑵∵，當(dāng)上時(shí)，單調(diào)遞減∴對(duì)恒成立，∴，解得：；⑶時(shí)，，設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，∵，∴不成立，∴的曲線上不存在兩點(diǎn)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直．【答案】⑴；⑵；⑶不存在．【例36】已知函數(shù)，，且．⑴若，求的值；⑵當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；⑶求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，朝陽(yáng)，二模，題18【解析】⑴函數(shù)的定義域?yàn)?，．由，解得．⑵由，得．由，解得；由，解得．所以函?shù)在區(qū)間遞增，遞減．因?yàn)槭窃谏衔ㄒ灰粋€(gè)極值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為．⑶因?yàn)棰。┊?dāng)時(shí)，．令解得．ⅱ）時(shí)，令，解得或．①當(dāng)即時(shí)，由，及得，解得，或；②當(dāng)即時(shí)，因?yàn)?，恒成立．③?dāng)即時(shí)，由，及得，解得，或；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，．【答案】⑴；⑵；⑶當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，．【例37】已知函數(shù)⑴若為的極值點(diǎn)，求的值；⑵若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求在區(qū)間上的最大值；⑶當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，宣武，二模，題18【解析】⑴∵是的極值點(diǎn)，∴，即，解得或2．⑵∵在上．∴∵在上，∴又，∴∴，解得∴由可知和是的極值點(diǎn)．∵∴在區(qū)間上的最大值為．⑶因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以函數(shù)在上存在零點(diǎn)．而的兩根為，，區(qū)間長(zhǎng)為，∴在區(qū)間上不可能有2個(gè)零點(diǎn)．所以，即．∵，∴．又∵，∴．【答案】⑴或2．⑵；⑶．【例38】已知函數(shù)⑴若為的極值點(diǎn)，求的值；⑵若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，①求在區(qū)間上的最大值；②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，宣武，二模，題18【解析】⑴．∵是極值點(diǎn)，∴，即．∴或2．⑵∵在上．∴∵在上，∴又，∴∴，解得∴；①由可知和是的極值點(diǎn)．∵∴在區(qū)間上的最大值為．②，令，得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)：0+0極小值極大值此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)：00+0極小值極大值此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．【答案】⑴或2．⑵①；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．【例39】已知函數(shù)，其中．⑴求函數(shù)的零點(diǎn)；⑵討論在區(qū)間上的單調(diào)性；⑶在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，西城，一模，題191【解析】⑴令，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為．⑵函數(shù)在區(qū)域上有意義，，令得，因?yàn)?，所以，?dāng)在定義域上變化時(shí)，的變化情況如下：所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．⑶在區(qū)間上存在最小值，證明：由⑴知是函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)?，所以．由知，?dāng)時(shí)，．又函數(shù)在上是減函數(shù)，且．所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，且．所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．計(jì)算得．【答案】⑴；⑵在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．⑶存在最小值．【例40】已知函數(shù)，其中．⑴若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑵當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定此時(shí)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2010，西城，一模，題201【解析】⑴設(shè)有零點(diǎn)，即函數(shù)有零點(diǎn)，所以，解得或；⑵，令得或，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．此時(shí)，存在最小值．的極小值為．根據(jù)的單調(diào)性，在區(qū)間上的最小值為m，解=0，得的零點(diǎn)為和，結(jié)合可得在區(qū)間和上，．因?yàn)椋?，并且，即，綜上，在區(qū)間和上，，在區(qū)間上的最小值為，，所以，當(dāng)時(shí)存