高等幾何 射影幾何 練習(xí)題分析與答案

一、選擇題（共15分，每小題3分）1、下列關(guān)于射影平面的論述正確的是―――――――――――――――――（）A,無窮遠(yuǎn)直線視為普通的直線；

B,所有直線都是封閉的；C,任意兩直線必相交于一點；

D,一條直線分射影平面為兩部分。2、下列到直線自身的射影對應(yīng)屬于雙曲型對合的是―――――――――――（）A,

；B,；C,

D,；3、下列哪個幾何性質(zhì)或圖形不屬于仿射幾何的研究范圍――――――――――（）A,平行四邊形；

B,簡比；

C,三角形的垂心；

D,接合性；4、二次曲線在射影觀點下的基本類型是――（）A，虛的常態(tài)二階曲線；B,實的常態(tài)二階曲線；C,兩條虛直線；D,兩條實直線5、由幾對對應(yīng)元素可以確定平面上任意的一個射影變換――――――――――（）A,

1

B,

2

C,

3

D,

4二、填空題（共15分，每小題3分）1、復(fù)點（9，3i,5-i）對應(yīng)的實直線的線坐標(biāo)為。2，對合的基本范式為。3、求坐標(biāo)三角形的一邊在坐標(biāo)變換下的方程。4、求由兩個射影線束與所決定的二階曲線的齊次方程。5、雙曲線的兩條斜率分別為直徑成為共軛的條件是。三、作圖題（共20分，每小題4分）1、給定橢圓的短軸和長軸，試作出已知直線和的兩個交點C1

，C2。（尺規(guī)作圖）簡要步驟：O

2、作出如下5點4線圖形的對偶圖形（僅用直尺作圖）。簡要步驟：3、已知點列上一對合的二重點P，及兩對對應(yīng)點如下圖，作已知點C的對合點（僅用直尺作圖）。簡要步驟：4、利用四點形的調(diào)和性作出一點列上關(guān)于A,B,C的第四調(diào)和點D（僅用直尺作圖）。簡要步驟：5、過橢圓上一已知點P作一橢圓的切線（僅用直尺作圖）。簡要步驟：四、計算題（共30分，每小題5分）1、說明下列四線共點并計算其交比，解：2、求一維點列射影對應(yīng)的參數(shù)表示式，使得分別與對應(yīng)，并求自對應(yīng)點的參數(shù)。解：3、求射影變換：

的二重元素。解：4、求二階曲線對應(yīng)的二級曲線，及直線（1，2，1）關(guān)于給定二階曲線的極點。解：5、設(shè)二階曲線為，說明三點P(1,0,1),Q(1,-1,0),R(1,1,-1),構(gòu)成的三點形PQR是自極的，并確定二階曲線對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)類型。解6、說明二次曲線是一條雙曲線，并求其中心與漸近線。解：五、證明題（共20分，每小題5分）1、每邊分成三等分，將每個分點與對頂點相連，這六線構(gòu)成一個六邊形，求證它的三雙對頂?shù)倪B線共點。證明：2、在四邊形中，對角線平分,在上取一點,與相交于延長交于，求證。證明：3、圓周上的點和其上二定點相連得到兩個線束，如果把兩線束中交于圓周上得兩線叫對應(yīng)直線，證明這樣的對應(yīng)是射影對應(yīng)。證明4、如下圖所示，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊AB,BC,CD,DA分別切于E,F,G,H.在與上分別作圓的切線。交AB于M,交BC于N，交CD于P，交DA于Q.求證：MQ//NP。證明：標(biāo)準(zhǔn)答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共15分，每小題3分）1，D;

2，A;

3，C;

4，D;

5,D.二、填空題（共15分，每小題3分）1，(5,-3,-9);

2，;

3，;4，;

5,.三、作圖題（共20分，每小題4分）1、步驟：1）以為對應(yīng)軸，以為一對對應(yīng)點確定一個透視仿射，作出橢圓E在該透視仿射下的象圓E，；（1分）2）作直線的象，交圓E，于，再通過透視仿射作圖作出其原象。（2分）

（4分）2、步驟：取直線d上四點，過四點分別作直線a,b,c,d,且讓直線a和c交于點；（2分）

（4分）3、步驟：過任作一直線再任取其上兩點使得，，連接點交于，即為所求點。（2分）

（4分）4、步驟：任取點列外一點連接，過任作一直線分別交于，，連接交點列于。（2分）5、步驟：過點任作一直線交橢圓另一點，除交點外任取其上一點作其極線，同樣步驟作另一極線，連接與即為點切線（2分）

（4分）四、計算題（共30分，每小題5分）1、解：四條直線的線坐標(biāo)為因所以四線共點（2分）。四線的斜率分別為其交比為.（5分）2、解：，（2分）（3分）整理得，（4分）自對應(yīng)點為。（5分）3、解：變換距陣的特征多項式為

。求得一個單根和一個二重根。（3分）當(dāng)時矩陣為，求得二重點和二重線。（4分）當(dāng)時矩陣為，求得不變點列和不變線束為。（5分）4、解：對應(yīng)得矩陣為，對應(yīng)的二級曲線為，即有。（4）從而可求的直線(1,2,1)對應(yīng)的極點為(2,-1,2)。（5）5、解：對應(yīng)的矩陣為

，而同理可以驗證，于是三角形PQR是自極三角形。（3）當(dāng)取三角形PQR為自極三角形時，二階曲線化解為。（5）6、解：二階曲線對應(yīng)的矩陣為。因為，所以是雙曲線（1分）。其中心坐標(biāo)為即。（3分）解方程可得與無窮遠(yuǎn)直線的兩個交點所以兩漸近線方程為，即，。（5分）五、證明題（共20分，每小題5分）1、證明：因為任何三角形可以由正三角形經(jīng)仿射變換所得，因此只就證正三角形即可。（2分）設(shè)三角形是正三角形，點分別是邊的三等分點。根據(jù)題設(shè)聯(lián)線構(gòu)成的六邊形為。由正三角形的對稱性可知，在所對應(yīng)的高線上，同理與在各自對應(yīng)的高線上。又因為三角形的三高線共點，所以六邊形三對頂?shù)穆?lián)線共點。（5分）2、證明：如圖所示，過作的垂線，連接分別交于。根據(jù)角平分線的性質(zhì)知連接交于，交于。根據(jù)完全四點形的調(diào)和性知，故由知與重合。由與垂直，且，知與是的內(nèi)外平分線