第04章其他回歸方法課件

第四章其他回歸方法

本章討論加權(quán)最小二乘估計(jì)，異方差性和自相關(guān)一致協(xié)方差估計(jì)，兩階段最小二乘估計(jì)（TSLS），非線性最小二乘估計(jì)和廣義矩估計(jì)（GMM）。這里的大多數(shù)方法在第十二章的聯(lián)立方程系統(tǒng)中也適用。本章中某些估計(jì)方法中含有AR和MA誤差項(xiàng)，這些概念將在第五章中深入介紹。1第四章其他回歸方法本章討論加權(quán)最小二乘估計(jì)

線性回歸模型的基本假設(shè)

i=1,2,…,N

在普通最小二乘法中，為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)：1．解釋變量之間互不相關(guān)；2．隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差。即i=1,2,…,N

即隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差是與觀測(cè)時(shí)點(diǎn)t無(wú)關(guān)的常數(shù)；3．不同時(shí)點(diǎn)的隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)（序列不相關(guān)），即s≠0,i=1,2,…,N

2線性回歸模型的基本假設(shè)i=1,2,…

當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~4時(shí)，將回歸模型”稱為“標(biāo)準(zhǔn)回歸模型”，當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~5時(shí)，將回歸模型稱為“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)回歸模型”。如果實(shí)際模型滿足不了這些假定，普通最小二乘法就不再適用，而要發(fā)展其他方法來(lái)估計(jì)模型。5．隨機(jī)誤差項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。即~i=1,2,…,N

4．隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間互不相關(guān)。即

j=1,2,…,k,i=1,2,…,N

3當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~4時(shí)，將回歸模型”稱為

古典線性回歸模型的一個(gè)重要假設(shè)是總體回歸方程的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui同方差，即他們具有相同的方差

2。如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差隨觀測(cè)值不同而異，即ui的方差為i2，就是異方差。用符號(hào)表示異方差為E(ui2)

=

i2

。異方差性在許多應(yīng)用中都存在，但主要出現(xiàn)在截面數(shù)據(jù)分析中。例如我們調(diào)查不同規(guī)模公司的利潤(rùn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)大公司的利潤(rùn)變化幅度要比小公司的利潤(rùn)變化幅度大，即大公司利潤(rùn)的方差比小公司利潤(rùn)的方差大。利潤(rùn)方差的大小取決于公司的規(guī)模、產(chǎn)業(yè)特點(diǎn)、研究開(kāi)發(fā)支出多少等因素。又如在分析家庭支出模式時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)高收入家庭通常比低收入家庭對(duì)某些商品的支出有更大的方差?！?.1異方差

4古典線性回歸模型的一個(gè)重要假設(shè)是總體回歸方程的隨機(jī)擾變量可支配收入交通和通訊支出變量可支配收入交通和通訊支出地區(qū)INCUM地區(qū)INCUM甘肅山西寧夏吉林河南陜西青海江西黑龍江內(nèi)蒙古貴州遼寧安徽湖北海南4009.614098.734112.414206.644219.424220.244240.134251.424268.504353.024565.394617.244770.474826.364852.87159.60137.11231.51172.65193.65191.76197.04176.39185.78206.91227.21201.87237.16214.37265.98新疆河北四川山東廣西湖南重慶江蘇云南福建天津浙江北京上海廣東5000.795084.645127.085380.085412.245434.265466.576017.856042.786485.637110.547836.768471.988773.108839.68212.30270.09212.46255.53252.37255.79337.83255.65266.48346.75258.56388.79369.54384.49640.56表1中國(guó)1998年各地區(qū)城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭可支配收入及交通和通訊支出

單位：元5變量可支配收入交通和通訊支出變量可支配收入交通和通訊支出

例4.1：我們研究人均家庭交通及通訊支出(cum)和可支配收入(in)的關(guān)系，考慮如下方程：cumi=0+1ini

+ui

利用普通最小二乘法，得到如下回歸模型：cumi=-56.917+0.05807ini

(4.1.4)

(-1.57)(8.96)R2=0.74D.W.=2.0086例4.1：我們研究人均家庭交通及通訊支出(

從圖形上可以看出，平均而言，城鎮(zhèn)居民家庭交通和通訊支出隨可支配收入的增加而增加。但是，值得注意的是：隨著可支配收入的增加，交通和通訊支出的變動(dòng)幅度也增大了，可能存在異方差。如果我們把回歸方程中得到的殘差對(duì)各個(gè)觀測(cè)值作圖，則可以清楚地看到這一點(diǎn)。異方差的存在并不破壞普通最小二乘法的無(wú)偏性，但是估計(jì)量卻不是有效的，即使對(duì)大樣本也是如此，因?yàn)槿狈τ行?，所以通常的假設(shè)檢驗(yàn)值不可靠。因此懷疑存在異方差或者已經(jīng)檢測(cè)到異方差的存在，則采取補(bǔ)救措施就很重要。7從圖形上可以看出，平均而言，城鎮(zhèn)居民家庭交通和通訊支§4.1.1異方差檢驗(yàn)

1.圖示檢驗(yàn)法

(1)用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷

觀察是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）8§4.1.1異方差檢驗(yàn)8

（2）X-?i2的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷

首先采用OLS方法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)u的方差i2的估計(jì)量(注意，該估計(jì)量是不嚴(yán)格的)，我們稱之為“近似估計(jì)量”，用ei2表示。于是有(4.1.5)即用ei2來(lái)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差。用解釋變量x和ei2的散點(diǎn)圖進(jìn)行觀察是否隨著x增加，出現(xiàn)方差的逐漸增加、下降或者不規(guī)則變化。

9（2）X-?i2的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷10102.White異方差性檢驗(yàn)

White(1980)提出了對(duì)最小二乘回歸中殘差的異方差性的檢驗(yàn)。包括有交叉項(xiàng)和無(wú)交叉項(xiàng)兩種檢驗(yàn)。普通最小二乘估計(jì)雖然在存在異方差性時(shí)是一致的，但是通常計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差不再有效。如果發(fā)現(xiàn)存在異方差性，利用加權(quán)最小二乘法可以獲得更有效的估計(jì)。

112.White異方差性檢驗(yàn)11檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是通過(guò)利用解釋變量所有可能的交叉乘積對(duì)殘差進(jìn)行回歸來(lái)計(jì)算的。例如：假設(shè)估計(jì)如下方程(4.1.6)式中b是估計(jì)系數(shù)，?i是殘差。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量基于輔助回歸：(4.1.7)EViews顯示兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和Obs*R2統(tǒng)計(jì)量。White檢驗(yàn)的原假設(shè)：不存在異方差性（也就是，式（4.1.7）中除0以外的所有系數(shù)都為0成立）。12檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是通過(guò)利用解釋變量所有可能的交叉乘White證明出：（4.1.8）其中：N是樣本容量，k為自由度，等于式（4.1.7）中解釋變量個(gè)數(shù)（不包含截距項(xiàng)）。如果計(jì)算的2值大于給定顯著性水平對(duì)應(yīng)的臨界值，則可以拒絕原假設(shè)，得出存在異方差的結(jié)論。也就是說(shuō)，回歸方程（4.1.7）的R2越大，說(shuō)明殘差平方受到解釋變量影響越顯著，也就越傾向于認(rèn)為存在異方差。如果原模型中包含的解釋變量較多，那么輔助回歸中將包含太多的變量，這會(huì)迅速降低自由度。因此，在引入變量太多時(shí)，必須謹(jǐn)慎一些。White檢驗(yàn)的另外一種形式，就是輔助回歸中不包含交叉項(xiàng)。因此White檢驗(yàn)有兩個(gè)選項(xiàng)：交叉項(xiàng)和無(wú)交叉項(xiàng)。13White證明出：13例4.2：人均家庭交通及通訊支出(CUM)和可支配收入(IN)的回歸方程的White異方差檢驗(yàn)的結(jié)果：

該結(jié)果F統(tǒng)計(jì)量和Obs*R2

統(tǒng)計(jì)量的P值均很小，表明拒絕原假設(shè)，即殘差存在異方差性。14例4.2：人均家庭交通及通訊支出(CUM)和§4.1.2加權(quán)最小二乘估計(jì)

1．方差已知的情形考慮一個(gè)一元回歸線性方程：（4.1.11）假設(shè)已知隨機(jī)誤差項(xiàng)的真實(shí)的方差，var(ui)=i2，則令wi=1/i，將模型兩端同乘wi，變換為（4.1.12）令ui*=wiui，則（4.1.13）因此，變換后的模型（4.1.12）不再存在異方差的問(wèn)題，可以用OLS估計(jì)。加權(quán)最小化殘差平方和為：（4.1.14）由此獲得的估計(jì)量就是權(quán)重序列為{wi}的加權(quán)最小二乘估計(jì)量。15§4.1.2加權(quán)最小二乘估計(jì)15假設(shè)有已知形式的異方差性，并且有序列w，其值與誤差標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)成比例。這時(shí)可以采用權(quán)數(shù)序列為w的加權(quán)最小二乘估計(jì)來(lái)修正異方差性。對(duì)加權(quán)最小化殘差平方和得到估計(jì)結(jié)果:其中是k1維向量。在矩陣概念下，令權(quán)數(shù)序列w在權(quán)數(shù)矩陣W的對(duì)角線上，其他地方是零，即W矩陣是對(duì)角矩陣，y和X是因變量和自變量矩陣。則加權(quán)最小二乘估計(jì)量為：（4.1.18）

估計(jì)協(xié)方差矩陣為：（4.1.19）

16假設(shè)有已知形式的異方差性，并且有序列w，其值

2．方差未知的情形

由于一般不知道異方差的形式，人們通常采用的經(jīng)驗(yàn)方法是，并不對(duì)原模型進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。如果確實(shí)存在異方差性，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。具體步驟是：1．選擇普通最小二乘法估計(jì)原模型，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量?t

；2．建立wi=1/|?t

|的權(quán)數(shù)序列；3．選擇加權(quán)最小二乘法，以wi=1/|?t

|序列作為權(quán)，進(jìn)行估計(jì)得到參數(shù)估計(jì)量。實(shí)際上是以1/|?t

|乘原模型的兩邊，得到一個(gè)新模型，采用普通最小二乘法估計(jì)新模型。

172．方差未知的情形17

使用加權(quán)最小二乘法估計(jì)方程，首先到主菜單中選Quick/EstimateEquation…,然后選擇LS-LeastSquares(NLSandARMA)。在對(duì)話框中輸入方程說(shuō)明和樣本，然后按Options鈕,出現(xiàn)如下對(duì)話框：18使用加權(quán)最小二乘法估計(jì)方程，首先到主菜單中選Quic

單擊WeightedLS/TSLS選項(xiàng)在Weighted項(xiàng)后填寫權(quán)數(shù)序列名，單擊OK。例子：19單擊WeightedLS/TSLS選項(xiàng)在Weigh例4.4：20例4.4：20

EViews會(huì)打開(kāi)結(jié)果窗口顯示標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)結(jié)果（如上圖），包括加權(quán)統(tǒng)計(jì)量和未加權(quán)統(tǒng)計(jì)量。加權(quán)統(tǒng)計(jì)結(jié)果是用加權(quán)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的：

未加權(quán)結(jié)果是基于原始數(shù)據(jù)計(jì)算的殘差得到的：

估計(jì)后，未加權(quán)殘差存放在RESID序列中。如果殘差方差假設(shè)正確，則加權(quán)殘差不應(yīng)具有異方差性。如果方差假設(shè)正確的話，未加權(quán)殘差應(yīng)具有異方差性，殘差標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)在每個(gè)時(shí)刻t與w成比例。21EViews會(huì)打開(kāi)結(jié)果窗口顯示標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)結(jié)果§4.1.3存在異方差時(shí)的一致協(xié)方差

當(dāng)異方差性形式未知時(shí)，使用加權(quán)最小二乘法提供在異方差存在時(shí)的一致參數(shù)估計(jì)，但通常的OLS標(biāo)準(zhǔn)差將不正確。在描述協(xié)方差估計(jì)技術(shù)之前，應(yīng)注意：使用White異方差一致協(xié)方差或Newey-West異方差一致協(xié)方差估計(jì)不會(huì)改變參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，只改變參數(shù)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差?？梢越Y(jié)合幾種方法來(lái)計(jì)算異方差和序列相關(guān)。如把加權(quán)最小二乘估計(jì)與White或Newey-West協(xié)方差矩陣估計(jì)相結(jié)合。

22§4.1.3存在異方差時(shí)的一致協(xié)方差當(dāng)異方差性形

1.異方差一致協(xié)方差估計(jì)（White）Heteroskedasticity

ConsistentCovariances（White）

White(1980)得出在存在未知形式的異方差時(shí)，對(duì)系數(shù)協(xié)方差進(jìn)行正確估計(jì)的異方差一致協(xié)方差估計(jì)量。White協(xié)方差矩陣公式為：其中N是觀測(cè)值數(shù)，k是回歸變量數(shù)，?i是最小二乘殘差。EViews在標(biāo)準(zhǔn)OLS公式中提供White協(xié)方差估計(jì)選項(xiàng)。打開(kāi)方程對(duì)話框，說(shuō)明方程，然后按Options鈕。接著，單擊異方差一致協(xié)方差(HeteroskedasticityConsistentCovariance)，選擇White鈕，接受選項(xiàng)估計(jì)方程。231.異方差一致協(xié)方差估計(jì)（White）例4.5：在輸出結(jié)果中，EViews會(huì)包含一行文字說(shuō)明表明使用了White估計(jì)量。

24例4.5：在輸出結(jié)果中，EViews會(huì)包含一行文字說(shuō)明表明使2.HAC一致協(xié)方差（Newey-West）

前面描述的White協(xié)方差矩陣假設(shè)被估計(jì)方程的殘差是序列不相關(guān)的。Newey和West(1987)提出了一個(gè)更一般的估計(jì)量，在有未知形式的異方差和自相關(guān)存在時(shí)仍保持一致。Newey-West估計(jì)量為：其中

252.HAC一致協(xié)方差（Newey-West）前

q是滯后截尾，一個(gè)用于評(píng)價(jià)OLS隨機(jī)誤差項(xiàng)ut的動(dòng)態(tài)的自相關(guān)數(shù)目的參數(shù)。根據(jù)Newey-West假設(shè)，EViews中令q為：Newey-West異方差一致協(xié)方差估計(jì)量，不能和加權(quán)最小二乘法一起使用。使用Newey-West方法，在估計(jì)對(duì)話框中按Options鈕。在異方差一致協(xié)方差項(xiàng)中選Newey-West鈕。26q是滯后截尾，一個(gè)用于評(píng)價(jià)OLS隨機(jī)誤差

Newey-West估計(jì)量為：

27Newey-West估計(jì)量為：27§4.2

二階段最小二乘法

回歸分析的一個(gè)基本假設(shè)是方程的解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。但是，由于解釋變量測(cè)量誤差的存在，用于估計(jì)模型參數(shù)的數(shù)據(jù)經(jīng)常與它們的理論值不一致；或者由于遺漏了變量，使得隨機(jī)誤差項(xiàng)中含有可能與解釋變量相關(guān)的變量，這些都可能導(dǎo)致解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)的相關(guān)。出現(xiàn)這種問(wèn)題時(shí)，OLS和WLS估計(jì)量都有偏差且不一致，因而要采用其他方法估計(jì)。最常用的估計(jì)方法是二階段最小二乘法。28§4.2二階段最小二乘法回歸分析的考慮多元線性回歸模型的矩陣形式（4.2.1）其中：y和X是因變量和解釋變量數(shù)據(jù)矩陣，是系數(shù)向量。

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，我們稱與殘差相關(guān)的變量為內(nèi)生變量，與殘差不相關(guān)的變量為外生變量或前定變量。解決方程右邊解釋變量與殘差相關(guān)的方法是使用工具變量回歸。就是要找到一組變量滿足下面兩個(gè)條件：（1）與方程解釋變量相關(guān)；（2）與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)；29考慮多元線性回歸模型的矩陣形式29選擇zi=(z1i,z2i,…,zki)作為工具變量，它與解釋變量相關(guān)，但與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)，即（4.2.2）

這些變量就可成為工具變量。用這些工具變量來(lái)消除右邊解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)之間的相關(guān)性。30選擇zi=(z1i,z2i,…,

二階段最小二乘方法（twostageleastsquare，TSLS）本質(zhì)上屬于工具變量法，它包括兩個(gè)階段：第一個(gè)階段，找到一組工具變量，模型中每個(gè)解釋變量分別關(guān)于這組變量作最小二乘回歸；第二個(gè)階段，所有變量用第一個(gè)階段回歸得到的擬合值來(lái)代替，對(duì)原方程進(jìn)行回歸，這樣求得的回歸系數(shù)就是TSLS估計(jì)值。可以證明二階段最小二乘估計(jì)量是一致估計(jì)量。3131不必?fù)?dān)心TSLS估計(jì)中分離的階段，因?yàn)镋Views會(huì)使用工具變量技術(shù)同時(shí)估計(jì)兩個(gè)階段。令Z為工具變量矩陣，y和X是因變量和解釋變量矩陣。則二階段最小二乘估計(jì)的系數(shù)由下式計(jì)算出來(lái)：

系數(shù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣為：其中s2是回歸標(biāo)準(zhǔn)差（估計(jì)殘差協(xié)方差）。

32不必?fù)?dān)心TSLS估計(jì)中分離的階段，因?yàn)镋Vi

使用二階段最小二乘估計(jì)，打開(kāi)方程說(shuō)明對(duì)話框，選擇Method中的TSLS估計(jì)。隨著選擇的變化，方程對(duì)話框也會(huì)發(fā)生變化，包括一個(gè)工具變量列表對(duì)話框。33使用二階段最小二乘估計(jì)，打開(kāi)方程說(shuō)明對(duì)話框，選擇Met

輸入工具變量時(shí)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：1.使用TSLS估計(jì)，方程說(shuō)明必需滿足識(shí)別的階條件，即工具變量的個(gè)數(shù)至少與方程的系數(shù)一樣多。參見(jiàn)Davidson和MacKinnon(1994)和Johnston和DiNardo(1997)的討論。2.根據(jù)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)理論，與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)的解釋變量可以用作工具變量。3.常數(shù)c是一個(gè)合適的工具變量，如果忽略了它，EViews會(huì)自動(dòng)把它加進(jìn)去。34輸入工具變量時(shí)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：34

TSLS估計(jì)結(jié)果：

下面我們利用中國(guó)19782000的宏觀數(shù)據(jù)計(jì)算城鎮(zhèn)居民消費(fèi)增量D(cs)關(guān)于城鎮(zhèn)居民收入增量D(inc)

和利率D(rate)

、居民消費(fèi)價(jià)格D(cpi)

的OLS估計(jì)：35TSLS估計(jì)結(jié)果：35

注意到，利率D(rate)

和居民消費(fèi)價(jià)格D(cpi)與殘差相關(guān)，于是采用TSLS估計(jì)。工具變量選擇c、D(cs(-1))

、D(cpi(-1))

、D(rate(-1))、D(inc(-2))、D(tax)。

36注意到，利率D(rate)和居民消費(fèi)價(jià)格D§4.3非線性最小二乘估計(jì)

經(jīng)典的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型理論與方法是在線性模型的基礎(chǔ)上發(fā)展、完善起來(lái)的，因而線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型領(lǐng)域的理論與方法已經(jīng)相當(dāng)成熟。但是，現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)并不都能抽象為線性模型，所以非線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中占據(jù)重要的位置，關(guān)于它的理論與方法的研究是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與方法研究的一個(gè)廣泛的領(lǐng)域。假設(shè)回歸方程為：其中f

是解釋變量和參數(shù)

的函數(shù)。最小二乘估計(jì)就是要選擇參數(shù)的估計(jì)值b使殘差平方和最?。?7§4.3非線性最小二乘估計(jì)經(jīng)典的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

如果

f關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不依賴于參數(shù)，則我們稱模型為參數(shù)線性的，反之，則是參數(shù)非線性的。例如，是參數(shù)線性的，f關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)與參數(shù)無(wú)關(guān)。而其函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍依賴于參數(shù)，所以它是參數(shù)非線性的。對(duì)于這個(gè)模型，沒(méi)有辦法使用普通最小二乘估計(jì)來(lái)最小化殘差平方和。必須使用非線性最小二乘估計(jì)技術(shù)來(lái)估計(jì)模型參數(shù)。

38如果f關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不依賴于參數(shù)，則我們稱模型

非線性最小二乘估計(jì)根據(jù)參數(shù)的估計(jì)值b選擇最小化殘差平方和。最小化的一階條件是：其中G(b)是f(X,

b)關(guān)于b的導(dǎo)數(shù)。

估計(jì)協(xié)方差矩陣為：

關(guān)于非線性估計(jì)的詳細(xì)討論，參見(jiàn)Pindick和Rubinfeld(1991,231-245頁(yè))或Davidson和MacKinon(1993)。即令39非線性最小二乘估計(jì)根據(jù)參數(shù)的估計(jì)值b選擇

估計(jì)非線性最小二乘模型很簡(jiǎn)單，對(duì)于任何系數(shù)非線性的方程，EViews自動(dòng)應(yīng)用非線性最小二乘估計(jì)，會(huì)使用迭代算法估計(jì)模型。1.說(shuō)明非線性最小二乘估計(jì)

對(duì)于非線性最小二乘模型，必須使用直接包含系數(shù)約束的EViews表達(dá)式以方程形式來(lái)說(shuō)明?？梢允褂萌笔∠禂?shù)向量C中的元素(例如，c(1),c(2),c(34),c(87))，也可以定義使用其它系數(shù)向量。例如：Y=c(1)+c(2)*(K^c(3)+L^c(4))就是缺省系數(shù)向量C的4個(gè)元素從c(1)到c(4)。40估計(jì)非線性最小二乘模型很簡(jiǎn)單，對(duì)于任何系數(shù)非線性的方

例4.6：如果設(shè)定例3.1中的消費(fèi)函數(shù)為非線性形式：（4.3.11）其中：cst是實(shí)際居民消費(fèi)，inct是實(shí)際可支配收入。利用我國(guó)1978年～2002年的年度數(shù)據(jù)估計(jì)此非線性方程，由于用迭代法計(jì)算，首先要賦初值，比如可以設(shè)3的估計(jì)值b3初值是1，則可以利用OLS估計(jì)值(例3.1中，b1=414.88，b2=0.51)作為b1，b2

的初值。經(jīng)過(guò)迭代，得到的非線性消費(fèi)方程為

（4.3.12）b1，b2，b3

的標(biāo)準(zhǔn)差分別為386.3，0.21和0.096。41例4.6：如果設(shè)定例3.1中的消費(fèi)函數(shù)為非線非線性形式的邊際消費(fèi)傾向?yàn)?/p>

即MPCt

=c(2)c(3)

inct(

C(3)-1)=

0.214*1.0857*inc^(1.0857-1)42非線性形式的邊際消費(fèi)傾向?yàn)?2圖4.3動(dòng)態(tài)的邊際消費(fèi)傾向

因此，非線性情況下的MPC是時(shí)變的，根據(jù)式（4.3.11）計(jì)算得到的邊際消費(fèi)傾向序列如圖4.3所示。注意，inc的平均值(9795.355)對(duì)應(yīng)的邊際消費(fèi)傾向?yàn)?/p>

MPC=0.2139*1.0857*9795.355^(1.0857-1)=0.51等于線性模型估計(jì)值，因?yàn)榫€性模型的參數(shù)反映的是變量之間平均意義上的影響關(guān)系。

43圖4.3動(dòng)態(tài)的邊際消費(fèi)傾向因此，非線性情

2.估計(jì)方法選項(xiàng)

（1）初始值

迭代估計(jì)要求模型系數(shù)有初始值。選擇參數(shù)初始值沒(méi)有通用的法則。越接近于真值越好，因此，如果你對(duì)參數(shù)值有一個(gè)合理的猜測(cè)值，將是很有用的。在某些情況下，可以用最小二乘法估計(jì)嚴(yán)格形式的模型得到良好的初始值?？傮w說(shuō)來(lái)，必須進(jìn)行試驗(yàn)以找到初始值。在開(kāi)始迭代估計(jì)時(shí)，EViews使用系數(shù)向量中的值。很容易檢查并改變系數(shù)的初始值。要察看初始值，雙擊系數(shù)向量。如果初始值是合理的，可以對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)。如果想改變初始值，首先確定系數(shù)向量表使處于編輯狀態(tài)，然后輸入系數(shù)值。完成初始值設(shè)定后，關(guān)閉系數(shù)向量窗口，估計(jì)模型。442.估計(jì)方法選項(xiàng)（1）初始值44

也可以從命令窗口使用PARAM命令設(shè)定初始系數(shù)值。只需輸入關(guān)鍵詞PARAM，然后是每個(gè)系數(shù)和想要的初值：paramc(1)414.88c(2)0.51c(3)1中設(shè)定c(1)=414.88，c(2)=0.51和c(3)=1。詳情參見(jiàn)附錄E。

45也可以從命令窗口使用PARAM命令設(shè)定初始系數(shù)值。只

（2）迭代和收斂選項(xiàng)

可以通過(guò)說(shuō)明收斂標(biāo)準(zhǔn)和最大迭代次數(shù)來(lái)控制迭代過(guò)程。按Options鈕并輸入想要的數(shù)值。如果系數(shù)變化的最大值低于閾值，EViews報(bào)告估計(jì)過(guò)程已經(jīng)收斂。例如，設(shè)定閾值為0.001，則EViews會(huì)通過(guò)檢查系數(shù)的最大變化是不是小于0.001來(lái)決定是否收斂。在大多數(shù)情況下，不許改變最大迭代次數(shù)。然而，對(duì)于某些難于估計(jì)的模型，在最大迭代次數(shù)下迭代過(guò)程不收斂。這時(shí)，只需單擊Options鈕，然后，增加最大迭代次數(shù)并點(diǎn)OK接受選項(xiàng)，開(kāi)始估計(jì)。EViews會(huì)使用最后一組參數(shù)值作為初始值進(jìn)行估計(jì)。46（2）迭代和收斂選項(xiàng)46§4.4廣義矩方法（GMM）GeneralizedMethodofMoments

廣義矩估計(jì)方法（GMM）是基于模型實(shí)際參數(shù)滿足一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計(jì)方法，是矩估計(jì)方法的一般化。如果模型的設(shè)定是正確的，則總能找到該模型實(shí)際參數(shù)滿足的若干矩條件而采用GMM方法。GMM估計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是參數(shù)應(yīng)滿足的一種理論關(guān)系。其思想是選擇參數(shù)估計(jì)盡可能接近理論上的關(guān)系。把理論上的關(guān)系用樣本近似值代替，并且估計(jì)量的選擇就是要最小化理論值和實(shí)際值之間的加權(quán)距離。47§4.4廣義矩方法（GMM）廣義矩估計(jì)方法（G

由于傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型估計(jì)方法，例如普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法等，都有它們的局限性，其參數(shù)估計(jì)量必須在模型滿足某些假設(shè)時(shí)才具有良好的性質(zhì)，如只有當(dāng)模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布或某一已知分布，極大似然法估計(jì)量才是可靠的估計(jì)量；而GMM估計(jì)是一個(gè)穩(wěn)健估計(jì)量，因?yàn)樗灰髷_動(dòng)項(xiàng)的準(zhǔn)確分布信息，允許隨機(jī)誤差項(xiàng)存在異方差和序列相關(guān)，所得到的參數(shù)估計(jì)量比其他參數(shù)估計(jì)方法更合乎實(shí)際；而且可以證明，GMM包容了許多常用的估計(jì)方法，普通最小二乘法、工具變量法、極大似然法都是它的特例。48由于傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型估計(jì)方法，例如普通最小二乘法4.4.1矩法估計(jì)量矩估計(jì)是基于實(shí)際參數(shù)滿足一些矩條件而形成的一種參數(shù)估計(jì)方法，如果隨機(jī)變量Yt的期望值是，即（4.4.1）則是滿足相應(yīng)的樣本矩條件，即（4.4.2）494.4.1矩法估計(jì)量矩估計(jì)是基于實(shí)際參數(shù)現(xiàn)在，考慮一元古典線性回歸模型中的假設(shè)條件：（4.4.3）（4.4.4）其所對(duì)應(yīng)的樣本矩條件分別為

（4.4.5）這就是OLS估計(jì)量的正規(guī)方程組。因此，OLS估計(jì)量是一個(gè)矩法估計(jì)量。50現(xiàn)在，考慮一元古典線性回歸模型中的假設(shè)條件再比如二階段普通最小二乘法中，假定解釋變量與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)可能相關(guān)，找到一組與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)的工具變量Z，因而正規(guī)方程組發(fā)生變化，由式（4.2.2）的矩條件：得到了式（4.2.3）的參數(shù)估計(jì)量形式。因此許多標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量，包括所有EViews提供的系統(tǒng)估計(jì)量，都可以看作GMM估計(jì)量的特例。51再比如二階段普通最小二乘法中，假定解釋變量

參數(shù)要滿足的理論關(guān)系通常是參數(shù)函數(shù)

f()

與工具變量zt之間的正則條件：

是被估計(jì)參數(shù)

其中m()=f()Z,

A是加權(quán)矩陣；任何對(duì)稱正定矩陣A都是的一致估計(jì)。然而，可以推出要得到

的（漸近）有效估計(jì)的一個(gè)必要條件是令A(yù)等于樣本矩m的協(xié)方差矩陣的逆。

GMM估計(jì)量選擇參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)是使工具變量與函數(shù)f之間的樣本相關(guān)性越接近于0越好。用函數(shù)表示為：4.4.2廣義矩估計(jì)52參數(shù)要滿足的理論關(guān)系通常是參數(shù)函數(shù)f()下面考慮多元線性回歸模型的GMM參數(shù)估計(jì)，假設(shè)回歸方程為

t=1,2,…,T（4.3.9）其中：解釋變量向量xt=(x1t，x2t，…，xkt)，參數(shù)向量

=(1，2，…，k

)，T是樣本個(gè)數(shù)。對(duì)于k維單方程參數(shù)向量

的GMM估計(jì)，由于解釋變量向量xt與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ut可能相關(guān)，因此可以假設(shè)存在含有L(Lk)個(gè)分量的工具變量向量zt與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)（如果假設(shè)xt與隨機(jī)擾動(dòng)不相關(guān)，zt就是xt），t時(shí)刻含有L個(gè)變量的向量zt與ut滿足L個(gè)正交的矩條件：

（4.4.10）其中：zt

=(z1t，z2t，…，zJt)是L維向量。53下面考慮多元線性回歸模型的GMM參數(shù)估計(jì)，假相應(yīng)的L個(gè)樣本矩為（4.4.11）其中：Z是工具變量數(shù)據(jù)矩陣，是式（4.4.9）的殘差序列。選擇參數(shù)估計(jì)量b，使式(4.4.12)所示的加權(quán)距離最小。（4.4.12）樣本矩的協(xié)方差矩陣為（4.4.13）可以使用White異方差一致協(xié)方差或Newey-WestHAC一致協(xié)方差估計(jì)矩陣[見(jiàn)式(4.1.31)、式(4.1.33)]，則A=-1

。54相應(yīng)的L個(gè)樣本矩為54

用GMM法估計(jì)方程，從說(shuō)明對(duì)話框中選擇GMM估計(jì)方法，GMM對(duì)話框會(huì)變?yōu)椋?/p>

55用GMM法估計(jì)方程，從說(shuō)明對(duì)話框中選擇GMM估計(jì)方法

要得到GMM估計(jì)，應(yīng)該寫出矩條件作為參數(shù)表達(dá)式和工具變量之間的正交條件。寫正交條件的方法有兩種：有因變量和沒(méi)有因變量。如果使用列表法或有等號(hào)的表達(dá)式法說(shuō)明方程，EViews會(huì)把矩條件理解為工具變量和方程殘差之間的正交條件。如果用沒(méi)有等號(hào)的表達(dá)式，EViews會(huì)正交化表達(dá)式和工具變量。在方程說(shuō)明對(duì)話框的工具變量（Instrumentlist）列表中，必須列出工具變量名。如果要保證GMM估計(jì)量可識(shí)別，工具變量個(gè)數(shù)不能少于被估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)。當(dāng)然常數(shù)會(huì)自動(dòng)被EViews加入工具變量表中。

56要得到GMM估計(jì)，應(yīng)該寫出矩條件作為參數(shù)表達(dá)式和工

例如，方程說(shuō)明：ycx工具變量：czw正交條件為：

如果方程說(shuō)明為：c(1)*log(y)+x^c(2)工具變量表：czz(-1)則正交條件為：57例如，方程說(shuō)明：ycx

在方程說(shuō)明框右邊是選擇目標(biāo)函數(shù)的權(quán)數(shù)矩陣A。如果選擇基于White協(xié)方差的加權(quán)矩陣，則GMM估計(jì)對(duì)未知形式的異方差將是穩(wěn)健的。如果選擇基于HAC時(shí)間序列的加權(quán)矩陣，則GMM估計(jì)量對(duì)未知形式的異方差和自相關(guān)是穩(wěn)健的。對(duì)于HAC選項(xiàng)，必須說(shuō)明核和帶寬。58在方程說(shuō)明框右邊是選擇目標(biāo)函數(shù)的權(quán)數(shù)矩陣A。如果選例4.7利用中國(guó)的1978～1999的宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，消費(fèi)CS、GDP、投資IFCK，利用GMM方法計(jì)算消費(fèi)方程：59例4.7利用中國(guó)的1978～1999的宏§4.5多項(xiàng)分布滯后（PDLS）

在經(jīng)濟(jì)分析中人們發(fā)現(xiàn)，一些經(jīng)濟(jì)變量，它們的數(shù)值是由自身的滯后量或者其他變量的滯后量所決定的，表現(xiàn)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中，解釋變量中經(jīng)常包含某些滯后變量。以投資函數(shù)為例，分析中國(guó)的投資問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)年的投資額除了取決于當(dāng)年的收入（即國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）外，由于投資的連續(xù)性，它還受到前1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)…時(shí)期投資額的影響。已經(jīng)開(kāi)工的項(xiàng)目總是要繼續(xù)下去的，而每個(gè)時(shí)期的投資額又取決于每個(gè)時(shí)期的收入，所以可以建立如下關(guān)于投資的計(jì)量經(jīng)濟(jì)方程其中I

表示投資額，Y

表示國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值。

60§4.5多項(xiàng)分布滯后（PDLS）在經(jīng)濟(jì)分析中在分析貨幣政策的效應(yīng)時(shí)，經(jīng)常會(huì)分析貨幣供給對(duì)產(chǎn)出的影響，這時(shí)要在模型中加入貨幣供給的多期滯后，以反映出貨幣政策的時(shí)滯性。再如消費(fèi)理論告訴我們，人們的消費(fèi)不僅是當(dāng)期收入決定的，以前的收入水平和消費(fèi)習(xí)慣等都對(duì)消費(fèi)產(chǎn)生影響。因此，收入和消費(fèi)的滯后變量可能都應(yīng)該包含到模型中。這時(shí)的模型考慮了變量跨時(shí)期的影響關(guān)系，因此叫做動(dòng)態(tài)模型（dynamicmodels）。61在分析貨幣政策的效應(yīng)時(shí)，經(jīng)常會(huì)分析貨幣供給對(duì)如果模型中僅包含解釋變量滯后，形如式（4.5.1）的模型叫做分布滯后模型（distributedlagmodels），這是因?yàn)榻忉屪兞棵繂挝蛔兓挠绊懛植嫉搅硕鄠€(gè)時(shí)期：其中系數(shù)

描述

x對(duì)

y作用的滯后。在模型中解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的情況下，可以直接使用OLS估計(jì)參數(shù)。但是，一個(gè)顯然的問(wèn)題是解釋變量之間，即

x的當(dāng)前和滯后值之間具有高度共線性，而共線性問(wèn)題的一個(gè)直接后果是參數(shù)估計(jì)量失去意義，不能揭示

x的各個(gè)滯后量對(duì)因變量的影響，所以必須尋求另外的估計(jì)方法。

(4.5.1)一、多項(xiàng)式分布滯后模型的估計(jì)方法

62如果模型中僅包含解釋變量滯后，形如式（4.5可以使用多項(xiàng)式分布滯后（PolynomialDistributedLags,PDLs）來(lái)減少要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)，以此來(lái)平滑滯后系數(shù)。平滑就是要求系數(shù)服從一個(gè)相對(duì)低階的多項(xiàng)式。p階PDLs模型限制

系數(shù)服從如下形式的

p階多項(xiàng)式

j=0,1,2,…,k(4.5.3)c是事先定義常數(shù)：63可以使用多項(xiàng)式分布滯后（Polynomial

PDLs有時(shí)被稱為Almon分布滯后模型。常數(shù)c僅用來(lái)避免共線性引起的數(shù)值問(wèn)題，不影響的估計(jì)。這種定義允許僅使用參數(shù)

p來(lái)估計(jì)一個(gè)x

的

k階滯后的模型（如果

p>k，將顯示“近似奇異“錯(cuò)誤信息）。定義一個(gè)PDL模型，EViews用(4.5.3)式代入到(4.5.1)式，將產(chǎn)生如下形式方程其中

(4.5.4)64PDLs有時(shí)被稱為Almon分布滯后模型

一旦從(4.5.3)式估計(jì)出，利用(4.5.3)式就可得到的各系數(shù)。這一過(guò)程很明了，因?yàn)槭堑木€性變換。定義一個(gè)PDLs要有三個(gè)元素：滯后長(zhǎng)度k，多項(xiàng)式階數(shù)（多項(xiàng)式最高次冪數(shù)）p和附加的約束條件。一個(gè)近端約束限制

x對(duì)

y一期超前作用為零：

一個(gè)遠(yuǎn)端約束限制

x對(duì)

y的作用在大于定義滯后的數(shù)目衰減：

如果限制滯后算子的近端或遠(yuǎn)端，參數(shù)個(gè)數(shù)將減少一個(gè)來(lái)解釋這種約束。如果對(duì)近端和遠(yuǎn)端都約束，參數(shù)個(gè)數(shù)將減少二個(gè)。EViews缺省不加任何約束。65一旦從(4.5.3)式估計(jì)出，利用(4.5.3

二、如何估計(jì)包含PDLs的模型

通過(guò)PDL項(xiàng)定義一個(gè)多項(xiàng)式分布滯后，信息在隨后的括號(hào)內(nèi)，按下列規(guī)則用逗號(hào)隔開(kāi)：1.序列名2.滯后長(zhǎng)度（序列滯后數(shù)）3.多項(xiàng)式階數(shù)4.一個(gè)數(shù)字限制碼來(lái)約束滯后多項(xiàng)式：1=限制滯后近端為零2=限制遠(yuǎn)端為零3=兩者都限制如果不限制滯后多項(xiàng)式，可以省略限制碼。方程中可以包含多個(gè)PDL項(xiàng)。例如：salescpdl(y,8,3)是用常數(shù)，解釋變量y的當(dāng)前和8階分布滯后來(lái)擬合因變量sales，這里解釋變量y的滯后系數(shù)服從沒(méi)有約束的3階多項(xiàng)式。66二、如何估計(jì)包含PDLs的模型通過(guò)PDL

類似地，

ycpdl(x,12,4,2)

包含常數(shù)，解釋變量x的當(dāng)前和12階分布滯后擬合因變量y，這里解釋變量x的系數(shù)服從帶有遠(yuǎn)端約束的4階多項(xiàng)式。

PDL也可用于二階段最小二乘法TSLS。如果PDL序列是外生變量，應(yīng)當(dāng)在工具表中也包括序列的PDL項(xiàng)。為此目的，可以定義PDL(*)作為一個(gè)工具變量，則所有的PDL變量都將被作為工具變量使用。例如：如果定義TSLS方程為

salesc

incpdl(y(-1),12,4)使用工具變量：zz(-1)pdl(*)則y的分布滯后和z，z(-1)都被用作工具變量。

PDLs不能用于非線性定義。67類似地，ycpdl(x,12,4例4.8

投資INV關(guān)于關(guān)于GDP的分布滯后模型的結(jié)果如下68例4.8投資INV關(guān)于關(guān)于GDP的分布滯

逐個(gè)觀察，GDP滯后的系數(shù)統(tǒng)計(jì)上都不顯著。但總體上講回歸具有一個(gè)合理的R2，

(盡管D.W.統(tǒng)計(jì)量很低)。這是回歸自變量中多重共線的典型現(xiàn)象，建議擬合一個(gè)多項(xiàng)式分布滯后模型。估計(jì)一個(gè)無(wú)限制的3階多項(xiàng)式滯后模型，輸入變量列表：cPDL(GDP,4,2)，窗口中顯示的多項(xiàng)式估計(jì)系數(shù)，PDL01,PDL02,PDL03分別對(duì)應(yīng)方程(4.5.4)中z1,z2,z3的系數(shù)1,

2,

3。69逐個(gè)觀察，GDP滯后的系數(shù)統(tǒng)計(jì)上都不顯著。但總體上講

方程（4.5.1）中的系數(shù)

j在表格底部顯示。

表格底部的滯后值是分布滯后的估計(jì)系數(shù)值，并且在平穩(wěn)的假設(shè)下有GDP對(duì)INV的長(zhǎng)期影響的解釋。

70方程（4.5.1）中的系數(shù)j在表格底部顯示。待估計(jì)的方程：

INV=C(1)+C(5)*GDP+C(6)*GDP(-1)+C(7)*GDP(-2)+C(8)*GDP(-3)+C(9)*GDP(-4)估計(jì)的方程：

INVt=-343.83+0.1297GDPt+0.065GDPt-1+0.021GDPt-2-0.000987GDPt-3–0.002GDPt-4+?t71待估計(jì)的方程：71加了限制滯后近端為零的近端約束，顯著性有明顯改善。72加了限制滯后近端為零的近端約束，顯著性有明顯改善。72加了INV(-1)，估計(jì)系數(shù)非常顯著。73加了INV(-1)，估計(jì)系數(shù)非常顯著。7第四章其他回歸方法

本章討論加權(quán)最小二乘估計(jì)，異方差性和自相關(guān)一致協(xié)方差估計(jì)，兩階段最小二乘估計(jì)（TSLS），非線性最小二乘估計(jì)和廣義矩估計(jì)（GMM）。這里的大多數(shù)方法在第十二章的聯(lián)立方程系統(tǒng)中也適用。本章中某些估計(jì)方法中含有AR和MA誤差項(xiàng)，這些概念將在第五章中深入介紹。74第四章其他回歸方法本章討論加權(quán)最小二乘估計(jì)

線性回歸模型的基本假設(shè)

i=1,2,…,N

在普通最小二乘法中，為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)：1．解釋變量之間互不相關(guān)；2．隨機(jī)誤差項(xiàng)具有0均值和同方差。即i=1,2,…,N

即隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差是與觀測(cè)時(shí)點(diǎn)t無(wú)關(guān)的常數(shù)；3．不同時(shí)點(diǎn)的隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)（序列不相關(guān)），即s≠0,i=1,2,…,N

75線性回歸模型的基本假設(shè)i=1,2,…

當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~4時(shí)，將回歸模型”稱為“標(biāo)準(zhǔn)回歸模型”，當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~5時(shí)，將回歸模型稱為“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)回歸模型”。如果實(shí)際模型滿足不了這些假定，普通最小二乘法就不再適用，而要發(fā)展其他方法來(lái)估計(jì)模型。5．隨機(jī)誤差項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。即~i=1,2,…,N

4．隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間互不相關(guān)。即

j=1,2,…,k,i=1,2,…,N

76當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足假定1~4時(shí)，將回歸模型”稱為

古典線性回歸模型的一個(gè)重要假設(shè)是總體回歸方程的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui同方差，即他們具有相同的方差

2。如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差隨觀測(cè)值不同而異，即ui的方差為i2，就是異方差。用符號(hào)表示異方差為E(ui2)

=

i2

。異方差性在許多應(yīng)用中都存在，但主要出現(xiàn)在截面數(shù)據(jù)分析中。例如我們調(diào)查不同規(guī)模公司的利潤(rùn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)大公司的利潤(rùn)變化幅度要比小公司的利潤(rùn)變化幅度大，即大公司利潤(rùn)的方差比小公司利潤(rùn)的方差大。利潤(rùn)方差的大小取決于公司的規(guī)模、產(chǎn)業(yè)特點(diǎn)、研究開(kāi)發(fā)支出多少等因素。又如在分析家庭支出模式時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)高收入家庭通常比低收入家庭對(duì)某些商品的支出有更大的方差。§4.1異方差

77古典線性回歸模型的一個(gè)重要假設(shè)是總體回歸方程的隨機(jī)擾變量可支配收入交通和通訊支出變量可支配收入交通和通訊支出地區(qū)INCUM地區(qū)INCUM甘肅山西寧夏吉林河南陜西青海江西黑龍江內(nèi)蒙古貴州遼寧安徽湖北海南4009.614098.734112.414206.644219.424220.244240.134251.424268.504353.024565.394617.244770.474826.364852.87159.60137.11231.51172.65193.65191.76197.04176.39185.78206.91227.21201.87237.16214.37265.98新疆河北四川山東廣西湖南重慶江蘇云南福建天津浙江北京上海廣東5000.795084.645127.085380.085412.245434.265466.576017.856042.786485.637110.547836.768471.988773.108839.68212.30270.09212.46255.53252.37255.79337.83255.65266.48346.75258.56388.79369.54384.49640.56表1中國(guó)1998年各地區(qū)城鎮(zhèn)居民平均每人全年家庭可支配收入及交通和通訊支出

單位：元78變量可支配收入交通和通訊支出變量可支配收入交通和通訊支出

例4.1：我們研究人均家庭交通及通訊支出(cum)和可支配收入(in)的關(guān)系，考慮如下方程：cumi=0+1ini

+ui

利用普通最小二乘法，得到如下回歸模型：cumi=-56.917+0.05807ini

(4.1.4)

(-1.57)(8.96)R2=0.74D.W.=2.00879例4.1：我們研究人均家庭交通及通訊支出(

從圖形上可以看出，平均而言，城鎮(zhèn)居民家庭交通和通訊支出隨可支配收入的增加而增加。但是，值得注意的是：隨著可支配收入的增加，交通和通訊支出的變動(dòng)幅度也增大了，可能存在異方差。如果我們把回歸方程中得到的殘差對(duì)各個(gè)觀測(cè)值作圖，則可以清楚地看到這一點(diǎn)。異方差的存在并不破壞普通最小二乘法的無(wú)偏性，但是估計(jì)量卻不是有效的，即使對(duì)大樣本也是如此，因?yàn)槿狈τ行裕酝ǔ５募僭O(shè)檢驗(yàn)值不可靠。因此懷疑存在異方差或者已經(jīng)檢測(cè)到異方差的存在，則采取補(bǔ)救措施就很重要。80從圖形上可以看出，平均而言，城鎮(zhèn)居民家庭交通和通訊支§4.1.1異方差檢驗(yàn)

1.圖示檢驗(yàn)法

(1)用X-Y的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷

觀察是否存在明顯的散點(diǎn)擴(kuò)大、縮小或復(fù)雜型趨勢(shì)（即不在一個(gè)固定的帶型域中）81§4.1.1異方差檢驗(yàn)8

（2）X-?i2的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷

首先采用OLS方法估計(jì)模型，以求得隨機(jī)誤差項(xiàng)u的方差i2的估計(jì)量(注意，該估計(jì)量是不嚴(yán)格的)，我們稱之為“近似估計(jì)量”，用ei2表示。于是有(4.1.5)即用ei2來(lái)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差。用解釋變量x和ei2的散點(diǎn)圖進(jìn)行觀察是否隨著x增加，出現(xiàn)方差的逐漸增加、下降或者不規(guī)則變化。

82（2）X-?i2的散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷83102.White異方差性檢驗(yàn)

White(1980)提出了對(duì)最小二乘回歸中殘差的異方差性的檢驗(yàn)。包括有交叉項(xiàng)和無(wú)交叉項(xiàng)兩種檢驗(yàn)。普通最小二乘估計(jì)雖然在存在異方差性時(shí)是一致的，但是通常計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差不再有效。如果發(fā)現(xiàn)存在異方差性，利用加權(quán)最小二乘法可以獲得更有效的估計(jì)。

842.White異方差性檢驗(yàn)11檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是通過(guò)利用解釋變量所有可能的交叉乘積對(duì)殘差進(jìn)行回歸來(lái)計(jì)算的。例如：假設(shè)估計(jì)如下方程(4.1.6)式中b是估計(jì)系數(shù)，?i是殘差。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量基于輔助回歸：(4.1.7)EViews顯示兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和Obs*R2統(tǒng)計(jì)量。White檢驗(yàn)的原假設(shè)：不存在異方差性（也就是，式（4.1.7）中除0以外的所有系數(shù)都為0成立）。85檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是通過(guò)利用解釋變量所有可能的交叉乘White證明出：（4.1.8）其中：N是樣本容量，k為自由度，等于式（4.1.7）中解釋變量個(gè)數(shù)（不包含截距項(xiàng)）。如果計(jì)算的2值大于給定顯著性水平對(duì)應(yīng)的臨界值，則可以拒絕原假設(shè)，得出存在異方差的結(jié)論。也就是說(shuō)，回歸方程（4.1.7）的R2越大，說(shuō)明殘差平方受到解釋變量影響越顯著，也就越傾向于認(rèn)為存在異方差。如果原模型中包含的解釋變量較多，那么輔助回歸中將包含太多的變量，這會(huì)迅速降低自由度。因此，在引入變量太多時(shí)，必須謹(jǐn)慎一些。White檢驗(yàn)的另外一種形式，就是輔助回歸中不包含交叉項(xiàng)。因此White檢驗(yàn)有兩個(gè)選項(xiàng)：交叉項(xiàng)和無(wú)交叉項(xiàng)。86White證明出：13例4.2：人均家庭交通及通訊支出(CUM)和可支配收入(IN)的回歸方程的White異方差檢驗(yàn)的結(jié)果：

該結(jié)果F統(tǒng)計(jì)量和Obs*R2

統(tǒng)計(jì)量的P值均很小，表明拒絕原假設(shè)，即殘差存在異方差性。87例4.2：人均家庭交通及通訊支出(CUM)和§4.1.2加權(quán)最小二乘估計(jì)

1．方差已知的情形考慮一個(gè)一元回歸線性方程：（4.1.11）假設(shè)已知隨機(jī)誤差項(xiàng)的真實(shí)的方差，var(ui)=i2，則令wi=1/i，將模型兩端同乘wi，變換為（4.1.12）令ui*=wiui，則（4.1.13）因此，變換后的模型（4.1.12）不再存在異方差的問(wèn)題，可以用OLS估計(jì)。加權(quán)最小化殘差平方和為：（4.1.14）由此獲得的估計(jì)量就是權(quán)重序列為{wi}的加權(quán)最小二乘估計(jì)量。88§4.1.2加權(quán)最小二乘估計(jì)15假設(shè)有已知形式的異方差性，并且有序列w，其值與誤差標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)成比例。這時(shí)可以采用權(quán)數(shù)序列為w的加權(quán)最小二乘估計(jì)來(lái)修正異方差性。對(duì)加權(quán)最小化殘差平方和得到估計(jì)結(jié)果:其中是k1維向量。在矩陣概念下，令權(quán)數(shù)序列w在權(quán)數(shù)矩陣W的對(duì)角線上，其他地方是零，即W矩陣是對(duì)角矩陣，y和X是因變量和自變量矩陣。則加權(quán)最小二乘估計(jì)量為：（4.1.18）

估計(jì)協(xié)方差矩陣為：（4.1.19）

89假設(shè)有已知形式的異方差性，并且有序列w，其值

2．方差未知的情形

由于一般不知道異方差的形式，人們通常采用的經(jīng)驗(yàn)方法是，并不對(duì)原模型進(jìn)行異方差檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。如果確實(shí)存在異方差性，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。具體步驟是：1．選擇普通最小二乘法估計(jì)原模型，得到隨機(jī)誤差項(xiàng)的近似估計(jì)量?t

；2．建立wi=1/|?t

|的權(quán)數(shù)序列；3．選擇加權(quán)最小二乘法，以wi=1/|?t

|序列作為權(quán)，進(jìn)行估計(jì)得到參數(shù)估計(jì)量。實(shí)際上是以1/|?t

|乘原模型的兩邊，得到一個(gè)新模型，采用普通最小二乘法估計(jì)新模型。

902．方差未知的情形17

使用加權(quán)最小二乘法估計(jì)方程，首先到主菜單中選Quick/EstimateEquation…,然后選擇LS-LeastSquares(NLSandARMA)。在對(duì)話框中輸入方程說(shuō)明和樣本，然后按Options鈕,出現(xiàn)如下對(duì)話框：91使用加權(quán)最小二乘法估計(jì)方程，首先到主菜單中選Quic

單擊WeightedLS/TSLS選項(xiàng)在Weighted項(xiàng)后填寫權(quán)數(shù)序列名，單擊OK。例子：92單擊WeightedLS/TSLS選項(xiàng)在Weigh例4.4：93例4.4：20

EViews會(huì)打開(kāi)結(jié)果窗口顯示標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)結(jié)果（如上圖），包括加權(quán)統(tǒng)計(jì)量和未加權(quán)統(tǒng)計(jì)量。加權(quán)統(tǒng)計(jì)結(jié)果是用加權(quán)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的：

未加權(quán)結(jié)果是基于原始數(shù)據(jù)計(jì)算的殘差得到的：

估計(jì)后，未加權(quán)殘差存放在RESID序列中。如果殘差方差假設(shè)正確，則加權(quán)殘差不應(yīng)具有異方差性。如果方差假設(shè)正確的話，未加權(quán)殘差應(yīng)具有異方差性，殘差標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)在每個(gè)時(shí)刻t與w成比例。94EViews會(huì)打開(kāi)結(jié)果窗口顯示標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)結(jié)果§4.1.3存在異方差時(shí)的一致協(xié)方差

當(dāng)異方差性形式未知時(shí)，使用加權(quán)最小二乘法提供在異方差存在時(shí)的一致參數(shù)估計(jì)，但通常的OLS標(biāo)準(zhǔn)差將不正確。在描述協(xié)方差估計(jì)技術(shù)之前，應(yīng)注意：使用White異方差一致協(xié)方差或Newey-West異方差一致協(xié)方差估計(jì)不會(huì)改變參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，只改變參數(shù)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。可以結(jié)合幾種方法來(lái)計(jì)算異方差和序列相關(guān)。如把加權(quán)最小二乘估計(jì)與White或Newey-West協(xié)方差矩陣估計(jì)相結(jié)合。

95§4.1.3存在異方差時(shí)的一致協(xié)方差當(dāng)異方差性形

1.異方差一致協(xié)方差估計(jì)（White）Heteroskedasticity

ConsistentCovariances（White）

White(1980)得出在存在未知形式的異方差時(shí)，對(duì)系數(shù)協(xié)方差進(jìn)行正確估計(jì)的異方差一致協(xié)方差估計(jì)量。White協(xié)方差矩陣公式為：其中N是觀測(cè)值數(shù)，k是回歸變量數(shù)，?i是最小二乘殘差。EViews在標(biāo)準(zhǔn)OLS公式中提供White協(xié)方差估計(jì)選項(xiàng)。打開(kāi)方程對(duì)話框，說(shuō)明方程，然后按Options鈕。接著，單擊異方差一致協(xié)方差(HeteroskedasticityConsistentCovariance)，選擇White鈕，接受選項(xiàng)估計(jì)方程。961.異方差一致協(xié)方差估計(jì)（White）例4.5：在輸出結(jié)果中，EViews會(huì)包含一行文字說(shuō)明表明使用了White估計(jì)量。

97例4.5：在輸出結(jié)果中，EViews會(huì)包含一行文字說(shuō)明表明使2.HAC一致協(xié)方差（Newey-West）

前面描述的White協(xié)方差矩陣假設(shè)被估計(jì)方程的殘差是序列不相關(guān)的。Newey和West(1987)提出了一個(gè)更一般的估計(jì)量，在有未知形式的異方差和自相關(guān)存在時(shí)仍保持一致。Newey-West估計(jì)量為：其中

982.HAC一致協(xié)方差（Newey-West）前

q是滯后截尾，一個(gè)用于評(píng)價(jià)OLS隨機(jī)誤差項(xiàng)ut的動(dòng)態(tài)的自相關(guān)數(shù)目的參數(shù)。根據(jù)Newey-West假設(shè)，EViews中令q為：Newey-West異方差一致協(xié)方差估計(jì)量，不能和加權(quán)最小二乘法一起使用。使用Newey-West方法，在估計(jì)對(duì)話框中按Options鈕。在異方差一致協(xié)方差項(xiàng)中選Newey-West鈕。99q是滯后截尾，一個(gè)用于評(píng)價(jià)OLS隨機(jī)誤差

Newey-West估計(jì)量為：

100Newey-West估計(jì)量為：27§4.2

二階段最小二乘法

回歸分析的一個(gè)基本假設(shè)是方程的解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。但是，由于解釋變量測(cè)量誤差的存在，用于估計(jì)模型參數(shù)的數(shù)據(jù)經(jīng)常與它們的理論值不一致；或者由于遺漏了變量，使得隨機(jī)誤差項(xiàng)中含有可能與解釋變量相關(guān)的變量，這些都可能導(dǎo)致解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)的相關(guān)。出現(xiàn)這種問(wèn)題時(shí)，OLS和WLS估計(jì)量都有偏差且不一致，因而要采用其他方法估計(jì)。最常用的估計(jì)方法是二階段最小二乘法。101§4.2二階段最小二乘法回歸分析的考慮多元線性回歸模型的矩陣形式（4.2.1）其中：y和X是因變量和解釋變量數(shù)據(jù)矩陣，是系數(shù)向量。

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，我們稱與殘差相關(guān)的變量為內(nèi)生變量，與殘差不相關(guān)的變量為外生變量或前定變量。解決方程右邊解釋變量與殘差相關(guān)的方法是使用工具變量回歸。就是要找到一組變量滿足下面兩個(gè)條件：（1）與方程解釋變量相關(guān)；（2）與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)；102考慮多元線性回歸模型的矩陣形式29選擇zi=(z1i,z2i,…,zki)作為工具變量，它與解釋變量相關(guān)，但與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)，即（4.2.2）

這些變量就可成為工具變量。用這些工具變量來(lái)消除右邊解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)之間的相關(guān)性。103選擇zi=(z1i,z2i,…,

二階段最小二乘方法（twostageleastsquare，TSLS）本質(zhì)上屬于工具變量法，它包括兩個(gè)階段：第一個(gè)階段，找到一組工具變量，模型中每個(gè)解釋變量分別關(guān)于這組變量作最小二乘回歸；第二個(gè)階段，所有變量用第一個(gè)階段回歸得到的擬合值來(lái)代替，對(duì)原方程進(jìn)行回歸，這樣求得的回歸系數(shù)就是TSLS估計(jì)值。可以證明二階段最小二乘估計(jì)量是一致估計(jì)量。10431不必?fù)?dān)心TSLS估計(jì)中分離的階段，因?yàn)镋Views會(huì)使用工具變量技術(shù)同時(shí)估計(jì)兩個(gè)階段。令Z為工具變量矩陣，y和X是因變量和解釋變量矩陣。則二階段最小二乘估計(jì)的系數(shù)由下式計(jì)算出來(lái)：

系數(shù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣為：其中s2是回歸標(biāo)準(zhǔn)差（估計(jì)殘差協(xié)方差）。

105不必?fù)?dān)心TSLS估計(jì)中分離的階段，因?yàn)镋Vi

使用二階段最小二乘估計(jì)，打開(kāi)方程說(shuō)明對(duì)話框，選擇Method中的TSLS估計(jì)。隨著選擇的變化，方程對(duì)話框也會(huì)發(fā)生變化，包括一個(gè)工具變量列表對(duì)話框。106使用二階段最小二乘估計(jì)，打開(kāi)方程說(shuō)明對(duì)話框，選擇Met

輸入工具變量時(shí)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：1.使用TSLS估計(jì)，方程說(shuō)明必需滿足識(shí)別的階條件，即工具變量的個(gè)數(shù)至少與方程的系數(shù)一樣多。參見(jiàn)Davidson和MacKinnon(1994)和Johnston和DiNardo(1997)的討論。2.根據(jù)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)理論，與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)的解釋變量可以用作工具變量。3.常數(shù)c是一個(gè)合適的工具變量，如果忽略了它，EViews會(huì)自動(dòng)把它加進(jìn)去。107輸入工具變量時(shí)，應(yīng)注意以下問(wèn)題：34

TSLS估計(jì)結(jié)果：

下面我們利用中國(guó)19782000的宏觀數(shù)據(jù)計(jì)算城鎮(zhèn)居民消費(fèi)增量D(cs)關(guān)于城鎮(zhèn)居民收入增量D(inc)

和利率D(rate)

、居民消費(fèi)價(jià)格D(cpi)

的OLS估計(jì)：108TSLS估計(jì)結(jié)果：35

注意到，利率D(rate)

和居民消費(fèi)價(jià)格D(cpi)與殘差相關(guān)，于是采用TSLS估計(jì)。工具變量選擇c、D(cs(-1))

、D(cpi(-1))

、D(rate(-1))、D(inc(-2))、D(tax)。

109注意到，利率D(rate)和居民消費(fèi)價(jià)格D§4.3非線性最小二乘估計(jì)

經(jīng)典的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型理論與方法是在線性模型的基礎(chǔ)上發(fā)展、完善起來(lái)的，因而線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型領(lǐng)域的理論與方法已經(jīng)相當(dāng)成熟。但是，現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)并不都能抽象為線性模型，所以非線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中占據(jù)重要的位置，關(guān)于它的理論與方法的研究是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論與方法研究的一個(gè)廣泛的領(lǐng)域。