立體幾何中的綜合性問題

立體幾何中的綜合性問題例1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1．(1)在BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，說明理由；(2)若BC邊上有且僅有一個點Q，使PQ⊥QD，求AD與平面PDQ所成角的弦值；(3)在(2)的條件下，求出平面PQD與平面PAB所成角的大?。馕觯?1)假設(shè)存在Q，使得PQ⊥QD∵PA⊥平面ABCD，∴QD⊥平面PAQ，∴QD⊥AQ．從而有AD2＝AQ2＋QD2設(shè)CQ＝x，則BQ＝a－x，于是AQ2＝1＋(a－x)2，QD2＝1＋x2∴AD2＝(a－x)2＋x2＋2＝2x2－2ax＋a2＋2＝a2即x2－ax＋1＝0△＝a2－4∴當a＞2即△＞0時，方程x2－ax＋1＝0有兩解，即存在兩個點Q，使PQ⊥QD；當a＝2即△＝0時，方程x2－ax＋1＝0有解，即只有一個點Q，使PQ⊥QD；當0＜a<2時，方程x2－ax＋1＝0無解，即不存在點Q，使PQ⊥QD(2)當BC上有且僅有一個點Q，使得PQ⊥QD，可知BC＝2，此時x＝1，點Q為BC的中點，過A在平面PAQ上作AF⊥PQ，垂足為F，連FD?！逹D⊥平面PAQ∴QD⊥AF又∵AF⊥PQ∴AF⊥平面PQD，故∠FDA是直線AD與平面PQD所成的角PQ＝eq\r(PA2＋AQ2)＝eq\r(1＋(\r(2))2)＝eq\r(3)AF＝eq\f(PA·AQ,PQ)＝eq\f(1·\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴sin∠FDA＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(\f(\r(6),3),2)＝eq\f(\r(6),6)．(3)易知△PQD在面PAB內(nèi)的射影就是△PAB在rt△PAQ中，PQ＝eq\r(PA2＋AQ2)＝eq\r(1＋(\r(2))2)＝eq\r(3)∴S△PQD＝eq\f(1,2)·QD·PQ＝eq\f(1,2)·eq\r(2)·eq\r(3)＝eq\f(1,2)eq\r(6)S△PAB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)．設(shè)平面PQD與平面PAB所成角為，則，故所求二面角為．例2．（06江西卷）如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面是正三角形。求證：AD^BC。求二面角B－AC－D的大小在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在確定E的位置；若不存在，說明理由。解法一:(1)方法一:作面于,連又,則是正方形.則方法二:取的中點,連、,則有(2)作于,作交于,則就是二面角的平面角.是的中點,且∥，則由余弦定理得(3)設(shè)為所求的點,作于,連.則∥。就是與面所成的角,則.設(shè),易得解得故線段上存在點,且時,與面成角.解法二:（1）作面于,連、、,則四邊形是正方形,且,以為原點,以為軸,為軸建立空間直角坐標系如圖,則(2)設(shè)平面的法向量為則由知:;同理由知:可取同理,可求得平面的一個法向量為由圖可以看出,三面角的大小應(yīng)等于<>。則<>,即所求二面角的大小是.(3)設(shè)是線段上一點,則平面的一個法向量為要使與面成角,由圖可知與的夾角為,所以則,解得,,則故線段上存在點,且,時與面成角.例3．（06山東卷）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2,PO=,PB⊥PD.(Ⅰ)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大?。?Ⅲ)設(shè)點M在棱PC上，且為何值時，PC⊥平面BMD.解法一：平面，；又，由平面幾何知識得：（Ⅰ）過做交于于，連結(jié)，則或其補角為異面直線與所成的角，四邊形是等腰梯形，，。又四邊形是平行四邊形。是的中點，且；又，為直角三角形，。在中，由余弦定理得故異面直線PD與所成的角的余弦值為（Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角，，，二面角的大小為（Ⅲ）連結(jié)，平面平面，.又在中，，，.故時，平面解法二：平面.又，，由平面幾何知識得：.以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，，，，，（Ⅰ），，。。故直線與所成的角的余弦值為（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向